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        環(huán)形天線結(jié)構(gòu)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)研究*

        2022-08-25 23:41:56馬文賽呂書(shū)鋒楊紹武張偉
        關(guān)鍵詞:流形高維桁架

        馬文賽 呂書(shū)鋒? 楊紹武 張偉

        (1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,呼和浩特 010051)(2.北京信息科技大學(xué)機(jī)電學(xué)院,北京 100192)

        (3.北京工業(yè)大學(xué)材料與制造學(xué)部,北京 100124)

        引言

        航天技術(shù)的迅速發(fā)展對(duì)新型衛(wèi)星天線技術(shù)提出了更高要求,大口徑、高精度、低質(zhì)量以及高強(qiáng)度等特征已成為大型衛(wèi)星天線設(shè)計(jì)的必然趨勢(shì).環(huán)形桁架可展開(kāi)結(jié)構(gòu)具有應(yīng)用空間大、結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)明的特點(diǎn),天線口徑可達(dá)50米,但質(zhì)量并沒(méi)有隨口徑的增大成正比例增加,也不會(huì)改變結(jié)構(gòu)形式,因此環(huán)形桁架可展開(kāi)結(jié)構(gòu)是目前大型衛(wèi)星天線較為理想的結(jié)構(gòu)形式.目前,地球觀測(cè),陸地遙感以及聲控探測(cè)等都受益于環(huán)型桁架衛(wèi)星.然而目前國(guó)內(nèi)對(duì)環(huán)形桁架可展結(jié)構(gòu)的理論和實(shí)踐都十分匱乏,因此對(duì)環(huán)形桁架可展結(jié)構(gòu)在太空條件下振動(dòng)的理論研究是十分迫切和重要的,它能夠?yàn)閷?lái)實(shí)踐提供理論基礎(chǔ).本論文的桁架采用復(fù)合材料,通過(guò)均勻化理論將環(huán)型桁架等效成圓柱殼結(jié)構(gòu),得到環(huán)型桁架的等效剛度,從而將環(huán)型桁架等效成圓柱殼.

        可展開(kāi)結(jié)構(gòu)工作過(guò)程如下:在航天器發(fā)射前處于收攏狀態(tài),在發(fā)射入軌接受到指令后開(kāi)始展開(kāi),完成展開(kāi)后鎖定并且保持工作狀態(tài).陳務(wù)軍等[1]介紹了大型構(gòu)架式展開(kāi)天線關(guān)鍵部件的設(shè)計(jì)構(gòu)思,主要包括:天線總體選型及布置,單向折疊展開(kāi)臂支撐背架,復(fù)合剪式鉸外環(huán),饋源支架,索網(wǎng)設(shè)計(jì)與反射面調(diào)整,180°能量鉸等驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu).Li[2]對(duì)環(huán)形桁架可展開(kāi)天線的展開(kāi)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了仿真,總結(jié)了初始速度、阻尼和重力對(duì)展開(kāi)的影響.在考慮扭轉(zhuǎn)彈簧剛度、節(jié)點(diǎn)阻尼、重力和網(wǎng)架預(yù)張力的情況下,對(duì)環(huán)桁架可展開(kāi)天線展開(kāi)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了分析和控制.Morterolle等[3]提出了一種計(jì)算測(cè)地張力桁架的新方法,既保證了節(jié)點(diǎn)的正確定位,又保證了張力的均勻性.You等[4]提出了一種考慮系統(tǒng)鉸鏈間隙和反射面柔性影響的衛(wèi)星天線系統(tǒng)建模與分析方法.Zhang等[5]對(duì)高波束指向精度網(wǎng)狀天線進(jìn)行了一種兩步結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì).此外,胡海巖等[6]綜述了大型可展天線研究現(xiàn)狀和進(jìn)展,提出了大型可展天線在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、動(dòng)力學(xué)建模與控制和仿真模擬實(shí)驗(yàn)中需要注意的問(wèn)題.

