孫文娟，丁 銳

分數(shù)圖式進階模型有效性檢驗與學(xué)生表現(xiàn)分析

孫文娟，丁 銳

（東北師范大學(xué) 教育學(xué)部，吉林 長春 130024）

以分數(shù)圖式進階理論為理論基礎(chǔ)，編制了分數(shù)圖式進階測評工具，對402名使用北師大版和人教版數(shù)學(xué)教材的六年級小學(xué)生的分數(shù)圖式發(fā)展情況進行了分析．測驗結(jié)果顯示，該測驗工具的質(zhì)量較高，符合RASCH模型的單維性假設(shè)；中國小學(xué)生的分數(shù)推理的發(fā)展順序與分數(shù)圖式理論模型基本一致，在迭代分數(shù)圖式以及分配均分圖式兩個階段的發(fā)展與理論稍有差異；使用人教版的小學(xué)生在一部分分數(shù)圖式階段上的表現(xiàn)優(yōu)于使用北師大版的學(xué)生．建議設(shè)計能夠促進小學(xué)生分數(shù)圖式發(fā)展的操作性游戲活動，并鼓勵用合適的表征方式表達分數(shù)的度量意義以及運算過程，讓學(xué)生真正理解分數(shù)的度量意義．

分數(shù)圖式；學(xué)習(xí)進階；RASCH模型

1 研究背景

隨著國內(nèi)外教育研究對“學(xué)生學(xué)習(xí)”的關(guān)注，越來越多的學(xué)者試圖探索學(xué)生在學(xué)習(xí)某一概念時的學(xué)習(xí)進階，也就是學(xué)生在學(xué)習(xí)該概念時的思維發(fā)展路徑，并指出當清楚地了解某個概念的學(xué)習(xí)進階時，可根據(jù)學(xué)生的進階軌跡和思維發(fā)展水平制定課程標準、設(shè)計課程、開展教學(xué)與評價[1–3]．分數(shù)是小學(xué)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的重要概念，而且由于其具有多重意義[4]，更是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點．國內(nèi)外諸多的小學(xué)數(shù)學(xué)教材均以分數(shù)的“部分—整體”的意義作為分數(shù)的學(xué)習(xí)起始點[5]，并以此為基礎(chǔ)逐漸豐富分數(shù)的意義（比如，度量的意義等）．然而，大量的研究發(fā)現(xiàn)學(xué)生在分數(shù)的部分—整體意義上表現(xiàn)較好，而對分數(shù)的度量意義理解較差[6]；學(xué)生在理解假分數(shù)和帶分數(shù)上存在障礙；分數(shù)計算水平較高，但算理理解水平較差[7]．有研究者質(zhì)疑學(xué)生之所以在分數(shù)學(xué)習(xí)上存在上述問題，可能與教材設(shè)計的分數(shù)學(xué)習(xí)順序有關(guān)，丁銳等人認為應(yīng)該基于度量意義引入分數(shù)的學(xué)習(xí)[8]．

Tzur和Steffe、Olive等通過長期對兒童分數(shù)學(xué)習(xí)過程的建構(gòu)主義教學(xué)實驗研究，提出了分數(shù)圖式進階模型[9–10]．該進階模型的進階起點為分數(shù)的度量意義，也就是將單位分數(shù)作為度量單位來度量分數(shù)的大小，進階終點是分數(shù)乘除法意義的理解，進階變量是圍繞著分數(shù)度量意義而通過迭代（iterating）、均分（partitioning）等操作逐步發(fā)展變化的分數(shù)圖式水平[8]．

圖式指的是個體構(gòu)建的認知結(jié)構(gòu)或行為模式，包括情境—操作—結(jié)果（situational template，operation and anticipating results）3個成分[11]．所謂分數(shù)圖式指的是學(xué)生在分數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，構(gòu)建的有關(guān)分數(shù)的認知結(jié)構(gòu)，比如，如果學(xué)生有“部分—整體”這一分數(shù)圖式，當他遇到“把一個披薩平均分成8份，A吃了其中的3份，請問還剩下這個披薩的幾分之幾”的問題時，就會識別出這是一個分數(shù)問題，他知道將一個物體平均分成份，取出其中的份（<），那么取出的份就是這個物體的/，所以剩下的就是()/，他不需要實際去分披薩或者替代物，就可以預(yù)期這一結(jié)果是正確的．但是，如果他遇到“A有3元錢，B有5元錢，A的錢數(shù)是B的幾分之幾”這個問題時，就會遇到兩個困難，首先A的錢不是B的錢的一部分，其次，B的錢沒有被平均分，所以原來的“部分—整體”這一分數(shù)圖式就限制了他對這個問題的理解，因此，他需要構(gòu)建新的分數(shù)圖式才能解決這個問題．

