李新忠，朱劉昊，樊海豪，魏文軍，馬鑫，秦雪云，胡華杰，臺(tái)玉萍

（河南科技大學(xué)物理工程學(xué)院，河南洛陽(yáng) 471023）

0 引言

霍曼轉(zhuǎn)移是1925 年德國(guó)工程師WALTER Hohmann 博士推導(dǎo)出在兩條傾角相同、高度相異的圓形軌道間轉(zhuǎn)移衛(wèi)星的最小能量方法［1］，在航天領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛［2-3］。但其實(shí)微觀(guān)世界中也存在有軌道運(yùn)動(dòng)，且微觀(guān)運(yùn)動(dòng)是否可以適用霍曼轉(zhuǎn)移尚未經(jīng)過(guò)探索。光鑷作為一種無(wú)接觸、無(wú)傷害的微操縱工具已經(jīng)廣泛應(yīng)用于微操縱領(lǐng)域，在細(xì)胞生物學(xué)［4-9］、材料組裝［10］、光物質(zhì)相互作用物理和化學(xué)［11-12］等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用。

1992 年ALLEN L 發(fā)現(xiàn)了軌道角動(dòng)量［13］，這就直接賦予了光鑷一個(gè)橫向的扳手力。這個(gè)扳手力的來(lái)源就是光子繞著光軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的軌道角動(dòng)量。在對(duì)軌道角動(dòng)量的研究中已經(jīng)產(chǎn)生了許多應(yīng)用，如2004 年KOSTA Ladavac 就提出使用光渦旋陣列組裝和驅(qū)動(dòng)光機(jī)械泵［14］，2012 年WU Tao 提出光子驅(qū)動(dòng)的微電機(jī)可以誘導(dǎo)神經(jīng)纖維生長(zhǎng)［15］，2015 年YAN Zijie 利用光鑷的相位梯度制備銀納米粒子的材料組裝［16］，2020 年，RODRIGO J A 通過(guò)定制光學(xué)推進(jìn)力用于控制共振金納米粒子和相關(guān)的熱對(duì)流流體的傳輸［17］，之后2021 年他又提出使用全光控制金屬納米粒子，并可以自由的定制三維軌跡［18］。但不論光的結(jié)構(gòu)被如何改變，由于軌道角動(dòng)量的性質(zhì)，其結(jié)構(gòu)光束在具體的應(yīng)用中都會(huì)使粒子始終沿著一個(gè)既定的軌道進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。而粒子的實(shí)時(shí)變軌運(yùn)動(dòng)則沒(méi)有被考慮。因此目前亟需一種與以往的單一軌道角動(dòng)量相比具有更加豐富的模式可以同時(shí)存在多種不同軌道角動(dòng)量并實(shí)時(shí)調(diào)控粒子運(yùn)動(dòng)軌道的光束。

為了打破這一現(xiàn)狀，本文通過(guò)研究霍曼轉(zhuǎn)移的原理，并通過(guò)結(jié)合光束塑形技術(shù)、坐標(biāo)變換技術(shù)、傅里葉相移定理將其融合到結(jié)構(gòu)光場(chǎng)中，提出了一種霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束。該光束具有非常豐富的調(diào)控方式，并且其相位梯度分布可以使粒子從停泊軌道轉(zhuǎn)移至同步軌道。之后通過(guò)調(diào)整參數(shù)成功生成了復(fù)雜霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束，可使粒子進(jìn)行多次變軌運(yùn)動(dòng)。最后搭建了實(shí)驗(yàn)光路并使用聚苯乙烯進(jìn)行了光鑷實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論相符，證明了其可行性。該研究成功的將霍曼轉(zhuǎn)移應(yīng)用至微操縱領(lǐng)域，對(duì)光鑷的發(fā)展具有重要意義。