        圓柱殼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析對(duì)工程設(shè)計(jì)具有非常重要的指導(dǎo)意義.在一些實(shí)際工程應(yīng)用中,非線性振動(dòng)系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)在線性系統(tǒng)中不出現(xiàn)的現(xiàn)象,如跳躍、分叉以及混沌運(yùn)動(dòng)等.由于不同振動(dòng)模態(tài)之間可能會(huì)產(chǎn)生相互作用,從而導(dǎo)致系統(tǒng)振動(dòng)模態(tài)之間出現(xiàn)能量交換,進(jìn)而產(chǎn)生復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,因此研究環(huán)形桁架等效圓柱殼的非線性內(nèi)部共振及其復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性對(duì)工程實(shí)際問(wèn)題具有重要的理論指導(dǎo)意義.Liu等[7]研究了復(fù)合材料層合圓柱殼的非線性振動(dòng)問(wèn)題.Zhang等[8]研究了空間環(huán)境中圓形網(wǎng)格天線在熱激勵(lì)下的連續(xù)模型和非線性動(dòng)力響應(yīng).Yang等[9]研究了碳纖維增強(qiáng)聚合物(CFRP)層合圓柱殼在1:2內(nèi)共振、主參數(shù)共振和1/2次諧波共振下的非線性振動(dòng).Wu等[10]研究了圓形桁架天線在展開(kāi)鎖定情況下的頻率特性.綜上文獻(xiàn)可以看出,研究環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼的全局分叉和多脈沖混沌動(dòng)力學(xué)的文獻(xiàn)較少.然而,全局分叉和多脈沖混沌動(dòng)力學(xué)的研究有助于解釋環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼多脈沖跳躍現(xiàn)象以及混沌現(xiàn)象,從而發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定的機(jī)理,便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行有效控制.

        在實(shí)際工程問(wèn)題中,高維擾動(dòng)非線性Hamilton系統(tǒng)可以用來(lái)描述實(shí)際工程所抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)方程,并且高維非線性系統(tǒng)的全局分叉和混沌動(dòng)力學(xué)能夠揭示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定性和復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.對(duì)于高維系統(tǒng),許多學(xué)者把Melnikov方法和其它攝動(dòng)方法結(jié)合,改進(jìn)和發(fā)展了Melnikov方法,使該方法成為了研究混沌運(yùn)動(dòng)的解析方法.Camassa等[11]發(fā)展了研究一類(lèi)四維具有作用-角變量的非線性系統(tǒng)在耗散擾動(dòng)下系統(tǒng)多脈沖混沌動(dòng)力學(xué)的廣義Melnikov方法,該方法可以研究各種類(lèi)型的多脈沖同宿軌道存在的條件.Kovacic和Wettergren[12]利用Melnikov方法和幾何奇異攝動(dòng)方法研究了共振受迫耦合雙擺的全局動(dòng)力學(xué).Zhang和Chen[13]應(yīng)用廣義Melnikov方法分析了1:2內(nèi)共振下復(fù)合材料層合板的全局分叉和混沌動(dòng)力學(xué).Wang[14]應(yīng)用廣義Melnikov方法討論了受迫雙層納米板的同宿現(xiàn)象和多脈沖混沌運(yùn)動(dòng).Zhang等[15]研究了參數(shù)激勵(lì)與外激勵(lì)聯(lián)合作用下偏心旋轉(zhuǎn)環(huán)桁架天線的多脈沖跳躍雙參數(shù)混沌動(dòng)力學(xué).秦瑯等人[16]考慮了一個(gè)含小阻尼、受周期激勵(lì)的單自由度干摩擦振子,運(yùn)用Melnikov方法得到了系統(tǒng)出現(xiàn)馬蹄型混沌的參數(shù)區(qū)域.李海濤等[17]對(duì)帶有非對(duì)稱勢(shì)能阱的雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)開(kāi)展混沌動(dòng)力學(xué)研究,通過(guò)Melnikov方法獲得發(fā)生同宿分叉的閾值,并使用數(shù)值方法驗(yàn)證了理論結(jié)果的有效性.Ngouabo等[18]利用Melnikov定理研究了靜電微電子機(jī)械系統(tǒng)的非線性分析問(wèn)題.此外,李雙寶等[19]將Melnikov方法推廣到非光滑系統(tǒng)中,且對(duì)該方法的應(yīng)用進(jìn)行了全面綜述和比較.

