張 潔,徐龍昊,尹寶全

(1.西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.甘肅省智能信息技術(shù)與應(yīng)用工程研究中心，甘肅 蘭州 730070)

1 引言

1971年，Chua教授[1]提出了憶阻器理論。近年來，基于憶阻器的混沌系統(tǒng)設(shè)計已經(jīng)成為憶阻器研究的熱點之一[2 - 5]。Chen等[6]利用一種新型的余弦憶阻器構(gòu)造了一個四維憶阻系統(tǒng)。孫亮等[7]將局部有源憶阻器用于模擬生物突觸，構(gòu)建了一個局部有源憶阻突觸耦合HR(Hindmarsh Rose)神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)。王勻等[8]利用憶阻器結(jié)合分?jǐn)?shù)階理論和時滯系統(tǒng)理論，提出了一種基于分?jǐn)?shù)階時滯的非線性混沌電路。Li等[9]在三維系統(tǒng)中引入憶阻器，得到了一個四維超混沌系統(tǒng)，其具有無限個穩(wěn)定和不穩(wěn)定的平衡點。雖然對憶阻器的研究開展得較多，但基于憶阻器的超混沌系統(tǒng)的研究卻相對較少。

此外，混沌系統(tǒng)由于其隨機性，被廣泛應(yīng)用于圖像加密中。Liu等[10]提出了基于分段線性混沌系統(tǒng)加密的圖像加密算法。高成明等[11]提出了一種基于混沌的置亂-擴散圖像加密算法。方鵬飛等[12]提出了一種基于改進的二維Logistic混沌映射與DNA序列運算相結(jié)合的分組圖像加密算法。上述研究雖然都很好地完成了圖像加密，但都是單次加密。在圖像加密的過程中多次加密往往比單次加密的效果要好。

本文首先在Rucklidge[13]提出的三維系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，加入二次非線性有源磁控憶阻器，構(gòu)造了一個四階超混沌系統(tǒng)；然后通過相圖、Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖和平衡點等指標(biāo)，對該系統(tǒng)的動力學(xué)行為進行分析，并基于Multisim電路仿真軟件和現(xiàn)場可編程門陣列FPGA(Field Programmable Gate Array)數(shù)字硬件電路設(shè)計實現(xiàn)了電路；最后結(jié)合DNA加密設(shè)計了一種新的圖像加密算法，同時對加密后的圖像進行分析。結(jié)果表明，本文提出的混沌系統(tǒng)應(yīng)用于圖像加密具有較高的安全性能。

2 新四階超混沌系統(tǒng)

Rucklidge[13]提出的三維系統(tǒng)的方程如式(1)所示：

(1)

其中，α、β和p均為常數(shù)，α=2,β=6,p=-1;x、y和z均為狀態(tài)變量，并且系統(tǒng)有3個平衡點。現(xiàn)考慮引入一個憶阻器到這個三維系統(tǒng)。這里選用二次非線性磁控憶阻器,憶阻器的函數(shù)表達式如式(2)所示：

W(φ)=-m+n|φ|

(2)

其中,m=1,n=4。將流經(jīng)憶阻器的磁通表示為第4個狀態(tài)變量，狀態(tài)變量y為憶阻器兩端的電壓，憶阻強度用g(g>0)表示，引入后的系統(tǒng)方程如式(3)所示：

(3)

其中,α=2,β=6,g=0.1,p=-1;x、y、z和u均為狀態(tài)變量。當(dāng)系統(tǒng)的初始值為(0.1,0.1,0，0)時，式(3)存在復(fù)雜的超混沌現(xiàn)象。利用四階龍格庫塔算法求解式(3)，步長設(shè)置為0.1，結(jié)果如圖1所示。圖1展示了式(3)混沌吸引子在(x,y),(y,z)，(x,z)和(y,u)4個平面的二維映射圖。觀察圖1可以發(fā)現(xiàn)，相圖有2個渦卷和復(fù)雜的拉伸結(jié)構(gòu)，并且圖1b和圖1c是左右對稱的圖形。

