黃家毅

（東莞銘普光磁股份有限公司，廣東 東莞 523000）

0 引 言

電感器作為三大被動(dòng)元器件，被廣泛使用在各種電子電路或者設(shè)備中，具有在磁場(chǎng)中存儲(chǔ)和轉(zhuǎn)換能量的功能。功率電感作為常見(jiàn)電感類型，通過(guò)電磁轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)能量傳遞以及電路中電壓轉(zhuǎn)換功能。常用的直流轉(zhuǎn)換器拓?fù)漕愋桶ń祲?、升壓、?降壓，單端初級(jí)電感轉(zhuǎn)換器等。在直流轉(zhuǎn)換器中，直流分量大，要求電感器抗直流偏置能力強(qiáng)。眾所周知，增加氣隙長(zhǎng)度可以提升抗飽和能力，對(duì)于開(kāi)磁路的工字形，因低成本、高飽和特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用在直流轉(zhuǎn)換模塊中。電感值L主要作用在直流電路來(lái)控制工作模式和電流紋波率大小。作為第一個(gè)關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)電感值，在公開(kāi)文獻(xiàn)中給出了R棒電感和空心螺旋彈簧式線圈的電感計(jì)算方法，至于開(kāi)磁路工字形的電感或電感系數(shù)，磁材或電感行業(yè)內(nèi)都是依靠實(shí)測(cè)得到[1,2]。雖然通過(guò)電磁仿真技術(shù)也可獲得電感值，但前提需要購(gòu)買昂貴的軟件和擁有經(jīng)驗(yàn)豐富的仿真工程師。本文對(duì)工字形磁場(chǎng)和磁路模型分析，基于磁阻理論方法通過(guò)簡(jiǎn)化磁路模型得到一種簡(jiǎn)單易用的工程計(jì)算方法。通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量和理論計(jì)算進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，誤差較小符合工程設(shè)計(jì)需求，從而極大縮短開(kāi)發(fā)周期。

1 電感計(jì)算推導(dǎo)過(guò)程和計(jì)算方法

1.1 帶氣隙電感磁路模型及電感計(jì)算

磁阻是磁路中對(duì)磁通量流動(dòng)的阻力，它對(duì)磁通量流動(dòng)的阻力與電阻對(duì)電流在電路中流動(dòng)的阻力相同。 鐵氧體鐵芯材料的磁阻Rc為：

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率，取4π×10-7；N為線圈圈數(shù)；μr為磁體的有效磁導(dǎo)率；Ac為磁體有效截面積，m2；lc為有效磁路長(zhǎng)度，m。

根據(jù)上面定義可得氣隙的磁阻Rg為：

式中：μg為空氣相對(duì)磁導(dǎo)率，其值為1；Ag為磁體有效截面積，m2；lg為間隙長(zhǎng)度，m。

帶氣隙電感磁路模型如圖1所示，對(duì)于圖1（a）中含有N匝線圈的鐵氧體電感[4]，有氣隙電感的安培定律為：

圖1 帶氣隙電感磁路模型

當(dāng)加載交流電i時(shí)，N匝繞線電感產(chǎn)生磁動(dòng)勢(shì)F，其磁路等式為：

根據(jù)法拉第感應(yīng)定律，對(duì)線圈施加交流電流i時(shí)，產(chǎn)生的電壓u為：

由式（6）中得到帶有氣隙的鐵氧體鐵芯電感器的其電感L為：

式中：Rm為磁路中的總磁阻；AL為電感系數(shù)。

1.2 工字形電感磁路和磁場(chǎng)分析

對(duì)于工字形這種開(kāi)磁路，空氣部分?jǐn)U散磁通分布及其不均，工字形繞線電感磁通密度仿真如圖2所示。空氣中磁通面積和長(zhǎng)度無(wú)法通過(guò)一般測(cè)量?jī)x器獲得，而且還會(huì)隨著磁體本身形狀和繞線槽的長(zhǎng)度變化而變化，因此很難計(jì)算空氣磁阻。開(kāi)磁路的工字形電感器總磁阻Rm的等效電路如圖1（b）所示，是磁芯磁阻Rc和空氣磁阻Rg之和。因此，為了獲得較為精確的電感，磁芯和空氣的磁阻都需要準(zhǔn)確計(jì)算。

