段艷明 肖輝輝 譚黔林 趙翠芹

（河池學院大數(shù)據(jù)與計算機學院 河池 546300）

1 引言

隨著科學技術(shù)的日新月異，云計算、人工智能、5G、傳感網(wǎng)、大數(shù)據(jù)和腦科學等眾多新技術(shù)新理論和社會經(jīng)濟的高速發(fā)展，許多科學研究和實際工程問題日益復雜化，其各領(lǐng)域中所涉及的各類復雜優(yōu)化問題的處理，越發(fā)成為社會各行各業(yè)迫切需要解決的問題，這些問題的求解對優(yōu)化技術(shù)提出了更高的要求，即求解精度要高，計算速度要快，穩(wěn)定性要好，而傳統(tǒng)的優(yōu)化方法（如Lagrange 乘數(shù)法及單純形法等）在解決這些復雜優(yōu)化問題時存在計算精度不高且耗時過長等不足。為了解決這些求解優(yōu)化問題存在的瓶頸，人類需要尋求新的方法和途徑。受自然界進化規(guī)律和生物群體智能行為的啟發(fā)，一系列智能算法不斷被提出，并且由于這些元啟發(fā)式智能算法具有不需要傳統(tǒng)優(yōu)化方法所需要的連續(xù)、可微等限制條件的優(yōu)點，這為解決復雜的優(yōu)化問題提供了一種新途徑和新思路。

依據(jù)顯花植物繁殖機理，Yang 設(shè)計了一種名為花授粉算法（Flower Pollination Algorithm，F(xiàn)PA）的智能優(yōu)化算法［1］，由于該算法實現(xiàn)過程簡單且具有較好的全局探索和局部開采平衡能力等優(yōu)點，使其在大量優(yōu)化領(lǐng)域取得了成功應用。當前，該算法已被成功應用到企業(yè)投資分配［2］、醫(yī)學［3］、能源［4～7］、傳感網(wǎng)［8］等領(lǐng)域。然而該算法與其他智能算法一樣，也存在一些不足，如算法演化后期計算速度慢、容易早熟，尋優(yōu)精度不高，魯棒性差等缺陷，導致其在解決大量復雜優(yōu)化問題時獲得的結(jié)果不盡人意。為了克服這些算法存在上述的不足，提高其收斂能力，當前眾多學者依據(jù)各種智能算法的特征和優(yōu)缺點，運用了諸多的策略和方法對其進行了改進，構(gòu)建了許多優(yōu)化能力更強的新算法模型，使得大量的工程優(yōu)化問題得到更好的解決。因此，許多學者也對FPA 算法進行了深入改進研究，如Singh等［9］利用函數(shù)適應度值對轉(zhuǎn)換概率p 進行動態(tài)調(diào)整，并取得了較好的效果；Tawhid 等［10］利用鯨魚優(yōu)化算法的搜索獵物策略和攻擊獵物方法替換了FPA 算法的全局搜索策略，構(gòu)建了一種新的混合算法WOFPA（Whale Optimization Algorithm and Flower Pollination Algorithm），其性能與對比算法相比，得到了一定程度的提升，但該算法增加了較多的參數(shù)，降低了算法的靈活性，并只在低維上驗證了其性能的優(yōu)越性，沒有在高維得到驗證，使其缺少了說服力；Gálvez等［11］為了改進標準FPA 算法在優(yōu)化多模態(tài)問題時，僅依靠其萊維飛行策略和授粉穩(wěn)定性機制無法找到多個最優(yōu)解的缺點，提出一種多模態(tài)花授粉算法MFPA（Multimodal Flower Pollination Algorithm），其思想是在基本花授粉的基礎(chǔ)上加入記憶機制識別潛在的全局和局部最優(yōu)解，引入一種新的選擇機制確保解的多樣性，融入凈化記憶處理方法循環(huán)消除重復的解，通過對14 個標準測試函數(shù)的優(yōu)化，驗證了其有效性，且性能優(yōu)于對比算法；El-Shahat 等［12］提出了一種改進的花授粉算法，該算法利用懲罰函數(shù)對每個解進行評估，對解中的不可行解運用FRIO（Flower Repair and Improve Operator）進行處理，經(jīng)過全局搜索或者局部搜索后，產(chǎn)生的新解再與全局最優(yōu)解進行交叉操作，然后采用S函數(shù)對改進算法進行離散化，并對多維背包問題進行求解，其優(yōu)化性能要強于對比算法。