Tzur等人提出的基于分數(shù)度量意義的分數(shù)圖式進階模型共包括8個階段，但是這一進階模型主要基于質(zhì)化研究構(gòu)建出來的[12]，少量研究驗證了其部分進階階段的合理性[13]，幾乎沒有研究驗證其整個模型的有效性．其次，這一模型更多是基于對西方兒童的研究提出來的，對中國兒童是否適用也需要檢驗．因此，研究首先對該理論模型進行簡短介紹，然后，通過項目反應(yīng)理論對該模型的單維性及跨文化有效性進行檢驗，最后還比較了使用不同版本教材的小學(xué)生分數(shù)圖式進階水平的差異．

2 理論框架

基于度量意義的分數(shù)圖式理論強調(diào)迭代和均分兩種操作是構(gòu)建分數(shù)圖式的最基本的認知操作方式，操作方式的變化是每個進階水平最大的不同．因此，每個進階水平的命名體現(xiàn)著該階段的操作方式.下面重點介紹每個圖式階段學(xué)生的認知操作，具體內(nèi)容請參考文[8]．

水平1：均分分數(shù)圖式（unit fraction scheme，UFS），學(xué)生能夠通過均分，將一個給定的整體均分，并明確均分的部分迭代均分的份數(shù)可得到原整體．此階段能夠發(fā)展單位分數(shù)的概念，并進行單位分數(shù)大小的比較．例如：單位分數(shù)1/3迭代3次得到的新整體與原整體相等，從而建立1/3和“1”的關(guān)系．

水平2：部分分數(shù)圖式（partitive fraction scheme，PFS），學(xué)生能夠通過對給定單位分數(shù)的迭代操作，得到一個小于或等于給定整體的分數(shù)．該階段能夠解決同分母分數(shù)加減法，單位分數(shù)乘整數(shù)（不超過單位1）的問題．例如：單位分數(shù)1/3迭代2次得到2/3或者非單位分數(shù)2/5迭代2次得到4/5．

水平3：迭代分數(shù)圖式（iterative fraction scheme，IFS），學(xué)生能夠通過對給定單位分數(shù)或非單位分數(shù)的迭代操作，得到任意的分數(shù)．能夠解決同分母分數(shù)相加減（超過單位1）；非單位分數(shù)乘整數(shù)（超過單位1）的問題．例如：非單位分數(shù)2/5迭代3次得到6/5．

水平4：可逆分數(shù)圖式（reversible fraction scheme，RFS），學(xué)生能夠通過均分一個非單位分數(shù)得到單位分數(shù)，并迭代單位分數(shù)次得到整體，即學(xué)生能夠在真分數(shù)情境或假分數(shù)情境（非單位分數(shù)）下找到單位1．例如：可以將2/3均分2次得到1/3后，再將得到的單位分數(shù)1/3迭代3次得到單位1；或者將5/3均分5次得到1/3后，再將單位分數(shù)1/3迭代3次得到單位1．

水平5：遞歸分數(shù)圖式（recursive partitioning fraction scheme，RPS），學(xué)生能夠通過遞歸均分操作，均分一個分數(shù)單位1/，得到一個新的單位分數(shù)1/．具體的說，該階段學(xué)生能夠理解等值分數(shù)，解決異分母分數(shù)相加減，以及單位分數(shù)乘單位分數(shù)的問題．例如：在表征1/5的1/2時，學(xué)生需要將1/5再平均分為2份，相當于把1/5對應(yīng)的原整體均分為10份，因此，每一份是1/10．

水平6：單位分數(shù)組合圖式（unit fraction composition scheme，UFCS），學(xué)生能夠通過遞歸均分和迭代操作得到/的1/或者1/的/．該階段能夠發(fā)展單位分數(shù)乘非單位分數(shù)、非單位分數(shù)乘單位分數(shù)的分數(shù)推理．例如：表征3/7的1/5，需要將非單位分數(shù)轉(zhuǎn)換為單位分數(shù)（3個1/7），再應(yīng)用遞歸均分（1/5的1/7=1/35），將其重新組合為非單位分數(shù)（3個1/35）．