Figure 1 Phase diagram of hyperchaotic system圖1 超混沌系統(tǒng)的相圖

3 超混沌系統(tǒng)的動力學(xué)分析

3.1 系統(tǒng)平衡點

為求系統(tǒng)平衡點，令超混沌系統(tǒng)方程式(3)的右邊等于零，得到式(4):

(4)

當(dāng)系統(tǒng)方程的參數(shù)為α=2,β=6,g=0.1,p=-1時，系統(tǒng)的平衡點為(0,0,0,ε),ε為任意數(shù)，并且可以得到式(4)的Jacobi矩陣如式(5)所示：

(5)

式(5)的特征方程如式(6)所示：

F(λ)=λ(λ-p){(α+λ)[gW(ε)+λ]-β}=0

(6)

3.2 系統(tǒng)的對稱性和耗散性

系統(tǒng)對坐標(biāo)變換 (x，y，z，u)→(-x，-y，z，-u)具有不變性，所以系統(tǒng)關(guān)于z軸對稱。通過式(3)得到系統(tǒng)的散度如式(7)所示：

(7)

即▽V=-3.1-0.4|φ|，其中|φ|≥0。所以散度小于0，系統(tǒng)具有耗散性，且系統(tǒng)以指數(shù)形式dV/dt=e(-3.1-0.4|φ|)t收斂,其中V表示存儲在系統(tǒng)中的能量，t表示時間，此式表明系統(tǒng)的能量在不斷地減少。當(dāng)t→∞時所有的系統(tǒng)軌跡最終都將會被限制在一個體積為0的極限點集上，而且它的動力學(xué)行為將會被固定在一個吸引子上，這充分證明了吸引子的存在。

3.3 系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)分析

Lyapunov數(shù)值描述了相空間相鄰軌道平均指數(shù)散度的數(shù)值特征，又稱Lyapunov指數(shù)，是一種用來識別混沌運動的數(shù)字特征。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)設(shè)定為α=2,β=6,g=0.1,p=-1時，計算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)，即LE1=0.3896,LE2=0.02659,LE3=-0.4065,LE4=-4.012。系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)之和是負(fù)數(shù)，且有2個Lyapunov指數(shù)大于0。計算系統(tǒng)的LE維數(shù)DL如式(8)所示：

(8)

可以得到系統(tǒng)的LE維數(shù)為分?jǐn)?shù)維且大于3，故系統(tǒng)是超混沌系統(tǒng)。

3.4 系統(tǒng)的Poincare截面圖和功率譜圖

Poincare截面也是系統(tǒng)動力學(xué)行為特征的一個重要判據(jù)。當(dāng)Poincare截面上只有1個不動點或少數(shù)離散點時，運動是周期的；當(dāng)Poincare截面上是1條封閉的連續(xù)曲線時，運動是擬周期的；當(dāng)Poincare截面上是一段連續(xù)曲線或是一些成片的密集點時，運動是混沌的。從圖2可以明顯看出，Poincare截面上的點呈現(xiàn)為連續(xù)曲線或片狀的密集點，所以該系統(tǒng)是混沌的。

Figure 2 Cross section and power spectrum of Poincare 圖2 Poincare截面圖和功率譜

對于混沌系統(tǒng)來講，若產(chǎn)生的混沌信號是非周期信號，則其系統(tǒng)的功率譜也是非周期的連續(xù)譜。圖2d是本文系統(tǒng)的功率譜，該功率譜連續(xù)表明系統(tǒng)處于非周期狀態(tài)，峰值的出現(xiàn)代表系統(tǒng)中有分岔現(xiàn)象發(fā)生。