從上述可知，當前的改進方法對FPA算法的優(yōu)化性能具有一定的提升，但這些改進的FPA算法的優(yōu)化能力還有較大的提升空間，且一些改進策略降低了算法的靈活性和增加了算法的復雜性。為此，本文提出了一種自適應骨干花授粉算法（Adaptive Bare Bones Flower Pollination Algorithm，ABFPA），算法把骨干思想利用到FPA算法的局部搜索部分，通過自適應搜索中心的高斯變異對花朵個體進行位置更新，在此基礎(chǔ)上進一步利用指數(shù)變異進行位置優(yōu)化；同時，在保留基本FPA 算法的個體信息共享思想的基礎(chǔ)上增加信息共享的個體數(shù)量，更大程度上進行個體的有效信息交換。實驗結(jié)果表明ABFPA 算法簡單且高效，尋優(yōu)效果好，收斂速度快，魯棒性好，與現(xiàn)有經(jīng)典的改進FPA算法相比，亦顯示出良好的競爭力。

2 FPA算法的優(yōu)化原理與優(yōu)劣

FPA 算法是依據(jù)顯花植物繁殖機理而設(shè)計的一種優(yōu)秀的智能優(yōu)化算法。從其仿生原理可知，其全局搜索策略是模擬植物繁殖的異花授粉過程，而植物異花傳粉過程具有萊維飛行特征，這使FPA算法具有良好的探索能力，F(xiàn)PA 算法的局部搜索機制是源于植物繁殖的自花授粉過程。同時，學者Yang 通過參數(shù)p 較好地處理了算法的探索和開采的平衡問題。

然而，從算法的局部搜索方程可知，其局部搜索是通過兩個隨機的個體進行信息共享，增強了算法的種群多樣性，但單純地通過兩個隨機個體的信息共享來實現(xiàn)局部搜索，缺少個體位置更新的引導性，信息共享程度低，因此，F(xiàn)PA算法的局部優(yōu)化能力較弱，制約著算法的優(yōu)化性能。

3 自適應骨干花授粉算法

針對FPA 算法的局部搜索方程存在的不足和骨干思想的優(yōu)點，本文提出了把骨干思想融入到FPA 算法的局部搜索策略中，運用高斯變異的隨機分布策略來保持種群的多樣性，同時對高斯分布的搜索中心進行自適應調(diào)整，達到個體根據(jù)算法的進化程度來進行高斯變異；高斯變異增強了種群多樣性，但分散的個體也導致局部搜索速度和精度降低，并易脫離全局最優(yōu)位置，為此在高斯變異的基礎(chǔ)上進一步進行指數(shù)變異，使個體即保持多樣性又較集中在最優(yōu)區(qū)域，從而提高算法的局部搜索速度和精度；另外，通過0.5 的概率進行二分交叉，對FPA 算法的局部搜索方程再增加一個隨機個體，通過兩組個體的差分矢量來擾動個體的進化，進而更大程度上增強了種群的多樣性和開采能力。

3.1 自適應搜索中心高斯變異

依據(jù)PSO算法的仿生原理可知，種群在演化過程中每個解都要利用進化中的兩個最優(yōu)個體（全局和個體）進行更新，文獻［13］提出每個種群個體都收斂于其自身的歷史最優(yōu)值和全局最優(yōu)值的加權(quán)平均值，與算法的參數(shù)設(shè)置關(guān)系不大。在此基礎(chǔ)上，2003年Kenedy等提出BBPSO算法，該算法中的高斯分布是以pbest和gbest為兩點的固定模式進行搜索，而錯過了所有有效區(qū)域或盡可能多的區(qū)域，忽略了種群中的普通個體，未能利用到更多個體所攜帶的有用信息，限制了種群的多樣性和算法的優(yōu)化性能，導致算法易陷入局部極值，這是現(xiàn)有的骨干算法存在的主要問題。另外，由于事先并不知道pbest和gbest的相對位置，當算法陷入局部最優(yōu)時，依靠隨機產(chǎn)生的變異個體來跳出局部極值具有一定的難度。針對以上分析，本文把骨干思想引入FPA 算法的同時對高斯變異的搜索中心均值μ和方差δ進行自適應調(diào)整，增強花朵個體的多樣性。

