劉詩(shī)嘉，李 琦，高一天，黃在堂

(南寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 南寧 530100)

1 引言

植物和傳粉者之間的相互作用是非常有趣和復(fù)雜的.這兩個(gè)物種相互依賴，植物為傳粉者提供食物，傳粉者在獲得食物(花粉、花蜜或兩者兼而有之)的過(guò)程中為植物傳粉.這種互動(dòng)關(guān)系通常被歸類為互惠互利關(guān)系.植物物種依靠傳粉者獲得繁殖成功，從而物種生存下來(lái)，而傳粉者依靠植物獲得食物資源.在極端情況下，兩個(gè)物種都離不開(kāi)另一個(gè)物種[1，2].

1976年， May[3，4]首先提出了一個(gè)植物傳粉者模型，模擬了植物與其傳粉者之間具有義務(wù)關(guān)系的相互作用.為了避免模型出現(xiàn)不切實(shí)際的種群增長(zhǎng)，May將植物從傳粉者身上獲得的益處和產(chǎn)生的曲線等位線的飽和效應(yīng)結(jié)合起來(lái).他最后解釋了為什么在溫帶生態(tài)系統(tǒng)中，義務(wù)共生不如在熱帶生態(tài)系統(tǒng)中突出.由于食草動(dòng)物以花為食，因而降低了許多植物物種的繁殖成功率，這一點(diǎn)已經(jīng)得到了充分的證明.成功率的降低主要是由于配子的丟失.然而，花被食草動(dòng)物攻擊可能會(huì)通過(guò)減少傳粉者的服務(wù)間接地阻礙植物的繁殖[5-8].因?yàn)閭鞣壅邔?duì)花的形態(tài)變化有反應(yīng).當(dāng)食草動(dòng)物攻擊花朵時(shí)，造成的破壞會(huì)降低每朵花的廣告屬性，減少每次展示的花朵數(shù)量，降低傳粉者的獎(jiǎng)勵(lì).傳粉者對(duì)植物的訪問(wèn)次數(shù)減少可能會(huì)導(dǎo)致植物繁殖成功率降低.Jang[9]以植物傳粉者模型為基礎(chǔ)，將一種食草動(dòng)物物種引入該系統(tǒng).具體來(lái)說(shuō)，他將生物學(xué)觀察納入模型，并提出了食草動(dòng)物植物傳粉者模型.此后，Sánchez-Garduo等人[10-15]討論食草動(dòng)物植物傳粉者模型的動(dòng)力學(xué).

最近(2019年)，Castellanos[16]提出了一個(gè)非線性食草動(dòng)物植物傳粉者數(shù)學(xué)模型，用于描述三個(gè)同質(zhì)種群：兩個(gè)共生種群，第三個(gè)種群早于兩者的某一個(gè).該模型即食草動(dòng)物-傳粉昆蟲(chóng)-植物模型

(1.1)

其中g(shù)∈C1[0,∞],g(0)=1,g′(z)≤0,g(z)>0,?z≥0,且S,f,h分別表示

其中，x,y,z分別表示傳粉昆蟲(chóng)、植物和食草動(dòng)物在t時(shí)刻的種群密度.k1為每次授粉的效率常數(shù)，μ為傳粉昆蟲(chóng)每次訪問(wèn)植物獲得的能量獎(jiǎng)勵(lì)，α為植物死亡率.k表示傳粉昆蟲(chóng)的多樣性水平即傳粉昆蟲(chóng)對(duì)于植物的專一性，當(dāng)k=0時(shí)，沒(méi)有植物，從而傳粉昆蟲(chóng)不能生存；當(dāng)k遠(yuǎn)大于0 時(shí)，授粉昆蟲(chóng)的數(shù)量基本沒(méi)有變化.φ為一個(gè)與采蜜速度成反比的常數(shù)，k2是能量轉(zhuǎn)化常數(shù).b為密度相關(guān)調(diào)節(jié)常數(shù)，m1為食草動(dòng)物最大攝食率，m2為食草動(dòng)物最大出生率，a,c為與食草動(dòng)物攝食量有關(guān)的參數(shù).β為食草動(dòng)物死亡率，與種群密度無(wú)關(guān).g(z)表示傳粉昆蟲(chóng)訪問(wèn)率的減少量，與食草動(dòng)物的種群密度有關(guān).