3.5 系統(tǒng)的分岔圖及參數(shù)分析

分岔是指系統(tǒng)的動力學(xué)運動狀態(tài)隨著系統(tǒng)參數(shù)或者狀態(tài)變量初始值的改變而發(fā)生變化的一種現(xiàn)象。系統(tǒng)的運動狀態(tài)可以由一種穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)榱硪环N穩(wěn)定狀態(tài)，準(zhǔn)周期狀態(tài)到混沌狀態(tài)，一種混沌到另一種混沌等。隨著系統(tǒng)參數(shù)取值的改變，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖也發(fā)生改變。

當(dāng)α=2,β=6,g=0.1時，使參數(shù)p在(-2,0)內(nèi)變化，如圖3所示。從圖3中可以看出，Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖具有很好的一致性。當(dāng)p∈[-1.9,-1.83],[-1.71,-1.61]或[-0.19,0]時，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)，如圖4a所示；當(dāng)p∈[-1.61,-1.5],[-1.43,-0.95],[-0.66,-0.48]或[-0.34,-0.19]時，系統(tǒng)處于混沌振蕩狀態(tài)，如圖4b所示；當(dāng)p∈[-1.5,-1.43],[-0.95,-0.66]或[-0.48,-0.34]時，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài),如圖4c和圖4d所示。

Figure 3 Bifurcation diagram and Lyapunov exponential spectrum varying with parameter p圖3 隨參數(shù)p變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜

Figure 4 Phase diagrams varying with parameter p圖4 隨參數(shù)p變化的相圖

當(dāng)α=2,β=6,p=-1時，使參數(shù)g在(-1,1)內(nèi)變化。圖5是隨g變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖。當(dāng)g∈[0.61,0.63]時，系統(tǒng)處于擬周期軌道狀態(tài)，如圖6a所示；當(dāng)g∈[0.63,1]時，系統(tǒng)處于周期軌道狀態(tài),如圖6b所示；當(dāng)g∈[-1,-0.69],[-0.53,-0.49]或[0.54,0.61]時，系統(tǒng)處于混沌軌道狀態(tài),如圖6c所示；當(dāng)g∈[-0.69,-0.53]或[-0.49,0.54]時，系統(tǒng)處于超混沌軌道狀態(tài)，如圖6d所示。

Figure 5 Bifurcation diagram and Lyapunov exponential spectrum varying with parameter g圖5 隨參數(shù) g變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜

Figure 6 Phase diagrams varying with parameter g圖6 隨參數(shù)g變化的相圖

3.6 系統(tǒng)的共存吸引子分析

為了更好地對新超混沌系統(tǒng)的狀態(tài)進行研究和分析，本文通過改變系統(tǒng)的參數(shù)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在不同種類的吸引子，圖7是參數(shù)g變化時比較典型的3個系統(tǒng)吸引子相圖,圖7a為周期吸引子共存，圖7b為混沌吸引子共存，圖7c為超混沌吸引子共存。其中，在u=0的上半部分實線初始值為(-0.1,-0.1,0,0)，下半部分虛線的初始值為(0.1,0.1,0,0),觀察上圖可以看出本文系統(tǒng)在不同初始值下存在對稱的吸引子。

Figure 7 Attractor coexistence diagrams of the system圖7 系統(tǒng)的吸引子共存相圖

4 電路設(shè)計仿真及FPGA實現(xiàn)

4.1 系統(tǒng)的電路設(shè)計

圖8b是非線性有源磁控憶阻等效實現(xiàn)電路的原理圖，圖中的虛線部分為絕對值函數(shù)電路(即圖8a中的H(·))。通過計算得到的憶阻器等效電路表達式如式(9)所示：

W(φ)=-m+n|φ|=

(9)

其中，Rh和Rsat為憶阻器電路的電阻，方便在仿真軟件中和系統(tǒng)整體電路的電阻進行區(qū)分。

整體電路設(shè)計時，首先對系統(tǒng)方程式(3)作比例壓縮變換，設(shè)RX→X,RY→Y,RZ→Z,Ru→U,其中R為變量比例壓縮因子。設(shè)R=0.5，變換后的方程如式(10)所示：

