辛佳岱 唐 泉

(西北大學(xué)科學(xué)史高等研究院，西安 710127)

自西漢《太初歷》起，行星理論就是歷法的重要內(nèi)容。隋代之前的歷法家根據(jù)行星和太陽(yáng)的平運(yùn)動(dòng)來(lái)推算行星的見(jiàn)、伏等特征天象發(fā)生的時(shí)刻及其位置。公元560年前后，張子信發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)與行星運(yùn)動(dòng)不均勻現(xiàn)象之后，歷法家不斷探索行星不均勻運(yùn)動(dòng)修正算法，以達(dá)到提高行星位置計(jì)算精度的目的。劉焯的《皇極歷》(600)是現(xiàn)存中國(guó)第一部設(shè)計(jì)算法修正太陽(yáng)與行星不均勻運(yùn)動(dòng)的歷法，并且影響了隋代及初唐歷法中步五星術(shù)算法的編制，如張胄玄《大業(yè)歷》(607)、傅仁均《戊寅元?dú)v》(619)和李淳風(fēng)《麟德歷》(665)等三部歷法都沿襲了《皇極歷》中五星入氣加減差算法，以修正行星不均勻運(yùn)動(dòng)。僧一行在《大衍歷》(724)中，將《皇極歷》等歷法中的五星入氣加減差發(fā)展為五星爻象歷，基本奠定了中國(guó)古代行星不均勻運(yùn)動(dòng)修正算法的框架，這個(gè)算法在楚衍和宋行古等人編制的《崇天歷》(1023)中逐漸趨于成熟，此后一直到元代《授時(shí)歷》和明代《大統(tǒng)歷》，幾乎未發(fā)生實(shí)質(zhì)性變化。

現(xiàn)有研究涉及行星運(yùn)動(dòng)的理論模型[1，2]、隋代及初唐歷法中的“五星入氣加減差”算法及其精度[3—6]、行星理論中一些重要算法和天文數(shù)表[7—10]，以及中印行星理論比較研究[11，12]等方面內(nèi)容。關(guān)于行星計(jì)算精度的研究主要集中于宋元?dú)v法[13—17]，對(duì)明代《大統(tǒng)歷》和《回回歷法》也有相關(guān)考察[18]，而對(duì)宋代之前諸歷的行星精度較少涉及[19，20]。這對(duì)我們?nèi)嬖u(píng)價(jià)中國(guó)古代行星計(jì)算精度造成了很大困難。

在中國(guó)古代行星理論發(fā)展史上，隋代劉焯所制《皇極歷》占據(jù)著重要地位，故本文以《皇極歷》行星算法為研究對(duì)象，在對(duì)算法術(shù)文全面解讀的基礎(chǔ)上，利用Python語(yǔ)言模擬其算法并討論行星視位置計(jì)算精度，試圖回答如下問(wèn)題：張子信發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)視運(yùn)動(dòng)與行星公轉(zhuǎn)不均勻現(xiàn)象后，《皇極歷》是如何將這些天文發(fā)現(xiàn)融入行星運(yùn)動(dòng)理論中的？《皇極歷》推算行星視位置的誤差如何？

1 《皇極歷》五星推步思路

《皇極歷》記載了五星的天文常數(shù)、入氣加減差、動(dòng)態(tài)描述和五個(gè)推步算法([21]，頁(yè)1963—1970)，其行星理論的核心目標(biāo)是推算行星自始見(jiàn)至始伏期間每日的黃道宿度。隋代歷法中通常不考慮行星伏行段的運(yùn)行情況，這是因?yàn)榉卸蔚男行俏恢貌灰子^測(cè)，無(wú)法準(zhǔn)確給出其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，當(dāng)時(shí)歷法中有“伏不書(shū)度”或“伏不注度”等記載([21]，頁(yè)1847、1919)。此外，隋代歷法家對(duì)內(nèi)行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律掌握還不夠好，如《皇極歷》中水星的“入氣加減差”僅給出一些經(jīng)驗(yàn)觀測(cè)的描述性言語(yǔ)概述，沒(méi)有量化數(shù)據(jù)，無(wú)法計(jì)算任意時(shí)刻內(nèi)行星的位置[3]。故本文的討論僅限于外行星，不涉及內(nèi)行星。

