梅瑞斌 包 立 劉相華 *

*(東北大學(xué)材料與科學(xué)工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110819)

?(東北大學(xué)秦皇島分校，河北秦皇島 066004)

屈服準(zhǔn)則最早起源于巖土、巖石研究，常見(jiàn)的有用于金屬塑性屈服的米塞斯（Mises）、屈雷斯加（Tresca）準(zhǔn)則以及用于巖土力學(xué)分析的德魯克–普拉格（Drucker–Prager）、莫爾–庫(kù)侖（Mohr–Coulomb）、辛凱維奇–潘德（Zienkiewicz–Pande）等準(zhǔn)則，而金屬塑性力學(xué)中主要介紹Mises屈服準(zhǔn)則和Tresca屈服準(zhǔn)則物理意義、數(shù)學(xué)表達(dá)式異同以及幾何軌跡關(guān)系。作為塑性力學(xué)的基礎(chǔ)理論，屈服準(zhǔn)則在力學(xué)分析和參數(shù)優(yōu)化中占據(jù)著重要地位[1-4]，也是各高校金屬塑性成形力學(xué)[5]、塑性加工力學(xué)基礎(chǔ)[6]、塑性力學(xué)基礎(chǔ)[7]、彈塑性力學(xué)[8]等塑性力學(xué)類課程以及金屬塑性成形原理[9]、材料成形原理[10]等塑性原理類相關(guān)課程中重點(diǎn)講授的知識(shí)點(diǎn)。目前教材中關(guān)于幾何軌跡解釋和證明較為簡(jiǎn)略，導(dǎo)致課程講授中學(xué)生對(duì)屈服準(zhǔn)則的幾何軌跡理解不深刻、不透徹。為此，本文從學(xué)生理解角度對(duì)屈服準(zhǔn)則幾何軌跡進(jìn)行了梳理和證明，根據(jù)多年教學(xué)實(shí)踐效果表明該方法對(duì)學(xué)生加深屈服準(zhǔn)則知識(shí)點(diǎn)理解有較大幫助。

1 平面應(yīng)力條件下屈服準(zhǔn)則軌跡證明

Tresca屈服準(zhǔn)則是1864年法國(guó)工程師Tresca提出的最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則，即：對(duì)同一金屬在同樣的變形條件下，無(wú)論是簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)還是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，只要最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極值就發(fā)生屈服，然后分別引入拉伸屈服強(qiáng)度σs和剪切屈服強(qiáng)度k后，該準(zhǔn)則可以描述為

1913年，Mises從數(shù)學(xué)角度推導(dǎo)了Mises屈服準(zhǔn)則表達(dá)式，1924年，漢基證明了該表達(dá)式為能量準(zhǔn)則，即：對(duì)各向同性材料來(lái)說(shuō)，當(dāng)變形體內(nèi)部所積累的單位體積彈性變形能達(dá)到一定值時(shí)，材料發(fā)生屈服且該變形能只與材料性質(zhì)有關(guān)，而與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)。引入拉伸屈服強(qiáng)度σs和剪切屈服強(qiáng)度k后，該準(zhǔn)則可以描述為

對(duì)于Mises屈服準(zhǔn)則來(lái)說(shuō)，假定在主應(yīng)力坐標(biāo)系下，σ3=0 ，將其代入準(zhǔn)則表達(dá)式可以得到

令σ1-σ2/2=x，σ2/2=y，則式 (3)變?yōu)?/p>

式（4）所示的幾何圖形為標(biāo)準(zhǔn)橢圓，長(zhǎng)半軸為σs，短半軸為。又由假設(shè)σ1=x+y，σ2=2y，可得Mises屈服準(zhǔn)則平面條件下σ1和σ2在σ3=0平面內(nèi)是橢圓，與標(biāo)準(zhǔn)橢圓相比，軸向旋轉(zhuǎn)45°（圖1(a)所示），旋轉(zhuǎn)后長(zhǎng)半軸變?yōu)椋贪胼S變?yōu)?。?duì)于Tresca屈服準(zhǔn)則來(lái)說(shuō)，假定σs＞0 ，σ3=0 ，則可以得到Tresca屈服準(zhǔn)則為Mises準(zhǔn)則的內(nèi)接六邊形（圖1(b)所示）。

