蔣兵兵，蔡 猛，祝偉才，馬憲超，佘彩云，黃 飛，王 靜

（上海無(wú)線電設(shè)備研究所·上海·201109）

0 引 言

目標(biāo)跟蹤，包括單目標(biāo)跟蹤與多目標(biāo)跟蹤，一直是工程應(yīng)用中棘手且熱門的方向。其應(yīng)用范圍廣泛，涉及軍事領(lǐng)域的目標(biāo)預(yù)警、制導(dǎo)系統(tǒng)，民用領(lǐng)域的全球定位系統(tǒng)（Global Positioning System，GPS）導(dǎo)航、機(jī)器人系統(tǒng)等。

獲取運(yùn)動(dòng)目標(biāo)量測(cè)數(shù)據(jù)后，如何利用合適的跟蹤模型與跟蹤算法完成對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或特點(diǎn)的估計(jì)，并對(duì)其運(yùn)動(dòng)進(jìn)行預(yù)測(cè)跟蹤，是目標(biāo)跟蹤工作的難點(diǎn)。長(zhǎng)期以來(lái)，學(xué)者們著力于解決兩類問(wèn)題：一是建立更優(yōu)的目標(biāo)機(jī)動(dòng)跟蹤模型，目前常用的跟蹤模型均可在文獻(xiàn)中找到；二是采用各種機(jī)動(dòng)分析、估計(jì)方法以及新理論改進(jìn)或開(kāi)發(fā)新的跟蹤算法。

跟蹤算法中狀態(tài)方程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，是目標(biāo)跟蹤模型的直接映射。在目標(biāo)跟蹤技術(shù)研究的早期，常速度與常加速度這兩個(gè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型應(yīng)用廣泛。當(dāng)這兩類模型對(duì)大機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤效果欠佳時(shí)，Singer給出目標(biāo)加速度服從一階零均值時(shí)間相關(guān)過(guò)程的假設(shè)，并提出著名的Singer模型。然而，當(dāng)目標(biāo)正以某一加速度機(jī)動(dòng)時(shí)，采用零均值模型顯然不合理。周宏仁在Singer模型的基礎(chǔ)上，提出“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)（“Current” Statistical，CS）模型。該模型假設(shè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度的均值為“當(dāng)前”加速度的預(yù)測(cè)值，利用實(shí)時(shí)在線的目標(biāo)信息，將Singer模型中加速度的非條件概率密度函數(shù)替換成修正的瑞利概率密度分布函數(shù)。

此后，機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法的發(fā)展進(jìn)入了繁盛期，提出的算法大致可以分為兩類：一類是先檢測(cè)目標(biāo)機(jī)動(dòng)狀態(tài)后再處理，如輸入估計(jì)技術(shù)、變維狀態(tài)空間方法等；另外一類是用多種模型來(lái)描述，如交互多模型（Interactive Multiple Model，IMM）算法、自適應(yīng)交互多模型算法等。不同類型跟蹤模型的組合決定了IMM估計(jì)器的有效性。

應(yīng)用高脈沖重復(fù)頻率脈沖多普勒（High Pulse Repetition Frequency Pulse Doppler, HPRF-PD）體制的數(shù)字陣列雷達(dá)，由于高占空比這一特點(diǎn)，容易產(chǎn)生距離遮擋效應(yīng)。解決這一問(wèn)題的主流方法是采用多脈沖重復(fù)頻率機(jī)制，其中對(duì)脈沖重復(fù)頻率的切換準(zhǔn)則是關(guān)鍵。實(shí)際工程中，通常根據(jù)相對(duì)距離切換合適的脈沖重復(fù)頻率。因此，得到精確的距離跟蹤值能夠提升實(shí)際應(yīng)用性能指標(biāo)。