外行星包含五個(gè)天文常數(shù)。以土星為例，依次是土數(shù)、伏半平、復(fù)日及余、殘日及余和見(jiàn)去日。土數(shù)(H)意為土星的會(huì)合周期，單位為“分”；以“氣日法”(A=46644)除之得復(fù)日及余(h)，即將其換算為以日為單位的會(huì)合周期；伏半平(F)意為土星伏行時(shí)間的一半，單位為“分”；殘日及余是土星會(huì)合周期與回歸年日數(shù)之差。見(jiàn)去日則是晨始見(jiàn)時(shí)刻土星與太陽(yáng)的角距(1)《皇極歷》記載木星見(jiàn)去日為14度，火星為16度，土星為16.5度。。

五個(gè)推步算法即“推星平見(jiàn)術(shù)”“求常見(jiàn)日”“求定見(jiàn)日”“求星見(jiàn)所在度”和“求次日”。其中，求常見(jiàn)日涉及修正行星不均勻運(yùn)動(dòng)的五星“入氣加減差”；求次日需要借助行星自晨始見(jiàn)至夕始伏的動(dòng)態(tài)描述(五星動(dòng)態(tài)表)。這五個(gè)算法是為了計(jì)算行星特征天象發(fā)生時(shí)刻和任意時(shí)刻的行星位置而設(shè)計(jì)。具體而言，前三個(gè)算法推算行星晨始見(jiàn)發(fā)生的時(shí)刻，后兩個(gè)算法推算在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)行星自始見(jiàn)至始伏的每日位置。下面對(duì)各個(gè)算法的名稱(chēng)、目的及其算法思路進(jìn)行釋讀。

(1)推星平見(jiàn)術(shù)。按照太陽(yáng)和行星的平運(yùn)動(dòng)推算行星平見(jiàn)時(shí)刻與其前一個(gè)冬至?xí)r刻之間的時(shí)距。

據(jù)術(shù)文，假設(shè)Nn為上元時(shí)刻距某一年的積年數(shù)，t為回歸年的日數(shù)，h為行星會(huì)合周期的日數(shù)，f為行星伏行一半的日數(shù)，則以會(huì)合周期推算行星平見(jiàn)時(shí)刻與其前一個(gè)冬至?xí)r刻的時(shí)距γ0，由下式得到：

tNn-f≡h-γ0(modh)

(1)

《皇極歷》定義上元O點(diǎn)起于五星與太陽(yáng)同度的合時(shí)刻，而該算法計(jì)算平見(jiàn)時(shí)刻距離其前一個(gè)冬至?xí)r刻的時(shí)距γ0。因此，從上元至所求年冬至?xí)r刻的積日數(shù)及余tNn中，減去行星伏行時(shí)間一半的日數(shù)f，余為A0P，即將起算點(diǎn)從上元行星的合時(shí)刻O(píng)點(diǎn)推后到上元之后的行星始見(jiàn)時(shí)刻A0點(diǎn)。再?gòu)腁0P中減去整數(shù)倍的行星會(huì)合周期日數(shù)h，不足部分為AnP，以行星會(huì)合周期AnAn+1減之，所得為PAn+1，即術(shù)文所求γ0。如圖1所示。

圖1 《皇極歷》行星平見(jiàn)時(shí)刻與所求年天正冬至?xí)r刻的時(shí)距

(2)求常見(jiàn)日。考慮行星中心差，對(duì)平見(jiàn)時(shí)刻進(jìn)行修正，得到修正后的行星常見(jiàn)時(shí)刻距離其前一個(gè)冬至?xí)r刻的時(shí)距。