由于自然界中的種群系統(tǒng)不可避免地遭受突然的環(huán)境干擾，如火山爆發(fā)、海嘯、臺(tái)風(fēng)、地震等[17-20]，因此，在種群模型中引入爆噪聲或泊松噪聲來(lái)描述這種連續(xù)或不連續(xù)系統(tǒng)是很自然的[21-25].但目前很多種群系統(tǒng)都是確定性的，它們的演化完全由初始數(shù)據(jù)決定，這顯然與自然界的現(xiàn)象不一致.在對(duì)確定性食草動(dòng)物植物傳粉者模型研究過(guò)程中，人們?nèi)菀缀雎宰匀唤缰杏捎诠庹?、水分、空氣、溫度、濕度等環(huán)境因素對(duì)物種生存的影響，這些因素都可能導(dǎo)致食草動(dòng)物植物傳粉者模型中種群密度的隨機(jī)波動(dòng).因此，在食草動(dòng)物植物傳粉者模型中引入適當(dāng)?shù)沫h(huán)境噪聲因素，能使對(duì)食草動(dòng)物植物傳粉者模型的研究更加貼近實(shí)際.因此，本文考慮具有非中心泊松噪聲的隨機(jī)食草動(dòng)物植物傳粉者模型

(1.2)

其中σi(i=1,2,3)是噪聲強(qiáng)度，γi(t,u),δi(t,u)(i=1,2,3)是正的連續(xù)有界函數(shù).ωi(t)(i=1,2,3)是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)一維維納過(guò)程，Ni(dt,du)(i=1,2,3)是相互獨(dú)立的泊松過(guò)程，且泊松過(guò)程與維納過(guò)程相互獨(dú)立.設(shè)νi(A)(i=1,2)是博雷爾集A在上的有限測(cè)度.令E[Ni(t,A)]=tνi(A)(i=1,2)，則用S,f,h分別表示

2 正解存在唯一性

令概率空間為(Ω,F,P),ωi(i=1,2,3,t≥0)是在概率空間上相互獨(dú)立的一維標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程.在概率空間(Ω,F,P)上定義相互獨(dú)立的且與維納過(guò)程相互獨(dú)立的泊松過(guò)程N(yùn)i(dt,du)(i=1,2,3).

假設(shè)H1對(duì)于γi(t,u),δi(t,u),σi(t)(i=1,2,3),a(t),b(t),c(t),k(t),k1(t),k2(t),m1(t),m2(t),α(t),β(t),μ(t),φ(t)均為連續(xù)有界的關(guān)于t的函數(shù)，且這些函數(shù)的下確界均大于0.

假設(shè)H2ln(1+γi(t,u)),ln(1+δi(t,u))(i=1,2,3)是有界的,νi()<∞,i=1,2.

(2.1)

P{τ∞≤T}>,

則存在整數(shù)n1≥n0使得

P{τn≤T}>, ?n≥n1.

(2.2)

在假設(shè)H1和假設(shè)H2成立條件下，由式(2.1)可以得到

(2.3)

V(x,y,z)=q1(x-1-lnx)+q2(y-1-lny)+q3(z-1-lnz).

運(yùn)用伊藤公式，可以得到

dV(x(t),y(t),z(t))=LV(x(t),y(t),z(t))dt+q1σ1(t)(x(t)-1)dω1(t)+

q2σ2(t)(y(t)-1)dω2(t)+q3σ3(t)(z(t)-1)dω3(t)+

(2.4)

其中

(μ(t)φ(t)y(t)+1)-1[q1k2(t)μ(t)y(t)(x(t)-1)+

y(t))-1[q3m2(t)y(t)(z(t)-1)-q2m1(t)z(t)(y(t)-1)]+

(2.5)

對(duì)式(2.5)進(jìn)行整理，可得

LV(t,x,y,z)=ζ1(t,x)+ζ2(t,y)+ψ1(t,x,y)+ψ2(t,z,y),x>0,y>0,z>0,

(2.6)

其中

q2k1(t)μ(t)g(z)xy-q2a(t)α(t)y-q3m2(t)y+q2k1(t)a(t)μ(t)g(z)x},

[-(q2m1(t)-q3m2(t))μ(t)φ(t)zy2+q2m1(t)μ(t)φ(t)zy-

(q2m1(t)-q3m2(t))zy+q2m1(t)z]-q3β(t)z.