為獲取精確的距離跟蹤值，首要的是實(shí)現(xiàn)對(duì)相對(duì)距離的準(zhǔn)確測(cè)量。雷達(dá)發(fā)射波形的均方根帶寬與距離跟蹤通道信號(hào)的信噪比決定了距離測(cè)量值的精度。當(dāng)HPRF-PD體制的數(shù)字陣列雷達(dá)距離通道的信噪比給定后，相應(yīng)的距離測(cè)量精度就確定了。盡管目前雷達(dá)系統(tǒng)能夠得到的測(cè)距精度已經(jīng)很高，但利用有效的距離跟蹤算法，可實(shí)現(xiàn)對(duì)距離測(cè)量值的平滑并減小測(cè)距方差，得到更精確的相對(duì)距離。因此，提高距離跟蹤精度的難點(diǎn)就集中到對(duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的精確描述上。

本文首先概述了經(jīng)典的“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型及遞歸線性平滑牛頓預(yù)測(cè)器；之后給出了所提的加速度輔助“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型算法；最后通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真，驗(yàn)證了典型場(chǎng)景下改進(jìn)距離跟蹤方法的有效性。

1 算法基礎(chǔ)

1.1 “當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型

目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域主流的目標(biāo)跟蹤模型是IMM算法，但CS模型同樣具有可靠的工程應(yīng)用性能；加之其計(jì)算量相較于IMM算法可忽略不計(jì)，在對(duì)單個(gè)目標(biāo)的跟蹤場(chǎng)景中，CS模型也是最常用的方法之一。

目前的研究工作主要集中在CS模型的自適應(yīng)處理上。進(jìn)展可分為兩類：一是將CS模型與其他模型算法組合后形成新算法，如基于修正強(qiáng)跟蹤濾波器的當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型算法和基于概率假設(shè)密度的當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型算法等。此類方法通過(guò)提升跟蹤模型的復(fù)雜度以提高跟蹤性能，但單純通過(guò)提高模型復(fù)雜度的方法并不具有普適性。另一種是針對(duì)CS模型本身的局限性所提出的自適應(yīng)算法，如自適應(yīng)當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型算法、改進(jìn)的當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型算法、基于當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型的自適應(yīng)無(wú)跡卡爾曼濾波算法等。相較于第一類算法，此類方法主要針對(duì)CS模型中的目標(biāo)機(jī)動(dòng)頻率與目標(biāo)加速度上下限進(jìn)行改進(jìn)。

“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型針對(duì)的是加速度在一定范圍內(nèi)的機(jī)動(dòng)目標(biāo)，其模型中目標(biāo)加速度上下限也由此引入。然而，雖然預(yù)設(shè)與初值的方法相較于經(jīng)典CS模型算法的性能更優(yōu)，但算法并未完全改進(jìn)。提高CS模型性能的關(guān)鍵點(diǎn)在于實(shí)時(shí)自適應(yīng)地計(jì)算目標(biāo)機(jī)動(dòng)頻率，同時(shí)避免加速度極限值的使用。

CS的數(shù)學(xué)模型為

（1）

CS模型中對(duì)應(yīng)的過(guò)程噪聲協(xié)方差矩陣為

（2）

CS模型中，與的預(yù)設(shè)值是常數(shù)。當(dāng)取小值時(shí)，喪失了對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)快速響應(yīng)的能力；反之，當(dāng)取大值時(shí)，其對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的響應(yīng)速度會(huì)提高，但又無(wú)法對(duì)非機(jī)動(dòng)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)跟蹤。

隨著航空技術(shù)的高速發(fā)展，飛行器的機(jī)動(dòng)能力也越來(lái)越先進(jìn)，有文獻(xiàn)針對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度變化率采用高度機(jī)動(dòng)目標(biāo)的Jerk模型。考慮“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型中參數(shù)的引入原因，可認(rèn)為其是在缺乏目標(biāo)加速度測(cè)量手段的年代中一種智慧的妥協(xié)，但目前更好的做法是規(guī)避的使用。

1.2 RLSN概述

遞歸線性平滑牛頓（Recursive Linear Smoo-thed Newton, RLSN）預(yù)測(cè)器可實(shí)現(xiàn)無(wú)延遲估計(jì)。量測(cè)信號(hào)如下

