惠 飛,席 輝,張凱望,魏 思

(長安大學(xué)信息工程學(xué)院，陜西 西安 710064)

0 引 言

隨著我國經(jīng)濟發(fā)展，交通運輸業(yè)蓬勃發(fā)展，但交通運輸量的增加和交通建設(shè)的滯后使得交通擁塞問題逐漸突顯，成為人們關(guān)注和亟待解決的問題[1-2]。交通理論中，緩解交通擁塞在某些方面可理解為解決交通失穩(wěn)問題[3-4]。為探究交通失穩(wěn)的形成成因與演化規(guī)律，國內(nèi)外許多學(xué)者依托車輛跟馳模型，以微觀交通流角度用數(shù)學(xué)模型來表達模擬交通流的演變情況，對交通波動進行了深入研究[5-8]。

基于交通流與阻塞交通存在阻塞轉(zhuǎn)移的特性，Brackstone等人[5]提出了微觀交通流視角下的車輛跟馳的基本概念。Chandler等人[6]和Newelld[7]提出了刺激-反應(yīng)原理，其考慮跟馳前后車的速度差及間距對跟馳狀態(tài)的影響來描述車輛跟馳模型。Bando等人[8]于1995年提出了基于跟馳前后車間距最優(yōu)化速度函數(shù)的最優(yōu)速度(Optimal Velocity，OV)模型，可以模擬如走走停停、交通失穩(wěn)之類更為真實的交通場景，為車輛跟馳研究打開了思路，諸多改進模型被研究提出[9-10]。其中，1998年Helbing等人[11]改進了OV模型中會產(chǎn)生的過大加減速問題，提出了考慮負速度差對跟馳行為影響的廣義力(Generalized Force，GF)模型。Jiang等人[12]在2001年改進了GF模型，引入正速度差對車輛跟馳的積極效應(yīng)，提出了全速度差(Full Velocity Difference，F(xiàn)VD)模型。Peng等人[13]為進一步提高交通流穩(wěn)定性，在FVD模型上引入最優(yōu)速度記憶項差值，提出了考慮駕駛員記憶的最優(yōu)速度(Optimal Velocity Changes with Driving Memory，OVCM)模型，相比FVD模型具有更大的穩(wěn)定區(qū)域。

隨著車聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，智能網(wǎng)聯(lián)環(huán)境日漸成熟[14]，車輛可通過車車通信、車路通信技術(shù)獲取到超視距范圍下鄰近多輛車的行駛狀態(tài)信息[15-20]，諸多學(xué)者著眼于網(wǎng)聯(lián)車新特性展開研究[21-24]。王濤等人[25]基于超視距下能獲取更多車輛信息的特點改進了FVD模型，提出了引入多前車速度差信息的多速度差(Multiple Velocity Difference，MVD)模型，研究表明，引入多輛前車的狀態(tài)信息能有效吸收跟馳車輛突變擾動，提升車流穩(wěn)定性。孫棣華等人[26]從獲取跟隨車輛信息的角度研究，在FVD模型加入后視效應(yīng)對交通流的影響，提出向后觀測速度差(Backward Looking and Velocity Difference，BLVD)模型，結(jié)果表明，該模型可以有效減少交通流不穩(wěn)定區(qū)域。在上述模型的基礎(chǔ)上，考慮后視效應(yīng)和最優(yōu)速度記憶[3]以及考慮多前車速度差和最優(yōu)速度[13]的車輛跟馳模型被相繼提出。但是，同時考慮后視、多前車速度差和多前車最優(yōu)速度記憶綜合反饋的交通流特性并未在以上模型中體現(xiàn)。

綜上所述，本文在OVCM模型的基礎(chǔ)上，提出一種考慮后視效應(yīng)和多前車速度差及最優(yōu)速度記憶(Backward Looking-Multi-preceding Vehicle’ Velocity Difference and Optimal Velocity Changes with Memory，BL-MVDOVCM)的跟馳模型，并對模型進行線性穩(wěn)定性分析，同時分析了多車和后視參數(shù)對交通流穩(wěn)定性的影響，最后利用數(shù)值仿真驗證模型，進行了與OV、FVD、OVCM模型的穩(wěn)定性對比分析。