1 霍曼轉(zhuǎn)移軌道及其結(jié)構(gòu)光產(chǎn)生原理及調(diào)控

1.1 霍曼轉(zhuǎn)移軌道及其結(jié)構(gòu)光產(chǎn)生

要想在光場(chǎng)中生成對(duì)應(yīng)于霍曼轉(zhuǎn)移軌道原理的結(jié)構(gòu)光束，首先需要剖析霍曼轉(zhuǎn)移軌道的原理。如圖1（a）所示，霍曼轉(zhuǎn)移軌道由三個(gè)子軌道組成，分別是黃色的停泊軌道Q1，綠色的轉(zhuǎn)移軌道Q2，藍(lán)色的同步軌道Q3，其中停泊軌道Q1 和同步軌道Q3 為圓形軌道，轉(zhuǎn)移軌道Q2 為橢圓形軌道，且r1，r3分別是軌道Q1和軌道Q3 的半徑，r2是軌道Q2 的半長(zhǎng)軸。它們之間的關(guān)系滿(mǎn)足r3=nr1，r2=（r3+r1）/2，其中n為該停泊軌道和同步軌道的比值，圖1（a）中n=3。圖中Q1 和Q3 都是圓形，光強(qiáng)相同，而Q2 是一個(gè)橢圓，光強(qiáng)相對(duì)較弱。這是由于在對(duì)圓形變成橢圓的過(guò)程中結(jié)合了坐標(biāo)拉伸技術(shù)，所以Q2 的光強(qiáng)相比于Q1 和Q3 較弱。需要注意的是，停泊軌道Q1 和同步軌道Q3 的圓心是重合的，但轉(zhuǎn)移軌道Q2 的圓心與他們二者并不重合，兩個(gè)圓心之間的間距為r1。并且，轉(zhuǎn)移軌道Q2 的橢圓率e是一個(gè)自由參數(shù)，可以根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行調(diào)整，比如當(dāng)需要繞過(guò)特定的障礙物時(shí)。

圖1 霍曼轉(zhuǎn)移軌道Fig.1 Hohmann transfer orbit

若要在光場(chǎng)中相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)以上功能，需要使用光束塑形技術(shù)。但目前存在的大多結(jié)構(gòu)光塑形技術(shù)非常依賴(lài)于參數(shù)方程［19-20］，只能產(chǎn)生已經(jīng)明確具有參數(shù)方程的形狀。但霍曼轉(zhuǎn)移軌道并不存在相應(yīng)的參數(shù)方程，因此無(wú)法直接實(shí)現(xiàn)。因此在普通的光束塑形基礎(chǔ)上需要結(jié)合其他技術(shù)得到可以實(shí)現(xiàn)霍曼轉(zhuǎn)移軌道的結(jié)構(gòu)光束。

首先簡(jiǎn)單介紹一下本文中所使用到的塑形技術(shù)［21］，該光束的表達(dá)式為

式中，（ξ，η）是傅里葉變換后的坐標(biāo)系，Hi（x，y）是計(jì)算全息圖的透過(guò)率函數(shù)，可以表示為

式中，|c'2（t）|=［x'0（t）2+y'0（t）2］1/2，t∈［0，Ti］，x0（t）和y0（t）是曲線(xiàn)的參數(shù)方程，決定著曲線(xiàn)的形狀，φi（x，y，t）是相位項(xiàng)，具體可以表示為

σ是一個(gè)用來(lái)控制沿著曲線(xiàn)相位梯度也即拓?fù)浜芍档淖杂蓞?shù)。ω0是光束的束腰寬度。為了得到霍曼轉(zhuǎn)移軌道，首先需要單獨(dú)的生成三個(gè)軌道。由于停泊軌道Q1 和同步軌道Q3 是圓心重合，半徑不同的兩個(gè)圓，因此它們參數(shù)方程分別為

若此時(shí)Ti=2π，則可以組成兩個(gè)空心圓環(huán)。但在霍曼轉(zhuǎn)移軌道中所需要的是兩個(gè)半圓環(huán)。因此此處需要使Ti=π，將式（4）代入式（2）即可得到生成停泊軌道Q1 和同步軌道Q3 所需要的全息圖透過(guò)率函數(shù)H1（x，y）和H3（x，y），之后再帶入式（1）即可得到該光束的復(fù)振幅E1（ξ，η），E3（ξ，η）。不同的是，轉(zhuǎn)移軌道Q2是一個(gè)橢圓軌道，而且圓心與停泊軌道和同步軌道并不重合，因此這里需要使用坐標(biāo)變換技術(shù)和傅里葉相移定理［22-23］，所以其參數(shù)方程可以使用圓形的參數(shù)方程，即x2=r2cost，y2=r2sint，之后在帶入式（2）的過(guò)程中，對(duì)其坐標(biāo)系進(jìn)行拉伸處理，其坐標(biāo)系變?yōu)閤0=x，y0=αy，其中α為拉伸系數(shù)，它與離心率e之間的關(guān)系為e=sqrt（1-α2），之后得到其全息圖透過(guò)率函數(shù)H2（x0，y0）。最后再代入式（1）對(duì)其進(jìn)行相移處理，并得到其光束的表達(dá)式為

式中，ξ0=ξ-u，η0=η-v，u，v是偏移量。此時(shí)偏移量等于r1，之后將三者相加即可得到霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束的計(jì)算全息圖透過(guò)率函數(shù)Htotal（x，y）和Etotal（ξ，η）。至此已經(jīng)完成了對(duì)霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束的理論描述，之后選用r1=0.3 mm，拓?fù)浜芍捣謩e為m1=20，m2=20，m3=40 對(duì)光束進(jìn)行模擬產(chǎn)生。其光強(qiáng)Itotal=|Etotal（ξ，η）|2如圖1（b）所示，其相位如圖1（c）所示，從圖1 中可以明顯的觀(guān)察到光束分為Q1、Q2、Q3 三個(gè)軌道，其相位梯度沿著軌道均勻分布。

