馬煒明 李建祥 郝小輝 朱 翔 王敏剛

（1.蘭州理工大學(xué)電氣工程與信息工程學(xué)院 蘭州 730050）（2.甘肅省公安廳 蘭州 730030）（3.甘肅警察職業(yè)學(xué)院 蘭州 730046）（4.蘭州市公安局 蘭州 730030）

1 引言

圖像修復(fù)是圖像處理的重要組成部分，是近些年比較熱門的研究課題之一，而指紋圖像作為一種特殊的圖像，它在公安安防、生活應(yīng)用等領(lǐng)域都具有很重要的意義［1～3］。在現(xiàn)實(shí)生活中，受到設(shè)備、環(huán)境等因素的影響，獲取的指紋圖像往往是包含各種噪音和紋線斷裂的低質(zhì)量圖像，而現(xiàn)在人們運(yùn)用較多的一些指紋預(yù)處理［4］很難將指紋的斷裂紋進(jìn)行修復(fù)，無法達(dá)到高質(zhì)量的復(fù)原，影響指紋對(duì)比的準(zhǔn)確性；在對(duì)指紋斷裂痕修復(fù)的研究中，人們一般傾向于偏微分方程修補(bǔ)模型在指紋復(fù)原的應(yīng)用［5］。而需要修補(bǔ)的指紋圖像一般情況都是有較復(fù)雜的背景，單一使用偏微分方程修復(fù)很難將指紋斷裂痕連接，容易出現(xiàn)虛假和錯(cuò)搭現(xiàn)象，而MCA 圖像修復(fù)算法將一幅圖像分為結(jié)構(gòu)和紋理兩部分分開修復(fù)，正好解決了這個(gè)問題。本文將對(duì)偏微分方程修補(bǔ)模型中的BSBC 模型［6］、TV 模型［7］、CDD 模型［8］這三種經(jīng)典修復(fù)模型進(jìn)行對(duì)比，結(jié)合MCA 模型，針對(duì)殘缺指紋圖像的特點(diǎn)，采用一種基于MCA 模型的指紋圖像修復(fù)方法，經(jīng)過仿真驗(yàn)證，該算法在處理指紋圖像這種特殊圖像時(shí)，具有很好的修復(fù)效果。

2 傳統(tǒng)偏微分方程修補(bǔ)模型介紹

Bertalmio 在早期藝術(shù)家修復(fù)油畫的思想中得到啟發(fā)，提出了最早的偏微分方程修補(bǔ)模型-BSBC模型［6］，該模型的基本思想是通過把圖像已知區(qū)域的邊界的等照度線向待修復(fù)區(qū)域進(jìn)行延伸而進(jìn)行修復(fù)，這一擴(kuò)散過程保證了不同等照度線的彎曲，從而避免了不同等照度線的相交，不會(huì)讓邊緣結(jié)構(gòu)失真，修復(fù)效果比較接近人的視覺的主觀感受，但是該算法在一些紋理細(xì)節(jié)的處理效果不佳，對(duì)其嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析復(fù)雜。

基于TV 模型的圖像修補(bǔ)算法是Chan等在Rudin 等［7］提出的TV 模型的基礎(chǔ)上推廣到圖像修補(bǔ)的。Chan 等通過擴(kuò)展基于全變分模型的圖像去噪方法，提出了基于全變分模型的圖像修補(bǔ)技術(shù)，該方法通過變分方法求解最小化能量方程，在有噪聲的非紋理圖像的修復(fù)效果非常好。TV 模型的主要優(yōu)點(diǎn)是保持邊緣和數(shù)值PDE實(shí)現(xiàn)方便，但破壞了視覺理論的連接性原理。

在TV 修補(bǔ)模型中，其正則項(xiàng)只懲罰了圖像邊界的長(zhǎng)度，斷裂的條狀結(jié)構(gòu)總是被最短的直線連接，破壞了連接性原則。如圖1 所示，無論w 和l 的比率，圖1 中的（b）為正常狀況下人視覺感受最優(yōu)的修補(bǔ)結(jié)果，對(duì)于TV 模型，當(dāng)l＜w 時(shí)，修補(bǔ)結(jié)果為圖1 中的（b），當(dāng)l＞w 時(shí)，修補(bǔ)結(jié)果為圖1 中的（c），這就破壞了視覺連通性原理，尤其在指紋斷裂痕的修復(fù)中是不適用的。

圖1 修復(fù)示意圖

基于這個(gè)不足點(diǎn)，Chan 和Shen 等又提出了遵循連接性原則的CDD模型［8］。CDD模型將TV模型的傳導(dǎo)系數(shù)修改為D?=g(|κ|)/|?u|，這種選擇可使在大曲率處擴(kuò)散變強(qiáng)，小曲率擴(kuò)散消失，克服了TV模型的缺陷，能有效連接被隔開的細(xì)小條狀物，適合在指紋斷裂痕的連接。

3 MCA算法原理與算法改進(jìn)

雖然CDD 模型在克服了連接性原則，但是對(duì)于指紋這種特殊復(fù)雜紋理圖像很難進(jìn)行修復(fù)，通常狀況下的殘缺指紋圖片包含了復(fù)雜的背景結(jié)構(gòu)，這樣給原本的算法增加了干擾。而MCA 模型將一幅圖分解為了結(jié)構(gòu)部分和紋理部分，很好的解決了這個(gè)問題。本文將在Starck 的MCA 圖像修補(bǔ)模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合指紋圖像的特點(diǎn)，將其中的TV修補(bǔ)模型換為CDD修補(bǔ)模型加以改進(jìn)。