水平7：分配均分圖式（distributive partitioning fraction scheme，DPS），學(xué)生能夠?qū)㈦x散量均分為份（不能整除），將每一個1/分配到離散量中．此階段能夠發(fā)展整數(shù)乘單位分數(shù)；整數(shù)乘非單位分數(shù)的分數(shù)推理．例如：將3個蘋果平均分給4個小朋友，需要將第一個蘋果平均分成4份，每個小朋友得到1個蘋果的1/4，以此類推，最后每個小朋友得到3個1/4，即3/4．

水平8：任意分數(shù)組合圖式（any fraction composition scheme，AFCS），學(xué)生能夠通過遞歸均分和迭代操作，得到/的/，也就是能夠解決非單位分數(shù)乘非單位分數(shù)的分數(shù)推理問題．例如：表征一根3/4長彩帶的3/5，學(xué)生將一整根彩帶的3/4分成3份．然后，他們把每個1/4彩帶再均分為5份，得到1/4的1/5（1/20）長的彩帶．然后將1/20迭代3次之后，得到1/4的3/5，再迭代3次最終得到3/4的3/5．

其中水平1（UFS）建立了單位分數(shù)和整體的倍數(shù)關(guān)系，也就是迭代某一部分次等于整體，那么這部分就是整體的1/．水平2（PFS）建立了真分數(shù)與單位分數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，水平3（IFS）建立了假分數(shù)與單位分數(shù)的倍數(shù)關(guān)系．水平4（RFS）則是能夠從任意分數(shù)先通過均分得到單位分數(shù)，然后又能通過迭代單位分數(shù)得到整體．水平5（RPS）是可以對單位分數(shù)進行均分得到新的單位分數(shù)，也就是能夠理解兩個單位分數(shù)相乘．水平6（UFCS）是能夠理解單位分數(shù)和非單位分數(shù)相乘．水平7（DPS）是能夠理解將個東西平均分成份（不能整除）或者個東西的/份的大?。凰?（AFCS）是理解任意兩個分數(shù)相乘或相除的意義．

3 研究方法

3.1 研究工具

為診斷學(xué)生在各分數(shù)圖式的進階水平，以上述分數(shù)圖式進階框架為基礎(chǔ)，編制了診斷其分數(shù)圖式進階水平的測試工具．測試項目中均分分數(shù)圖式（UFS），部分分數(shù)圖式（PFS），迭代分數(shù)圖式（IFS）以及可逆分數(shù)圖式（RFS）4個分數(shù)圖式的試題根據(jù)安德森等[14]研究中使用的測驗（已經(jīng)過信效度檢驗），而遞歸均分圖式（RPS），單位分數(shù)組合圖式（UFCS），分配均分圖式（DPS）以及任意分數(shù)組合圖式（AFCS）4個分數(shù)圖式的試題參考哈肯伯格、安德森專著《發(fā)展分數(shù)知識》（）中使用的相關(guān)教學(xué)樣題[15]，在不改變原試題所用的具體內(nèi)容的基礎(chǔ)上，結(jié)合該次研究的研究對象使用的教材版本和國內(nèi)文化背景進行改編．需要說明的是為了檢驗學(xué)生在某一水平分數(shù)圖式進階的具體發(fā)展狀況，所有階段的試題均采用畫圖加文字解釋的問答形式．在前兩輪施測中，請一線教師對試題進行分析，提出建議，并依據(jù)建議以及winsteps軟件給出的項目反應(yīng)理論（IRT）的難度結(jié)果對試題進行了修訂，最終形成了正式測驗工具，具體如表1所示．

表1 分數(shù)圖式進階水平與項目對應(yīng)表

下面以第10題為例，說明測試工具的具體形式．此題對應(yīng)分數(shù)圖式水平中的分配均分圖式進階水平，測試學(xué)生是否能夠利用圖形和文字解釋整數(shù)乘單位分數(shù)的算理．同時所有試題均采用三級計分，在例題中0分表現(xiàn)為畫出的“面包”存在不能辨別離散量是否均分的情況或無均分操作（如圖1）．1分表現(xiàn)為畫出的“面包”為5個單位1的分散量，且能夠?qū)γ總€單位1進行均分操作，均分為3份，但未能夠?qū)⒚總€單位1中的2/3迭代5次得到最后的結(jié)果10/3（如圖2）．2分表現(xiàn)為畫出的“面包”為5個單位1的離散量，且能夠?qū)γ總€單位1進行均分操作，均分為3份，并能夠?qū)⒚總€單位1中的2/3迭代5次得到最后的結(jié)果10/3（如圖3）．

