梅瀚雨 ，王 騎 ,2，廖海黎 ,2，張 巖

（1.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川 成都 610031；2.西南交通大學(xué)風(fēng)工程四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都610031）

隨著橋梁跨徑的不斷增加，纜索承重橋梁呈現(xiàn)阻尼低、剛度小等特點(diǎn)，這也使得橋梁對(duì)風(fēng)的敏感性逐漸增加，其在強(qiáng)風(fēng)作用下發(fā)生顫振失穩(wěn)的風(fēng)險(xiǎn)增加.盡管風(fēng)洞試驗(yàn)技術(shù)已比較成熟，但仍存在試驗(yàn)周期長(zhǎng)、試驗(yàn)成本高等問題，不便于在初步設(shè)計(jì)階段開展，增加了方案比選工作的難度.此時(shí)，若能借助比較準(zhǔn)確的顫振導(dǎo)數(shù)，則可以采用顫振理論計(jì)算獲得對(duì)應(yīng)的顫振風(fēng)速，快速完成不同方案氣動(dòng)穩(wěn)定性的比選工作.

顫振導(dǎo)數(shù)表征橋梁斷面的氣動(dòng)自激力特性，也是顫振分析理論最重要的氣動(dòng)參數(shù)，由Scanlan等[1]首次提出，并被廣泛應(yīng)用.除薄平板的顫振導(dǎo)數(shù)存在理論解析解，橋梁斷面的顫振導(dǎo)數(shù)一般通過強(qiáng)迫振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)[2-4]或自由振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)[5-7]獲得，前者精度雖高但需專用設(shè)備，后者簡(jiǎn)便易行但精度較低.也可基于計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（CFD）數(shù)值模擬的強(qiáng)迫振動(dòng)測(cè)試技術(shù)[8-10]進(jìn)行顫振導(dǎo)數(shù)的識(shí)別工作.無論哪種風(fēng)洞試驗(yàn)識(shí)別方法，都存在花費(fèi)較高、周期較長(zhǎng)的問題，CFD數(shù)值模擬技術(shù)仍存在識(shí)別精度偏低、計(jì)算周期長(zhǎng)等問題.鑒于目前已積累了較多的扁平箱梁氣動(dòng)參數(shù)數(shù)據(jù)，若能提出一種高效準(zhǔn)確的方法，能夠?qū)崿F(xiàn)利用已有橋梁斷面的顫振導(dǎo)數(shù)而預(yù)測(cè)出新設(shè)計(jì)橋梁斷面的顫振導(dǎo)數(shù)，不但有效利用了歷史數(shù)據(jù)，還能夠顯著推進(jìn)新建橋梁的方案選型工作.

近年來，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法在橋梁風(fēng)工程領(lǐng)域展現(xiàn)了其強(qiáng)大的參數(shù)識(shí)別和預(yù)測(cè)能力，諸多學(xué)者利用機(jī)器學(xué)習(xí)方法開展了顫振導(dǎo)數(shù)識(shí)別研究：Jung等[11-12]基于 Matsumoto等[13]識(shí)別的矩形斷面顫振導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)庫(kù)，分別利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)算法建立了顫振導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)模型； Wu等[14]利用基于元胞機(jī)優(yōu)化的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)了橋梁斷面非線性氣動(dòng)響應(yīng)；李喬等[15]等用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)識(shí)別了橋梁斷面的靜力三分力系數(shù)； Li等[16]基于某大跨度懸索橋現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，利用決策樹模型和支持向量機(jī)回歸模型對(duì)渦激共振事件分別進(jìn)行了模態(tài)分類的模型構(gòu)建和渦振響應(yīng)回歸模型的構(gòu)建；陳訥郁等[17]利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)識(shí)別了典型橋梁斷面的氣動(dòng)參數(shù)，其中，靜力三分力系數(shù)識(shí)別結(jié)果較好，但顫振導(dǎo)數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果較差；Rizzo等[18]利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)了閉口箱梁懸索橋的顫振臨界風(fēng)速，但實(shí)現(xiàn)方法較為繁瑣，難以展現(xiàn)其工程應(yīng)用價(jià)值.

