唐韻茜,王志華

(泰州學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,江蘇 泰州 225300)

1 引言

Fusion范疇是結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的一類(lèi)張量范疇，對(duì)該范疇進(jìn)行分類(lèi)是當(dāng)前該領(lǐng)域的主要研究任務(wù)，分類(lèi)方法和成果不斷出現(xiàn)[1，2，3].其中有兩種分類(lèi)思想受到廣泛關(guān)注和持續(xù)跟進(jìn)，一種是圍繞fusion范疇的秩(即fusion范疇中同構(gòu)意義下單對(duì)象的個(gè)數(shù))對(duì)fusion范疇進(jìn)行分類(lèi)；另一種是根據(jù)fusion范疇的Grothendieck環(huán)(fusion環(huán))對(duì)fusion范疇進(jìn)行分類(lèi)，也就是在Grothendieck等價(jià)意義下研究哪些fusion范疇的Grothendieck環(huán)就是給定的fusion環(huán)(即fusion環(huán)的范疇化問(wèn)題).這種分類(lèi)思想的理論依據(jù)在于等價(jià)意義下只有有限多個(gè)fusion范疇，其Grothendieck環(huán)為給定的fusion環(huán)，參見(jiàn)文獻(xiàn)[4].這方面的分類(lèi)成果可見(jiàn)文獻(xiàn)[5，6，7].因此研究fusion環(huán)自身的結(jié)構(gòu)或者提供某種方式來(lái)實(shí)現(xiàn)fusion環(huán)的構(gòu)造是有意義的工作.

對(duì)于fusion環(huán)的Casimir矩陣C,可以選取適當(dāng)?shù)膶?duì)角矩陣D,使得D-C為Kac意義下的廣義Cartan矩陣[9]，而不可分解有限型、仿射型的廣義Cartan矩陣已有分類(lèi).這引出一個(gè)自然的問(wèn)題:能否借助已有的不可分解廣義Cartan矩陣的分類(lèi)來(lái)實(shí)現(xiàn)fusion環(huán)的分類(lèi)？文獻(xiàn)[10]對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了研究，并對(duì)廣義Cartan矩陣D-C為不可分解有限型、仿射型這兩種情形分別進(jìn)行了探討.但是通過(guò)未定型廣義Cartan矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)fusion環(huán)的構(gòu)造并沒(méi)有統(tǒng)一的方法，文獻(xiàn)[10，11]也僅僅具體討論了一些未定型廣義Cartan矩陣的例子.本文利用文獻(xiàn)[10，11]中的已知結(jié)論與方法，借助一個(gè)5階的未定型廣義Cartan矩陣,實(shí)現(xiàn)了一類(lèi)fusion環(huán)的構(gòu)造，這類(lèi)fusion環(huán)實(shí)際上是某一fusion范疇的Grothendieck環(huán)[12].

2 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)介紹一些必要的基礎(chǔ)知識(shí)，這些內(nèi)容主要來(lái)自文獻(xiàn)[9，10，11].

定義2.1[9]如果實(shí)方陣A=(aij)n×n同時(shí)滿(mǎn)足以下條件,則稱(chēng)A為廣義Cartan矩陣：

(1)aii=2, 1≤i≤n;

(2)aij≤0, 1≤i≠j≤n;

(3)aij=0當(dāng)且僅當(dāng)aji=0, 1≤i≠j≤n.

對(duì)于實(shí)列向量u=(u1,u2,…,un)T，若每個(gè)ui均為正的(0，負(fù)的)，則記u>0(u=0,u<0).根據(jù)Vinberg的分類(lèi)理論,不可分解廣義Cartan矩陣A可以分為三類(lèi)[8]：A稱(chēng)為有限型(仿射型，未定型)當(dāng)且僅當(dāng)存在列向量u>0使得Au>0(Au=0，Au<0).

定義2.2[10]偶對(duì)(R,B)稱(chēng)為fusion環(huán),如果R為有單位元1的環(huán),B={Xi|i∈I}為R的加法群的一組-基，且使得

(1)Xi0=1,其中i0∈I;

(2) 存在指標(biāo)集I上的對(duì)合*：I→I使得誘導(dǎo)的映射

為R的反自同構(gòu)，其中αi∈；

(3) 加群同態(tài)τ：R→，τ(Xi)=δi,i0滿(mǎn)足τ(XiXj)=δi,j*，?i,j∈I.