（）=（）+（）

（3）

式中，（）為不含噪聲的光滑初始信號(hào)；（）為干擾噪聲；（）為被控對(duì)象的量測(cè)輸出，即RLSN的輸入信號(hào)。用階多項(xiàng)式對(duì)初始信號(hào)（）建模

（）=+++…+

（4）

式中，為多項(xiàng)式系數(shù)，=0,1,…,，為多項(xiàng)式階數(shù)。階多項(xiàng)式的步向前預(yù)測(cè)器的域傳遞函數(shù)為

（5）

對(duì)式（5）進(jìn)行平滑操作，得到包含遞歸方式的線性平滑牛頓預(yù)測(cè)器傳遞函數(shù)為

（6）

2 改進(jìn)的距離跟蹤算法

在CS模型中引入，實(shí)際上是跳過(guò)了對(duì)徑向加速度的測(cè)量。對(duì)于HPRF-PD體制的雷達(dá)系統(tǒng)，采用快速傅里葉變換算法,從窄帶回波信號(hào)中得到速度測(cè)量值。在第個(gè)CPI時(shí)刻，在準(zhǔn)確獲取雷達(dá)平臺(tái)與目標(biāo)之間的徑向速度后，考慮到HPRF-PD體制雷達(dá)的CPI持續(xù)時(shí)間短，利用徑向速度的歷史值及RLSN預(yù)測(cè)器，可對(duì)徑向加速度進(jìn)行估計(jì)。采用一階一步前向預(yù)測(cè)器，其離散域傳輸函數(shù)為

（7）

其中，為反饋比例因子;為滑動(dòng)平均器的階數(shù)。預(yù)測(cè)器的信號(hào)流圖如圖1所示。

圖1 一階一步前向RLSN預(yù)測(cè)器的信號(hào)流圖Fig.1 Signal flow chart of first-order first-step forward RLSN predictor

（8）

按照式（8），當(dāng)幀計(jì)數(shù)≥+2時(shí)可實(shí)現(xiàn)加速度的預(yù)估。

簡(jiǎn)化Sage-Husa濾波方法在已知過(guò)程噪聲協(xié)方差矩陣后,可獲取自適應(yīng)量測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣。一般地，在參數(shù)估計(jì)中，通常用遺忘因子增大對(duì)最近數(shù)據(jù)的權(quán)重系數(shù)。簡(jiǎn)化的Sage-Husa估計(jì)器用式（9）計(jì)算。

（9）

=

（10）

配合簡(jiǎn)化的Sage-Husa估計(jì)器后，得到了改進(jìn)的距離估計(jì)算法。其實(shí)現(xiàn)了對(duì)與的同時(shí)自適應(yīng)計(jì)算，表現(xiàn)出更好的普適性。

改寫“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型表達(dá)式

（11）

其中，（）表示測(cè)得的徑向加速度。

對(duì)比式（1）與式（11），可知

（12）

對(duì)式（12）兩邊分別求導(dǎo)數(shù)，有

（13）

將式（13）代入式（11）中的第二個(gè)等式，得

（14）

（15）

由此求解，得

（16）

限定的范圍，并假設(shè)：∈[ -,],其中∈N。

上述假設(shè)成立的概率為落入[-,]這個(gè)區(qū)間的概率。考慮到服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則當(dāng)≥4時(shí)，此假設(shè)成立的概率至少為99.994%。本文在此處作近似，認(rèn)為當(dāng)≥4時(shí)，∈[-,]。