        本文基于坐標(biāo)變換理論和恰當(dāng)橫截面,發(fā)展了高維Melnikov理論,使其適用于研究五維含參非線性動(dòng)力系統(tǒng),并應(yīng)用于研究橫向激勵(lì)和面內(nèi)激勵(lì)聯(lián)合作用下環(huán)形天線結(jié)構(gòu)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué).將環(huán)形天線結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型簡(jiǎn)化為五維自治非線性動(dòng)力系統(tǒng),通過(guò)定義恰當(dāng)橫截面,將高維Melnikov函數(shù)引入四維攝動(dòng)相空間,證明環(huán)形天線系統(tǒng)中存在Smale馬蹄意義下的混沌運(yùn)動(dòng).以激勵(lì)系數(shù)和阻尼系數(shù)作為控制參數(shù),研究系統(tǒng)參數(shù)對(duì)環(huán)形天線系統(tǒng)穩(wěn)定性和混沌運(yùn)動(dòng)的影響.利用相圖、龐加萊圖,數(shù)值模擬給出系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域,驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性.

        1 五維非線性系統(tǒng)的Melnikov方法

        文獻(xiàn)[11]給出了四維自治Hamilton系統(tǒng)的廣義Melnikov方法,且應(yīng)用于研究了共振受迫弱非線性耦合擺系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)[12].然而,工程系統(tǒng)中的大多問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可用高維非自治非線性系統(tǒng)來(lái)描述.本文通過(guò)引入恰當(dāng)橫截面,部分改進(jìn)了廣義Melnikov方法,使其適用于研究直角坐標(biāo)表示的高維非自治非線性系統(tǒng).

        我們?cè)谖墨I(xiàn)[11]的控制系統(tǒng)上,考慮如下耗散擾動(dòng)系統(tǒng):

        是辛矩陣,H(u,v1) 是 Hamilton 函數(shù),gu,gv1,gv2是關(guān)于t的周期為2π的擾動(dòng)函數(shù)且光滑.

        當(dāng)方程(1)中ε=0時(shí),其未擾動(dòng)系統(tǒng)為

        假設(shè)1 存在區(qū)間[L,N]中每一個(gè)變量v1,方程(3a)有雙曲不動(dòng)點(diǎn) u=u0(v1) ,并且存在連接不動(dòng)點(diǎn) u=u0(v1) 的同宿流形 u=uh(t,v1),t∈ R.

        如圖1所示,流形M是具有三維穩(wěn)定流形ws(M)和不穩(wěn)定流形wu(M)的局部不變流形.方程(3)同宿軌道的存在性表明,穩(wěn)定流形ws(M)和不穩(wěn)定流形wu(M)相交于三維同宿流形Γ

        圖1 四維相空間未擾動(dòng)系統(tǒng)幾何結(jié)構(gòu)Fig.1 The geometric structure of unperturbed system in four-dimensional phase space

        由文獻(xiàn)[21]可知,法向雙曲不變流形M(?)在小擾動(dòng)維持局部法向雙曲不變流形,可表示為

        即擾動(dòng)系統(tǒng)的法向雙曲不變流形mε(?)是ε階逼近于未擾動(dòng)系統(tǒng)的法向雙曲不變流形M(?).

        在五維相空間中定義橫截面

        圖2為截面∑示意圖.這里先取截面?=?0,這樣就可以在四維空間研究系統(tǒng)(14)的非線性動(dòng)力學(xué)特性,然后?從0到2π變化,從而跑遍整個(gè)環(huán)面S1,進(jìn)而研究系統(tǒng)(1)的非線性動(dòng)力學(xué)特性.