根據(jù)假設(shè)H1和假設(shè)H2有，存在一個(gè)常數(shù)L1(q1,q2,q3)>0，使得以下不等式成立：

(2.7)

同理，根據(jù)假設(shè)H1和假設(shè)H2有，存在一個(gè)常數(shù)L2(q1,q2,q3)>0，使得

(q1k2sup+q2k1supgsup(z))asupμsupxy]≤L2(q1,q2,q3).

(2.8)

(q3m2sup-q2m1inf)zy+q2m1supμsupφsupzy+q2m1supz]≤

(2.9)

根據(jù)式(2.5)～(2.9)，可得到

LV(x(t),y(t),z(t))≤L(q1,q2,q3)+3C1+3C2,

(2.10)

其中

L(q1,q2,q3)=L1(q1,q2,q3)+L2(q1,q2,q3)+L3(q2,q3),

根據(jù)式(2.4)和(2.10)，可獲得

V(x(τn∧T),y(τn∧T),z(τn∧T))≤V(x(0),y(0),z(0))+L(q1,q2,q3)(T∧τn)+

(2.11)

對(duì)式子(2.11)兩邊取期望，有

E[V(x(τn∧T),y(τn∧T),z(τn∧T))]≤

V(x(0),y(0),z(0))+L(q1,q2,q3)T.

(2.12)

從而，根據(jù)式(2.12)，可以得到

(2.13)

∞>V(x(0),y(0),z(0))+L(q1,q2,q3)T=∞.

因此τ∞=∞幾乎處處成立.

3 滅絕性

本節(jié)主要討論具有非中心泊松噪聲的隨機(jī)草食動(dòng)物植物傳粉者模型(1.2)的滅絕性.

引理3.1若假設(shè)H1和H2成立，則植物種群數(shù)量y(t)滿足

證明根據(jù)伊藤公式，可以得到

(3.1)

其中

由鞅不等式，對(duì)于任意的T>0,0<κ≤1,η>0，有

其中

令T=jτ,j∈,τ>0,κ=e-jτ,η=θejτlnj,θ>1，則有

即

根據(jù)不等式y(tǒng)r≤1+r(y-1),?y≥0,0≤r≤1，可以得到

(3.2)

(3.3)

(3.4)

由定理2.1的證明可知，對(duì)于任意的x,y>0，存在一個(gè)獨(dú)立于j,s,x,y的常數(shù)L>0，使得

由(3.4)可以得到，對(duì)于任意的(j-1)τ≤t≤jτ,k≥k0(ω),有

因此

若θ↓1,τ↓0，則可以得到

從而有

引理3.1證明完畢.

引理3.2若假設(shè)H1和H2成立，則食草動(dòng)物種群數(shù)量z(t)滿足

證明由伊藤公式，可以得到

其中

類似于引理3.1的證明方法，由鞅不等式可得，對(duì)于任意的T>0,0<κ≤1,η>0，有

其中

令T=jτ,j∈,τ>0,κ=e-jτ,η=θejτlnj,θ>1，則有

對(duì)于足夠大的j≥j0(ω),0≤t≤jτ，根據(jù)Borel-Cantelli引理可以得到

(3.5)

對(duì)于任意的(j-1)τ≤t≤jτ,k≥k0(ω),由(3.5)可以得到

因此

若θ↓1,τ↓0，則可以得到

故有

引理3.2證明完畢.

引理3.3若假設(shè)H1和假設(shè)H2成立，則傳粉昆蟲(chóng)種群密度x(t)滿足

證明由伊藤公式，可以得到

其中

類似于引理3.1的證明方法，可以得到

令T=jτ,j∈,τ>0,κ=e-jτ,η=θejτlnj,θ>1，則有

對(duì)于足夠大的j≥j0(ω),0≤t≤jτ,根據(jù)Borel-Cantelli引理可以得到

(3.6)

由(3.6)可以得到，對(duì)于任意的(j-1)τ≤t≤jτ,k≥k0(ω)，有

因此

若θ↓1,τ↓0，則可以得到

因而有

引理3.3證明完畢.