首先，確定花朵i在d維進行更新時的榜樣花朵xm。利用式（1）計算變量b，隨機產(chǎn)生一個數(shù)a∈(0,1)，若a＞b，xm為當前種群中的一個隨機花朵，否則，xm為全局最優(yōu)花朵，如式（2）所示：

其中，xi是隨機花朵個體，xbest是全局最優(yōu)花朵個體。

接著，確定高斯分布的均值μ。以最小化問題為例，按照式（3）～（6）計算μ的取值范圍[μmin,μmax]，按式（7）得到高斯分布的均值μ：

式（3）中的fmax和fmin分別為當前種群的最大值和最優(yōu)值，其擴展因子w的范圍為（-1，1）。當花朵i優(yōu)于榜樣花朵m時，有f(xm)＞f(xi)，w為正值，μ值向著當前花朵i的方向擴展；當花朵i劣于榜樣花朵m時，有f(xm)＜f(xi)，w為負值，μ值向著榜樣花朵m的方向擴展。在算法迭代初期，種群較為分散，花朵i遠離榜樣花朵m，則xi和xm相差較大，f(xm)和f(xi)的差異也較大，擴展因子 ||w也較大，進而B2值也較大，最終使得μ的取值范圍中較多地為較優(yōu)花朵的區(qū)域，更多地關(guān)注了較優(yōu)花朵；隨著迭代的進行，種群趨于集中，xi和xm的差異逐漸減小，f(xm)和f(xi)的差異也逐漸減小，擴展因子 ||w較小，μ的取值范圍也逐漸縮小。因此，自適應高斯變異的方差μ滿足算法前期的勘探能力和后期的開采能力的性能要求。

然后，確定高斯分布的方差δ。若花朵i即為上一代的最優(yōu)個體，則根據(jù)式（8）計算方差δ，否則，按式（9）計算方差δ：

其中，Ub為函數(shù)的取值范圍的上限，Lb為函數(shù)的取值范圍的下限，xi為當前花朵位置。

最后，通過式（10）得到高斯分布的花朵位置：

3.2 指數(shù)變異

通過高斯分布得到隨機的花朵個體，很大程度上增大了種群中每個個體之間的差異性，從而達到改善算法的局部搜索能力，但也在某種程度上降低了算法的局部搜索速度和精度。因此，本文在高斯分布的基礎(chǔ)上再采用指數(shù)變異，使高斯分布的隨機個體進一步向最優(yōu)位置靠攏。指數(shù)公式為

3.3 個體信息共享

標準FPA 算法的局部授粉（優(yōu)化）部分是單純通過隨機的兩個個體之間的矢量差來進行信息共享，在本文算法中除了通過高斯變異和指數(shù)變異來改進局部優(yōu)化部分外，還遵循了標準FPA算法的局部授粉（優(yōu)化）思想，依然利用了個體信息的共享，只不過在此基礎(chǔ)上，通過0.5的概率進行二分叉，當產(chǎn)生的隨機數(shù)小于0.5 時進行高斯變異和指數(shù)變異，否則把進行信息共享的個體增加到3個，通過1組1個隨機個體與當前個體的差分矢量和1組兩個隨機個體的差分矢量來擾動個體的進化，這樣就更大程度上提高了個體信息的共享程度，個體信息共享的公式為

其中，ε1，ε2 分別是［0，1］上服從均勻分布的隨機數(shù)，是在種群中隨機選擇的三個個體。這樣，當產(chǎn)生的隨機數(shù)大于0.5時，利用式（12）替換FPA 算法中的局部搜索方程進行個體間的信息共享。