        圖2 橫截面Σ?0的幾何結(jié)構(gòu)Fig.2 The geometric structure of the cross section Σ?0

        2 環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼動(dòng)力學(xué)方程

        考慮圓柱殼中面半徑為R,軸向長(zhǎng)度為L(zhǎng),沿徑向殼的厚度為h.假定圓柱殼的鋪設(shè)層數(shù)為Ns,鋪設(shè)順序?yàn)椋?5-45)s.曲線坐標(biāo)位于殼體的中面,圓柱殼內(nèi)任一點(diǎn)的位移u,v,w分別沿x,θ,z方向.同時(shí)環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼處于一個(gè)均布的熱環(huán)境中,此環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼受到邊界上的一個(gè)徑向線載荷f=F cos(Ω1t)和一個(gè)軸向載荷p=p0+p1cos(Ω2t)的共同作用,p0為面內(nèi)預(yù)緊力,如圖3所示.無(wú)量綱后的兩自由度環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼系統(tǒng)控制運(yùn)動(dòng)方程為[9]

        圖3 環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼模型Fig.3 Equivalent cylindrical shell model of a ring antenna structure

        為了方便應(yīng)用廣義Melnikov方法研究?jī)勺杂啥拳h(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼復(fù)雜動(dòng)力學(xué),這里主要研究主參數(shù)共振,引入以下坐標(biāo)變換將阻尼系數(shù) μ1和 μ2,激勵(lì)幅值 p1、p2、F1和 F2,以及參數(shù)m6、m8、n5和n7視為開(kāi)折系數(shù),在開(kāi)折系數(shù)前面加上小擾動(dòng)ε,并引入以下坐標(biāo)變換

        3 系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)分析及數(shù)值模擬

        由方程(4)和方程(21b)可以定義環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼系統(tǒng)的部分法向雙曲不變流形

        因此,我們可以選取適當(dāng)?shù)膮?shù)使得等式(28)和等式(29)成立,從而使得k-脈沖Melnikov函數(shù)存在簡(jiǎn)單零點(diǎn).

        現(xiàn)在求解可能存在的脈沖數(shù)k,有條件(21a),可令m5=1;由條件(21b)和條件(24)可求得∈(-1,1),且m2和ω1有如圖4的關(guān)系.

        圖4 m2和ω1的取值關(guān)系Fig.4 The relationship between m2 and ω1 is given

        圖5為相位漂移角與二階模態(tài)阻尼系數(shù)之間的關(guān)系,從圖中可以看出,當(dāng)阻尼系數(shù)變大時(shí),相位漂移角逐漸變小,即隨著阻尼系數(shù)的增大,環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼系統(tǒng)可能由多脈沖跳躍變?yōu)閱蚊}沖跳躍,最后不發(fā)生跳躍.

        圖5 Δv2和μ2的取值關(guān)系Fig.5 The relationship between Δv2 and μ2 is given

        因此,適當(dāng)?shù)剡x取 μ1、μ2、m3和 m7可以使得 k≥1且k∈z+.根據(jù)定理1,系統(tǒng)(18)的穩(wěn)定流形ws(M)和不穩(wěn)定流形wu(M)橫截相交,說(shuō)明環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼系統(tǒng)存在橫截同宿軌道,既存在k-脈沖的混沌運(yùn)動(dòng).

        應(yīng)用四階Runge-Kutta算法和Matlab軟件對(duì)系統(tǒng)(18)進(jìn)行數(shù)值模擬,驗(yàn)證環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼存在混沌運(yùn)動(dòng)等復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為.根據(jù)前面的理論分析,分別取如下參數(shù)

        圖6 閾值曲面及其兩個(gè)參數(shù)空間Fig.6 Threshold surface and its two parameter spaces

        圖6表明,當(dāng)阻尼系數(shù)μ1和μ2,以及激勵(lì)頻率Ω給定,激勵(lì)幅值F1和p1位于閾值曲面的下方時(shí),滿足高維非自治非線性動(dòng)力系統(tǒng)的橫截相交條件,即環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼可能發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng).