注2.3設(shè) (-,-) 為環(huán)R上的雙線性型,該雙線性型定義為(x,y)=τ(xy),?x,y∈R.

(1) 雙線性型(-,-)為環(huán)R上的結(jié)合、對(duì)稱(chēng)、非退化雙線性型并且是*-不變的:

(x,yz)=(xy,z), (x,y)=(y,x), (x,y)=(x*,y*),?x,y,z∈R.

因此,環(huán)R為上的對(duì)稱(chēng)*-代數(shù).

(XiXj,Xk*)=(Xi*Xk,Xj*)=(XkXj*,Xi*)

設(shè)(R,B)為fusion環(huán),B={Xi|i∈Ι}為環(huán)R的一組-基，記Ni為基元Xi左乘基集B={Xi|i∈Ι}得到的矩陣,即Ni的(j,k)-元為由注2.3 (2)知故因?yàn)榄h(huán)R為上的Frobenius代數(shù),故由文獻(xiàn)[12]知雙線性型(-,-)對(duì)應(yīng)的對(duì)偶基為{Xi|i∈I}與{Xi*|i∈I},此時(shí)元素稱(chēng)為環(huán)R的Casimir元[13].對(duì)應(yīng)地，左乘基集B={Xi|i∈Ι}得到的矩陣C稱(chēng)為環(huán)R的Casimir矩陣.雖然Casimir矩陣C依賴(lài)于基B={Xi|i∈Ι}中元素的排列順序,但是基中不同的排列順序所給出的Casimir矩陣是彼此置換相似的.

環(huán)R的Casimir矩陣C及其元素具有一些特別的性質(zhì)，參見(jiàn)文獻(xiàn)[10]中的引理3.1和命題3.2，這里列出其中的部分結(jié)論如下：

命題2.4記|I|為指標(biāo)集I中元素個(gè)數(shù),設(shè)i0∈I使得Xi0=1,cij為Casimir矩陣C的(i,j)-元，則

(1)CNi=NiC,?i∈I；

(2)ci0i0=|I|并且cjj≥|I|，特別地，cjj=|I|當(dāng)且僅當(dāng)Nj為置換矩陣；

(3)cij=ci*j*,?i,j∈I；

3 主要結(jié)果

考慮對(duì)稱(chēng)矩陣

它是不可分解未定型廣義Cartan矩陣，因?yàn)橄蛄縰=(1,1,1,1,1)T>0使得Mu<0.

定理3.1存在fusion環(huán)(R,B)使得其D-C恰為M，且該fusion環(huán)在同構(gòu)的意義下唯一.

注意到若改變B中基元X3,X4,X5的順序，則與之對(duì)應(yīng)的C中主對(duì)角線上的元素c33,c44,c55的順序相應(yīng)改變，而矩陣C中其它元素不變.同理，若改變B中基元X1,X2的順序，則與之對(duì)應(yīng)的C中主對(duì)角線上的元素c11,c22的順序相應(yīng)改變，而C中的其他元素不變.因此，不妨設(shè)(R,B)的單位元1為X1或X3.

如果X3=1，則由命題2.4 (2)知c33=5且其余cjj≥5.由命題2.4(4)和2.4(5)可得方程組

注意到B中基元X1,X2的對(duì)等性，不妨設(shè)c22≥c11(否則對(duì)調(diào)X1,X2的順序亦得到此不等式)；同樣由基元X4,X5的對(duì)等性，不妨設(shè)c55≥c44(否則對(duì)調(diào)基元X4,X5的順序亦得到此不等式).此時(shí)由Mathematica計(jì)算可得，該方程組不小于5的整數(shù)解為c11=5,c22=7,c44=5,c55=13.因此

由于C的主對(duì)角線上元素c55=13是唯一的，故由命題2.4(3)知5*=5，即N5為對(duì)稱(chēng)矩陣.設(shè)

由命題2.4(1)知N5C=CN5，從而可以得到一個(gè)關(guān)于a,b,c,d,e,f,g,h,i,j的線性方程組，而該方程組沒(méi)有自然數(shù)解.故N5不存在，所以X3≠1.

下面討論X1=1情形.由命題2.4(2)知c11=5，其余的cjj≥5.由命題2.4(4)和2.4(5)可得方程組

注意到B中基元X3,X4,X5的對(duì)等性，因此不妨設(shè)c55≥c44≥c33(否則對(duì)調(diào)基元X3,X4,X5的順序亦得到此不等式)，由Mathematica計(jì)算可知該方程組的所有不小于5的整數(shù)解為

此時(shí)C有如三種形式(分別記為C1,C2,C3)：

下面證明C1和C2都不存在.