以上結(jié)果表明，機(jī)器學(xué)習(xí)方法可以有效地應(yīng)用到橋梁風(fēng)工程領(lǐng)域，且研究成果對(duì)于工程設(shè)計(jì)有較高的參考價(jià)值.針對(duì)橋梁斷面顫振導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)的問題而言，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法憑借其強(qiáng)大的多目標(biāo)預(yù)測(cè)能力已展現(xiàn)出較大的優(yōu)勢(shì).然而，前述研究成果對(duì)于算法的實(shí)現(xiàn)和數(shù)據(jù)集的處理缺乏系統(tǒng)性地描述，具體算法各不相同，識(shí)別精度也參差不齊，使得該方法難以真正推廣到工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域.

為了利用機(jī)器學(xué)習(xí)強(qiáng)大的推演能力，同時(shí)避免不同算法的不足，本文提出了利用集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型來預(yù)測(cè)橋梁斷面顫振導(dǎo)數(shù)的方法.基于集成學(xué)習(xí)，構(gòu)建包含30種不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并利用15種典型扁平箱梁的顫振導(dǎo)數(shù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)樣本，最后對(duì)子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行組合和評(píng)判，可得到任意扁平箱梁顫振導(dǎo)數(shù)的預(yù)測(cè)值.測(cè)試結(jié)果表明：本文提出的模型可以深度挖掘扁平箱梁氣動(dòng)外形與顫振導(dǎo)數(shù)的潛在關(guān)系，僅利用60%的數(shù)據(jù)集進(jìn)行模型訓(xùn)練即可根據(jù)斷面形狀高精度預(yù)測(cè)8個(gè)顫振導(dǎo)數(shù)，其結(jié)果優(yōu)于多項(xiàng)式回歸模型和單一人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.本文所提的扁平箱梁顫振導(dǎo)數(shù)的預(yù)測(cè)方法方便實(shí)現(xiàn)，可以應(yīng)用到橋梁初步設(shè)計(jì)階段不同方案的顫振計(jì)算中.

1 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

作為典型的監(jiān)督學(xué)習(xí)問題，建立必要的數(shù)據(jù)集是建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模式的基礎(chǔ).數(shù)據(jù)集是由輸入特征x（自變量）和對(duì)應(yīng)的預(yù)期輸出R（因變量）所組成，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的作用在于建立隱式的映射關(guān)系R=f（x;δ），其中： δ 為待訓(xùn)練參數(shù)；f為映射關(guān)系.根據(jù)這一原理，并結(jié)合扁平箱梁的外形特征，在本研究中，輸入特征x確定為箱梁的外形尺寸特征和折算風(fēng)速，預(yù)期輸出R為該折算風(fēng)速下的8個(gè)顫振導(dǎo)數(shù)值.數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)分布應(yīng)盡可能覆蓋本研究所涉及的應(yīng)用領(lǐng)域，以方便設(shè)計(jì)人員的使用.一般地，模型訓(xùn)練所必需的數(shù)據(jù)集可通過收集文獻(xiàn)資料獲取.然而，考慮到數(shù)據(jù)來源和數(shù)據(jù)精度，本次研究所采用的數(shù)據(jù)集全部來源于風(fēng)洞試驗(yàn)所獲取的典型扁平箱梁斷面顫振導(dǎo)數(shù).

1.1 顫振導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)集獲取

本次試驗(yàn)對(duì)象為15種不同氣動(dòng)外形的扁平箱梁斷面，如圖1和圖2所示，包含有3種不同的梁高H（36、44 m m 和 57 m m ）和 5 種不同的斜腹板傾角θ（24°、21°、18°、15°和 12°）.為方便模型的裝配，制作的模型寬度B= 400 m m ，高度有所變化，模型寬高比分別為11、9和7.顫振導(dǎo)數(shù)涵蓋的折算風(fēng)速V范圍為 4～18，風(fēng)攻角 α =0°，+3° 和 +5°.為了對(duì)扁平箱梁斷面的氣動(dòng)外形特征進(jìn)行更為簡(jiǎn)單且方便的描述，本次試驗(yàn)?zāi)Ｐ筒簧婕案綄俳Y(jié)構(gòu)設(shè)施，例如橋面欄桿、中央穩(wěn)定板等.為減小模型自身慣性力且保證模型剛度，試驗(yàn)?zāi)Ｐ途捎锰祭w骨架聯(lián)合PVC蒙皮制作，質(zhì)量為2.0～2.4 kg.