基于上述假設(shè)，有

（17）

其中，≥4。

經(jīng)分類討論后，可得：

（18）

=

（19）

選擇滿足相應(yīng)條件時(shí)的解作為的值。若存在2個(gè)正根，則選擇較小的根作為的值；無(wú)解時(shí)，保持的值不變。

（20）

（21）

加速度估計(jì)環(huán)路中的滑動(dòng)平均器階數(shù)及比例因子對(duì)加速度估計(jì)精度的影響較大。一般來(lái)說(shuō)，階數(shù)越高，加速度估計(jì)精度越高，但會(huì)導(dǎo)致加速度估計(jì)環(huán)路啟動(dòng)幀越靠后；比例因子越低，加速度估計(jì)精度越高，但估計(jì)環(huán)路的記憶性越強(qiáng)，即估計(jì)值對(duì)歷史加速度估計(jì)值的依賴性越強(qiáng)。故需合理配置滑動(dòng)平均器階數(shù)及比例因子。

獲取加速度估計(jì)值后，本文給出了目標(biāo)機(jī)動(dòng)頻率的解析解，機(jī)動(dòng)頻率估計(jì)精度與加速度估計(jì)精度高度相關(guān)。因此，在保證加速度估計(jì)環(huán)路啟動(dòng)時(shí)效性、估計(jì)環(huán)路對(duì)最新數(shù)據(jù)依賴性的基礎(chǔ)上，需合理提高滑動(dòng)平均器階數(shù)和比例因子，從而有效提升機(jī)動(dòng)頻率的估計(jì)精度。

3 計(jì)算機(jī)仿真

在大地坐標(biāo)系中，以系統(tǒng)零時(shí)刻目標(biāo)的位置作為坐標(biāo)系原點(diǎn)′，雷達(dá)指向目標(biāo)作為′軸正方向，在′′′坐標(biāo)系下（′′軸位于包含有′′的鉛垂面內(nèi),且′′到′′為順時(shí)針?lè)较颍洹漭S與′′、′′構(gòu)成右手坐標(biāo)系）。雷達(dá)沿著′′正向以=300m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，目標(biāo)沿著′軸負(fù)方向以=200m/s的速度勻速向著雷達(dá)飛行，在′′′、′′′平面內(nèi)分別做正弦運(yùn)動(dòng)，兩者的空間運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示，雷達(dá)與目標(biāo)之間的距離從7.8km變化到4.5km。

圖2 仿真場(chǎng)景圖 Fig.2 Simulation scene schematic diagram

圖3對(duì)比了本文提出的加速度輔助CS（Acceleration Aided-CS，AA-CS）算法與經(jīng)典的CS模型在仿真場(chǎng)景中得到的距離跟蹤誤差。AA-CS算法的跟蹤性能優(yōu)于經(jīng)典CS模型算法，其跟蹤誤差下降速率更快，也佐證了需要為量測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣做自適應(yīng)計(jì)算的重要性。此外，AA-CS算法的距離跟蹤誤差方差也更小，如圖4所示。圖5所示為AA-CS算法中的量測(cè)噪聲協(xié)方差值?？梢钥闯觯?span id="w0miskc" class="emphasis_italic">在幾個(gè)CPI后很快達(dá)到了穩(wěn)定的收斂狀態(tài)。

圖3 距離跟蹤誤差對(duì)比曲線Fig.3 Range tracking error comparison

圖4 距離跟蹤誤差方差對(duì)比曲線Fig.4 Range tracking variance comparison

圖5 AA-CS的量測(cè)噪聲協(xié)方差曲線Fig.5 Measuring noise covariance value in AA-CS

4 結(jié) 論

本文通過(guò)一階一步迭代線性平滑牛頓預(yù)測(cè)器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)當(dāng)前幀目標(biāo)徑向加速度的預(yù)估，得到了“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型中目標(biāo)機(jī)動(dòng)頻率值的解析解，無(wú)需設(shè)置模型中目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度極限值，即可實(shí)現(xiàn)過(guò)程噪聲協(xié)方差矩陣的自適應(yīng)計(jì)算；并利用簡(jiǎn)化的Sage-Husa濾波器改進(jìn)了“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型，實(shí)現(xiàn)了量測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣的自適應(yīng)更新，有效地拓寬了“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型跟蹤算法的使用范圍，進(jìn)一步增強(qiáng)了實(shí)際工程中的應(yīng)用價(jià)值。