3.4 ABFPA算法步驟

根據(jù)以上分析，ABFPA 算法的具體實施步驟如下。

step1：對ABFPA 算法的參數(shù)n、p、D、Max_iter賦初值；

step2：求解每個解的值，并記錄所有值中的最小值或最大值和其相應的解

step3：如果p＞rand，執(zhí)行全局搜索，并判斷新產(chǎn)生的解是否越界，如果越界做越界處理；

step4：如果p＜rand，生成隨機變量r；

step5：當r＜0.5，則執(zhí)行step6，否則執(zhí)行step8；

step6：利用式（10）對個體的位置進行更新；

step7：對step6 的個體再運用式（11）對其位置進行更新；

step8：采用式（12）對個體的位置進行更新；

step9：對step7 或step8 產(chǎn)生的新解做越界處理；

step10：求解step3或step7或step8產(chǎn)生的新解的值，并記錄所有值中的最小值或最大值和其相應的解；

step11：如迭代次數(shù)大于閾值Max_iter，則進化結(jié)束，并輸出所有解中的最優(yōu)解和其相應的適應度值，否則，轉(zhuǎn)step3繼續(xù)演化。

從上述ABFPA 算法的進化過程可知，ABFPA算法與基本FPA算法的框架基本類似，但對其局部搜索部分進行了改進，以0.5的概率進行二分叉，一部分進行自適應搜索中心高斯變異和指數(shù)變異，另一部分增加了進行信息共享的個體。

4 實驗仿真及分析

為了驗證本文算法的有效性、可行性和正確性，本文對四類典型的優(yōu)化測試函數(shù)（求解問題）進行求解，函數(shù)的詳情見表1，且本文對所求函數(shù)的解都是求其最小值。為了全面客觀評價新算法的性能優(yōu)勢，本文運用新算法與現(xiàn)有經(jīng)典的改進FPA算法對比實驗及分析，具體包括：1）收斂精度對比分析；2）非參數(shù)統(tǒng)計檢驗；3）穩(wěn)定性和收斂速度對比分析，還包括基本FPA算法的對比。

表1 本文采用的典型測試函數(shù)

4.1 解的質(zhì)量對比分析

為了測試ABFPA 算法與現(xiàn)有經(jīng)典的改進FPA算法在性能上是否具有不錯的競爭力，本文選用目前有代表性的四種改進算法進行對比，分別是混合差分進化花授粉算法（a hybrid differential evolution-flower pollination algorithm，DE-FPA）［14］，基于精英反向?qū)W習的花授粉算法（Elite Opposition-based Flower Pollination Algorithm，EOFPA）［15］，改進的花授粉算法（Modified Flower Pollination Algorithm，MFPA）［16］，基于廣義反向?qū)W習的改進花授粉算法（Modified Generalised Oppsition-based Flower Pollination Algorithm，MGOFPA）［16］。

本文的所有參數(shù)值分別設(shè)立為種群大小n=50，最大演化次數(shù)Max_iter=200；所有算法的參數(shù)p取相同的值0.8，其他參數(shù)取自相關(guān)文獻中；DE-FPA 算法的參數(shù)CR 和F 分別取值為0.9 和0.5。為了降低實驗偏差，每種對比算法在其每個求解問題上都單獨執(zhí)行30 次。各種對比算法的尋優(yōu)結(jié)果如表2 所示，其中“-/≈/?”符號分別表明本文算法的收斂精度低于、相當于或高于對比優(yōu)化算法，“w/t/l”符號分別說明ABFPA算法與對比算法對比，在求解問題上，有w 個優(yōu)化結(jié)果好于比較算法，有t個尋優(yōu)結(jié)果與比較算法相當，有l(wèi)個優(yōu)化效果劣于比較算法，最優(yōu)結(jié)果用加粗凸顯。