圖2 工字形繞線電感磁通密度分布

1.2.1 磁芯磁阻計(jì)算

閉合磁路磁芯有效磁路參數(shù)可以按照IEC 60205標(biāo)準(zhǔn)來(lái)計(jì)算從而得到磁阻，但沒(méi)提及這種工字形開(kāi)磁路的磁芯計(jì)算方法。工字形磁體從形狀上就是把罐型POT外圍環(huán)形實(shí)體部分切除，參考罐型磁芯磁路有效參數(shù)計(jì)算方法，調(diào)整后得到適用于工字形，其磁路及其結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖3，有效參數(shù)的計(jì)算則如表1所示[5]。如果磁芯設(shè)計(jì)滿足磁路面積處處相等的理想前提下，其有效參數(shù)可采用簡(jiǎn)易計(jì)算方法：Ac為中柱面積（S=πd2/4），磁路長(zhǎng)度lc為各段分段長(zhǎng)度之和(lc=∑ li, i=1,2,…,5)。

表1 工字形磁芯有效磁路參數(shù)計(jì)算等式

圖3 工字形磁芯磁路結(jié)構(gòu)示意圖

1.2.2 擴(kuò)散磁通的分析及其磁阻的計(jì)算

對(duì)于工字形開(kāi)磁路，空氣部分?jǐn)U散磁通的磁路長(zhǎng)度都很大，空氣部分磁阻遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于磁芯的，一般有數(shù)十到數(shù)百倍的差距，所以空氣中擴(kuò)散磁通磁阻計(jì)算精度很大程度決定了電感計(jì)算精度。如何對(duì)空氣擴(kuò)散磁通分布的模型進(jìn)行“可視化、可測(cè)量”描述則是此部分磁阻計(jì)算的關(guān)鍵。

從圖2工字形繞線電感磁通分布仿真圖可知，空氣中的擴(kuò)散磁通不是均勻分布的，在外部空氣中磁通密度分成兩部分，其數(shù)值分別0.001 2 T和0.000 6 T ?？拷@組A區(qū)域磁力線主要是從工字形上葉片邊緣溢出進(jìn)入空氣中然后返回下葉片邊緣。A區(qū)域的磁力線密度遠(yuǎn)大于外圍B區(qū)域，B區(qū)域顯示為0.000 6 T，這部分磁通從磁芯頂和底部泄漏出來(lái)。在繞線槽里面，由于線圈導(dǎo)體材質(zhì)為銅，銅具有抗磁性，那么理論上穿過(guò)繞組磁力線很少，而且在圖2中的仿真數(shù)值也證明了這一點(diǎn)，因此可忽略。磁力線總是力圖縮短磁通路徑或者沿著導(dǎo)磁能力大的物質(zhì)或地方流動(dòng)以便減小磁通流動(dòng)阻礙，這種現(xiàn)象稱為“磁阻最小原理”[6]。因此，遠(yuǎn)離磁體的磁力線肯定會(huì)越來(lái)越稀疏。由于A區(qū)域磁力線數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于B區(qū)域，那么這兩部分磁通的磁路長(zhǎng)度均值肯定略大于A區(qū)域長(zhǎng)度均值。忽略工字形上下部分溢出磁力線的長(zhǎng)度，對(duì)磁路長(zhǎng)度均值影響也不大，也就相當(dāng)于磁通從上下葉片邊緣溢出。如上所述，簡(jiǎn)化后得到如圖4所示的工字形繞線電感空氣擴(kuò)散磁通分布示意圖。對(duì)于圖4（b）中繞組完全布滿繞線槽情況，忽略穿過(guò)繞組部分磁通，磁力線都分布在磁芯外部空氣。而在沒(méi)有繞滿的情況下，除了磁芯外部，磁芯內(nèi)部磁通直線穿過(guò)沒(méi)有繞組的空間，如圖4 （a）所示。