3.1 MCA算法的原理

MCA 模型是一種分解模型，是由Starck 等［9］提出的，該模型利用兩個(gè)能對(duì)結(jié)構(gòu)分量和紋理分量的字典Tt、Tn對(duì)圖像的結(jié)構(gòu)部分和紋理部分進(jìn)行分解［9］。其基本思想是假設(shè)圖像由Xn,Xt構(gòu)成，即圖像的結(jié)構(gòu)和紋理；對(duì)任意輸入的圖像信號(hào)X∈RN，則X=Xn+Xt。其進(jìn)行圖像分解時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為了基于l1最小化范數(shù)問題。

MCA圖像修補(bǔ)模型［10］為

算法步驟：初始化參數(shù)、稀疏修補(bǔ)（利用Xn，重構(gòu)Xt）（利用Xt，重構(gòu)Xn），TV 修補(bǔ)，更新閾值，判斷是否滿足閾值的條件，是則退出，否則重新開始稀疏修補(bǔ)的步驟。

3.2 改進(jìn)后的MCA修復(fù)算法

考慮到文獻(xiàn)［10］中提到的MCA 圖像修補(bǔ)模型中加入了TV算法，其不滿足視覺的連通性原理，不適合指紋圖像的修復(fù)，而CDD 模型符合視覺連通性原理，在此基礎(chǔ)上，本文將CDD 模型應(yīng)用到MCA模型中，采用一種適合指紋圖像修復(fù)的MCA 圖像修復(fù)模型。具體算法如下。

將MCA稀疏分解模型和CDD圖像修復(fù)模型相結(jié)合，同原MCA 修復(fù)模型一樣，先在MCA 分解模型中加入“掩膜矩陣”M，在此基礎(chǔ)上加入CDD修復(fù)模型，得式（2）：

其中是DTCWT，是第二代曲線波變換，整個(gè)過程采用交替最小化的方法。

模型（7）的算法計(jì)算步驟如下：

1）選擇參數(shù)：閾值參數(shù)α，γ和Lmax；收斂參數(shù)ε；初始化=X,=0；令δn,μ′=(1+α2-|μ′|/4)/2γ,δt=γLmax。

2）進(jìn)行迭代：

算法流程圖如圖2所示。

圖2 算法流程圖

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)采用ZKT 光學(xué)指紋采集器采集的121×140 的含有斷裂紋的指紋圖像，分別用CDD 圖像修復(fù)算法、原MCA 圖像修復(fù)算法和改進(jìn)后的MCA 修復(fù)算法對(duì)同一幅指紋圖像進(jìn)行修復(fù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示，其中CDD算法的實(shí)驗(yàn)參數(shù)為p=1.5，a=1.55，K=0.8；原MCA修復(fù)模型和改進(jìn)后的MCA模型實(shí)驗(yàn)參數(shù)為L(zhǎng)max=255,γ∈[0.05,05],α∈[0.1,5]，三種算法的迭代次數(shù)都為300次。

圖3 修復(fù)效果對(duì)比圖

目前的數(shù)字圖像修復(fù)的客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)中，常用的有均方根誤差測(cè)度（RMSE）、信噪比測(cè)度（SNR）、峰值信噪比測(cè)度（PSNR）以及信噪比改進(jìn)測(cè)度（ISNR）等。本文將采用PSNR、和算法運(yùn)行時(shí)間來對(duì)算法進(jìn)行比較。

由圖3 的修復(fù)效果可看出新模型能很好的復(fù)原指紋圖像的斷裂痕，而CDD 模型雖然滿足了連通性原理，但由于修復(fù)過程中背景的復(fù)雜性導(dǎo)致修復(fù)后的紋理模糊，效果不佳，而傳統(tǒng)的MCA 修復(fù)模型由于引入了TV修復(fù)模型，沒有滿足連通性原理，無法對(duì)指紋的斷裂痕進(jìn)行有效修復(fù)。

表1 為CDD 修復(fù)模型、原MCA 修復(fù)模型和改進(jìn)后的MCA 模型對(duì)殘缺圖像處理后的PSNR、算法運(yùn)行時(shí)間的比較。圖4 為三種算法迭代時(shí)間和迭代次數(shù)、PSRN的折線圖。

圖4 圖像修復(fù)時(shí)間與PSRN曲線

表1 三種算法均方根誤差、峰值信噪比與時(shí)間

通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比對(duì)，改進(jìn)后的MCA 算法相對(duì)于原CDD 算法不僅縮短了修復(fù)時(shí)間，而且修復(fù)效果上有了提升；而傳統(tǒng)MCA 算法雖然有更快的修復(fù)速度，但是新算法在修復(fù)效果上具有更好的響應(yīng)。

5 結(jié)語

本文結(jié)合MCA 圖像修補(bǔ)模型和偏微分方程在指紋修復(fù)的兩大優(yōu)點(diǎn)，將MCA 模型和CDD 圖像修復(fù)模型相結(jié)合，采用了一種適合修復(fù)指紋斷裂痕的圖像修復(fù)模型，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)對(duì)比和最終的數(shù)據(jù)比較，新模型在修復(fù)指紋斷裂痕這種特殊圖像時(shí)具有很好的效果，在實(shí)際應(yīng)用中具有很好的前景。