其中

證明由伊藤公式，可得

(3.7)

其中

由式(3.7)，可得

(3.8)

即

(3.9)

對(duì)(3.9)兩邊從t0到t進(jìn)行積分，得到

從而

所以

由于ε>0，且x(t)>0 a.s.,故有

定理3.4證明完畢.

其中

證明由伊藤公式，可得

(3.10)

其中鞅為

且

由局部鞅的強(qiáng)大數(shù)定律[22]，可知

由于y(t)>0，a.s.，因此

定理3.5證明完畢.

其中

證明運(yùn)用伊藤公式，可得

[k1(t)μ(t)x(t)-α(t)+D2(t)]dt+dMy(t),

(3.11)

其中

由局部鞅的強(qiáng)大數(shù)定律，可知

由于y(t)>0，a.s.,因此

定理3.6證明完畢.

其中

證明根據(jù)伊藤公式，可得

(3.12)

其中

由局部鞅的強(qiáng)大數(shù)定律可知

由于z(t)>0，a.s.,因此

定理3.7證明完畢.

4 持久性

本節(jié)主要討論具有非中心泊松噪聲的隨機(jī)草食動(dòng)物植物傳粉者模型(1.2)的持久性.

引理4.1若假設(shè)H3和假設(shè)H4成立，令p>0，則有：

(1) 對(duì)于任意的初值x0>0，傳粉昆蟲(chóng)的種群密度的p階矩滿足

其中K1(p)>0且與初值x0無(wú)關(guān).

(2) 對(duì)于任意的初值y0>0，植物的種群密度的p階矩滿足

(4.1)

其中K2(p)>0且與初值y0無(wú)關(guān).

(3) 對(duì)于任意的初值z(mì)0>0，食草動(dòng)物的種群密度的期望滿足

(4.2)

其中K3>0且與初值z(mì)0無(wú)關(guān).

證明(1) 根據(jù)定理2.1的停止時(shí)間τn的定義，對(duì)過(guò)程V(t,y(t))=etxp(t),p>0，運(yùn)用伊藤公式，可以得到

(4.3)

若假設(shè)H1和H2成立，則存在一個(gè)常數(shù)K1(p)>0，使得下式成立：

(4.4)

由(4.3)和(4.4)，對(duì)(4.3)取期望，可以得到

E[V(t∧τn,x(t∧τn))]≤xp(0)+K1(p)E[et∧τn]≤xp(0)+K1(p)et.

令n→∞,則有估計(jì)

etE[xp(t)]≤xp(0)+K1(p)et,

即

(2) 與(1)同理，對(duì)于式(4.1)，對(duì)過(guò)程V(t,y(t))=etyp(t),p>0，運(yùn)用伊藤公式，可以得到

p[k1(s)x(s)f(y(s))g(z(s))-m1(s)z(s)h(y(s))-α(s)]+

(4.5)

若假設(shè)H1和H2成立，則存在一個(gè)常數(shù)K2(p)>0，使得下式成立：

esyp(s){1+p[k1(s)x(s)f(y(s))g(z(s))-m1(s)z(s)h(y(s))-α(s)]+

(4.6)

由(4.5)和(4.6)，對(duì)(4.5)取期望，可以得到

E[V(t∧τn,y(t∧τn))]≤yp(0)+K1(p)E[et∧τn]≤yp(0)+K2(p)et.

令n→∞，則有估計(jì)

etE[yp(t)]≤yp(0)+K2(p)et.