圖1 典型斷面示意Fig.1 Typical section schematic

圖2 扁平箱梁模型斷面Fig.2 Sectional models of flat box girders

本次強(qiáng)迫振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)在西南交通大學(xué)XNJD-1風(fēng)洞中進(jìn)行，如圖3所示.顫振導(dǎo)數(shù)的設(shè)備及識(shí)別方法可參考文獻(xiàn)[19-20]，結(jié)合所提取的自激力，可以識(shí)別不同折算風(fēng)速下的8個(gè)顫振導(dǎo)數(shù)和.

圖3 安裝在風(fēng)洞中的強(qiáng)迫振動(dòng)裝置及模型Fig.3 Sectional model assembled on forced vibration device in wind tunnel

通過設(shè)計(jì)的自由振動(dòng)顫振試驗(yàn)，獲得不同模型在不同風(fēng)攻角下（0°、+3°、+5°）的顫振臨界風(fēng)速，并和由顫振導(dǎo)數(shù)計(jì)算的顫振臨界風(fēng)速進(jìn)行對(duì)比，由此驗(yàn)證顫振導(dǎo)數(shù)的準(zhǔn)確性.顫振計(jì)算分析方法采用Chen等[21]提出的彎扭耦合顫振閉合解法，自由振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)采用傳統(tǒng)的彈簧懸掛節(jié)段模型實(shí)現(xiàn)（圖4），兩者選用的質(zhì)量和動(dòng)力參數(shù)一致.以B=400mm，H=44mm，θ=21° 斷面為例，表1中所示其顫振臨界風(fēng)速計(jì)算值和試驗(yàn)值的一致性表明了顫振導(dǎo)數(shù)測(cè)試的準(zhǔn)確性.

圖4 彈簧懸掛自由振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)Fig.4 Free vibration wind tunnel tests

表1 顫振臨界風(fēng)速結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of critical flutter wind speeds

1.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理

為保證數(shù)據(jù)集的完整性、唯一性、準(zhǔn)確性，需對(duì)利用強(qiáng)迫振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)所獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的數(shù)據(jù)清洗[22].結(jié)合1.1節(jié)自由振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)的結(jié)果，剔除無效的、精度不足的數(shù)據(jù)樣本，最終獲得樣本大小為525的數(shù)據(jù)集.每條數(shù)據(jù)樣本包含某一扁平箱梁斷面在豎向或扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)某一折算風(fēng)速下的8個(gè)顫振導(dǎo)數(shù).為表征扁平箱梁氣動(dòng)外形特征，文獻(xiàn)[17]利用寬高比、橫向坡度、底板寬度比等無量綱參數(shù)進(jìn)行描述.本次研究采用最為直接的方式進(jìn)行特征描述，即：利用扁平箱梁斷面7個(gè)頂點(diǎn)（A～G）相對(duì)于斷面形心的二維坐標(biāo)進(jìn)行描述（如圖5所示），圖中：U為來流風(fēng)速.這種描述方式較為簡(jiǎn)單且易于推廣，可以更好地量化來流風(fēng)攻角的影響.

圖5 帶風(fēng)攻角的斷面頂點(diǎn)坐標(biāo)示意Fig.5 Coordinate of flat box girder with angle of attack

假設(shè)扁平箱梁斷面某一頂點(diǎn)坐標(biāo)為（a,b），風(fēng)攻角為 α ，將每個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作并進(jìn)行無量綱化則可得到轉(zhuǎn)換后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）, 如式（1）.

由于不同特征和目標(biāo)的來源、量級(jí)以及量綱是不同的，造成特征值分布范圍過大，從而降低神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)梯度下降過程的效率，收斂緩慢.因此，在模型訓(xùn)練之前，需要對(duì)數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行特征值縮放，即特征歸一化.本次研究采用標(biāo)準(zhǔn)歸一化方式（z-score method），使得每一維度的特征都符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.對(duì)于每一個(gè)維度特征sk（包含預(yù)測(cè)目標(biāo)），標(biāo)準(zhǔn)歸一化后的特征可表示為

式中： μ (sk) 和 σ (sk) 分別為第k個(gè)特征sk的均值 和標(biāo)準(zhǔn)差.