對表2進行分析可知，在12個函數(shù)中，ABFPA、EOFPA、MGOFPA 算法各自取得7 個、5 個和1 個理論解，其他算法都沒取得理論解，這表明ABFPA 算法的尋優(yōu)能力明顯好于其他算法。算法具體在4類求解問題上的求解結(jié)果是在第1 類測試函數(shù)上，ABFPA、MGOFPA 和EOFPA 算法分別獲得了4 個、1 個和兩個理論解，其他兩個算法均沒有達到理論解，這表明ABFPA 比對比算法更適合用來求解這類問題；對于第2 類多峰高維函數(shù)，ABFPA 算法與EOFPA 算法的效果基本持平，優(yōu)勢不是很大，但要優(yōu)于其他對比算法，且從表4 中的函數(shù)f7的平均迭代次數(shù)可知，ABFPA 算法的求解速度要顯著快于比較算法；在第3 類低維多峰的函數(shù)中，ABFPA 算法優(yōu)勢不大；在第4 類多峰帶旋轉(zhuǎn)的高維函數(shù)上，ABFPA 算法和EOFPA 算法性能相當，但遠遠好于其余算法。ABFPA 算法的收斂性能總體上要明顯地優(yōu)于對比算法，展示出了較強的競爭力。

表2 5種改進算法的優(yōu)化均值偏差和標準差

4.2 Friedman檢驗

為了更客觀評價對比算法的綜合性能，本文采用非參數(shù)統(tǒng)計檢驗（Friedman 檢驗）進行實驗對比分析，其結(jié)果如表3 所示。對比算法的Rankings 值越小，其性能表現(xiàn)越突出，則排名越前。

從表3 中可知，ABFPA 算法的Rankings 值最小，在所有對比算法中，排在第一位，這表明ABFPA 算法的整體性能好于其他算法，具有良好的角逐力。

表3 5種FPA的Friedman檢驗（D=30，4）

4.3 魯棒性和收斂速度對比分析

為了對ABFPA 算法的穩(wěn)定性和收斂速度進行分析，驗證其穩(wěn)定性和求解速度的優(yōu)勢，實驗結(jié)果如表4 所示。本文在每個求解問題上都設(shè)置了一個尋優(yōu)精度邊界值，若每種對比算法收斂到上述設(shè)定的閾值（邊界值）且進化代數(shù)已大于一定的代數(shù)（本文設(shè)置為3000），則斷定該算法對該求解問題尋優(yōu)失??；其他參數(shù)設(shè)置同上，對比算法在每個求解問題上獨立執(zhí)行30 次；計算出SR（執(zhí)行成功率，執(zhí)行成功率=算法找到求解精度邊界值所需要的代數(shù)/算法總的執(zhí)行代數(shù)）值和mean_iter（平均進化代數(shù)）值，對比算法的SR 越大且mean_iter 越小，其性能越優(yōu)，表4 中符號“NA”表示對比算法尋優(yōu)受挫，最優(yōu)結(jié)果用加粗凸顯。

表4 6種算法的尋優(yōu)成功率及平均迭代次數(shù)

從表4 的最后一行的平均尋優(yōu)成功率和收斂迭代次數(shù)可以看出，F(xiàn)PA 和MFPA 算法的平均尋優(yōu)成功率為0%；ABFPA 的尋優(yōu)成功率為87%，均收斂迭代次數(shù)為418，較明顯地優(yōu)于對比算法。這說明ABFPA 算法的穩(wěn)定性最強，ABFPA 算法的求解速度是所有算法中最快的。

5 結(jié)語

本文對基本FPA 算法的搜索策略進行了理論分析，發(fā)現(xiàn)其存在著的不足，制約著該算法的優(yōu)化性能。為了提高其收斂能力，本文提出了一種自適應骨干花授粉算法。為了驗證新算法的有效性和先進性，從解的質(zhì)量、魯棒性和收斂速度等多方面進行了實驗對比分析，實驗結(jié)果驗證了改進算法是行之有效的。通過較豐富的實驗結(jié)果證明，與具有代表性的其他改進算法相比，新算法的優(yōu)化能力具有一定的優(yōu)勢。

在今后的工作中，如何利用新算法來處理能源、運輸?shù)葘嵺`中各類復雜的優(yōu)化問題進行進一步研究。