如圖2，根據(jù)公式(1)推算出行星平見(jiàn)時(shí)刻與其前一個(gè)冬至?xí)r刻的時(shí)距γ0，該算法求經(jīng)行星中心差修正后的行星常見(jiàn)時(shí)刻距離其前一個(gè)冬至?xí)r刻的時(shí)距γ1，由下式得到：

(2)

圖2 《皇極歷》行星常見(jiàn)時(shí)刻與所求年天正冬至?xí)r刻的時(shí)距

平見(jiàn)時(shí)刻與常見(jiàn)時(shí)刻之間的修正值Δm，其數(shù)值及符號(hào)取決于行星平見(jiàn)時(shí)刻所入節(jié)氣。換言之，由于修正行星中心差的結(jié)果取決于“平見(jiàn)”所值節(jié)氣，故稱(chēng)為“入氣加減差”算法。

在隋代及初唐的一些歷法中，“入氣加減差”是為了修正行星中心差對(duì)五星始見(jiàn)時(shí)刻的影響而設(shè)計(jì)的算法。雖然五星“入氣加減差”算法帶有一定的經(jīng)驗(yàn)色彩，但對(duì)于外行星運(yùn)動(dòng)不均勻性的改正是有效的、科學(xué)的[3]?！痘蕵O歷》木星和土星的“入氣加減差”算法前人已解釋清楚[3—6]，火星的“入氣加減差”術(shù)文記載如下：

平見(jiàn)，在雨水前，以十九乘去大寒日；清明前，又十八乘去雨水日，增雨水所乘者；夏至后，以十六乘去處暑日；小滿后，又十五日；寒露前，以十八乘去白露日；小雪前，又十七乘去寒露所乘者(2)嚴(yán)敦杰承擔(dān)?？薄端鍟?shū)·律歷志》工作時(shí)，在《皇極歷》術(shù)文后的“?？庇洝盵二三]指出：“又十七乘去寒露所乘者 當(dāng)作[又十七乘去寒露日，增寒露所乘者]?！眳⒁?jiàn)參考文獻(xiàn)[21]，第1973頁(yè)。；大雪后，二十九乘去大寒日，為減，小雪至大雪減二十五日。([21]，頁(yè)1964)

經(jīng)分析，這段文字應(yīng)該存有脫訛，陳美東也指出這一點(diǎn)(3)陳美東的?？笔牵骸啊迕髑?，又十八乘去雨水日，增雨水所乘者；[清明至夏至加二十七日；]夏至后，以十六乘去處暑日；(小滿)[處暑]后，又(十五日)[二十八乘去白露日。減處暑所乘者]；寒露前，……”參見(jiàn)參考文獻(xiàn)[3]。，然而筆者按照校勘改動(dòng)最少原則，對(duì)術(shù)文?？比缦拢?/p>

平見(jiàn)，在雨水前，以十九乘去大寒日；清明前，又十八乘去雨水日，增雨水所乘者；[清明至小滿加二十七日；]夏至后，以十六乘去處暑日；小滿后，又十五[乘去夏至]日；寒露前，以十八乘去白露日；小雪前，又十七乘去寒露日，增寒露所乘者；大雪后，二十九乘去大寒日，為減，小雪至大雪減二十五日。

上述文字表明，若依據(jù)火星會(huì)合周期推算的始見(jiàn)時(shí)刻“平見(jiàn)”所入節(jié)氣不同，則火星運(yùn)動(dòng)不均勻性影響的改正值就會(huì)改變?；鹦请S著“平見(jiàn)”所入節(jié)氣而引起時(shí)間提前或是滯后的改正曲線，如圖3所示。