第10題：冰箱里有5塊完全一樣的蔓越莓面包，如果笑笑吃了其中的2/3，笑笑吃了多少呢？請：（1）畫出笑笑吃的面包；（2）用文字解釋你的做法．

圖1 分配均分圖式0分作答

圖2 分配均分圖式1分作答

圖3 分配均分圖式2分作答

3.2 研究對象

選取六年級上學(xué)期學(xué)生為研究對象，進行3輪測試．前兩輪為預(yù)測，第一輪試測旨在測試測驗工具的質(zhì)量，選取了使用人教版數(shù)學(xué)教材的六年級51名學(xué)生．根據(jù)RASCH模型測量結(jié)果對測驗工具進行修訂后進行第二輪試測，分別選取使用人教版教材學(xué)生60名，北師大版教材學(xué)生45名，試測結(jié)果顯示修訂后的測驗工具具有較好的信效度，質(zhì)量可靠，可用于大樣本的研究．正式測試分別選取使用人教版學(xué)生182名和使用北師大版學(xué)生220名（如表2）．

表2 測樣被試樣本情況

4 研究結(jié)果

4.1 測驗的質(zhì)量分析

4.1.1 整體項目和被試的信效度分析

通過測試項目和被試的信效度分析表明（如表3），項目的標準誤估計值為0.10，在參考范圍0.10～0.15之間，被試的標準誤估計值較高，但兩者的標準誤估計值均在可接受范圍之內(nèi)；被試的能力均值高于項目的難度均值，說明該測驗分數(shù)圖式進階項目對于被試而言較簡單；被試和項目的數(shù)據(jù)擬合指標都較為理想，MNSQ分別為1.02和1.01，均在理想值1附近，ZSTD分別為-0.1和-0.5，均在理想值0附近，說明測試樣本數(shù)據(jù)與理論模型較為擬合；項目的分離度為12.97，分離度較大，說明項目能夠很好地區(qū)分不同能力的被試，信度為0.99，接近理想值1；被試的分離度為1.56，較為接近理想值2，信度為0.71，說明被試的能力分布較為分散．從總體上看，該測試工具具有較高的信效度．

表3 整體項目和被試的信效度分析

4.1.2 單維性分析

測試生成的標準殘差對比圖如圖4所示．

圖4 標準殘差對比

表4 各項目相關(guān)系數(shù)

通過圖4、表4可知，測驗中16道項目均落在相關(guān)系數(shù)-0.5～0.5這個可接受范圍之內(nèi)．整個模型可以解釋48.3%的變異，比期望的47.9%稍大．僅有一個額外因子可以解釋6.5%以上的變異，其余因子的解釋均小于6.5%．因此，測驗工具主要測量了學(xué)生的一種心理特質(zhì)，這個測驗滿足單維性的假設(shè)．

4.1.3 懷特圖

測驗的項目與被試對應(yīng)情況如圖5所示．總體來看，各項目分散較廣，項目的難度分布較為均勻，可覆蓋全部被試．此次試測中被試能力的平均值M較高于項目難度的平均值M，說明編制的分數(shù)圖式測試卷的項目難度的平均水平對于所抽樣的被試能力平均水平來說，相對簡單，項目的難度水平比較理想．同時從中間等距量尺的左側(cè)可看出被試能力的分布基本上呈現(xiàn)正態(tài)分布，且各水平的項目分布較為明確，低水平的UFS，PFS，IFS，RFS均落在量尺的下端，高水平的RPS，UFCS，DPS，AFCS均落在量尺的上端．被試與項目對應(yīng)圖所呈現(xiàn)的可視化信息表明各項目的難度分布與分數(shù)圖式進階理論中的水平分布具有一定的擬合度．

4.1.4 項目擬合

測試的各項目擬合結(jié)果如表5所示，包括各項目的項目擬合指數(shù)，項目難度估計誤差以及點—測量相關(guān)系數(shù)．項目難度的估計誤差為0.07～0.12，估計誤差較小，接近于理想值0，估計誤差值越接近0表示測量結(jié)果越精確，誤差越??；項目的擬合指數(shù)范圍為0.51～1.50，大多數(shù)的擬合指數(shù)均在0.5～1.5之間只有一個項目RFS2個項目的擬合指數(shù)超過1.5，表明測驗測驗工具與模型具有較高的一致性；同時各項目的點測量相關(guān)系數(shù)處于0.23～0.59，同樣表明項目與測量模型的擬合程度較高，該測驗的區(qū)分效果顯著．

