高 翔

澳大利亞RMFII項目中“統計推理”的引介與思考

高 翔

（南京信息工程大學 教師教育學院，江蘇 南京 210044）

“統計與概率”是重要的數學學習領域，其測評與教學成為近年來研究的熱點問題．通過引介澳大利亞“重塑數學的未來II（RMFII）”項目中“統計推理能力”的相關內容，以期為中國“統計與概率”的研究與教學提供借鑒．運用文獻研究、歷史梳理、案例研究等方法呈現了“統計推理能力”的測評思路，回溯“統計推理8‘地帶’學習進程”的構建歷程，結合具體的案例分析該學習進程在“定位”學生統計推理能力水平和“鏈接”教學建議方面的舉措；給中國“統計與概率”的研究與教學帶來3點啟示：進一步細化“數據分析素養(yǎng)”的水平要求，增強可操作性；開發(fā)測評任務，探索適應中國學生的統計與概率學習進程；建設豐富的教學資源庫，提升教師專業(yè)發(fā)展．

統計與概率；澳大利亞；RMFII項目；統計推理；數據分析素養(yǎng)

1 問題提出

在中小學階段，與傳統的代數和幾何內容相比，統計與概率在數學課程中出現的時間較晚，卻在近10年來引起了數學教育研究者的極大關注，相關研究的數量呈現出指數級增長的趨勢[1]．中國也在《普通高中數學課程標準（2017年版）》中提出學生應當具備“數據分析素養(yǎng)”，即能“針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養(yǎng)．數據分析過程主要包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型，進行推斷，獲得結論”．

國外的相關研究較少提及“數據分析素養(yǎng)”[2]，主要圍繞統計素養(yǎng)（statistical literacy）、統計推理（statistical reasoning）等[3]展開研究．國外研究者大多將統計素養(yǎng)視作未來公民需要具備的“基本統計知識、統計理論方法、運用統計方法解決現實問題的能力、對統計的信仰、態(tài)度和批判性等”[4–5]，這些內容較中國的“數據分析素養(yǎng)”內涵更為上位，而以變異性（variation）為核心的統計推理能力，與中國“數據分析素養(yǎng)”則有更多相近之處．國際著名統計教育專家本–茲維（Ben-Zvi）和加菲爾德（Garfield）將統計推理能力的描述性定義界定為“學生能運用統計的觀點進行推理，理解與統計相關的信息，能將數據和可能性的相關觀念加以聯系，理解和解釋統計過程并解釋統計的結果”，將統計推理能力的操作性定義界定為“學生能描述數據的呈現、整理與簡化數據、表征數據、分析和解釋數據”[6]．

統計推理能力的描述性定義與中國普通高中數學課程標準中“數據分析素養(yǎng)”的內涵雖然在表述順序上略有不同，但都體現了“對數據進行整理、分析、推斷，從而加深對數據的認識”，統計推理能力則更加強調將數據和可能性的相關觀念加以聯系、深刻理解統計全過程和最終結果，中國課程標準則強調通過數據分析，加深對研究對象本身的理解．統計推理能力的操作性定義與“數據分析素養(yǎng)”中“數據分析過程”也基本一致，因此對統計推理能力的相關研究可以為中國的數據分析素養(yǎng)研究以及統計與概率的教學研究提供借鑒．

如何評測學生的統計推理能力？研究者們從變異性角度構建了一些統計推理能力框架，如本-茲維（Ben-Zvi）的變異性推理階段框架[7]，里德（Reid）和雷?。≧eading）的變異性推理層級框架[8]，諾爾（Noll）和尚尼斯（Shaughnessy）的學生變異性推理的概念格[9]等，但這些框架只適用于特定的統計與概率內容，比如抽樣、數據的分布等，那么有盡可能覆蓋中小學“統計與概率”內容的統計推理能力框架嗎？這是研究者們亟需思考的第一個問題．

如何針對不同統計推理能力的學生進行教學？國外研究者進行了一些探索，而中國的許多教師因為“統計的內容在中小學出現的時間不長”，“教師對很多內容的理解不深刻”[10]，“不清楚統計教學的階段性要求”[3]等原因，很難實施有針對性的教學，這是擺在一線教師面前的另一個棘手問題．

針對統計推理能力的框架構建和相關教學實施問題，澳大利亞重塑數學的未來II（Reframing Mathematical Futures II，以下簡稱RMFII）項目中的“統計推理研究”給出回應．