圖3 《皇極歷》火星“平見(jiàn)日”至“常見(jiàn)日”的改正值曲線

圖3中橫坐標(biāo)為黃經(jīng)值，春分對(duì)應(yīng)黃經(jīng)0°，每經(jīng)過(guò)一氣黃經(jīng)值的改變量為15°，據(jù)此可換算到其余對(duì)應(yīng)的節(jié)氣?？v坐標(biāo)為時(shí)間改正值，以“日”為單位，正值表示經(jīng)修正行星不均勻運(yùn)動(dòng)得到的“常見(jiàn)日”較“平見(jiàn)日”滯后(如圖2中的B″點(diǎn))，負(fù)值則表示提前(如圖2中的B′點(diǎn))。

(3)求定見(jiàn)日?？紤]太陽(yáng)中心差，對(duì)常見(jiàn)時(shí)刻進(jìn)行修正，得到修正后的行星定見(jiàn)時(shí)刻距離其前一個(gè)冬至?xí)r刻的時(shí)距。

與“求常見(jiàn)日”類(lèi)似，此處要對(duì)γ1進(jìn)行太陽(yáng)中心差修正，求修正后的行星定見(jiàn)時(shí)刻距離其前一個(gè)冬至?xí)r刻的時(shí)距γ2，由下式得到：

(3)

常見(jiàn)時(shí)刻與定見(jiàn)時(shí)刻之間的修正值為太陽(yáng)中心差Cs，該算法在《皇極歷》步日躔術(shù)中記載([21]，頁(yè)1937—1939)。其中，“先后數(shù)”即太陽(yáng)中心差，以“先后數(shù)”除以“轉(zhuǎn)法”(52)得到真太陽(yáng)與平太陽(yáng)的行度之差。日躔表中羅列二十四氣各氣初始時(shí)刻的太陽(yáng)先后數(shù)，劉焯設(shè)計(jì)了等間距二次內(nèi)插算法以求每日先后數(shù)([22]，頁(yè)152—155)。

(4)求星見(jiàn)所在度。由于外行星運(yùn)行速度較太陽(yáng)慢，故以定見(jiàn)時(shí)刻太陽(yáng)的位置減去“見(jiàn)去日”，即可得到定見(jiàn)時(shí)刻行星的位置。

術(shù)文中記載定見(jiàn)時(shí)刻太陽(yáng)位置的方法是：計(jì)算行星定見(jiàn)時(shí)刻所在晨前夜半的太陽(yáng)位置，再加上定見(jiàn)日余對(duì)應(yīng)的太陽(yáng)行度即可([21]，頁(yè)1969—1970)。為了便于利用Python語(yǔ)言模擬其算法，此處以一種等價(jià)方法替換。根據(jù)《皇極歷》步月離中的“推日度術(shù)”([21]，頁(yè)1950—1951)，計(jì)算所求年冬至?xí)r刻的太陽(yáng)位置，再由公式(3)得到行星定見(jiàn)時(shí)刻距離所求年冬至?xí)r刻的時(shí)距γ2以步日躔中的太陽(yáng)中心差算法推算出在γ2內(nèi)太陽(yáng)運(yùn)行的度數(shù)，即可得到定見(jiàn)時(shí)刻的太陽(yáng)位置。

以土星定見(jiàn)時(shí)刻的位置為例，若令λ0為太陽(yáng)在所求年冬至?xí)r刻的黃道宿度，d為在γ2內(nèi)太陽(yáng)的實(shí)際運(yùn)行度數(shù)，并且根據(jù)土星“見(jiàn)去日”常數(shù)得知定見(jiàn)時(shí)刻土星落后太陽(yáng)16.5度。故土星定見(jiàn)時(shí)刻的黃道宿度λ土，由下式得到：

λ土=λ0+d-16.5

(4)

(5)求次日。計(jì)算行星在任意一日的位置。由公式(4)推算出行星定見(jiàn)時(shí)刻的位置，在此基礎(chǔ)上累加行星各日行度，即可得到行星定見(jiàn)之后至始伏期間每一日的位置。