1 BL-MVDOVCM模型建立

基于車聯(lián)網(wǎng)交通環(huán)境下，每輛車可獲取到超視距的車輛行駛狀態(tài)，因此考慮引入緊鄰多前車的速度差及最優(yōu)速度記憶信息和后視效應(yīng)來改進OVCM模型，提出BL-MVDOVCM模型的微分方程描述為：

(1)

對式(1)展開描述：

=α[pVF(Δxn(t))+(1-p)VB(Δxn-1(t))]

-V(Δxn+i-1(t-τ))]

(2)

式中α為最優(yōu)速度敏感系數(shù)；VF(·)和VB(·)分別為跟馳車及緊鄰跟馳車的后車的最優(yōu)速度函數(shù)；Δxn(t)表示前后車間距；t為當(dāng)前時刻，v為t時刻車速，k為考慮緊鄰前車的數(shù)量，T為人為和機械因素產(chǎn)生的延時，λi以及γi分別為第n+i-1輛車與其前車速度差項的敏感系數(shù)及最優(yōu)速度記憶項的敏感系數(shù)；τ為最優(yōu)速度記憶采樣時間間隔。若不考慮后視效應(yīng)和多車信息，則可取p=1、k=1，則簡化為OVCM模型；若再忽略最優(yōu)速度記憶影響，取p=1、k=1、γ=0(或τ=0)，則模型簡化為FVD模型；當(dāng)在前述基礎(chǔ)上，不考慮前后車速度差因素，取p=1、k=1、γ=0(或τ=0)、λ=0時，模型簡化為OV模型。

根據(jù)文獻[3]采用最優(yōu)速度函數(shù)計算公式如下：

(3)

其中，α′、α″分別為VF、VB的最優(yōu)速度函數(shù)系數(shù)，h為跟馳前后車車頭安全間距。

為降低模型的穩(wěn)定性分析和數(shù)值分析的復(fù)雜度[3]，對公式中的T進行簡化：

vn(t+T)=vn(t)+Tan(t)

(4)

將式(4)帶入式(2)得：

(5)

-VF(Δxn+i-1(t-τ))]

(6)

簡化Δxn(t-τ)，對其進行泰勒展開，并忽略非線性項：

Δxn(t-τ)=Δxn(t)-τΔvn(t)

(7)

同理對V(Δxn(t-τ))進行簡化：

V(Δxn(t-τ))

=V(Δxn(t)-τΔvn(t))

=V(Δxn(t))-τΔvn(t)V′(Δxn(t))

(8)

將式(8)帶入式(6)得：

(9)

2 線性穩(wěn)定性分析

本節(jié)采用Lyapunov第一法及線性諧波微擾法[27]對車輛跟馳模型進行線性穩(wěn)定性分析，具體是對穩(wěn)態(tài)交通系統(tǒng)在周期邊界條件下施加微小的擾動，使穩(wěn)態(tài)交通系統(tǒng)產(chǎn)生微小的狀態(tài)失衡，觀察系統(tǒng)中擾動傳播的變化規(guī)律并分析[15]。

施加一初始擾動yn(t)=eikn+zt后，每輛車的位置改變?yōu)椋?/p>

(10)

由式(10)可得：

Δxn(t)=h+Δyn(t)

(11)

(12)

將式(11)、式(12)帶入速度公式，得：

V(Δxn(t))=V(h+Δyn(t))=V(h)+V′(h)Δyn(t)

(13)

(14)

聯(lián)立式(13)式(14)得:

(15)

帶入式(11)式(12)式(15)到式(10)，可得擾動相關(guān)的微分方程yn(t)如下：

(16)

簡化式(16)中yn(t)，設(shè)eikn+zt=eβ，則yn(t)=eikn+zt=eβ，有：

(17)

式(16)中yn(t)按傅里葉級數(shù)展開，并將式(17)帶入可得：

z2eβ=αeβ[pVF′(h)(eik-1)+

(18)

式(18)等式兩端約掉eβ，得：

z2=α[pVF′(h)(eik-1)+

(19)