Figure 8 System circuit diagram 圖8 系統(tǒng)電路圖

(10)

(11)

系統(tǒng)電路原理圖如圖8所示。

對比式(10)和式(11)，得到R0=R01=R02=R03=50 kΩ,C0=C1=C2=C3=33 nF,R5=R6=R7=R10=R11=R12=R16=R17=10 kΩ,R1=50 kΩ,R2=R13=5 kΩ,R3=16.7 kΩ,R9=83.3 kΩ,R4=R8=R14=R15=100 kΩ,Rsat=13.5 kΩ,Rh=6.05 kΩ。

通過在Multisim電路仿真軟件上進行驗證，實際相位圖如圖9所示，與上述的理論相位圖一致。因此驗證了該超混沌系統(tǒng)存在吸引子。

Figure 9 Diagram of circuit simulation 圖9 電路仿真圖

4.2 FPGA數(shù)字硬件電路實現(xiàn)

模擬器件容易受到許多環(huán)境因素的影響，從而造成混沌系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，基于現(xiàn)場可編程門陣列(FPGA)的數(shù)字電路因具有較高的并行計算能力和能被應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)工程領(lǐng)域而受到人們的青睞。

本文通過采用Euler 算法對系統(tǒng)方程進行離散化處理，離散后的方程如式(12)所示,通過XILINX的 FPGA開發(fā)軟件Vivado 進行設(shè)計,系統(tǒng)方程中的實數(shù)處理采用定點小數(shù)與截位計算相結(jié)合的方式。采樣的時間步長ΔT設(shè)定為0.001,圖10為示波器上得到的波形，觀察發(fā)現(xiàn)與Multisim和Matlab軟件的仿真結(jié)果一致。

(12)

Figure 10 FPGA-based object map圖10 基于FPGA的實物圖

5 圖像加密

5.1 加密算法

混沌系統(tǒng)由于其不確定性和初始條件的高敏感性，被廣泛應(yīng)用到圖像加密中。傳統(tǒng)的加密通常是一次加密，這種加密往往容易遭受攻擊導(dǎo)致信息泄露，因此需要新的混沌系統(tǒng)配合新的加密算法來完成加密。本文采用置亂-擴散與DNA加密相結(jié)合的雙重加密算法，達到了更好的加密效果。具體加密流程如圖11所示，解密過程為加密過程的逆運算。

Figure 11 Flow chart of encryption 圖11 加密流程圖

5.1.1 混沌序列

利用ode45算法計算混沌系統(tǒng)的初始值得到4個混沌序列，記為xi、yi、zi和ui，i=1,2,…,M×N。為了抵御明文攻擊，提高對明文的敏感性，對混沌序列進行如式(13)所示的處理:

(13)

其中,xi、yi、zi和ui(i=1,2,…,M×N)為明文參與前的初始序列；x′i、y′i、z′i和u′i(i=1,2,…,M×N)為明文參與后的混沌序列；Pi(i=1,2,…,M×N)為明文圖像的像素值。

然后迭代混沌系統(tǒng)，本文為了獲得更好的隨機性，舍棄了前面的2 000項。

5.1.2 Arnold置亂

Arnold置亂變換是由Arnold提出的一種置亂方法，其實質(zhì)是新舊位置的一一映射，具體變換公式如式(14)所示：

X=(x+by) modN

Y=[bx+(ab+1)y] modN

(14)

其中，a、b是Arnold置亂的2個參數(shù)，a=x′i，b=y′i(i=1,2,…,M×N);(X，Y)為坐標(biāo) (x，y)處的像素被置亂后的位置，通過Arnold置亂得到置亂矩陣A。