《皇極歷》記載了行星在一個(gè)會(huì)合周期中自始見(jiàn)至始伏的逐日行度。根據(jù)土星的動(dòng)態(tài)描述([21]，頁(yè)1966)，羅列出土星自晨始見(jiàn)至夕始伏的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如表1所示。

表1 土星動(dòng)態(tài)表

由表1可見(jiàn)，土星運(yùn)動(dòng)狀態(tài)劃分為五個(gè)段目：前順行、前留、逆行、后留和后順行(4)前順行段目以土星晨始見(jiàn)為起點(diǎn)，后順行段目以土星夕始伏為結(jié)束?！痘蕵O歷》術(shù)文中并未出現(xiàn)“前順行、前留”等這些名稱(chēng)，是我們?yōu)榱朔奖忝枋?，依?jù)唐代歷法五星動(dòng)態(tài)表中的名稱(chēng)，結(jié)合《皇極歷》土星動(dòng)態(tài)描述給出相應(yīng)段目的名稱(chēng)。，并未給出伏行段目行星的動(dòng)態(tài)描述，僅以“伏半平”和“見(jiàn)去日”兩常數(shù)籠統(tǒng)刻畫(huà)行星伏行的時(shí)間和度數(shù)。木星的運(yùn)行狀態(tài)與土星類(lèi)似，相對(duì)容易理解。

《皇極歷》中火星的運(yùn)動(dòng)劃分為七個(gè)段目：前疾、前遲、前留、逆行、后留、后遲和后疾?；鹦窃谇凹才c后疾段目的動(dòng)態(tài)描述與以往歷法大有不同，表現(xiàn)為這兩段目的火星運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并非直接給出，而是要先判斷火星前疾和后疾初日距離其前一個(gè)冬至的日數(shù)，以此推算火星在該段目上的運(yùn)行時(shí)間(日率)和度數(shù)(度率)等([21]，頁(yè)1964—1965)。這種處理方式與印度6世紀(jì)中葉《五大歷書(shū)匯編》(Pacasiddhāntikā)中的《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》(Paulia)將火星動(dòng)態(tài)表與行星的黃經(jīng)相聯(lián)系的設(shè)計(jì)方案非常類(lèi)似[23]。

火星在前疾與后疾兩段目動(dòng)態(tài)描述首先根據(jù)火星晨始見(jiàn)時(shí)刻或后疾初始時(shí)刻所值節(jié)氣，對(duì)應(yīng)算出火星在前疾段或后疾段的日率和度率，之后在某些節(jié)氣上，還要對(duì)日率和度率進(jìn)行二次修正。其中，對(duì)某些節(jié)氣的日率、度率二次修正時(shí)，有“半度之行”的說(shuō)法，如術(shù)文言“白露至寒露，初日行半度，四十日行二十度”([21]，頁(yè)1964)。以往學(xué)者的理解是火星晨見(jiàn)初日運(yùn)動(dòng)速度均為半度(5)張培瑜等學(xué)者認(rèn)為白露至寒露時(shí)，火星晨見(jiàn)初日運(yùn)動(dòng)速度均為半度，見(jiàn)參考文獻(xiàn)[24]。劉洪濤認(rèn)為火星在白露至寒露間初見(jiàn)的平均速度是日行半度，見(jiàn)后勻速行40日移20度，見(jiàn)參考文獻(xiàn)[25]。王應(yīng)偉認(rèn)為術(shù)文疑有脫字或脫句，見(jiàn)參考文獻(xiàn)[26]。。唐泉依據(jù)初唐《戊寅元?dú)v》《麟德歷》中對(duì)火星前疾段目的修正法則時(shí)的論述，認(rèn)為此處“半度之行”，并非火星晨始見(jiàn)在白露至寒露這個(gè)時(shí)段內(nèi)，其初日視行速為0.5度/日，而是若在這個(gè)時(shí)段內(nèi)要對(duì)原有日率和度率進(jìn)行二次修正，即日率減去40日，度率減去20度[19]。