圖1 平面應(yīng)力下屈服準(zhǔn)則的幾何圖形

在平面應(yīng)力條件下Mises屈服準(zhǔn)則幾何軌跡是橢圓，為進(jìn)一步分析，從平面直角坐標(biāo)系出發(fā)，對(duì)該橢圓方程進(jìn)行證明。

證明：假設(shè)坐標(biāo)系O-XY和坐標(biāo)系O'-X'Y'的關(guān)系如圖2所示。

對(duì)于圖2所示坐標(biāo)系，進(jìn)行如下描述：坐標(biāo)系O-XY逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ后與坐標(biāo)系O'-X'Y'重合，或者表述為坐標(biāo)系O'-X'Y'順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ后與坐標(biāo)系O-XY重合，利用數(shù)學(xué)上的坐標(biāo)變換相關(guān)知識(shí)可以得到

圖2 旋轉(zhuǎn)矩陣與坐標(biāo)系變換

對(duì)于Mises屈服準(zhǔn)則的幾何變換，坐標(biāo)變換關(guān)系表述為

由式（6）可得新舊坐標(biāo)系下應(yīng)力關(guān)系表達(dá)式為

將式（7）代入到平面應(yīng)力條件下的Mises屈服準(zhǔn)則表達(dá)式（2）中，可得

令 c o s(2θ)=0 ， s i n(2θ)=1 ，即θ=，可得到

將式（9）進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理后得到

式（10）為標(biāo)準(zhǔn)的橢圓方程，根據(jù)矩陣變換條件可知，平面應(yīng)力狀態(tài)的下Mises屈服準(zhǔn)則是由標(biāo)準(zhǔn)橢圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到，其長(zhǎng)半軸及短半軸長(zhǎng)度分別為和。

所以，圖1中所示六邊形ABCDEF為T(mén)resca屈服準(zhǔn)則幾何軌跡，外接橢圓軌跡為Mises屈服準(zhǔn)則幾何軌跡。

2 空間米塞斯屈服準(zhǔn)則幾何證明

Mises屈服準(zhǔn)則平面幾何軌跡為橢圓，故在空間中只有橢圓面和圓柱面兩種可能。假設(shè)一點(diǎn)P的應(yīng)力狀態(tài)(σ1,σ2,σ3)可用向量OP來(lái)表示，如圖3所示。

圖3 向量 O P 及幾何圖形示意圖

過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作與坐標(biāo)軸成等傾角的直線ON，向量OP在該直線上的投影為OM，由此，向量OP可分解為向量OM與MP且有

由圖3很容易得到OP線段的模為|OP|2=所以MP線段的模為

為求得OM的模，令M點(diǎn)的坐標(biāo)為x，y和z，OP矢量為（x,y,z），根據(jù)矢量關(guān)系，MP矢量為(x-σ1,y-σ2,z-σ3)，由于OM⊥MP，所以

故，矢量OM的模為

將OP和OM向量的模代入式（12）后，可得矢量MP的模為

由式（14）可以看出，以O(shè)M為軸心，MP為半徑，旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱面，其該圓柱面的半徑與平面應(yīng)力條件下Mises屈服準(zhǔn)則橢圓的短半軸相等。如果能證明該圓柱面與σ3=0 平面的交線和式（10）表示的橢圓的長(zhǎng)半軸相等，則可推出該圓柱面即為Mises屈服準(zhǔn)則的空間幾何軌跡。

證明：由圖3可知，OM與三個(gè)坐標(biāo)軸成等傾角，方向余弦為，過(guò)M點(diǎn)作σ1和σ2組成的平面的垂線，交點(diǎn)為F，連接OF并延伸至G。