5.1.3 DNA動態(tài)編碼

眾所周知，一個DNA序列包含腺嘌呤(A)、胞嘧啶(C)、鳥嘌呤(G)和胸腺嘧啶(T)4種核酸堿基。其中，A和T互補，C和G互補。計算機系統(tǒng)中的信息用二進制數(shù)字0和1表示。因為二進制中的0和1是互補的，所以00和11、01和10也分別是互補的。因此，本文利用DNA序列中的A、C、G和T分別替換二進制序列中的00、01、10和11。本文中的DNA加密算法通過混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的z′i(i=1,2,…,M×N)混沌序列轉(zhuǎn)化為0～255之間的整數(shù)，再轉(zhuǎn)換為矩陣，記為矩陣B;然后將矩陣B和Arnold置亂得到的矩陣A轉(zhuǎn)化為二進制矩陣，再根據(jù)相應(yīng)的DNA編碼規(guī)則，把二進制矩陣中的每兩個二進制數(shù)字轉(zhuǎn)換為一個DNA堿基，從而得到對應(yīng)的DNA序列矩陣，把最后經(jīng)過DNA計算的矩陣記為C。解碼是編碼的逆過程。完整的DNA編碼規(guī)則如表1～表4所示。

Table 1 Coding and decoding rules of DNA表1 DNA編碼和解碼規(guī)則

5.1.4 像素級擴散

首先根據(jù)DNA解碼規(guī)則，對矩陣C進行動態(tài)解碼，得到二進制矩陣，并將其轉(zhuǎn)化為十進制矩陣，記為Fi，偽隨機序列u′i即為Di,Li為擴散后的序列。然后開始進行擴散，擴散采用異或運算的雙向擴散處理，即正向擴散和逆向擴散各一次。正向(按i從1到M×N)的算法與其逆運算如式(15)所示：

Table 2 XOR operation rules of DNA sequence表2 DNA序列的異或運算規(guī)則

Table 3 Addition operation rules of DNA sequence 表3 DNA序列的加法運算規(guī)則

Table 4 Subtraction operation rules of DNA sequence 表4 DNA序列的減法運算規(guī)則

(15)

逆向(按i從1到M×N)的算法與其逆運算如式 (16)所示：

(16)

本文在圖像加密的實驗中選用了標(biāo)準(zhǔn)的256×256的Lena圖像，加密后的結(jié)果如圖12所示，觀察發(fā)現(xiàn)密文圖像已沒有任何原圖的圖像特征。

Figure 12 Encryption effect of image圖12 圖像加密效果

5.2 圖像的安全性能分析

5.2.1 密鑰空間及敏感性分析

密鑰空間是指所有合法密鑰構(gòu)成的集合，當(dāng)密鑰空間足夠大時，窮舉攻擊可以被有效地對抗。一般規(guī)定當(dāng)密鑰空間大于2100時，加密系統(tǒng)的安全可靠性就會得到保障[14]。本文密鑰參數(shù)為(X0,Y0,Z0,U0)，計算得到的密鑰空間大小為2×1060,遠遠大于上述要求。

在保持其中3個不變的前提下，Y0變?yōu)閅0+10-16時，對其進行解密，可以解密出原始圖像；但是當(dāng)Y0變?yōu)閅0+10-15，記為Y′0時，對其進行解密，無法解密出原始圖像。同理,當(dāng)U0變?yōu)閁0+10-15，記為U′0時，對其進行解密，也無法解密出原始圖像。結(jié)果如圖13所示，對其余密鑰參數(shù)測試時，也會出現(xiàn)類似的結(jié)果。這說明本文圖像加密算法具有良好的密鑰敏感性。

Figure 13 Images decrypted with the wrong key and the right key respectively圖13 分別使用錯誤密鑰和正確密鑰解密的圖像

Figure 14 Correlation coefficient of image圖14 圖像的相關(guān)系數(shù)

5.2.2 相關(guān)系數(shù)計算及分析

圖像之間的相關(guān)特性也是衡量圖像加密效果的一個重要因素。一般地，明文圖像在水平、垂直和對角方向上的相鄰像素點間均具有較強的相關(guān)性，而密文圖像中的相鄰像素點間應(yīng)沒有相關(guān)性。相關(guān)性計算如式(17)所示：