中國(guó)傳統(tǒng)歷法家計(jì)算行星位置的基本思路在《皇極歷》中已雛形初現(xiàn)。概言之，其五星推步的思路是：首先，依據(jù)行星會(huì)合周期推算平見(jiàn)日；其次，以行星中心差修正平見(jiàn)日，得到常見(jiàn)日，再以太陽(yáng)中心差對(duì)常見(jiàn)日加以修正，得到定見(jiàn)日；再次，推算定見(jiàn)時(shí)刻的行星位置；最后，在此基礎(chǔ)上再累加五星動(dòng)態(tài)表中的每日行度，得到行星的每日位置。

2 《皇極歷》行星算法的計(jì)算機(jī)模擬與算例

為了加深對(duì)《皇極歷》五星推步算法的理解，此處以公元600年冬至之后的土星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)自晨始見(jiàn)至夕始伏每日夜半的極黃經(jīng)推算過(guò)程為例，給出計(jì)算實(shí)例。

《皇極歷》中與土星位置相關(guān)的基本天文常數(shù)包含：上元距開(kāi)皇二十年(600)積年數(shù)為N600=1008837年(6)此處的積年數(shù)包含所求年，歷法中通常稱(chēng)為“算上”。。歲數(shù)T=17036466.5,土數(shù)H=17635594,伏半平F=864995，它們均以氣日法A=46644為分母，由此得到：

(5)

參照上一節(jié)《皇極歷》計(jì)算行星位置的基本思路，為了得到土星每日夜半的歷取黃經(jīng)值，根據(jù)五星推步算法過(guò)程將其分為五個(gè)步驟執(zhí)行。具體如下：

第1步：求公元600年冬至?xí)r刻距離后一個(gè)土星平見(jiàn)時(shí)刻的時(shí)距γ0。

依據(jù)“推星平見(jiàn)術(shù)”，將上元積年N600、回歸年t、土星會(huì)合周期h等常數(shù)代入公式(1)，即

由此得到γ0約是338.2460日。

第2步：求公元600年冬至?xí)r刻距離后一個(gè)土星常見(jiàn)時(shí)刻的時(shí)距γ1。

依據(jù)“求常見(jiàn)日”，可知平見(jiàn)與常見(jiàn)時(shí)刻之間的修正值取決于行星平見(jiàn)時(shí)刻所入節(jié)氣?！痘蕵O歷》平氣日數(shù)約為15.2185日，由第1步所得γ0推算土星平見(jiàn)時(shí)刻入于冬至后的第22氣，即入于小雪后約第3.4385日。按照土星入氣加減差修正并代入公式(2)，即

由此得到γ1約是337.6508日。

第3步：求公元600年冬至?xí)r刻距離后一個(gè)土星定見(jiàn)時(shí)刻的時(shí)距γ2，以及定見(jiàn)日期。

依據(jù)“求定見(jiàn)日”，可知常見(jiàn)與定見(jiàn)時(shí)刻之間的修正值取決于行星常見(jiàn)時(shí)刻所入節(jié)氣。土星常見(jiàn)時(shí)刻入冬至后第22氣約第6.7417日，根據(jù)步日躔術(shù)，計(jì)算出由于太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)不均勻性而修正土星常見(jiàn)時(shí)刻的數(shù)值約是0.7765日。因此，結(jié)合公式(3)，即

γ2=337.6508+0.7765(日)。

由此得到γ2約是338.4274日。

推算土星定見(jiàn)日期，需要得知公元600年歷取冬至?xí)r刻的日期。依據(jù)“推氣術(shù)”算法([21]，頁(yè)1936—1937)，以如下公式求得歷取冬至?xí)r刻：

tN600≡r(mod 60)

(6)