即

(3) 對(duì)于(4.2)，對(duì)過(guò)程

U(t,(x(t),y(t),z(t)))=et[q1x(t)+q2y(t)+q3z(t)],qi>0,i=1,2,3,

運(yùn)用伊藤公式可以得到

dU(t,(x(t),y(t),z(t)))=et{q1x(t)+q2y(t)+q3z(t)+

q1[k2(t)x(t)y(t)f(y(t))+x(t)S(x(t))]+q2[k1(t)x(t)y(t)f(y(t))g(z(t))-

y(t)m1(t)z(t)h(y(t))-α(t)y(t)]+q3[m2(t)z(t)y(t)h(y(t))-β(t)z(t)]+

et[q1σ1(t)x(t)dω1(t)+q2σ2(t)y(t)dω2(t)+q3σ3(t)z(t)dω3(t)]+

對(duì)于函數(shù)

f1(x)+f2(x,y)+f3(z,y),

(4.7)

其中

f(t,x,y,z)≤L.

(4.8)

由(4.7)和(4.8)，對(duì)(4.7)取期望，可以得到

E[U(t∧τn,x(t∧τn),y(t∧τn),z(t∧τn))]≤

令n→∞，則有估計(jì)

于是

引理4.1證明完畢.

引理4.2若D3inf>βsup-m2inf，即f3inf>0,f3(t)=m2(t)-β(t)+D3(t),則對(duì)任意的初值z(mì)0>0，食草動(dòng)物的種群密度z(t)滿足

其中

(4.9)

當(dāng)0<θ<1時(shí)，根據(jù)(4.9)和伊藤公式，得到

(4.10)

在假設(shè)H1和H2下，根據(jù)不等式(x+y)θ≤xθ+θxθ-1y,0<θ<1,x,y>0，知存在常數(shù)|K1(θ)|<∞,|K2(θ)|<∞，使得(4.9)中的Q(t)滿足

K1(θ)U(t)+K2(θ)=-K0(θ)U2(t)+K1(θ)U(t)+K2(θ).

(4.11)

由于

根據(jù)條件f3inf>0，當(dāng)0<θ<1足夠小時(shí)，有

由式(4.10)和(4.11)，可以得到

d[(1+U(t))θ]≤θ(1+U(t))θ-2[-K0(θ)U2(t)+K1(θ)U(t)+K2(θ)]dt-

(4.12)

根據(jù)(4.12)和運(yùn)用伊藤公式，可以得到

d[eλt(1+U(t))θ]=λeλt(1+U(t))θdt+eλtd[(1+U(t))θ]≤

(4.13)

(4.14)

根據(jù)定理2.1的停止時(shí)間τn的定義、式(4.13)和(4.14)，可得期望

令n→∞，則有

(4.15)

由(4.15)，可以得到

引理得證.

證明由引理4.1，可以得到估計(jì)

(4.16)

根據(jù)(4.16)，可以得到

這意味著動(dòng)力系統(tǒng)有長(zhǎng)期性行為.

定理4.4如果引理4.2條件成立，則對(duì)任意初值z(mì)0>0，食草動(dòng)物種群密度z(t)擁有持久性.

證明根據(jù)引理4.1，有下式成立

即

根據(jù)引理4.2，可以得到

即

定理4.4證明完畢.

定理4.5如果定理3.6條件成立，且D2inf-αsup>0，則對(duì)任意初值y0>0，植物種群密度y(t)擁有持久性，其中

證明根據(jù)引理4.1，可以得到

即

同引理4.2證法，在假設(shè)H1和假設(shè)H2成立的條件下，根據(jù)不等式(x+y)θ≤xθ+θxθ-1y,0<θ<1,x,y>0，和z(t)=0，a.s.，知存在常數(shù)|K1(θ)|<∞,|K2(θ)|<∞，使Q(t)滿足

K1(θ)U(t)+K2(θ)=-K0(θ)U2(t)+K1(θ)U(t)+K2(θ).

故有

即

定理4.5證明完畢.

其中

證明若定理不為真，則P{x*=0}>0.由(3.10)，可獲得

(4.17)

其中

因此

由引理3.3可知

與已知矛盾，故定理4.6為真.

其中

證明若定理不為真，則P{z*=0}>0.由(3.12)，可獲得

(4.18)

其中

因此

由引理3.2可知

與已知矛盾，故定理4.7為真.

其中

證明若定理不為真，則P{y*=0}>0.由(3.18)，可得到

(4.19)

其中

因此

由引理3.1可知

與已知矛盾，故定理4.8為真.