(17)

其中，u,v表示任意相鄰的2個像素點值，E(u)和D(u)分別表示期望和方差。本文選取上面加密前后的Lena圖像用于計算相關(guān)系數(shù)，得到加密前后圖像的相關(guān)系數(shù)圖，如圖14所示。計算加密前后圖像在水平、垂直和正對角3個方向上的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如表5所示。

Table 5 Comparison of correlation coefficients表5 相關(guān)系數(shù)對比

由表5可知，明文圖像在3個方向上的相關(guān)性很強，接近于1，而對應(yīng)密文圖像的像素則均勻分布，其相關(guān)系數(shù)接近于0。利用原始Rucklidge[13]的三維系統(tǒng)產(chǎn)生3個混沌序列,分別為xi、yi和zp，其中前2個序列的長度為i=1,2,…,M×N，序列zp的長度加倍，即p=1,2,…,2×M×N。然后將序列zp分為2個小序列ri和ti，長度分別為i=1,2,…,M×N。將4個序列分別應(yīng)用于本文的圖像加密算法。將本文新系統(tǒng)的加密圖像和其它文獻加密圖像進行對比，發(fā)現(xiàn)本文系統(tǒng)加密圖像各個方向的相關(guān)系數(shù)都要強于它們。因此，新系統(tǒng)算法的加密效果非常明顯。

5.2.3 魯棒性分析

衡量一個加密算法抗干擾能力最重要的標(biāo)準(zhǔn)是魯棒性。本文選擇Lena圖像進行實驗分析，利用噪聲攻擊和剪切攻擊來測試本文算法的魯棒性。對加密圖像施加0.05倍的椒鹽噪聲，解密圖像如圖15b所示。剪切1/4的加密圖像的解密結(jié)果如圖15d所示。對比實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，利用本文加密算法仍能恢復(fù)出大部分原始圖像的信息。這表明本文算法可以在一定程度上抵抗噪聲攻擊和剪切攻擊，具有較好的魯棒性。

Figure 15 Robustness analysis of image圖15 圖像的魯棒性分析

5.2.4 信息熵

信息熵能夠反映圖像的不確定性，一般認(rèn)為，熵越大則信息量越大，可視信息反而越少。信息熵的計算如式(18)所示[14]：

(18)

其中，2n表示圖像中像素值的所有狀態(tài)數(shù)，p(si)表示該像素值在整幅圖像中所占的概率。可以得到具有2n個狀態(tài)的信息，信息熵就是n。因此一幅標(biāo)準(zhǔn)的具有 256 個狀態(tài)的圖像，理想的信息熵應(yīng)該是 8。本文系統(tǒng)加密后的圖像信息熵為7.998 9,與理論值8非常接近。表6給出了其它系統(tǒng)加密圖像的信息熵，與本文的信息熵對比后，發(fā)現(xiàn)本文新系統(tǒng)的加密效果良好。

Table 6 Comparison of information entropy 表6 信息熵對比

6 結(jié)束語

本文設(shè)計了一個四階超混沌電路系統(tǒng)，并分析了系統(tǒng)的相圖、Lyapunov指數(shù)譜、Poincare截面圖和分岔圖以及系統(tǒng)的穩(wěn)定性和耗散性，證明了系統(tǒng)的混沌特性，還設(shè)計出了系統(tǒng)的電路，并在Multisim電路仿真軟件和FPGA數(shù)字硬件電路實現(xiàn)中得到了驗證；最后將新混沌系統(tǒng)與DNA加密算法相結(jié)合，設(shè)計出了新的圖像加密算法，并分析了加密圖像的安全性能，發(fā)現(xiàn)其具有良好的加密效果，可以被廣泛應(yīng)用到圖像加密領(lǐng)域。