對參數(shù)z按z=z1(ik)+z2(ik)2展開，同時將eik進行泰勒展開，均帶入式(19)，則可得到z1、z2的表達式：

z1=pVF′(h)+(1-p)VB′(h)；

(20)

當(dāng)z2<0，交通流系統(tǒng)車輛跟馳狀態(tài)不穩(wěn)定。反之，系統(tǒng)保持穩(wěn)定狀態(tài)。則新建模型的中性穩(wěn)定條件為：

(21)

若要交通流系統(tǒng)在一微小擾動下仍能保持穩(wěn)態(tài)，則滿足的條件為：

(22)

反之，則不穩(wěn)定。

取h=4，α=0.85，α′=1，α″=1，BL-MVDOVCM模型的λi和γi參數(shù)值[3，13]分別取為{λ1，λ2，λ3}={0.2，0.15，0.1}，{γ1，γ2，γ3}={0.1，0.08，0.06}，其他參數(shù)取值[12-13，25-26]如表1所示：

表1 各模型的其他參數(shù)表

根據(jù)表1參數(shù)，在MATLAB中繪制4種模型的臨界穩(wěn)定性曲線如圖1所示，其中曲線以上為穩(wěn)定區(qū)域，以下為不穩(wěn)定區(qū)域。

圖1 OV，F(xiàn)VD，OVCM，BL-MVDOVCM模型穩(wěn)定性曲線圖

處于穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的交通流在受到隨機擾動后，經(jīng)一段時間調(diào)整會被系統(tǒng)逐漸消化，交通流最終趨于穩(wěn)定。而在非穩(wěn)定相位區(qū)域內(nèi)，隨機擾動隨時間對交通流影響會增加，使得交通流趨于產(chǎn)生時走時停的車流現(xiàn)象，最終導(dǎo)致交通擁塞的發(fā)生。從圖1可看出，各模型穩(wěn)定相位區(qū)域按OV，F(xiàn)VD，OVCM，BL-MVDOVCM模型次序依次增大，BL-MVDOVCM模型的不穩(wěn)定區(qū)域最小。

圖2和圖3為k和p取不同值時所提模型的臨界穩(wěn)定性曲線圖。從圖中可看出：當(dāng)初始條件一致時，在一定范圍內(nèi)增加k或減少p，不穩(wěn)定區(qū)域縮小。由此可得，引入后視效應(yīng)項和多前車綜合信息項有益于進一步提高穩(wěn)態(tài)交通流系統(tǒng)的抗擾動能力，保持車輛跟馳的穩(wěn)定。

圖2 不同k值下的BL-MVDOVCM模型穩(wěn)定性曲線圖

圖3 不同p值下的BL-MVDOVCM模型穩(wěn)定性曲線圖

3 數(shù)值模擬與分析

利用數(shù)值仿真對BL-MVAOVCM模型的穩(wěn)定性進行模擬驗證和分析。根據(jù)跟馳模型特性選取一長L為400 m的環(huán)形車道，車輛總數(shù)N為100，各車以4 m為安全車頭間距，有序分布在環(huán)形車道[27]。設(shè)定最高車速為2 m/s，即α′=1、α″=1，最優(yōu)速度敏感系數(shù)α取0.8 5-1進行實驗[3]。

數(shù)值模擬實驗中，穩(wěn)態(tài)交通系統(tǒng)車輛初始位置與車速為：

(23)

(24)

對第一輛車施加一個微小擾動：

x1(0)=1

(25)

即改變第一輛車的位置，觀察穩(wěn)態(tài)交通流系統(tǒng)受擾后狀態(tài)變化并分析。

3.1 多車速度差、多車最優(yōu)速度記憶及后視效應(yīng)對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響分析

為驗證BL-MVDOVCM模型中前車速度車信息、前車最優(yōu)速度記憶信息以及后視效應(yīng)信息對交通流的穩(wěn)定性影響效果，分別在前述實驗交通場景下用控制變量法對λ、γ、p敏感系數(shù)設(shè)定不同數(shù)值進行實驗并分析。