實(shí)際橋梁斷面一般為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，若使用7個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，則包含了過多冗余信息，如點(diǎn)B與點(diǎn)G對(duì)稱.因此，為了精簡(jiǎn)模型特征參數(shù)、加快收斂速度、提高模型的泛化能力，只保留A、B、C和D4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)作為輸入特征.

綜上，本次訓(xùn)練的模型包含有9個(gè)輸入特征，其中 8個(gè)為 4個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo) (xA,yA,xB,yB,xC,yC,xD,yD) ，1個(gè)為折算風(fēng)速V；包含有8個(gè)輸出目標(biāo)值，即8個(gè)顫振導(dǎo)數(shù).

2 集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

2.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方面的研究始于1943年Mcculloch和Pitts[23]提出的M-P模型.該模型包含有一個(gè)神經(jīng)元，可以接收來自上一層其他n個(gè)神經(jīng)元傳遞的輸入信號(hào)并伴隨有不同的權(quán)重.神經(jīng)元收到的輸入信號(hào)將與該神經(jīng)元的閾值進(jìn)行比較并通過激活函數(shù)進(jìn)行非線性變換，從而產(chǎn)生該神經(jīng)元的輸出信號(hào).深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是M-P模型的拓展，可簡(jiǎn)單理解為包含有多個(gè)隱藏層和多個(gè)神經(jīng)元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)深度的增加，權(quán)重和閾值的數(shù)量逐漸增加，如何進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)便依賴于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的前向傳播和反向傳播算法，可參考文獻(xiàn)[24].

2.2 集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)主要取決于輸入層維度、隱藏層數(shù)、隱藏神經(jīng)元個(gè)數(shù)以及輸出目標(biāo)維度.隱藏層數(shù)和神經(jīng)元個(gè)數(shù)增多，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)特征信息的提取能力會(huì)增強(qiáng)，但同時(shí)也會(huì)產(chǎn)生計(jì)算資源消耗以及過擬合現(xiàn)象.若隱藏層數(shù)和神經(jīng)元個(gè)數(shù)不足，則可能出現(xiàn)欠擬合現(xiàn)象，即神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無法挖掘有效信息.這使得目前對(duì)于隱藏層數(shù)和隱藏神經(jīng)元個(gè)數(shù)的取值仍在一定程度上依賴于設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn).

為了避免單個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在算法上的不足，Dasarathy等[25]在1979年提出集成學(xué)習(xí)（ensemble learning, EL）思想：一種通過構(gòu)建并結(jié)合多個(gè)學(xué)習(xí)器（決策樹，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等）來完成學(xué)習(xí)任務(wù)的機(jī)器學(xué)習(xí)策略.集成學(xué)習(xí)的基本思路為：構(gòu)建多個(gè)不同結(jié)構(gòu)的“個(gè)體學(xué)習(xí)器”，利用獨(dú)立采樣的數(shù)據(jù)進(jìn)行并行或串行模型訓(xùn)練，最后利用某種策略（加權(quán)平均）對(duì)不同“個(gè)體學(xué)習(xí)器”的結(jié)果進(jìn)行結(jié)合.相較于單一學(xué)習(xí)器（圖6），集成學(xué)習(xí)模型降低了超參數(shù)調(diào)整的困難，且通?？色@得優(yōu)越的泛化性能.

圖6 子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)顫振導(dǎo)數(shù)Fig.6 Sub-network for flutter derivative prediction

經(jīng)反復(fù)測(cè)試和驗(yàn)證，本研究確定采用含有30個(gè)不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的個(gè)體神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（簡(jiǎn)稱“子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”）的并行集成模型：既能取得較好的預(yù)測(cè)效果，又能兼顧較高的計(jì)算效率.其中，模型包含的每個(gè)子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形式均與圖6所示的子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)類似.各子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含有不同的隱藏層層數(shù)、隱藏神經(jīng)元個(gè)數(shù)和非線性激活函數(shù)，相關(guān)信息如表2所示.

