裴美娟，楊 鵬，李樂晗

(蘭州石化職業(yè)技術(shù)大學(xué)土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730060)

1 概述

土體的固結(jié)過程是巖土工程中重要的研究課題，對(duì)于實(shí)際工程而言，土體固結(jié)過程伴隨著土體體積的變化，進(jìn)而導(dǎo)致地基的沉降，會(huì)對(duì)工程建設(shè)造成較大的影響。再者，巖土體具有多相性質(zhì)，土顆粒之間的孔隙往往被水所填充，而在外力作用下，土體會(huì)產(chǎn)生超孔隙水壓力，超孔隙水壓力的產(chǎn)生會(huì)對(duì)土體的強(qiáng)度造成強(qiáng)烈的影響，會(huì)導(dǎo)致土體發(fā)生剪切破壞，而太沙基的滲流固結(jié)原理指出了固結(jié)排水過程中孔壓的變化規(guī)律，可以說固結(jié)過程不僅僅體現(xiàn)了土體體積的變化，而且更為重要的是能夠描述排水過程中土顆粒之間有效應(yīng)力的變化規(guī)律。

土體的固結(jié)過程受到了眾多學(xué)者的關(guān)注與研究，不同土體性質(zhì)有較大差異，其固結(jié)排水特性不同，由于土體滲透性具有較多的影響因素，因此，不同因素下，其滲透、固結(jié)性質(zhì)會(huì)表現(xiàn)出差異。鄧岳保等[1]研究了溫度效應(yīng)下土體的固結(jié)蠕動(dòng)耦合行為，張玉國等[2]給出了外荷載變化條件下組合樁復(fù)合地基的固結(jié)計(jì)算方法，指出不同邊界條件會(huì)導(dǎo)致孔壓消散的速率及分布出現(xiàn)差異。王潔等[3]建立了豎井的非線性固結(jié)模型，并引入了井阻變化的影響。當(dāng)土體處于欠固結(jié)狀態(tài)時(shí)，其固結(jié)特性與正常固結(jié)土體不同[4]，張志龍等[5-6]基于分段線性方法分析了欠固結(jié)土體的大變形非線性固結(jié)過程，發(fā)現(xiàn)該過程中土體的孔壓消散具有明顯的非線性性質(zhì)。賀建清等[7]則研究了有機(jī)質(zhì)土體的次固結(jié)行為，有機(jī)質(zhì)含量會(huì)對(duì)固結(jié)特性產(chǎn)生影響，有機(jī)質(zhì)的增加會(huì)造成次固結(jié)系數(shù)的上升。循環(huán)荷載作用下，汪磊等[8]研究了循環(huán)荷載下非飽和土的固結(jié)過程，并采用變換方法給出了解析解。土體性質(zhì)是具有復(fù)雜性的，不同因素影響下都具有不同的特性，因此，一些學(xué)者也開展了復(fù)雜條件下的固結(jié)行為研究[9-11]，這些研究為工程應(yīng)用提供了技術(shù)支持。

目前，對(duì)于固結(jié)過程中土體各向異性的研究較少，黃土受到成因、氣候等因素的影響，具有強(qiáng)烈的豎向節(jié)理，豎向滲透性往往比水平滲透性大得多，一維滲流固結(jié)理論無法描述出二維空間中的各向異性表現(xiàn)，多數(shù)的研究基于各向同性假設(shè)開展，無法準(zhǔn)確刻畫出黃土的固結(jié)過程，因此，開展各向異性下二維固結(jié)理論的研究，對(duì)于評(píng)價(jià)黃土等特殊土的固結(jié)特性具有重要的意義。本文通過Galerkin法進(jìn)行控制方程的離散，獲得其有限元形式，并基于Python語言編程開發(fā)專有的有限元求解器，完成各向異性下的二維固結(jié)計(jì)算，能夠有效反映出不同各向異性程度下超孔壓的變化，并對(duì)比分析了不同異性程度下及排水邊界條件二維固結(jié)模型的孔壓消散規(guī)律以及分布特性。

2 控制方程的離散

2.1 控制方程及邊界條件

在二維空間中，考慮豎向滲透系數(shù)kv與水平滲透系數(shù)kh不同，同時(shí)理論模型依然滿足水流連續(xù)性原理，孔隙水的排出依然滿足達(dá)西定律，這樣豎向滲流速度與水平滲流速度可以表示為：

(1)

(2)

其中，u(x,y,t)為孔隙水壓力函數(shù)，是關(guān)于空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)；γw為水的重度；vh，vv分別為水平向滲流速度和豎向滲流速度。

而土體體積的變化完全由孔隙水的排出量決定，即有式(3)：

(3)

其中，εv為土體體積應(yīng)變。

引入土體體積壓縮系數(shù),同時(shí)由太沙基有效應(yīng)力原理得到二維滲流固結(jié)控制方程,如式(4)所示。

(4)