圖5 懷特圖

表5 各項目擬合度分析

4.2 “分數(shù)圖式進階水平”測評結(jié)果

4.2.1 分數(shù)圖式進階模型的有效性分析

利用winsteps3.72.3軟件分析出的項目難度高低的Logit均值作為評判該進階水平難度的依據(jù)，Logit均值越小代表該進階水平的難度越小，所對應(yīng)的學(xué)生水平越低，如表6所示可知項目UFS1難度最小，DPS2難度最大．

根據(jù)圖6可以看出，數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析得出的結(jié)果顯現(xiàn)學(xué)生水平1—UFS所對應(yīng)的項目難度最低，依次為水平2—PFS，水平4—RFS，水平3—IFS，水平5—RPS，水平6—UFCS，水平8—AFCS，水平7—DPS．即對應(yīng)的學(xué)生分數(shù)圖式進階模型進階水平為均分分數(shù)圖式，部分分數(shù)圖式，迭代分數(shù)圖式，可逆分數(shù)圖式，遞歸均分圖式，分數(shù)組合圖式，任意分數(shù)組合圖式，分配均分圖式．

表6 各分數(shù)圖式進階水平所對應(yīng)項目的難度值統(tǒng)計

圖6 學(xué)生分數(shù)圖式進階模型及各進階難度水平

水平UFS（均分分數(shù)圖式）所對應(yīng)的項目難度最小-1.76Logit，水平DPS（分配均分圖式）所對應(yīng)的項目難度最大1.52Logit，難度值相差3.28Logit．進階水平1到進階水平4（即均分分數(shù)圖式，部分分數(shù)圖式，可逆分數(shù)圖式，迭代分數(shù)圖式）對應(yīng)的項目的平均難度值均小于0，進階水平5到進階水平8（即遞歸均分圖式，分數(shù)組合圖式，任意組合圖式，分配均分圖式）對應(yīng)項目的平均難度均大于0．8個分數(shù)圖式進階水平隨著進階水平的增高，其對應(yīng)的項目難度也有所增高．通過上述分析，發(fā)現(xiàn)中國小學(xué)生在分數(shù)圖式進階水平的發(fā)展順序上依次為均分分數(shù)圖式，部分分數(shù)圖式，可逆分數(shù)圖式，迭代分數(shù)圖式，遞歸均分圖式，分數(shù)組合圖式，任意分數(shù)組合圖式，分配均分圖式．

與分數(shù)圖式進階的理論模型相比較，可發(fā)現(xiàn)可逆分數(shù)圖式和迭代分數(shù)圖式的難度與理論存在差異，同時任意分數(shù)圖式和分配均分圖式的難度與理論存在差異．在理論模型中迭代分數(shù)圖式的發(fā)展先于可逆分數(shù)圖式，而在現(xiàn)實模型中可逆分數(shù)圖式的發(fā)展先于迭代分數(shù)圖式；同時任意分數(shù)圖式的發(fā)展在理論模型中后于分配均分圖式，而現(xiàn)實模型中任意分數(shù)圖式的發(fā)展先于分配均分圖式的發(fā)展（如圖7）．

4.2.2 學(xué)生在不同分數(shù)圖式進階水平上的表現(xiàn)

根據(jù)學(xué)生被試在分數(shù)圖式各進階水平的表現(xiàn)分析可發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在均分分數(shù)圖式中能夠在給定的單位1中或為給定的連續(xù)量單位1中很好地完成均分迭代操作明確地確定單位分數(shù)并能夠比較同一單位1下不同單位分數(shù)的大?。诓糠址謹?shù)圖式中學(xué)生容易忽略單位分數(shù)生成的前提單位1，即脫離單位1只是將單位分數(shù)迭代幾次（如圖8）．在可逆分數(shù)圖式中真分數(shù)情境下學(xué)生表現(xiàn)良好，但在假分數(shù)情境下學(xué)生對于假分數(shù)中分子與分母所代表的含義，以及單位分數(shù)，單位1以及假分數(shù)之間的關(guān)系把握不準確（如圖9）．同時在迭代分數(shù)圖式中同樣學(xué)生容易僅關(guān)注真分數(shù)與迭代次數(shù)的關(guān)系，對于迭代生成的新分數(shù)與單位1之間的聯(lián)系不能明顯地體現(xiàn)出來．通過學(xué)生被試在分數(shù)圖式進階水平前4個水平中的表現(xiàn)可知，學(xué)生對于單位1概念的忽視，主要體現(xiàn)在單位分數(shù)，單位1以及假分數(shù)之間聯(lián)系的溝通．