對(duì)于C1，由命題2.4(3)知5*=5，即N5為對(duì)稱(chēng)矩陣.設(shè)

由N5C1=C1N5可得一個(gè)關(guān)于a,b,c,d,e,f,g,h,i,j的線性方程組，用Mathematica計(jì)算可知該方程組沒(méi)有自然數(shù)解.因此N5不存在，從而C1不存在.

對(duì)于C2，由命題2.4(3)知2*=2，即N2為對(duì)稱(chēng)矩陣.設(shè)

由N2C2=C2N2可得關(guān)于a,b,c,d,e,f,g,h,i,j的線性方程組，用Mathematica計(jì)算可知該方程組沒(méi)有自然數(shù)解.因此N2不存在，進(jìn)而C2不存在.

對(duì)于C3，由X1=1知1*=1，由命題2.4(3)知2*=2，故N2為對(duì)稱(chēng)矩陣.又因c22=5，故由命題2.4(2)知N2為置換矩陣(每行每列都只有一個(gè)元素為1，其余元素為0).因此可設(shè)

a=0,b=0,c=1；或a=0,b=1,c=0；或a=1,b=0,c=0；或a=1,b=0,c=1.

因此N2有如下四種形式：

由于c33=c44=c55，故由命題2.4(3)知對(duì)合*為下標(biāo)集{3，4，5}的一個(gè)置換，而所有的對(duì)合置換為如下四種類(lèi)型：

3*=3，4*=4，5*=5； 3*=3，4*=5，5*=4； 4*=4，5*=3，3*=5； 5*=5，3*=4，4*=3.

注意到基元X3,X4,X5位置的均等性，這里只需考慮置換3*=3，4*=4，5*=5和3*=3，4*=5，5*=4，其他的置換均可通過(guò)對(duì)調(diào)基元順序轉(zhuǎn)化為上面兩種置換.比如對(duì)于置換4*=4，3*=5，5*=3，只要對(duì)換基元X3,X4的位置，即可轉(zhuǎn)化為置換3*=3，4*=5，5*=4.下面針對(duì)這兩種置換，將上面N2的四種可能性，分成八種情形逐一討論.

情形3.13*=3，4*=5，5*=4且

此時(shí)有X2X3=X5,X2X4=X4,X2X5=X3，由于3*=3，4*=5，5*=4，因而X3X1=X3,X3X2=X3*X2*=(X2X3)*=X5*=X4，而3*=3，即N3為對(duì)稱(chēng)矩陣，因而可設(shè)

由等式N3C3=C3N3可得一個(gè)關(guān)于a,b,c,d,e,f的線性方程組，用Mathematica計(jì)算可知該方程組沒(méi)有自然數(shù)解，因此情形3.1不成立.

情形3.23*=3，4*=5，5*=4且

利用情形3.1的討論方法，同樣可以證明情形3.2不成立.

情形3.33*=3，4*=5，5*=4且

由N3C3=C3N3可得一個(gè)關(guān)于a,b,c,d,e的線性方程組，該方程組有三組自然數(shù)解，從而得到N3的如下三種形式:

下面說(shuō)明這三種形式均不存在.

X4X1=X4,X4X2=X5*X2*=(X2X5)*=X4*=X5,

X4X3=X5*X3*=(X3X5)*=(2X5)*=2X4,

X5X1=X5,X5X2=X4*X2*=(X2X4)*=X5*=X4,

X5X3=X4*X3*=(X3X4)*=(2X4)*=2X5.

因而

情形3.43*=3，4*=5，5*=4且

利用情形3.3的討論方法，可以證明情形3.4不成立.

情形3.53*=3，4*=4，5*=5且

此時(shí)有X2X3=X5,X2X4=X4,X2X5=X3.因3*=3，4*=4，5*=5，故由上式知X3X1=X3,X3X2=X3*X2*=(X2X3)*=X5*=X5，而3*=3，即N3為對(duì)稱(chēng)矩陣，因而可設(shè)

由N3C3=C3N3可得一個(gè)關(guān)于a,b,c,d,e,f的線性方程組，該方程組沒(méi)有自然數(shù)解，因此情形3.5不成立.

情形3.63*=3，4*=4，5*=5且

利用情形3.5的討論方法，可以說(shuō)明情形3.6不成立.