其中，Ch為水平固結(jié)系數(shù),Ch=kh/mvγw;Cv為豎向固結(jié)系數(shù),Cv=kv/mvγw;mv為土體體積壓縮系數(shù)。

方程(4)為各向異性條件下的二維滲流固結(jié)控制方程,該方程為標(biāo)準(zhǔn)的二維拋物型偏微分方程,屬于非穩(wěn)態(tài)物理場(chǎng)問題,需要在邊界條件以及初始條件給出的基礎(chǔ)上,才能夠完成求解。

2.2 控制方程的離散

為了對(duì)控制方程進(jìn)行求解,考慮到空間維度的復(fù)雜性,采用有限元方法進(jìn)行偏微分方程的求解?；贕alerkin法進(jìn)行控制方程的離散,獲得其有限元形式。首先,單元選擇三節(jié)點(diǎn)三角形單元,此時(shí),單元內(nèi)任意點(diǎn)處的場(chǎng)函數(shù)值可以通過節(jié)點(diǎn)值進(jìn)行插值表達(dá),見式(5)。

u(x,y,t)=[N]·[u(t)]

(5)

其中，[N]為形函數(shù)行向量;[u(t)]為t時(shí)刻單元3個(gè)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值,為列向量。

針對(duì)方程(4),構(gòu)建其加權(quán)殘差,得到對(duì)應(yīng)的等效積分強(qiáng)形式,見式(6)。

(6)

利用分部積分思路或者格林公式進(jìn)行式(6)的處理,可以進(jìn)一步得到等效積分弱形式,見式(7)。

(7)

由于形函數(shù)是空間坐標(biāo)的一次函數(shù),因此求導(dǎo)后為常數(shù),僅與單元節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值有關(guān),同時(shí),將式(5)代入到式(7)后,可以得到空間離散后的形式,見式(8)。

(8)

由于關(guān)于空間的積分是可以直接進(jìn)行計(jì)算,這樣將空間項(xiàng)積分記作[B]矩陣,而含有時(shí)間項(xiàng)的積分記作[S]矩陣,則得到空間離散后的形式，見式(9)。

(9)

由于該問題屬于非穩(wěn)態(tài)問題,利用后向差分進(jìn)行時(shí)間項(xiàng)的離散,得到式(10)。

(10)

式(10)即為離散后的有限元形式，為了實(shí)現(xiàn)數(shù)值求解，基于Python語言開發(fā)數(shù)值模塊完成計(jì)算，采用面向?qū)ο蟮木幊谭妒?，?gòu)建控制方程實(shí)例的類，而單元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算以及整體剛度矩陣的集成作為類的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，邊界條件、初始條件作為屬性進(jìn)行輸入，邊界條件的引入在每一次迭代計(jì)算時(shí)進(jìn)行更新。

3 數(shù)值結(jié)果分析

3.1 算例設(shè)置及參數(shù)

為了對(duì)比各向異性對(duì)于土體固結(jié)的影響，設(shè)置不同組別下的參數(shù)組，具體信息見表1。控制豎向固結(jié)系數(shù)保持不變，而水平向固結(jié)系數(shù)為豎向固結(jié)系數(shù)乘以比例因子，進(jìn)行各項(xiàng)異性的表達(dá)，其中參數(shù)組別A中，豎向固結(jié)系數(shù)等于水平向固結(jié)系數(shù)，為各向同性，而其他組別，隨著比值r的降低，水平向固結(jié)系數(shù)是隨之降低的，典型的黃土含有大量的豎向裂縫，豎向滲透性較強(qiáng)，而水平滲透性低。

表1 固結(jié)系數(shù)取值

模型長(zhǎng)高為5 m×3 m，如圖1所示。模型具有4個(gè)邊界，其中邊界1和邊界2為不透水邊界，為第二類齊次邊界條件，頂部地面與大氣連通，孔壓始終為0，邊界4為第一類齊次邊界條件。為了考慮邊界條件對(duì)于各向異性的影響，邊界3分別考慮為不透水和透水兩種情況，即模型1中邊界3為不透水邊界，而模型2中邊界3與外界連通，孔壓為0。采用自編程開發(fā)的有限元程序進(jìn)行計(jì)算，網(wǎng)格劃分如圖2所示，模型節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為1 834，模型單元數(shù)量為3 506，孔壓場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)，節(jié)點(diǎn)處自由度為1。計(jì)算總時(shí)間為1e4 s，時(shí)間步數(shù)為1 000步，模型初始孔隙水壓力為20 kPa。