圖7 分數(shù)圖式進階理論模型與現(xiàn)實模型對比

一工隊鋪路，每天能完成總鋪路長度的1/7，5天時該工隊能鋪多長路？（1）畫出五天該工隊鋪路的長度；（2）用文字解釋你的做法．

圖8 部分分數(shù)圖式錯誤作圖

冰箱里剩下一塊完整蛋糕的5/3大小的蛋糕(如下圖所示），原來一整塊蛋糕有多大？請畫圖表示整塊蛋糕．請畫出整塊蛋糕．

圖9 可逆分數(shù)圖式錯誤作圖

而在遞歸均分圖式，單位分數(shù)組合圖式以及任意分數(shù)組合圖式中，學(xué)生需要在連續(xù)量單位1中進行相應(yīng)的遞歸均分操作、遞歸均分—迭代操作等，協(xié)調(diào)不同水平之間單位1的轉(zhuǎn)換．學(xué)生在上述分數(shù)圖式推理過程中表現(xiàn)出在生成一個新分數(shù)后，不會考慮在此基礎(chǔ)上均分產(chǎn)生的分數(shù)單位是否可以與整體1之前的分數(shù)單位建立聯(lián)系，其分數(shù)推理水平還處在僅能考慮一個水平的均分操作，不能很好地區(qū)分多個水平的單位1，并在不同水平的單位1之間進行協(xié)調(diào)和轉(zhuǎn)化的分數(shù)推理狀態(tài)．而學(xué)生被試在分配均分圖式的表現(xiàn)可以明顯地分為兩種表現(xiàn)，其中正確的分數(shù)推理應(yīng)是先將離散量單位1分配為多個連續(xù)量單位1，在此基礎(chǔ)上均分迭代，最后將各自連續(xù)量單位1得到的新分數(shù)迭代以生成最終的結(jié)果；而錯誤的分數(shù)推理表現(xiàn)在學(xué)生頭腦中只存在“分數(shù)是率”的認識（即A是B的幾分之幾），在處理3的1/5的分配問題時，學(xué)生認為只需要用一個圖形或線段表示3，然后將其均分為5份即可．學(xué)生的此種表現(xiàn)反映出學(xué)生掌握了部分—整體的分數(shù)意義，但相對于連續(xù)量單位1，其對離散量單位1的掌握較為落后，僅能從分數(shù)是率的角度發(fā)展分數(shù)推理，不能從本質(zhì)上理解分數(shù)是由計數(shù)單位累加形成的數(shù)．

4.2.3 使用不同版本教材的學(xué)生的分數(shù)圖式差異分析

觀察使用不同版本教材的學(xué)生在分數(shù)圖式各進階水平的能力均值折線圖可知（如圖10），隨著分數(shù)圖式進階水平的逐漸提高，人教版學(xué)生在5個分數(shù)圖式進階水平上的能力值高于北師大版學(xué)生能力值，分別為均分分數(shù)圖式水平，部分分數(shù)圖式水平，迭代分數(shù)圖式水平，遞歸均分圖式水平以及分配均分圖式水平．北師大版學(xué)生在3個分數(shù)圖式進階水平上的能力值高于人教版學(xué)生能力值，分別為可逆分數(shù)圖式水平，單位分數(shù)組合圖式水平以及任意分數(shù)組合圖水平．

同時，“分數(shù)圖式”的整體能力的差異比較結(jié)果顯示使用不同教材版本的被試在0.01水平下有顯著差異．具體的說，在部分分數(shù)圖式，可逆分數(shù)圖式，分數(shù)組合圖式，分配均分圖式以及任意分數(shù)圖式上，使用不同教材版本的被試并沒有顯著差異；而他們在部分分數(shù)圖式，迭代分數(shù)圖式以及遞歸均分圖式上存在顯著差異，且使用人教版版的被試在這幾個進階水平上的能力值均高于使用北師大版的被試．

圖10 不同版本學(xué)生在各分數(shù)圖式進階水平的能力均值情況

5 結(jié)論與建議

經(jīng)過測量并分析得出小學(xué)生的分數(shù)圖式發(fā)展水平依次為均分分數(shù)圖式、部分分數(shù)圖式、可逆分數(shù)圖式、迭代分數(shù)圖式、遞歸均分圖式、單位分數(shù)組合圖式、任意分數(shù)組合圖式、分配均分圖式．測試結(jié)果反映出分數(shù)圖式理論的八階段分數(shù)圖式進階水平與中國小學(xué)生真實的分數(shù)圖式推理發(fā)展水平在可逆分數(shù)圖式與遞歸均分圖式的先后發(fā)展順序存在較大差異，在任意分數(shù)組合圖式與分配均分圖式的先后發(fā)展順序上存在較小差異．