        圖7 不同阻尼參數(shù)μi(i=1,2)下的閾值曲面Fig.7 The chaotic threshold surfaces are obtained with different damping parameters μi(i=1, 2)

        相圖、龐加萊截面可以描述系統(tǒng)幾何結(jié)構(gòu)在相空間中的變化情況,這些不同的指標(biāo)可以看作是混沌運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)的證據(jù).接下來(lái)將從這兩個(gè)方面對(duì)環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析.

        圖8和圖9表示環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼系統(tǒng)在平面 (x1,x2) 上的相圖和平面 (x1,x2) 上的龐加萊截面圖.

        由圖8可知,系統(tǒng)發(fā)生了混沌運(yùn)動(dòng),且系統(tǒng)存在三個(gè)混沌吸引子,經(jīng)計(jì)算,此時(shí)k=4.

        圖8 外激勵(lì)F1=70時(shí),系統(tǒng)的多脈沖混沌運(yùn)動(dòng)圖Fig.8 Multi pulse chaotic motion diagrams of the system when external excitation F1=70

        圖9為外激勵(lì)幅值F1=100時(shí),系統(tǒng)在平面(x1,x2)上的相圖和龐加萊截面圖.從圖9可以看出系統(tǒng)一階模態(tài)的振動(dòng)幅度隨著外激勵(lì)的增大而增大.同樣,由相圖可以看出振幅在三個(gè)區(qū)域跳躍,天線整體等效圓柱殼結(jié)構(gòu)在做呼吸形式的振動(dòng),且在正平衡點(diǎn)處的振幅大于負(fù)平衡點(diǎn)處的振幅,說(shuō)明呼吸振動(dòng)時(shí)天線結(jié)構(gòu)的膨脹幅度大于收縮幅度.

        圖9 外激勵(lì)F1=10時(shí),系統(tǒng)的多脈沖混沌運(yùn)動(dòng)圖Fig.9 Multi-pulse chaotic motion diagrams of the system when external excitation F1=10

        4 結(jié)論

        本章給出了改進(jìn)的高維非線性系統(tǒng)廣義Melnikov理論,并直接應(yīng)用于環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼高維非線性系統(tǒng)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)的分析,省略了通過(guò)奇異攝動(dòng)法和規(guī)范型理論對(duì)系統(tǒng)方程化簡(jiǎn)的過(guò)程,使得理論分析結(jié)果更加接近原系統(tǒng)的性質(zhì).

        應(yīng)用廣義Melnikov方法得到了參數(shù)激勵(lì)和面內(nèi)激勵(lì)聯(lián)合作用下環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼發(fā)生混沌的條件.解析地研究了環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼的全局分叉和Smale馬蹄意義下的混沌運(yùn)動(dòng),并且得到了環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼可能發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的參數(shù)域,為圓柱殼穩(wěn)定性控制提供了有價(jià)值的參數(shù)指導(dǎo).數(shù)值模擬進(jìn)一步表明:

        (1)環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼發(fā)生混沌的參數(shù)域隨著阻尼系數(shù)的增大而減小,說(shuō)明環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼在相對(duì)較小的阻尼下,更易發(fā)生Shilnikov型的脈沖混沌運(yùn)動(dòng);

        (2)從圖8和圖9的相圖和龐加萊截面可以判斷系統(tǒng)在正負(fù)以及原點(diǎn)三個(gè)平衡點(diǎn)處存在三個(gè)混沌吸引子,從而以這三個(gè)混沌吸引子為中心構(gòu)成三個(gè)吸引域.從圖8(b)和圖9(b)軌線穿過(guò)龐加萊截面打點(diǎn)的位置可判斷出隨著外激勵(lì)幅值的增大,一階模態(tài)的正平衡點(diǎn)處吸引域增大,負(fù)平衡點(diǎn)處吸引域變小.

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