3.2 結(jié)果分析與對(duì)比

圖3為模型1在參數(shù)A下末時(shí)刻的孔隙水壓力分布云圖，在該邊界條件下，當(dāng)水平向固結(jié)系數(shù)降低到參數(shù)E時(shí)，其孔壓分布云圖見圖4，對(duì)比發(fā)現(xiàn)，兩者區(qū)別較小，且分布規(guī)律較為一致。在模型1中，由于左側(cè)邊界為不透水邊界，而滲透系數(shù)在水平向的降低，主要影響到水平向滲透性的降低，但是由于邊界的限制，兩側(cè)邊界不透水，因此，在該種條件下土體滲透性的各向異性對(duì)于固結(jié)過程的影響是較小的。圖5為參數(shù)A結(jié)果與參數(shù)E結(jié)果的偏差孔壓分布圖，可以看到，各向異性條件下偏差孔壓的幅值較小，在0.02 kPa之內(nèi)。圖6為模型在5組參數(shù)下的平均孔隙水壓力變化曲線，可以看到各向異性在此種邊界條件下，對(duì)于模型孔壓消散的影響較小，與各向同性下的計(jì)算結(jié)果偏差不大，平均孔壓曲線基本重合。

當(dāng)邊界3為透水邊界，其邊界條件為第一類齊次邊界，圖7為模型2在參數(shù)A條件下第500時(shí)間步的孔隙水壓力云圖，圖8為在參數(shù)E下的孔壓分布，可以看出，隨著水平向滲透性的降低，孔壓的消散速度也變慢，圖8孔壓幅值要高于圖7的，反映出邊界條件會(huì)對(duì)各向異性的描述產(chǎn)生一定程度的影響。

為了對(duì)比該邊界條件下，水平向固結(jié)系數(shù)降低所帶來的影響，分別給出了模型2的參數(shù)A與參數(shù)E的第100步、第500步及結(jié)束時(shí)的偏差孔壓分布云圖，分別見圖9～圖11。在第100步時(shí)，固結(jié)系數(shù)的降低使得模型整體孔隙水壓力偏大，并且在遠(yuǎn)離排水邊界的位置幅值較大，最大達(dá)到了6 kPa。隨著固結(jié)過程的繼續(xù)發(fā)生，孔隙水的持續(xù)排出，孔壓偏差較大的位置逐步向中間位置移動(dòng)，而當(dāng)達(dá)到末時(shí)刻時(shí)，偏差孔壓主要集中在右側(cè)邊界部分。造成這一種變化規(guī)律，主要是受到了右側(cè)邊界性質(zhì)的影響，并且土體水平向固結(jié)系數(shù)的降低，表示土體水平方向排水能力的降低，在邊界條件一定的情況下，土體的各向異性性質(zhì)會(huì)造成固結(jié)過程產(chǎn)生差異，尤其是在邊界透水情況下，這一差異更為明顯。圖12給出了在不同參數(shù)組下模型固結(jié)過程中平均孔隙水壓力隨時(shí)間變化曲線，可以看出，隨著水平向固結(jié)系數(shù)的降低，模型的排水速度逐漸降低，表明在此時(shí)邊界條件下，各向異性的性質(zhì)對(duì)于模型的整體的孔壓分布是有明顯影響的。

綜上，對(duì)于二維空間中的土體固結(jié)過程而言，土體的各向異性是會(huì)對(duì)固結(jié)過程中的孔壓變化產(chǎn)生一定程度影響的，但是還需要考慮邊界條件的影響，如果該方向邊界不排水，那么該方向的滲透性對(duì)于孔壓消散的影響較小。當(dāng)兩個(gè)方向均含有排水邊界時(shí)，各向異性表現(xiàn)得較為明顯，與各向同性的結(jié)果相比，孔壓偏差主要出現(xiàn)在遠(yuǎn)離排水邊界位置處，并且伴隨著固結(jié)的進(jìn)行逐步向排水邊界發(fā)展。

4 結(jié)論

為了探究各向異性條件下的土體固結(jié)特性研究，針對(duì)二維固結(jié)模型開展了研究，基于Galerkin法進(jìn)行了控制方程的離散，并利用Python語言進(jìn)行了有限元程序的開發(fā)，通過自編程的程序計(jì)算分析了不同異性程度下二維模型的固結(jié)過程，并與各向同性的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，主要研究結(jié)論如下：

1)各向異性條件下，土體固結(jié)過程中超孔隙水壓力的變化規(guī)律與邊界條件有關(guān)，當(dāng)該方向邊界為不排水時(shí)，該方向滲透性(固結(jié)系數(shù))的變化對(duì)于孔壓的分布影響較小，且模型整體平均孔壓變化較小。

2)當(dāng)兩個(gè)方向均有排水邊界時(shí)，土體各向異性對(duì)于固結(jié)過程影響明顯，與各向同性結(jié)果有明顯區(qū)別，偏差孔壓主要出現(xiàn)在不排水邊界附近，并隨著固結(jié)的進(jìn)行逐漸向排水邊界側(cè)移動(dòng)。