學(xué)生在迭代均分圖式上表現(xiàn)不好的可能有兩方面原因．首先，與英語的語言習(xí)慣不同（英文將3/5讀作three fifth，本身就可以理解為3個1/5），而中文中的五分之三，則更強調(diào)將整體分成5份，拿出其中的3份，也就是更強調(diào)“將整體均分”．其次，中國數(shù)學(xué)教材更側(cè)重于從分數(shù)“部分—整體”的意義引入分數(shù)的學(xué)習(xí)，導(dǎo)致學(xué)生在分數(shù)概念發(fā)展的過程中始終認為分數(shù)是整體的部分，超過整體的部分對于學(xué)生來說較為陌生，因此在處理迭代分數(shù)圖式（即單位分數(shù)或非單位分數(shù)迭代多次得到假分數(shù)）的情境中，學(xué)生對于假分數(shù)與單位分數(shù)之間關(guān)系的理解存在一定的障礙．

另外，學(xué)生在分配均分圖式中的表現(xiàn)與教材中強調(diào)“部分—整體”的意義而忽視對分數(shù)除法意義的理解有關(guān)．面對將3個蘋果平均分給4個學(xué)生的問題，學(xué)生只能把3個蘋果看成整體去進行均分，而不會將每個蘋果先均分，再將3次均分的結(jié)果進行組合．也就是在處理單位1是離散量的問題時，學(xué)生的操作方式與對連續(xù)量的處理是一樣，而沒有構(gòu)建新的分配均分的圖式（如圖1）．

使用不同版本教材的學(xué)生分數(shù)圖式進階水平的發(fā)展存在差異，具體體現(xiàn)在使用人教版的學(xué)生在部分分數(shù)圖式，迭代分數(shù)圖式以及遞歸均分圖式上顯著優(yōu)于使用北師大版教材的學(xué)生．通過分析兩版本教材中對上述3部分分數(shù)教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計發(fā)現(xiàn)，人教版教材的分數(shù)教學(xué)設(shè)計中更多地融入了分數(shù)的“度量”意義，即分數(shù)是由幾個分數(shù)單位迭代累加得到的數(shù)，對于學(xué)生在分數(shù)概念發(fā)展過程中分數(shù)單位，單位1以及多個單位1之間嵌套關(guān)系的梳理有促進作用．以部分分數(shù)圖式中考查學(xué)生發(fā)展分數(shù)單位與單位1之間的聯(lián)系為例，人教版教材在“分數(shù)的簡單計算”中對于同分母分數(shù)相加減的內(nèi)容設(shè)計中，始終在強調(diào)“2個1/8加1個1/8就是3個1/8，就是3/8”（如圖11）．學(xué)生在教材以及教師的引導(dǎo)下，頭腦中在梳理單位分數(shù)1/8，單位分數(shù)的個數(shù)與單位1之間的關(guān)系．而在北師大版數(shù)學(xué)教材相應(yīng)教學(xué)內(nèi)容中，直接通過加法或減法算式為載體（分母不變，分子相加減）來幫助學(xué)生進行相應(yīng)的計算（如圖12），因此，人教版對單位分數(shù)與真分數(shù)之間關(guān)系的處理要比北師大版更能體現(xiàn)真分數(shù)和單位分數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系．

圖11 人教版同分母分數(shù)加法的練習(xí)題

圖12 北師大版同分母分數(shù)加法的練習(xí)題

學(xué)生在后4個分數(shù)圖式進階水平中的表現(xiàn)反映了學(xué)生在其日常分數(shù)學(xué)習(xí)過程中數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的缺失．教材設(shè)計中通常使用少數(shù)幾個數(shù)學(xué)活動引導(dǎo)學(xué)生進行歸納推理得出相應(yīng)的算法后，就開始進行計算訓(xùn)練，導(dǎo)致學(xué)生在進行相應(yīng)的分數(shù)圖式進階水平圖形表征中呈現(xiàn)出各種各樣的錯誤表征．Olive等人開發(fā)的JavaBars軟件，使學(xué)生能夠通過點擊按鈕直接體驗分數(shù)概念發(fā)展中的均分，迭代、遞歸均分等操作，能夠直觀形象地積累分數(shù)基本活動經(jīng)驗．因此，基于分數(shù)圖式進階模型，設(shè)計能夠促進小學(xué)生分數(shù)圖式發(fā)展的游戲活動，并鼓勵其用合適的表征方式表達分數(shù)的意義以及運算，能夠真正有效地促進學(xué)生對分數(shù)概念本質(zhì)的理解，從而為學(xué)生理解有理數(shù)、代數(shù)式等做好更為充足的準備．