情形3.73*=3，4*=4，5*=5且

利用情形3.5的方法討論矩陣N4，可以證明N4不存在，因此情形3.7不成立.

情形3.83*=3，4*=4，5*=5且

此時(shí)有X2X3=X3,X2X4=X4,X2X5=X5，由于3*=3，4*=4，5*=5，由上式知X4X1=X4,X4X2=X4*X2*=(X2X4)*=X4*=X4，而4*=4，故N4為對(duì)稱(chēng)矩陣，因而可設(shè)

由于基元X3,X4,X5位置均等且同為自對(duì)偶元，故在上面矩陣N4中不妨假設(shè)a≤d≤f(否則對(duì)調(diào)集合B中基元X3,X4,X5的位置，即可轉(zhuǎn)化a≤d≤f情形).由N4C3=C3N4可得一個(gè)關(guān)于a,b,c,d,e,f的線性方程組，該方程組有兩組自然數(shù)解，從而得到N4的如下兩種類(lèi)型：

下面分析N4的這兩種形式.

X3X4=X3*X4*=(X4X3)*=(X3+X5)*=X3+X5，

X3X2=X3*X2*=(X2X3)*=X3*=X3.

而3*=3，因此N3為對(duì)稱(chēng)矩陣，故可設(shè)

由N3C3=C3N3可得一個(gè)關(guān)于a,b,c的線性方程組，該方程組有唯一的自然數(shù)解a=b=0,c=1，從而

從而有X3X5=X4+X5，于是

X5X3=X5*X3*=(X3X5)*=(X4+X5)*=X4+X5，

X5X4=X5*X4*=(X4X5)*=(X3+X5)*=X3+X5，

X5X2=X5*X2*=(X2X5)*=X5*=X5.

而5*=5，故N5為對(duì)稱(chēng)矩陣，因此

由N5C3=C3N5可得一個(gè)關(guān)于a的方程，解得a=-1<0.因此N4的第一種取法不成立.

于是

X3X4=X3*X4*=(X4X3)*=(X4+X5)*=X4+X5,

X3X2=X3*X2*=(X2X3)*=X3*=X3.

而3*=3，因此N3為對(duì)稱(chēng)矩陣，設(shè)

由N3C3=C3N3可得一個(gè)關(guān)于a,b,c的線性方程組，該方程組有兩組自然數(shù)解，從而得到N3的如下兩種類(lèi)型：

X5X3=X5*X3*=(X3X5)*=(X4+X5)*=X4+X5，

X5X4=X5*X4*=(X4X5)*=(X3+X5)*=X3+X5，

X5X2=X5*X2*=(X2X5)*=X5*=X5.

而5*=5，故N5為對(duì)稱(chēng)矩陣，因此

由N5C3=C3N5可得一個(gè)關(guān)于a的方程，解得a=-1<0.因此不成立.

X5X3=X5*X3*=(X3X5)*=(X3+X4)*=X3+X4，

X5X4=X5*X4*=(X4X5)*=(X3+X5)*=X3+X5，

X5X2=X5*X2*=(X2X5)*=X5*=X5.

而5*=5，故N5為對(duì)稱(chēng)矩陣，因此

由N5C3=C3N5可得一個(gè)關(guān)于a的方程，解得a=0.因此

綜上所述，我們得到一個(gè)fusion環(huán)，它的基元左乘基B={X1,X2,X3,X4,X5}，分別得到矩陣

直接驗(yàn)證可知，這些矩陣滿(mǎn)足等式

具體而言，基元X1=1,X2,X3,X4,X5之間的乘法關(guān)系為

X2X2=1,X2X3=X3,X2X4=X4,X2X5=X5，

X3X2=X3,X3X3=1+X2+X5,X3X4=X4+X5,X3X5=X3+X4，

X4X2=X4,X4X3=X4+X5,X4X4=1+X2+X3,X4X5=X3+X5，

X5X2=X5,X5X3=X3+X4,X5X4=X3+X5,X5X5=1+X2+X4.

這些乘法運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律與交換律，因此得到一個(gè)交換fusion環(huán)(R,B).

注3.2定理3.1所構(gòu)造的fusion環(huán)可以范疇化，即存在一個(gè)fusion范疇使得該范疇的Grothendieck環(huán)為這里的fusion環(huán).事實(shí)上，由文獻(xiàn)[12]中的定理4.2知,14階二面體群的表示范疇作為fusion范疇，其Grothendieck環(huán)與所構(gòu)造的fusion環(huán)(R,B)同構(gòu).