嘗試引介RMFII項目中統計推理的相關研究，分析其在測評學生統計推理能力和指導實際教學中的應用，并基于該項目為中國統計與概率的研究與教學給出幾點思考．

2 RMFII項目概述及統計推理框架演變進程梳理

重塑數學的未來II（RMFII）是由澳大利亞皇家墨爾本理工大學的戴安娜·西蒙（Dianne Siemon）教授主持的澳大利亞數學與科學合作計劃（Australian Mathematics and Science Partnership Program，AMSPP）項目，歷經5年（2014—2018），共有32所澳大利亞中學，近八十名教師和約三千五百名七～十年級的學生參與．該項目的主要目標是構建一個可持續(xù)的、基于證據的學習和教學資源，以支持七～十年級學生數學推理能力的發(fā)展[11]．該項目中的數學推理能力主要包括代數推理、幾何推理和統計推理3個分支，這里主要引介統計推理分支的相關內容．

RMFII項目統計推理的研究思路包含了以下5個階段：（1）通過文獻分析，初步確定學生統計推理的“假設學習軌跡（hypothetical learning trajectories）”；（2）開發(fā)、試驗和驗證統計推理測評任務；（3）使用Rasch分析方法，識別統計推理的“大觀念（big ideas）”，確定學生初步的學習進程（learning progressions）；（4）運用設計研究的方法對統計推理測評進行迭代，從而確定學生最終的學習進程，同時開發(fā)教學建議；（5）觀測學生的進步[11]．

RMFII項目統計推理研究的負責專家是澳大利亞塔斯馬尼亞大學的簡·沃森（Jane Watson）教授．簡·沃森教授長期致力于中小學階段統計與概率教學、學生統計素養(yǎng)測評的相關研究，RMFII項目中統計推理的相關測評任務基本沿用了簡·沃森教授近30年來的研究成果．同時RMFII項目中統計推理的8“地帶”學習進程框架是在簡·沃森團隊前期統計素養(yǎng)6水平層次框架和統計素養(yǎng)8成分6階段層次框架的基礎之上逐步發(fā)展而來，具有高度的連續(xù)性，因此，首先對RMFII項目統計推理的框架演變進程進行梳理．

2.1 學生統計素養(yǎng)的6水平層次框架

簡·沃森團隊于1993、1995、1997和2000年對澳大利亞塔斯馬尼亞的3?852名三～九年級的學生進行了統計素養(yǎng)的測評，簡·沃森團隊將統計素養(yǎng)界定為“學生能在不熟悉的情境中，聯系統計與概率課程中的相關概念、調用數學的術語、統計的技能，逐步體會變異性”[14]．簡·沃森團隊運用Rasch分析方法，對80道測評試題進行分析，確定了統計素養(yǎng)的潛在結構和6個理解水平，從低到高依次為特質的（idiosyncratic）、非正式的（informal）、不一致的（inconsistent）、一致非批判的（consistent non-critical）、批判的（critical）、批判的數學的（critical mathematical），具體表述如表1[12]所示．

表1 統計素養(yǎng)層級

在該統計素養(yǎng)的層級框架中可以看到一些統計推理的影子，如水平5不要求學生運用比例推理，只需運用定性的方式解釋可能性，感受變異性；水平6則要求學生能在媒體情境或隨機現象情境中使用比例推理，在感受不確定性的同時做出預測．但統計推理的相關內容還沒有從統計素養(yǎng)的研究框架中“剝離”出來，簡·沃森在該階段的研究為RMFII項目中的“統計推理”打下了基礎．

2.2 學生統計素養(yǎng)8成分6階段層次框架

簡·沃森在2006年的專著《學校中的統計素養(yǎng)：發(fā)展與目標》（）中進一步闡述了統計素養(yǎng)的8個重要成分：情境（context）、抽樣（sampling）、表征（representation）、平均數（average）、可能性（chance）、推斷（inference）、變異性（variation）、數學/統計技能（math/stat skills），并將原來的統計素養(yǎng)6水平層次框架（表1）進一步細化為8成分6階段層次框架，如表2[13]所示．

統計素養(yǎng)的8成分6階段層次框架中蘊涵了更多“統計推理”的要素，如在抽樣和表征的較高階段，推斷和變異性的大部分階段都對統計推理提出了要求，但仍可以發(fā)現有些階段的表述不夠明確，如“推斷”的階段5僅較階段4發(fā)生細微的變化，“變異性”的階段6和階段5的表述是一致的，這些都會在實際操作的時候帶來一些模糊的地方，這些問題的存在進一步推動了RMFII項目中“統計推理”的相關框架的修改與構建．

2.3 RMFII項目中統計推理的8“地帶（zone）”學習進程

基于學生統計素養(yǎng)的8成分6階段層次框架，簡·沃森團隊從“大觀念”的視角重新加以組織，確定了以變異性（variation）為基礎，期望與隨機性（expectation and random- ness）、分布（distribution）、非正式推斷（informal inference）3個“大觀念”為重要組成部分的統計推理框架[14]．通過對參與RMFII項目統計推理測試的一千五百多名七～十年級學生的作答進行Rasch分析，初步確定了七～十年級學生統計推理的學習進程原型，通過設計研究的多輪迭代之后，最終確定了學生統計推理的8“地帶”學習進程，如表3[14，15]所示．