[1] 王磊，黃鳴春．科學(xué)教育的新興研究領(lǐng)域:學(xué)習(xí)進階研究[J]．課程·教材·教法，2014，34（1）：112-118．

[2] 劉晟，劉恩山．學(xué)習(xí)進階：關(guān)注學(xué)生認知發(fā)展和生活經(jīng)驗[J]．教育學(xué)報，2012，8（2）：81-87．

[3] 翟小銘，郭玉英，李敏．構(gòu)建學(xué)習(xí)進階：本質(zhì)問題與教學(xué)實踐策略[J]．教育科學(xué)，2015，31（2）：47-51．

[4] Kieren T. The rational number construct: Its elements and mechanisms [M] // KIEREN T. Recent research on number learning. Co-limbus, OH: ERIC Clearing House for Science, 1810: 125-149.

[5] 丁銳，Yan P．中美小學(xué)數(shù)學(xué)教材的比較研究——以三年級“分數(shù)的認識”為例[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2016，25（3）：20-28．

[6] 倪玉菁．五、六年級小學(xué)生對分數(shù)的意義和性質(zhì)的理解[J]．心理發(fā)展與教育，1999（4）：26-30．

[7] 鞏子坤，劉萍．程序性知識教與學(xué)研究——以義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)為例[J]．課程·教材·教法，2014，34（4）：56-62．

[8] 丁銳，衛(wèi)冰倩，Ron Tzur，等．分數(shù)度量意義發(fā)展的認知根基及軌跡：分數(shù)圖式進階理論[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2021，30（3）：64-72．

[9] 羅恩·撒冷，丁銳，魏巧鶴．整數(shù)、分數(shù)概念學(xué)習(xí)進階：建構(gòu)主義教學(xué)實驗的視角[J]．小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2022（1）：9-14．

[10] STEFFE L P, OLIVE J. Children’s fractional knowledge [M]. New York: Springer, 2010: 18-19, 67, 315-321.

[11] von Glasersfeld E. Radical constructivism: A way of knowing and learning [M]. Washington, D.C.: Falmer, 1995: 65.

[12] 丁銳，金軒竹，Ron Tzur，等．建構(gòu)主義教學(xué)實驗研究：演進性學(xué)習(xí)進階的構(gòu)建取向[J]．教育科學(xué)研究，2019（7）：54-60．

[13] 田然．小學(xué)生分數(shù)圖式及其與分數(shù)意義理解的關(guān)系研究[D]．長春：東北師范大學(xué)，2019：47-60．

[14] Norton A, Wilkins J L M, Xu C Z. Brief report: A progression of fraction schemes common to Chinese and U.S. students [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 2018 (49): 210-226.

[15] Norton A. Developing fraction knowledge [M]. Ashford Colour Press Ltd, 2016: 80-137.

Verification of Fractional Schema Progression Model and Analysis of Chinese Primary School Students’ Performance

SUN Wen-juan, DING Rui

(Faculty of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun, 130024 China)

Fraction has always been a difficult point in primary school students’ mathematics learning. Based on the advanced theory of fractional schema, a testing tool of students’ learning progression on fractional schema is developed. The results of RASCH modeling shows that this tool has good reliability and validity, and the investigation of 402 primary school students of Year 6, who are using the mathematics textbooks of Beijing Normal University and the People’s Education Edition, reveals that Chinese students’ actual development of fraction is basically the same as the learning progression model of fractional schema, but there are some differences between actual and expected development on two stages: iterative fractional schema and distributing fractional schema. And students using PEP mathematics textbooks perform better than those using BNUP textbooks in some fractional schema stages. According to the above conclusions, two suggestions are proposed to help students to deeply understand the measurement meaning of fraction. The first is to design the operational game activities to promote students’ development of fractional schema. The second is to use suitable representations to express the measurement meaning of fraction and computational process.

fractional schemes; learning progression; RASCH modeling

G622

A

1004–9894（2022）04–0032–06

孫文娟，丁銳．分數(shù)圖式進階模型有效性檢驗與學(xué)生表現(xiàn)分析[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2022，31（4）：32-37．

2022–02–06

教育部人文社會科學(xué)研究規(guī)劃基金2019年度一般項目——小學(xué)生數(shù)學(xué)核心概念學(xué)習(xí)進階的構(gòu)建與診斷（19YJA880007）

孫文娟（1998—），女，山西長治人，碩士生，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究．

[責(zé)任編校：陳雋、張楠]