3.1.1 前車速度差信息致穩(wěn)實驗

取考慮的前車數(shù)量k=1，后視效應(yīng)敏感系數(shù)p=0.9，最優(yōu)速度記憶敏感系數(shù)γ=0.3，記憶步長τ=0.3，在其他條件一致下將前車速度差敏感系數(shù)分別設(shè)置為λ=0、λ=0.1、λ=0.2，繪制車流在100 s、300 s時刻的速度變化曲線，受擾車流車速隨前車速度差敏感系數(shù)λ的變化情況如圖4所示。

(a) t=100 s

由圖4可看出當(dāng)λ值為0時，仿真時間100 s時刻的車流中車輛速度波動大，且在300 s時刻時，可明顯看出車輛的速度顯示出時走時停的趨勢。

而隨著λ值在0到0.2增加過程中，跟馳車流在仿真時間100 s和300 s的速度波動明顯減小，特別是λ=0.2在300 s時刻的波動近乎平緩，說明在當(dāng)前時刻交通流系統(tǒng)受初始擾動干擾而造成的速度波動已被系統(tǒng)消化，系統(tǒng)恢復(fù)為穩(wěn)定交通，即考慮前車速度差可使穩(wěn)態(tài)交通系統(tǒng)受擾振幅變小，因此模型引入速度差項可有效減少時走時?，F(xiàn)象，增強交通流穩(wěn)定性。

3.1.2 最優(yōu)速度記憶信息致穩(wěn)實驗

取前車數(shù)量k=1，后視敏感系數(shù)p=0.9，速度差敏感系數(shù)λ=0.2，記憶步長τ=0.3，最優(yōu)速度記憶敏感系數(shù)γ分別設(shè)為0、0.15、0.3，其他條件一致，繪制車流100 s和300 s時刻速度變化曲線，分析車流受擾后車速隨最優(yōu)速度記憶敏感系數(shù)γ的波動變化。

(a) t=100 s

由圖5可得γ=0.3或0.15時，跟馳車流速度波動明顯小于γ=0時的車速波動，即引入記憶效應(yīng)能使車輛的速度波動范圍區(qū)間變小，改善交通流的穩(wěn)定性。同時明顯看出γ為0.3的模型，在300 s時刻的車輛速度曲線較100 s時刻更平緩，且比γ取0.15的曲線峰要少，故選取γ=0.3作為之后實驗敏感系數(shù)數(shù)值。

3.1.3 后視效應(yīng)致穩(wěn)實驗

取前車數(shù)量k=1，速度差系數(shù)λ=0.2，最優(yōu)速度記憶系數(shù)γ=0.3，記憶步長τ=0.3，將后視效應(yīng)系數(shù)p分別取p=1、p=0.9、p=0.8進行數(shù)值模擬，繪制在500 s內(nèi)的100輛車的速度曲線波動如圖6所示，觀察分析后視效應(yīng)敏感系數(shù)p對交通流的致穩(wěn)效果。

(a) p=1

由圖6可看出隨著p取值減小，100輛車速整體趨于一個穩(wěn)定速度的耗時縮短，速度變化幅度范圍減少，因干擾引起過大車速變化的車輛數(shù)更少。p=1的模型中，穩(wěn)態(tài)交通受干擾后，跟馳車流內(nèi)受影響車輛范圍廣，車輛受波動引起的速度差幅度平均在20%。而p=0.9時速度幅度明顯降低，受干擾影響變小。p取0.8時，車流車輛速度曲線經(jīng)200 s仿真時間的調(diào)整已趨于平緩。因此可得，引入后視效應(yīng)能使受擾交通的速度波動幅度與影響時長降低，有助于交通流的穩(wěn)態(tài)保持。

3.2 多前車綜合信息及后視效應(yīng)對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響分析

采用前述環(huán)形車道場景，根據(jù)參考文獻[26]選取后視效應(yīng)敏感系數(shù)條件p=0.9，對模型引入不同數(shù)量的鄰近前k車行駛狀態(tài)綜合信息進行數(shù)值模擬，分析的交通車流中特定車輛(第25、50、75輛車)在仿真時間內(nèi)的速度變化及其與前車車間距波動情況如圖7～圖9所示，其他參數(shù)采用表1中BL-MVDOVCM模型參數(shù)值，進行數(shù)值模擬。