表2 不同子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.2 Design parameters of different sub-neural networks

為了訓(xùn)練和評(píng)估本文提出的集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，首先將本文的數(shù)據(jù)集（525組）劃分為訓(xùn)練集（510組）和測(cè)試集（15組），其中：每一組測(cè)試集為隨機(jī)選取的某一斷面在某一攻角下的8個(gè)顫振導(dǎo)數(shù)，折算風(fēng)速范圍為4～18，間隔為1；訓(xùn)練集為余下的510組數(shù)據(jù)樣本.將訓(xùn)練集再次劃分為30個(gè)子訓(xùn)練集，每個(gè)子訓(xùn)練集包含有17組數(shù)據(jù)樣本.為保證每個(gè)子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的差異性和多樣性，從而獲得更高的泛化能力，每輪選取29個(gè)子訓(xùn)練集（即493個(gè)數(shù)據(jù)樣本）作為一個(gè)子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，總共30輪，對(duì)應(yīng)30個(gè)不同的并行子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).具體的算法流程如圖7所示，圖中： βj為加權(quán)系數(shù).

圖7 集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)流程Fig.7 Flow chart of building the integrated deep neural network

由圖7可以看出，每個(gè)子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所輸出的8個(gè)顫振導(dǎo)數(shù)由R進(jìn)行組合輸出，其中：R包含了8 個(gè)顫振導(dǎo)數(shù)和.研究表明[26]：相較于加權(quán)平均（ βj不同）而言，簡(jiǎn)單平均方法（ βj相同）可以獲得更為穩(wěn)定的模型且不容易出現(xiàn)過擬合問題，從而使得集成模型的泛化能力提高.因此，本文采用簡(jiǎn)單平均方法，取 βj= 1 /30 ，分別將30個(gè)不同子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出的8個(gè)顫振導(dǎo)數(shù)進(jìn)行組合，得到最終的8個(gè)顫振導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)值.

相比于普通的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型而言，集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含有如下兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：1） 每組數(shù)據(jù)樣本分別經(jīng)過了29個(gè)子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的并行訓(xùn)練，使得數(shù)據(jù)集的利用率提高；2） 具有不同結(jié)構(gòu)的子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)雖然性能各異，但集成后模型的輸出結(jié)果更為穩(wěn)定，并從一定程度上避免了復(fù)雜繁瑣的超參數(shù)調(diào)整過程，降低了欠擬合和過擬合的風(fēng)險(xiǎn).

3 顫振導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)及評(píng)價(jià)

3.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)

除上文所述的子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中隱藏層層數(shù)、隱藏神經(jīng)元個(gè)數(shù)和非線性激活函數(shù)等與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相關(guān)的超參數(shù)，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差反向傳播過程中還包含有其他需要預(yù)先確定的超參數(shù)，例如：學(xué)習(xí)率（即權(quán)重和偏置梯度更新的下降速率）、優(yōu)化器類型等.本次研究設(shè)置30個(gè)子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)率為0.001，權(quán)重優(yōu)化器采用Adam[27]，通過梯度下降法最小化每個(gè)子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù).損失函數(shù)Loss均采用如式（3）所示的均方誤差函數(shù).

為了合理地評(píng)價(jià)本文提出的集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)性能，采用平均絕對(duì)誤差MAE、均方根誤差RMSE和決定系數(shù)R23種不同的評(píng)價(jià)指標(biāo)，如式（4）.需要說明的是：模型評(píng)價(jià)應(yīng)基于未參與模型訓(xùn)練的測(cè)試集（如圖7所示），即：包含了15組數(shù)據(jù)（15個(gè)折算風(fēng)速）的某一隨機(jī)選取的斷面在某一風(fēng)攻角下的8個(gè)顫振導(dǎo)數(shù).

式中：Rm為某一顫振導(dǎo)數(shù)真實(shí)值；為其對(duì)應(yīng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)值；M=15 為測(cè)試集大??；為15組顫振導(dǎo)數(shù)均值.

顯然，MAE和RMSE越低，R2越接近于 1，表示模型的預(yù)測(cè)性能越好.