圖4（a）為繞組沒(méi)繞滿外部空氣磁通的分布示意圖，此刻擴(kuò)散磁通的磁阻Rg則是由磁體內(nèi)部空氣磁阻Rig和磁體外部磁阻Rog并聯(lián)組成，則等式如下：

圖4 工字形繞線電感空氣擴(kuò)散磁通簡(jiǎn)化模型示意圖

內(nèi)部空氣磁阻Rig為：

式中：lg(lg=l1)為內(nèi)部空氣擴(kuò)散磁通的磁路長(zhǎng)度；Aig為內(nèi)部擴(kuò)散磁通的面積。

內(nèi)部擴(kuò)散磁通的Aig為：

式中：dw(d＜dw＜D)為繞組外圍直徑大??；lgi內(nèi)部擴(kuò)散磁通寬度。

外部空氣磁阻Rog為：

式中：Aog為外部擴(kuò)散磁通的面積；log為外部空氣擴(kuò)散磁通的磁路長(zhǎng)度。

外部擴(kuò)散磁通面積Aog為：

假設(shè)空氣這部分磁路分布在相對(duì)磁導(dǎo)率為1的磁體里，其外部擴(kuò)散磁通的磁路長(zhǎng)度按照IEC 標(biāo)準(zhǔn)方式描述成兩部分弧長(zhǎng)加上lg，其等式如下：

假設(shè)這兩部分A和B擴(kuò)散磁通密度相同，外部擴(kuò)散系數(shù)kf為0.5，磁力線密度差別比較大，靠近磁體的磁力線數(shù)量多，遠(yuǎn)離磁力線的數(shù)量少，那么可得0＜kf＜0.5。

假設(shè)外部擴(kuò)散磁通密度處處相等，并把外部擴(kuò)散磁通均分為n份，其總磁阻相當(dāng)于n個(gè)并聯(lián)，則有：

式（17）數(shù)值范圍還是很大，為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化，應(yīng)用磁阻最小原理，磁力走直線道，就相當(dāng)于磁力線走的路徑直上直下。假設(shè)磁力線均勻分布，外部擴(kuò)散磁路長(zhǎng)度最大值可以認(rèn)為繞線槽幅寬lg加1/2上下葉片的厚度，按照?qǐng)D4（a）擴(kuò)散磁通簡(jiǎn)化模型，磁力線密度分布不均時(shí)，大部分磁力線集中在葉片厚度的1/3，那么可得到：

結(jié)合磁芯制造商工字形磁芯尺寸數(shù)據(jù)表和式（17）、式（18）計(jì)算得到：

式中：k0為外部擴(kuò)散磁通長(zhǎng)度倍增系數(shù)，非恒定值，和磁芯和繞組結(jié)構(gòu)相關(guān)，推薦值為1.1。

空氣擴(kuò)散磁通寬度lgw為：

式中：k1為擴(kuò)散系數(shù)，非恒定值，是工字形線槽幅寬l1，磁芯葉片形狀和尺寸、線圈位置、繞組結(jié)構(gòu)相關(guān)因素的綜合函數(shù)。當(dāng)氣隙lg很小時(shí)，文獻(xiàn)資料中提及擴(kuò)散磁通寬度lgw為氣隙lg的1.0～1.2倍，隨著lg的增加，根據(jù)磁阻最小原理，等效擴(kuò)散寬度lgw會(huì)變小，根據(jù)電磁仿真磁通密度分布圖模擬結(jié)果可知，k0,k1和lg之間關(guān)系以及相關(guān)為推薦值如表2所示[7]。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