圖7 第25輛車車速、距離隨參數(shù)k變化波動圖

圖8 第50輛車車速、距離隨參數(shù)k變化波動圖

圖9 第75輛車車速、距離隨參數(shù)k變化波動圖

由圖7～圖9可看出，k=3時的仿真結(jié)果的車流速度和車間距離的波動小于k=1、k=2時的車流波動，說明在k從1到3增加的過程中，即以跟馳車為主體，從考慮鄰近1輛前車與其前車速度差及最優(yōu)速度記憶綜合信息，到考慮鄰近3輛前車與其前車的綜合信息的過程中，增加考慮鄰近前車與其前車速度差等信息使得速度擾動振幅降低，距離的范圍區(qū)間縮小，即減少了隨機干擾的影響，使得交通流穩(wěn)定性增強。結(jié)果說明：在其他條件一致下，引入多個前鄰近車輛的速度差及多個前鄰近車輛的最優(yōu)速度記憶效應(yīng)的綜合信息能有效提升交通流的穩(wěn)定性。

3.3 模型對比

在相同仿真場景下對經(jīng)典OV、FVD、OVCM模型以及BL-MVDOVCM模型進行仿真實驗，分析引入后視效應(yīng)和多前車信息反饋的模型交通流的穩(wěn)定能力，并與其他模型進行性能對比。

仿真環(huán)境與上述場景相同，各模型仿真參數(shù)按表1取值，統(tǒng)計采樣時刻分別為30 s、100 s、500 s時不同模型百輛車的最大車速、最小車速、平均車速、以及速度波動率數(shù)據(jù)如表2～表4所示。

表2 第30采樣時刻不同模型的速度及其波動率

表3 第100采樣時刻不同模型的速度及其波動率

表4 第500采樣時刻不同模型的速度及其波動率

從表2～表4可看出，不同采樣時刻內(nèi)下OV模型、FVD模型的速度波動率隨采樣時間遞增而增大，特別是采樣時刻500 s，OV模型的平均速度波動率達到了89.62%，而FVD模型也達到76.61%，表明此時的交通流已經(jīng)出現(xiàn)了時走時停的交通現(xiàn)象，跟馳車流失穩(wěn)。

而對于OVCM模型和BL-MVDOVCM模型，表中的速度波動率隨采樣時間遞增而減少，同時500 s時刻2個模型的平均速度波動率均低于5%，說明模型的交通流系統(tǒng)正在消化初始擾動的影響。在3次采樣時刻，相比OVCM模型、BL-MVDOVCM模型的向上和向下速度波動率均在1%附近，平均速度波動率低于0.5%，均明顯小于OVCM模型的波動率采樣值，說明擾動對所提模型的影響更小，BL-MVDOVCM模型的干擾控制能力更強。因此，所提模型引入多前車綜合信息反饋和后視效應(yīng)的考慮對穩(wěn)態(tài)交通受擾維穩(wěn)具有更優(yōu)作用效果，改進了OVCM模型的抗擾能力，提高了交通流的穩(wěn)定性。

4 結(jié)束語

本文為提升交通流的穩(wěn)定性，基于OVCM模型上進行維穩(wěn)性能改進，綜合考慮融合超視距多前車信息與后視效應(yīng)的影響，提出了考慮多前車信息反饋和后視效應(yīng)的擴展跟馳模型(BL-MVDOVCM)。由臨界穩(wěn)定性曲線分析證明相對于OV、FVD、OVCM模型，BL-MVDOVCM模型具有更小的不穩(wěn)定性區(qū)域。數(shù)值模擬實驗結(jié)果得出：后視效應(yīng)、速度差及最優(yōu)速度記憶的考慮對交通流的致穩(wěn)有明顯效果。驗證了綜合考慮多前車信息和后視效應(yīng)能有效改善OVCM模型的穩(wěn)定性控制，所提BL-MVDOVCM模型的跟馳車流具有較好的穩(wěn)定性。但本模型考慮仍有欠缺，如未考慮后視效應(yīng)與交通流穩(wěn)定速度的關(guān)系平衡，同時鑒于仿真場景設(shè)定的局限也未考慮到實際交通場景中不同交通環(huán)境對交通流穩(wěn)定性的影響，這將是本文下一步改進模型和研究的方向。