3.2 預(yù)測(cè)結(jié)果

基于Pytorch深度學(xué)習(xí)框架，實(shí)現(xiàn)了如圖7所示的集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并利用風(fēng)洞試驗(yàn)所獲取的扁平箱梁顫振導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)集對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行訓(xùn)練.經(jīng)測(cè)試，本文所提出的預(yù)測(cè)模型訓(xùn)練效率較高，利用配置普通的電腦（CPU：i7-7700HQ）即可在3 min內(nèi)完成模型訓(xùn)練（僅調(diào)用CPU），其原因在于本模型無需進(jìn)行繁瑣的超參數(shù)尋優(yōu)過程.隨機(jī)選取了如圖8所示的0° 攻角下扁平箱梁斷面作為預(yù)測(cè)對(duì)象，預(yù)測(cè)內(nèi)容包含折算風(fēng)速4～18下的8個(gè)顫振導(dǎo)數(shù).

圖8 測(cè)試斷面詳圖Fig.8 Detailed geometry of testing section

圖9為測(cè)試斷面8個(gè)顫振導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比，由圖可以看出：在折算風(fēng)速4～18范圍內(nèi)8個(gè)顫振導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值吻合較好.盡管兩者在數(shù)值上有略微的差異，但整體趨勢(shì)保持一致，且預(yù)測(cè)值較為平滑.

圖9 測(cè)試斷面顫振導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.9 Comparison between predicted and tested flutter derivatives of testing section

圖10 為測(cè)試斷面顫振導(dǎo)數(shù)誤差，由圖發(fā)現(xiàn)：各顫振導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)誤差MAE和RMSE較小，R2均在0.950以上，最高可以達(dá)到0.998；與自激力矩相關(guān)的 4 個(gè)顫振 導(dǎo) 數(shù)的MAE和RMSE低于與自激升力相關(guān)的預(yù)測(cè)結(jié)果，但決定系數(shù)R2結(jié)果較為接近；彎扭耦合顫振4個(gè)關(guān)鍵顫振導(dǎo)數(shù)[28]、、和的預(yù)測(cè)值決定系數(shù)均在0.980以上，MAE和RMSE值較低，尤其是與扭轉(zhuǎn)分支耦合氣動(dòng)阻尼和非耦合氣動(dòng)阻尼相關(guān)的顫振導(dǎo)數(shù)和，其MAE和RMSE均低于0.05，且決定系數(shù)均在0.990左右，表明該模型所預(yù)測(cè)的顫振導(dǎo)數(shù)能直接應(yīng)用到顫振計(jì)算當(dāng)中.

圖10 測(cè)試斷面顫振導(dǎo)數(shù)誤差Fig.10 Error results of flutter derivatives of testing section

綜合3種誤差結(jié)果可以說明：本文所構(gòu)建的集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)很好地學(xué)習(xí)到了斷面形狀特征與顫振導(dǎo)數(shù)的潛在關(guān)系，能夠根據(jù)斷面形狀特性直接輸出較高精度的8個(gè)顫振導(dǎo)數(shù).

3.3 數(shù)據(jù)集大小的影響

事實(shí)上，眾多神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)研究證實(shí)了數(shù)據(jù)集的大小對(duì)于模型的預(yù)測(cè)性能有較大的影響[24].一般來說，需要足夠充足的訓(xùn)練樣本才能顯著改善模型的預(yù)測(cè)精度.為了研究本文所提出的集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在處理數(shù)據(jù)量問題上的優(yōu)勢(shì)，分別按20%、40%、60%和80%的比例隨機(jī)選取數(shù)據(jù)集（總數(shù)據(jù)量為510）作為模型的訓(xùn)練集，并利用訓(xùn)練完成的模型分別預(yù)測(cè)扁平箱梁的顫振導(dǎo)數(shù).為綜合評(píng)價(jià)不同模型的預(yù)測(cè)效果、便于展示，對(duì)8個(gè)顫振導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)誤差的3種評(píng)價(jià)結(jié)果求平均，如圖11所示.

由圖11可以看出：當(dāng)訓(xùn)練集比例在60%時(shí)，預(yù)測(cè)結(jié)果精度已經(jīng)較為理想；當(dāng)訓(xùn)練集比例增加到80%時(shí)，其預(yù)測(cè)效果幾乎接近于100%比例訓(xùn)練集；這一規(guī)律在3種評(píng)價(jià)指標(biāo)上均有體現(xiàn).