基于磁阻以及結(jié)合簡(jiǎn)化工字形電感的磁通模型的方法推導(dǎo)出電感值的計(jì)算等式，然后使用多種材質(zhì)、多種不同尺寸工字形磁芯繞制而成電感進(jìn)行測(cè)試驗(yàn)證。每組（序號(hào)）測(cè)量10個(gè)樣本的尺寸和電感值（100 kHz測(cè)試頻率）并取其對(duì)應(yīng)平均值，尺寸測(cè)量值和磁阻相關(guān)計(jì)算列于表3和表4中，然后采用式 （7）～式（12）、式（20）、式（21）以及表2中k0，k1推薦值來(lái)計(jì)算電感值，其電感計(jì)算值和實(shí)測(cè)值如表5所示。

表2 氣隙lg與k0、k1推薦數(shù)值關(guān)系表

表3 工字形磁芯的尺寸測(cè)量值及有效磁路參數(shù)計(jì)算值

表4 工字形電感空氣部分?jǐn)U散磁通的磁路參數(shù)及磁阻

從表5中的理論電感Lc,測(cè)量電感L0對(duì)比結(jié)果可知，除了序號(hào)（組別）#2，#3的誤差分別為13.90%，11.34%，其他測(cè)量誤差幾乎小于10%，序號(hào)（組別）#4～15的氣隙lg值超過(guò)2 mm，其誤差絕對(duì)值均小于5%。主要原因首先是對(duì)模型做了理想化處理，從頂部和底部溢出部分磁力線變成全部從工字形葉片邊緣溢出，特別是忽略部分磁通。對(duì)于圖2仿真中C區(qū)域的磁力線，當(dāng)lg很大時(shí)，這一部分對(duì)磁路長(zhǎng)度均值影響很小，但是當(dāng)lg比較小時(shí)，這個(gè)對(duì)磁力線磁路長(zhǎng)度和面積都有很大影響，導(dǎo)致擴(kuò)散磁通磁阻計(jì)算誤差變比較大，就導(dǎo)致#1～3序號(hào)的電感計(jì)算偏差很大。

表5中的#14和#15選用相同磁芯和相同繞組，它們之間只有材質(zhì)不同，分別對(duì)應(yīng) HN30B(μr300)，HE4(μr2 300)，無(wú)論實(shí)測(cè)還是計(jì)算值都很接近，原因在于空氣磁阻Rg數(shù)量級(jí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于磁芯磁阻Rc，它們之間相差至少數(shù)百倍，磁導(dǎo)率之間差距對(duì)在這種工字形的電感影響很小。

表5 電感理論計(jì)算和實(shí)測(cè)驗(yàn)證對(duì)比

3 結(jié) 論

（1）通過(guò)驗(yàn)證，電感計(jì)算對(duì)于繞組完全繞滿和不繞滿這兩種情況均適用，且證明了圖4模型的正確性。

（2）繞組幅寬l1大于2 mm時(shí)，計(jì)算誤差一般都在±5%之內(nèi)，當(dāng)l1比較小時(shí)，其誤差也在15%內(nèi)，工程上可滿足這類電感±20%偏差要求。

（3）基于磁阻以及結(jié)合簡(jiǎn)化工字形電感的磁通模型方法推導(dǎo)出電感值的計(jì)算等式，把相關(guān)尺寸和對(duì)應(yīng)材質(zhì)的磁導(dǎo)率代入可得工字形的電感系數(shù)或電感值，能在極短時(shí)間內(nèi)幫助開(kāi)發(fā)人員設(shè)計(jì)方案和縮短開(kāi)發(fā)時(shí)間。

（4）對(duì)于更多尺寸的工字磁芯繞線電感普適性和準(zhǔn)確性還需要進(jìn)一步的驗(yàn)證，特別是低背小尺寸工字形磁芯。