代入常數(shù)，得到冬至大小余r：

《皇極歷》的上元起于甲子日，由上式得到冬至大余為29，可知公元600年歷取冬至日的日名為“癸巳”。這一年理論冬至?xí)r刻是600年12月18日21時(shí)36分，日名也是“癸巳”[27]，將“21時(shí)36分”化為以日為單位是0.9日。由日名可知恰與歷取冬至在同一日，這一日的儒略日序號(hào)是1940560。上式算得歷取冬至不足一日的小余為0.8118日。因此，這一年的歷取冬至?xí)r刻是600年12月18日19時(shí)29分。

γ2不足整日數(shù)的部分為0.4274日，它與歷取冬至小余0.8118日兩者之和大于1日，則土星定見(jiàn)時(shí)刻與其前一個(gè)冬至所在日夜半的時(shí)距約是339.2391日。由此推算出土星定見(jiàn)日期是601年11月22日。

第4步：求公元600年冬至?xí)r刻之后的土星定見(jiàn)所在日夜半的黃經(jīng)。

(1)求公元600年歷取冬至?xí)r刻的太陽(yáng)黃經(jīng)

方法是在理論冬至?xí)r刻的太陽(yáng)黃經(jīng)270°的基礎(chǔ)上，增減在歷取與理論冬至?xí)r刻差期間太陽(yáng)運(yùn)行的度數(shù)?！痘蕵O歷》依據(jù)日行盈縮將回歸年以“二分”為界分為兩部分，“秋分后春分前為盈汎，春分后秋分前為虧總”([21]，頁(yè)1936)。據(jù)術(shù)文得知冬至每氣日數(shù)是：

根據(jù)步日躔術(shù)，得到冬至這一日太陽(yáng)的中心差值為：

因此，公元600年歷取冬至?xí)r刻的太陽(yáng)黃經(jīng)是：

(2)求公元600年冬至?xí)r刻之后的土星定見(jiàn)時(shí)刻的黃經(jīng)

依據(jù)“求星見(jiàn)所在度”，得知關(guān)鍵步驟是求太陽(yáng)在γ2內(nèi)實(shí)際運(yùn)行度數(shù)d。定見(jiàn)時(shí)刻入冬至后第22氣約第7.5183日，根據(jù)步日躔術(shù)，得到在γ2內(nèi)太陽(yáng)實(shí)行度與平行度之差約為0.7518度。由于太陽(yáng)平行度為每日1度，所以太陽(yáng)從冬至?xí)r刻至定見(jiàn)時(shí)刻運(yùn)行的度數(shù)為：

d=γ2-0.7518=338.4274-0.7518=337.6755(度)。

將其結(jié)果代入公式(4)，即

由此得知土星定見(jiàn)時(shí)刻的黃經(jīng)是226.4620°。

(3)求公元600年冬至?xí)r刻之后的土星定見(jiàn)所在日夜半的黃經(jīng)

(7)

根據(jù)第3步所得土星定見(jiàn)時(shí)刻與其前一個(gè)冬至所在日夜半時(shí)距約是339.2391日，可知土星定見(jiàn)小余r′約為0.2391日，且由表1得到土星的初日速度v0為4364/46644(度/日)。將其代入(7)式得到：

由此得知土星定見(jiàn)所在日夜半的黃經(jīng)是226.4400°。

第5步：求公元600年冬至?xí)r刻之后的土星定見(jiàn)所在日至夕始伏每日夜半的黃經(jīng)。

在第4步計(jì)算結(jié)果基礎(chǔ)上，累加表1土星動(dòng)態(tài)表中的自晨始見(jiàn)至夕始伏土星的每日行度，得到定見(jiàn)之后每一日夜半的土星黃經(jīng)值，其結(jié)果如下文表2中的“歷取黃經(jīng)”一欄所示。

