張文花，李俊林，謝秀峰，董安強

(太原科技大學 應用科學學院，太原 030024)

微機電系統(MEMS)在儀器測量、航天航空、生物醫(yī)學和環(huán)保等領域有巨大的應用前景[1-2]。而微懸臂梁作為MEMS的重要組成部分，對它的研究是必不可少的[3]。微懸臂梁在物流運輸，倉庫儲存等工作過程中容易受到隨機激勵產生振動，盡管科研人員對微懸臂梁進行了大量而廣泛的研究工作，但是對微懸臂梁在隨機激勵下的響應等方面的研究工作還存在不足，這使得MEMS在實際生活中的應用缺乏相關理論支持，從而使得MEMS不能被廣泛的應用。因此，研究微懸臂梁在隨機激勵下的響應是有意義的。

丁建寧等通過對微懸臂梁進行研究，建立了梁的方程[4]。武潔等研究了微懸臂梁系統動力學特性，建立了系統連續(xù)模型，得到了振動控制方程，并分析了不同結構參數對系統動態(tài)響應的影響[5]。許銳彬通過有限元建模方法研究了微懸臂梁系統在受到簡諧振動和突然沖擊時的動態(tài)響應[6]。本文將在前人工作的基礎上研究微懸臂梁的瞬態(tài)均方響應。自上世紀七十年代以來，科研人員對線性或非線性系統的均方響應進行了大量的研究，并取得了重大進展。Grigoriu用平穩(wěn)高斯輸入求得線性系統的瞬態(tài)響應[7]。謝秀峰等研究了隨機激勵下非線性系統的瞬態(tài)響應[8-9]。Peng 推導了非平穩(wěn)隨機激勵下線性系統均方響應的封閉解[10]。然而，他們評估均方響應的求解方法總是在時域或頻域上進行。Hu指出響應的極點留數法可以通過系統轉移函數簡單的代數運算得到，進而可以得到系統的響應[11]。

綜上所述，本文將采用極點留數法，在復平面上求解MEMS中微懸臂梁在高斯白噪聲隨機激勵下的瞬態(tài)均方響應的封閉解。最后，通過對瞬態(tài)均方響應的分析，討論了阻尼比及噪聲強度對系統瞬態(tài)均方響應的影響規(guī)律。

1 集總參數建模

MEMS中常用的建模方法是集總參數建模[12-13]，而集總參數建模的核心是彈簧-質量-阻尼系統。由于微懸臂梁在MEMS中的特殊地位，作為一彈性元件，在小變形情況下，其彈性系數可以用常量k來代替，振動時的阻尼來自材料內阻尼c.故微懸臂梁振動系統可以用質量彈簧阻尼系統來模擬。如圖1所示。

圖1 彈簧質量阻尼系統模型Fig.1 Spring mass damping system model

當質量受到高斯白噪聲隨機激勵g時，系統的運動方程可表示為：

(1)

2 系統的響應

(2)

式中，h(t)為系統的單位脈沖響應函數：

(3)

故方程(1)的拉普拉斯變換為：

(4)

(5)

(6)

它的極點留數公式為：

(7)

μ=-ζω0+iωd

(8)

(9)

對方程(7)進行拉普拉斯逆變換，得：

(10)

(11)

3 自相關函數和功率譜密度函數

考慮了白噪聲隨機激勵g(t)是零均值高斯平穩(wěn)隨機過程，Sg(ω)和Rg(ω)分別是功率譜密度函數和自相關函數，有如下關系：

(12)

(13)

零均值的隨機響應激勵也是零均值，則X(t1)X(t2)的期望為：

E[X(t1)X(t2)]=

(14)

當t1=t2=t時，可以得到在t時的均方位移

E[X2(t)]=

(15)

4 平穩(wěn)響應的協方差

把方程(13)代入方程(15)中，得：

(16)

由于時間變量τ1和τ2可以分離，則

(17)

令：

(18)

(19)

(20)

式中，

(21)

(22)

(23)

由上可知，C1(ω)=-(A1(ω)+B1(ω))，對方程(20)進行拉普拉斯逆變換，得：

(24)

令:

(25)

對方程(25)進行拉普拉斯變換得，

本文筆者將微課應用到成人繼續(xù)教育中，將信息化教學手段融入了傳統教學中，從而形成了線上線下的混合式教學模式。這種混合式教學模式是一種優(yōu)秀的教學模式，它綜合了MOOC的優(yōu)勢，彌補了MOOC缺乏管理機制的缺陷，利用現有大量的MOOC資源，降低了微課制作的工作量，突現了“互聯網+”時代的優(yōu)勢。

(26)

(27)

式中，

(28)

(29)

(30)

(31)

令g(t，ω)=y1(t1，ω)y2(t2，ω)，則 ：

(32)