1.2 霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束的調(diào)控

依據(jù)霍曼轉(zhuǎn)移軌道建立的霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束，通過(guò)適當(dāng)?shù)恼{(diào)控，可以令其具有比霍曼轉(zhuǎn)移軌道更加豐富的性質(zhì)，首先由于霍曼轉(zhuǎn)移軌道中三個(gè)子軌道的大小是互相聯(lián)系的，如圖2（a）所示，圖中停泊軌道Q1與同步軌道Q3 的比值n=3 時(shí)，意味著不論停泊軌道大小如何，在粒子經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)移軌道后，會(huì)被轉(zhuǎn)移到一個(gè)三倍于停泊軌道半徑的同步軌道上。因此整個(gè)系統(tǒng)通過(guò)改變停泊軌道Q1 的半徑就可以改變整個(gè)系統(tǒng)的大小，圖2（a）為半徑改變之后的霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束的光強(qiáng)分布。同時(shí)，如圖2（b）為相對(duì)應(yīng)于圖2（a）霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束的相位分布，由于依托于塑形技術(shù)所得到的光束具有“完美性”，因此可以限定其半徑不隨拓?fù)浜芍蹈淖儭＿@樣在操縱粒子時(shí)就可以自由的控制粒子運(yùn)動(dòng)的速度，從而應(yīng)對(duì)不同情景下的應(yīng)用需求。

圖2 不同半徑停泊軌道Fig.2 Parking orbit with different radius

更進(jìn)一步地，通過(guò)繼續(xù)附加額外的轉(zhuǎn)移軌道以達(dá)到多次變軌的需求。接下來(lái)將對(duì)復(fù)雜霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束進(jìn)行模擬生成及性質(zhì)研究。為了更方便的觀(guān)察效果，其參數(shù)設(shè)置為：停泊軌道半徑r1=0.1 mm，m1=2，n=2，若設(shè)j=1，2，3，…為軌道后續(xù)依次排序的編號(hào)。則其后續(xù)所有軌道的半徑需符合r2=1.5r1，r3=2r1，r4=1.5r3，r5=2r3，r6=1.5r5，r7=2r5，r8=1.5r7，r9=2r7，…，以達(dá)到變軌的目的，拓?fù)浜芍翟O(shè)定服從mj=（rj/r1）m1以達(dá)到相位分布均勻的目的。以此方式生成的霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束計(jì)算全息圖透過(guò)率函數(shù)和光束表達(dá)式可以表示為

最終得到的霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束的光強(qiáng)如圖3（a）所示，每當(dāng)增加一次轉(zhuǎn)移軌道，上一次的同步軌道便會(huì)成為第二次的停泊軌道。以此類(lèi)推即可得到復(fù)雜的霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束。同時(shí)相位圖如圖3（b）所示，可以明顯的觀(guān)察到，相位呈現(xiàn)均勻分布，這樣在微粒操縱時(shí)可以給予粒子均勻的相位梯度力。

圖3 不同軌道數(shù)量Fig.3 Different number of orbits

2 微粒操縱實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置及微粒介紹

在模擬生成相應(yīng)的霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束之后，需要對(duì)其在實(shí)驗(yàn)中生成并進(jìn)行微粒操縱的驗(yàn)證。首先搭建一個(gè)實(shí)驗(yàn)光路，本文使用的光路圖如圖4 所示，其中激光器（532 nm，0～5 W 可調(diào)）輸出的光經(jīng)過(guò)透鏡L1 和透鏡L2 所組成的擴(kuò)束系統(tǒng)進(jìn)行擴(kuò)束并調(diào)整為平行光，之后經(jīng)由偏振片P1 轉(zhuǎn)換為線(xiàn)偏振光輸入到空間光調(diào)制器（SLM，HOLOEYE PLUTO-VIS-016，像素尺寸為8 μm×8 μm）上，之后經(jīng)過(guò)透鏡L3 和透鏡L4 組成4F 濾波系統(tǒng)進(jìn)行濾波得到SLM 衍射出來(lái)的+1 級(jí)衍射光。+1 級(jí)衍射光最后經(jīng)由透鏡L5 耦合進(jìn)入顯微物鏡MO1（100×，oil，NA=1.2）中，被顯微物鏡聚焦至樣品室的粒子上。照明光路中的LED 光（波長(zhǎng)620±20 nm）經(jīng)由顯微物鏡MO2（40×，NA=0.4）聚焦至樣品室進(jìn)行照明，之后照明光經(jīng)過(guò)二向色鏡（反綠光透紅光）輸入到CCD（BasleracA1600-60gc 型彩色相機(jī)，分辨率為1 600 pixel×1 200 pixel，像素尺寸為4.5 μm×4.5 μm）上被計(jì)算機(jī)記錄下來(lái)。同時(shí)偏振片P2 可以用來(lái)去除二向色鏡反射不完全的綠光。本次實(shí)驗(yàn)中所使用的粒子為3 μm 的聚苯乙烯粒子，溶劑為蒸餾水。圖4（b）為本次實(shí)驗(yàn)中輸入到SLM 的掩模板，其表達(dá)式為T(mén)=exp｛i［angle（Etotal（ξ，η）+2πx/d］｝，其中angle（）為相位函數(shù)，d為閃耀光柵的周期。圖4（c）為本次實(shí)驗(yàn)中的光束，可以看到其光強(qiáng)分布與模擬結(jié)果基本相同。