圖11 訓(xùn)練集大小對(duì)誤差結(jié)果的影響Fig.11 Effects of training set size on error results

本文提出的集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)效果較好，利用較少的訓(xùn)練集即可達(dá)到較高的預(yù)測(cè)水平，這也說明了本方法對(duì)于數(shù)據(jù)的利用效率較高，且預(yù)測(cè)結(jié)果較為穩(wěn)定，不存在欠擬合和過擬合問題.

3.4 不同模型預(yù)測(cè)的結(jié)果對(duì)比

本次研究的主要目標(biāo)在于建立某種映射關(guān)系（或函數(shù)）R=f（x;δ） ，該映射關(guān)系的自變量x為扁平箱梁斷面4個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)和1個(gè)折算風(fēng)速，即，因變量R為 8 個(gè)顫振導(dǎo)數(shù)，即.通常，這種映射關(guān)系可利用顯式的n次多項(xiàng)式回歸模型進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，即利用上述數(shù)據(jù)集進(jìn)行多項(xiàng)式系數(shù)擬合，構(gòu)建非線性回歸模型，如式（5）.

式中：xn為n次多項(xiàng)式展開的自變量，例如、yD、V2等，當(dāng)n=2 時(shí)，xn包含 54 項(xiàng)，當(dāng)n=3 時(shí)，xn包含219項(xiàng)； η 為回歸系數(shù)矩陣； φ 為截距.

經(jīng)測(cè)試：當(dāng)n＞1 時(shí)，模型會(huì)陷入嚴(yán)重的過擬合狀態(tài)，即訓(xùn)練集上的擬合性能較好，而在測(cè)試集上預(yù)測(cè)結(jié)果誤差非常大；n=1時(shí) ，即線性回歸模型.利用最小二乘法和以上數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行多項(xiàng)式回歸模型擬合，得到的系數(shù)矩陣為

相較于本文提出的集成式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，單個(gè)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型同樣可以實(shí)現(xiàn)顫振導(dǎo)數(shù)的預(yù)測(cè).構(gòu)建與文獻(xiàn)[11]相同的單一人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，該模型包含2層隱藏層，每個(gè)隱藏層包含20個(gè)隱藏神經(jīng)元，激活函數(shù)選用 s igmoid.為對(duì)兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行區(qū)別，此處的單一人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型簡(jiǎn)稱為“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型”.利用多項(xiàng)式回歸模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，對(duì)相同的測(cè)試斷面進(jìn)行顫振導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)并進(jìn)行誤差評(píng)估，其結(jié)果與集成式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)結(jié)果之間的對(duì)比如表3所示（均值化）.

表3 誤差結(jié)果對(duì)比Tab.3 Comparison of different errors

從表3中可以看出：1） 多項(xiàng)式回歸模型獲得預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差較大，對(duì)應(yīng)的決定系數(shù)僅為0.781，不足以說明該模型的有效性.究其原因在于，在數(shù)據(jù)量較大的情況下，多項(xiàng)式回歸模型易陷入嚴(yán)重的欠擬合狀態(tài)，無法有效建立箱梁斷面氣動(dòng)外形與顫振導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2） 對(duì)于單個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型，其預(yù)測(cè)性能優(yōu)于多項(xiàng)式回歸模型，但其MAE和RMSE誤差高于本文提出的集成模型，且決定系數(shù)（R2=0.807 ）僅是略高于多項(xiàng)式回歸模型，其有效性不足，無法應(yīng)用到具體的顫振計(jì)算中.因此，本文提出的模型可以很好預(yù)測(cè)扁平箱梁的顫振導(dǎo)數(shù).

4 結(jié) 論

本文的主要結(jié)論如下：

1） 提出了一種基于集成學(xué)習(xí)策略的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.該模型能有效挖掘扁平箱梁形狀特性，實(shí)現(xiàn)8個(gè)顫振導(dǎo)數(shù)的高精度預(yù)測(cè).

2） 預(yù)測(cè)結(jié)果表明，僅利用60%的訓(xùn)練樣本即可達(dá)到滿意的預(yù)測(cè)精度，訓(xùn)練樣本利用率較高.

3） 相較于傳統(tǒng)的多項(xiàng)式回歸模型和單個(gè)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，本文提出的集成式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)精度更高，可以應(yīng)用到實(shí)際工程的顫振計(jì)算中.