C1(ω)C2(ω)

(33)

5 瞬態(tài)均方響應

將方程(33)代入方程(32)，可以得到在t時的均方位移為：

(34)

其中：

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

由上可知，E9是獨立于時間t的平穩(wěn)項，將方程(23)和方程(30)代入方程(43)得，

(44)

也可以寫成平穩(wěn)響應公式，

(45)

式中，H(ω)為系統的復頻響函數。

記方程(35)-(38)這四項的和為N(t)，則N(t)為非平穩(wěn)響應項；記方程(39)-(42)這四項的和為C(t)，則C(t)為交叉響應項。所以方程(34)可以寫：

E[X2(t)]=N(t)+C(t)+E9

(46)

此外，方程En(t) (n=1，2，…，9)有如下關系

(2)E3(t)=E4(t)，E5(t)=E7(t)，E6(t)=E8(t)

通過使用上面的關系可以得到，

N(t)=2{Re[E1(t)]+E3(t)}

(47)

C(t)=4Re[E5(t)]

(48)

因此，計算E[X2(t)]，只需要計算E1(t)，E3(t)，E5(t)和平穩(wěn)項E9.如果SF(ω)是數值給定的，那么積分項E1(t)，E3(t)，E5(t)和E9必須用數值計算。對于解析函數SF(ω)，只要它能被表示成極點留數形式，就可以推導出E[X2(t)]的精確閉式解。

[-ζ2ω2+2(ζω0sinωdt)2+ζω0ωdsin2ωdt]

(49)

(50)

(51)

(52)

由上可知，微懸臂梁的瞬態(tài)均方響應為：

(53)

方程(53)中所示的E[X2(t)]與之前通過其他方法(Caughey和Stumpf 1961)獲得的是相同的。

對于高斯白噪聲激勵情況，C(t)=-2N(t)，即Re[E5(t)]=-Re[E1(t)]-E3(t).

6 瞬態(tài)均方響應分析

本文所研究的微懸臂梁系統所選取的數值為：質量m=10；無阻尼固有頻率ω0=5；阻尼比ζ=2%；噪聲強度S0=0.01.

如方程(46)所示，瞬態(tài)均方響應是非平穩(wěn)項N(t)、交叉項C(t)和平穩(wěn)項E9的和。根據瞬態(tài)均方響應、非平穩(wěn)、交叉項和平穩(wěn)項的表達式畫出圖像如圖2所示。通過圖像可以發(fā)現，當t變大時，N(t)和C(t)趨于零，而E[X2(t)]趨于一個固定值，完全由E9決定。

圖2 瞬態(tài)均方響應Fig.2 Transient mean square response

可以得到靜止初始條件時刻的一些特征：N(0)=E9，C(0)=-2E9，E[X2(0)]=0.

為了研究系統的特性，下面分別代入阻尼比不同的值和噪聲強度不同的值，并得出相應的結果。其結果如圖3-圖4所示。其中，圖3為噪聲強度S0=0.01時阻尼比不同的情況，從圖3中可以看出，當t變大時，瞬態(tài)均方響應先增大后趨于平穩(wěn)。當阻尼比較大時，瞬態(tài)均方響應較小，且瞬態(tài)均方響應趨于平穩(wěn)的時間短。當阻尼比趨近于零時，瞬態(tài)均方響應隨著時間的增加而趨于無界。圖4為阻尼比為ζ=2%時噪聲強度不同的情況。從圖4中可以看出，當t變大時，瞬態(tài)均方響應先增大后趨于平穩(wěn)。當噪聲強度大時，瞬態(tài)均方響也大，且瞬態(tài)均方響應趨于平穩(wěn)所用的時間比較長。當噪聲強度趨近于零時，瞬態(tài)均方響應也趨于零。

圖3 瞬態(tài)均方響應在不同阻尼比下的變化規(guī)律Fig.3 The variation law of transient mean square response under different damping ratio

圖4 瞬態(tài)均方響應在不同噪聲強度下的變化規(guī)律Fig.4 Variation law of transient mean square response under different noise intensity

7 結論

本文的主要是利用了極點留數法，推導出了微懸臂梁在以高斯白噪聲功率譜密度函數為特征的隨機激勵下的瞬態(tài)均方響應的封閉解。該方法的一個顯著優(yōu)點是在求解過程有效地避免了在時域計算積分的繁瑣。最后通過對瞬態(tài)均方響應的分析，給出了阻尼比和噪聲強度對系統瞬態(tài)均方響應的影響規(guī)律。研究表明，當阻尼比較大時，瞬態(tài)均方響應較小，且瞬態(tài)均方響應趨于平穩(wěn)的時間短。當噪聲強度較大時，瞬態(tài)均方響也較大，且瞬態(tài)均方響應趨于平穩(wěn)所用的時間比較長。