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置及掩模板和實(shí)驗(yàn)光強(qiáng)圖Fig.4 Experimental setup，phase mask and experimental intensity

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

為了證明霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束的優(yōu)越性，設(shè)計(jì)兩個(gè)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。第一個(gè)實(shí)驗(yàn)使用如圖4（c）中的光束照射粒子，使粒子從停泊軌道轉(zhuǎn)移到同步軌道。由于實(shí)驗(yàn)中的光束經(jīng)過(guò)一系列反射，會(huì)導(dǎo)致反向，因此，實(shí)驗(yàn)中所使用的光束參數(shù)為r1=0.3 mm，n=3，m1=-40，m2=-40，m3=-60。最終的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5 所示，可以看到粒子沿著既定的軌道，從小的圓軌道成功轉(zhuǎn)移至目標(biāo)大圓軌道。該實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了上文的理論預(yù)測(cè)，實(shí)現(xiàn)了變軌運(yùn)動(dòng)。

圖5 霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束微粒操縱實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖Fig.5 Experimental results of Hohmann transfer structure beam particle manipulation

第二個(gè)實(shí)驗(yàn)使用動(dòng)態(tài)切換SLM 上掩模板的方式，由于SLM 可以實(shí)時(shí)切換掩模板，因此先分別生成三個(gè)完整軌道的掩模板，即Ti全部等于2π。之后使粒子分別在停泊軌道旋轉(zhuǎn)一周半之后，選擇合適時(shí)機(jī)切換轉(zhuǎn)移軌道掩模板，再旋轉(zhuǎn)一周半之后，轉(zhuǎn)移至同步軌道并在同步軌道旋轉(zhuǎn)一周。以此來(lái)證明在微觀(guān)世界使粒子在運(yùn)動(dòng)中切換軌道的可能性。最終的實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖6。從圖中可以清楚的看到，粒子從較小的黃色軌道，之后變軌至綠色橢圓軌道，最后變軌至更大藍(lán)色的同步軌道上。值得注意的是，三條軌道周長(zhǎng)不相等，并且每條軌道攜帶的拓?fù)浜刹幌嗟?，相位梯度不相同。并且，在軌道變換時(shí)激光器的能量是保持不變的，因此軌道上的光子分布也變得更加稀疏，最終導(dǎo)致粒子在三條軌道上的運(yùn)動(dòng)速度不同。如果需要，可以通過(guò)改變光束參數(shù)和調(diào)整激光器能量來(lái)得到穩(wěn)定的勻速運(yùn)動(dòng)。

圖6 SLM 動(dòng)態(tài)變化掩模板使粒子變換軌道Fig.6 Particle change the orbit via SLM dynamically changes the phase mask

3 結(jié)論

結(jié)合光束塑形、坐標(biāo)變換、傅里葉相移技術(shù)成功的將霍曼轉(zhuǎn)移應(yīng)用至結(jié)構(gòu)光中，提出了一種模式豐富可調(diào)的霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束。該光束的大小，相位梯度分布均可任意調(diào)制，并且理論上允許粒子從停泊軌道轉(zhuǎn)移至同步軌道。最后在實(shí)驗(yàn)中對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證?？深A(yù)見(jiàn)地，該光束可以通過(guò)改變拓?fù)浜芍档恼?fù)，來(lái)反轉(zhuǎn)停泊軌道和同步軌道，或者通過(guò)分別調(diào)整各個(gè)軌道的拓?fù)浜芍祦?lái)控制粒子在各個(gè)軌道之間運(yùn)動(dòng)的速度，或者通過(guò)整體旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)光束來(lái)控制粒子轉(zhuǎn)移的方式。該研究充分證明了霍曼轉(zhuǎn)移在微觀(guān)世界中的可行性，在光學(xué)微操作領(lǐng)域具有重大意義。