根據(jù)M點(diǎn)和F點(diǎn)坐標(biāo)能夠得到線段OF的長(zhǎng)度為，于是

將MG長(zhǎng)度代入式（15）可得到線段OG長(zhǎng)度為，正好等于平面應(yīng)力條件下橢圓長(zhǎng)半軸的值。所以該空間圓柱面與σ3=0 平面相交曲線是長(zhǎng)半軸為，短半軸為的橢圓幾何軌跡。

由此得證，Mises屈服準(zhǔn)則的空間圖形是以直線ON為軸線，以為半徑的圓柱面，該圓柱面軸心線方向與三個(gè)主坐標(biāo)軸夾角相同。根據(jù)Mises屈服準(zhǔn)則和Tresca屈服準(zhǔn)則平面關(guān)系可以證明Tresca屈服準(zhǔn)則的空間圖形為正六棱柱面。

3 Tresca與Mises幾何軌跡關(guān)系

由前述可知，用拉伸屈服應(yīng)力σs描述的Mises屈服準(zhǔn)則空間軌跡為圓柱面，而Tresca屈服準(zhǔn)則為內(nèi)接正六邊形，如圖1(b)所示。在引入羅德系數(shù)條件下，Mises屈服準(zhǔn)則可以簡(jiǎn)化為

其中，μd為羅德系數(shù)，β為簡(jiǎn)化系數(shù)。

一般根據(jù)式（16）可知：（1）軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下，β=1 ，兩個(gè)屈服準(zhǔn)則表達(dá)形式相同；（2）平面應(yīng)變或純剪應(yīng)力狀態(tài)下，，兩個(gè)準(zhǔn)則差別最大。

實(shí)際上，當(dāng)屈服準(zhǔn)則用剪切屈服強(qiáng)度k描述時(shí)，由于Mises屈服準(zhǔn)則下故式（16）表示的Mises屈服準(zhǔn)則簡(jiǎn)化形式描述為

根據(jù)式（17）可知：（1）軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下，β=1時(shí)，Mises屈服準(zhǔn)則，而Tresca屈服準(zhǔn)則σ1-σ3=2k，兩個(gè)準(zhǔn)則形式并不相等；（2）平面應(yīng)變或純剪應(yīng)力狀態(tài)下，時(shí)，Mises屈服準(zhǔn)則σ1-σ3=2k，和Tresca屈服準(zhǔn)則表達(dá)形式相同。

綜上所述，不難得到當(dāng)用剪切屈服強(qiáng)度描述屈服準(zhǔn)則時(shí)，Mises屈服準(zhǔn)則和Tresca屈服準(zhǔn)則表達(dá)式形式與采用拉伸屈服強(qiáng)度描述時(shí)正好相反。如果用σs描述屈服準(zhǔn)則，Tresca內(nèi)接于Mises屈服準(zhǔn)則幾何軌跡，而如果用k來(lái)描述，則平面應(yīng)力條件下的屈服準(zhǔn)則幾何軌跡如圖4所示，此時(shí)，Tresca屈服準(zhǔn)則仍然為六邊形，Mises屈服準(zhǔn)則為橢圓，橢圓內(nèi)接于六邊形，空間圖形也是如此。

圖4 剪應(yīng)力常數(shù)描述時(shí)平面應(yīng)力條件的屈服準(zhǔn)則幾何軌跡

4 結(jié)論

針對(duì)塑性力學(xué)教學(xué)和應(yīng)用中的重點(diǎn)知識(shí)，從教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)角度利用坐標(biāo)變換和幾何關(guān)系推導(dǎo)證明了Mises和Tresca屈服準(zhǔn)則的幾何軌跡，討論了兩個(gè)準(zhǔn)則表達(dá)式以及幾何軌跡的關(guān)聯(lián)性和本質(zhì)區(qū)別。平面應(yīng)力條件下Mises和Tresca為橢圓和六邊形，空間圖形為圓柱面和正六棱柱面，當(dāng)準(zhǔn)則用屈服應(yīng)力σs表示時(shí)，Tresca幾何軌跡內(nèi)接于Mises幾何軌跡，當(dāng)用剪切屈服強(qiáng)度k表示時(shí)，Tresca幾何軌跡外接于Mises幾何軌跡。