RMFII項目中統計推理8“地帶”學習進程緊緊圍繞期望與隨機性中的變異，分布中的變異和非正式推斷中的變異這3個“大觀念”進行了學生統計推理學習進程的劃分，行為樣例也依據這3個“大觀念”進行了舉例．統計推理8“地帶”學習進程是基于簡·沃森團隊在過去近30年來的相關研究得出的最新成果，一脈相承，為定位學生統計推理學習階段和教師的教學提供了堅實的理論支撐．

3 RMFII項目中統計推理8“地帶”學習進程的應用

RMFII項目中統計推理8“地帶”學習進程的應用主要表現在兩個方面：第一，確定學生在統計推理測試中的表現最終落在學習進程的哪個地帶；第二，為教師提供足夠的信息判斷學生統計推理的現有水平，從而為其制定個性化的教學方案．以下將通過實例加以說明．

表2 統計素養(yǎng)8成分6階段層次框架

表3 學生統計推理8“地帶”學習進程

3.1 依據學生測試表現定位統計推理“地帶”

以RMFII項目中統計推理測試題SCON為例，測試題、學生解答及其所屬“地帶”以及相關的解釋如表4[16]所示．

RMFII項目會將參與統計推理測試學生在所有測試題上的作答編碼與相應的統計推理8“地帶”相匹配，運用Rasch分析的方法，得出學生統計推理的整體水平并確定其落在統計推理學習進程中的具體位置，從而進一步統計出各個“地帶”學生的人數比例分布，如參與此次RMFII項目統計推理的七～十年級學生在各個“地帶”的人數比例分布如表5[14]所示．

可以看出不論哪個年級，大部分學生都落在了地帶4中，即學生可以在復雜的情境中認識到變異性所帶來的影響，但是不能恰當地加以解釋．實際上地帶5才是統計推理能力的真正起點，表明大部分學生仍然缺乏解釋和論證他們統計推理的能力，為教師進行后續(xù)的統計推理教學設計提供了實證依據．

3.2 將統計推理“地帶”與教學建議相鏈接

在確定了學生統計推理能力所處的地帶后，教師會考慮這樣一個問題“如果學生統計推理落在某個特定的地帶，我可以提供怎樣的幫助讓學生上升到更高一級的地帶？”RMFII項目統計推理的一個重要成果是為教師開發(fā)了一系列資源和與統計推理“地帶”相匹配的教學建議．

教學建議通常由兩大部分組成，第一部分為鞏固與建立（consolidate and establish），試圖識別學生現有的知識、技能和理解，并提出可能有助于學生加深理解的活動建議；第二部分為引介與發(fā)展（introduce and develop），具有一定的前瞻性，旨在為學生發(fā)展到更高一級的統計推理“地帶”設置相關的活動和觀念．表6[15]呈現了以統計推理地帶4為例的教師教學建議，表中如SHSE2.1等代碼表示RMFII項目統計推理測試中的測試題編號，斜體標出的是建議實施的活動名稱．

表4 樣題SCON的相關信息

表5 七～十年級學生“地帶”分布

教師可以通過比對統計推理學習進程中某個地帶學生的行為表現，有效地定位學生目前統計推理的水平，然后依據教學的特定情境，有針對性地選擇教學建議中提供的豐富活動，為學生提供個性化的水平提升方案．同時，RMFII項目提供的教學建議及其相關教學資源（如線上的統計與概率學習平臺）可以供教師方便地獲取并進行共享．RMFII項目也鼓勵教師自主開發(fā)相關的統計推理活動或任務，以激發(fā)教師的教學熱情、促進教師的專業(yè)發(fā)展．

4 思考與啟示

通過引介RMFII項目中統計推理的8“地帶”學習進程的構建歷程、學生在測評試題中的表現與學習進程的匹配以及不同學習進程與教學建議的鏈接，得出對中國的統計與概率研究與教學的幾點思考與啟示．

4.1 進一步細化“數據分析素養(yǎng)”的水平要求增強可操作性

中國《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提出“數據分析觀念”，要求學生：“了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析做出判斷，體會數據中蘊涵著信息；了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法；通過數據分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同，另一方面只要有足夠的數據就可能從中發(fā)現規(guī)律．”這樣的表述能體現出變異性為基礎，讓學生經歷數據的整理、分析和推斷過程，但不能體現不同年級、不同水平學生的行為表現，可操作性不強．中國最新修訂的《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出了“數據分析素養(yǎng)”，并將其劃分為3個水平，但是每個水平涵蓋了眾多統計與概率內容，教師很難將學生具體的數據分析行為進行精準地水平定位．

RMFII項目雖然只針對統計推理的相關內容，但是其圍繞期望與隨機性、分布、非正式推斷這3個“大觀念”和變異性這條主線進行了8個“地帶”學習進程的詳細劃分，可以更加精準地定位學生的真實水平，未來中國課程標準中對“數據分析素養(yǎng)”的水平劃分可以借鑒RMFII項目，依據統計與概率內容中的“大觀念”，針對不同年級不同層次的學生制定“數據分析素養(yǎng)”的水平框架．

表6 統計推理地帶4教學建議

4.2 開發(fā)統計與概率測評任務探索適應中國學生的統計與概率學習進程

RMFII項目在文獻研究的基礎上，首先確定了學生統計推理的大致學習軌跡，然后通過大規(guī)模測評、Rasch分析的方法，確定學生統計學習進程的原型，再通過多輪迭代的設計研究方法最終確定了學生統計推理的學習進程．整個過程中統計推理的測評任務起到了非常關鍵的作用，一方面用來測試學生統計推理的真實水平，另一方面為構建學生統計推理學習進程原型和后續(xù)的設計研究工作提供了強有力的數據支撐．未來中國的研究者可以在相關理論的支撐下，開發(fā)更多的統計與概率測評任務，服務于今后統計與概率的相關研究．

在統計與概率的實際教學層面，由于統計與概率內容在整個教材中的課時比重小，教師只有教到相關單元時才會讓學生接觸統計與概率，更多時候統計與概率的內容是在“沉睡”的[3]．同時，大部分教師仍然習慣運用數學教學的方式進行統計內容的教學，但統計與概率的教學與數學教學還是存在本質上的差異[17]，因此有必要依據中國學生的實際情況構建適應中國學生的統計與概率學習進程，讓教師們有據可依，針對處于不同學習進程中的學生給予不同的教學支持．因此，可以借鑒RMFII項目的研究思路，通過文獻研究、任務測評、設計迭代逐步探索適應中國學生的統計與概率學習進程．

4.3 建設豐富的統計與概率教學資源庫提升教師專業(yè)發(fā)展

RMFII項目統計推理的負責人簡·沃森在過去的30年中累積了數以百計的統計與概率測試任務，并在其大量的研究論文附錄中公開了許多測試任務和相應的評分標準．RMFII項目在此基礎之上，將部分測評任務進行改編，形成了豐富的教學資源庫供教師隨時查閱．與此同時，RMFII項目還與其它研究項目合作，開發(fā)了大量的數學任務在線學習平臺，如與nRich項目合作的平臺（https://nrich. maths.org），與Maths300項目合作的平臺（http://www. maths300.com），等等．在確定了學生的統計推理學習進程之后，結合不同的統計推理任務資源，RMFII項目開發(fā)了針對不同學習進程的教學建議，給教師的教學帶來了極大的方便，也在某種程度上促進了教師統計與概率教學的專業(yè)發(fā)展．

中國未來也可以逐步構建豐富的統計與概率教學資源庫，這些教學資源的選取應當有扎實的理論研究作為基礎，方便教師隨時查閱、分享、改進，從而更好地提升教師統計與概率教學的有效性，促進其自身的專業(yè)發(fā)展．

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Introduction and Discussion on “Statistical Reasoning” in RMFII Project in Australia

GAO Xiang

(School of Teacher Education, Nanjing University of Information Science & Technology, Jiangsu Nanjing 210044, China)

“Statistics and probability” is an important mathematics learning field, and its evaluation and teaching have become a hot research issue in recent years. In order to provide reference for the research and teaching of “statistics and probability” in China, this paper introduces the relevant content of the statistical reasoning branch of Australian “Reframing Mathematical Futures II (RMFII)” project, through using methods of literature review, historical review, case studies and other methods to present the evaluation idea of “statistical reasoning”, retrospect the construction process of “statistical reasoning 8 ‘zone’ learning progression”, and combine with specific cases to analyze the learning progression in “positioning” measures for students’ statistical reasoning ability level and “l(fā)inking” teaching suggestions. It brings three inspirations to the research and teaching of “statistics and probability” in China: further refine the level requirements of “data analysis literacy” and enhance operability; develop assessment tasks to explore the learning progression of statistics and probability suitable for Chinese students; and build a rich teaching resource base to improve teachers’ professional development.

statistics and probability; Australia; RMFII project; statistical reasoning; data analysis literacy

G40–059.3

A

1004–9894（2022）04–0062–06

高翔．澳大利亞RMFII項目中“統計推理”的引介與思考[J]．數學教育學報，2022，31（4）：62-67．

2022–02–06

教育部人文社會科學研究青年基金項目——數學核心素養(yǎng)的認知診斷測評研究（21YJC880102）；南京信息工程大學人才啟動經費（2021r009）

高翔（1990—），男，江蘇常州人，講師，博士，主要從事數學課程與教學論、數學教師教育研究．

[責任編校：周學智、張楠]