3 《皇極歷》外行星計(jì)算精度及分析

3.1 《皇極歷》外行星位置計(jì)算精度結(jié)果

上一節(jié)中我們以土星為例，利用《皇極歷》五星推步方法已得到公元600年冬至之后的土星一個(gè)會(huì)合周期自晨始見(jiàn)至夕始伏每日夜半的歷取極黃經(jīng)，所以將其與理論黃經(jīng)求差值的做法(歷取黃經(jīng)-理論黃經(jīng))，即可算得土星這個(gè)周期的黃經(jīng)絕對(duì)誤差(8)行星視位置的極黃經(jīng)和真黃經(jīng)的確有一些差別，但由于外行星運(yùn)行軌道與黃道的夾角較小，因此這兩者的差別就非常小，且與行星理論的系統(tǒng)誤差比較，外行星的這些誤差目前可以暫時(shí)忽略。參見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1]。。

土星的理論黃經(jīng)結(jié)果可以通過(guò)天文軟件Skymap提取并計(jì)算得出，寧曉玉的研究表明Skymap軟件滿足古天文研究數(shù)據(jù)的精確度和穩(wěn)定性，是準(zhǔn)確可靠的天文軟件[28]。所提取的理論數(shù)據(jù)是土星自601年11月22日定見(jiàn)之后341日的每日夜半時(shí)刻赤經(jīng)和赤緯值，需要將其換算到對(duì)應(yīng)的黃經(jīng)值，其結(jié)果如表2中的“理論黃經(jīng)”一欄所示。

表2 《皇極歷》以601年11月22日為土星定見(jiàn)的會(huì)合周期晨始見(jiàn)至夕始伏位置精度

上一節(jié)已得到公元600年冬至之后的土星定見(jiàn)日期是601年11月22日，其儒略日序號(hào)數(shù)是1940899。這里限于篇幅僅給出該會(huì)合周期自晨始見(jiàn)至夕始伏每間隔20日的土星黃經(jīng)數(shù)值。將《皇極歷》五星推步算法得到的歷取黃經(jīng)與理論黃經(jīng)求差值，以推算土星這個(gè)周期的黃經(jīng)絕對(duì)誤差，如表2所示。

根據(jù)表2最后一欄“黃經(jīng)誤差”，以每日結(jié)果繪制土星黃經(jīng)絕對(duì)誤差散點(diǎn)圖，如圖4所示。經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，土星數(shù)據(jù)量有341個(gè)，黃經(jīng)誤差絕對(duì)值的平均值為1.46°，誤差絕對(duì)值的最大值為2.51°。

圖4 601年11月22日定見(jiàn)至始伏土星黃經(jīng)絕對(duì)誤差散點(diǎn)圖

以同樣方式分別計(jì)算出木星開(kāi)皇二十年冬至后定見(jiàn)發(fā)生于601年6月2日，火星定見(jiàn)發(fā)生于601年11月29日。分別繪制出木星和火星在這個(gè)會(huì)合周期內(nèi)自晨始見(jiàn)至夕始伏期間的黃經(jīng)絕對(duì)誤差散點(diǎn)圖，如圖5和圖6所示。

圖5 601年6月2日定見(jiàn)至始伏木星黃經(jīng)絕對(duì)誤差散點(diǎn)圖

圖6 601年11月29日定見(jiàn)至始伏火星黃經(jīng)絕對(duì)誤差散點(diǎn)圖

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，木星數(shù)據(jù)量有363個(gè)，黃經(jīng)誤差絕對(duì)值的平均值為1.83°，誤差絕對(duì)值的最大值為3.12°；火星數(shù)據(jù)量有624個(gè)，黃經(jīng)誤差絕對(duì)值的平均值為4.21°，誤差絕對(duì)值的最大值為8.67°。

為了更深入全面探討《皇極歷》外行星計(jì)算精度，接下來(lái)將推算《皇極歷》制成之后約30年長(zhǎng)時(shí)段內(nèi)木星、火星和土星在每日夜半的黃經(jīng)，并將其與行星理論黃經(jīng)比較，以得到絕對(duì)誤差結(jié)果。對(duì)于木星，計(jì)算了開(kāi)皇二十年冬至后的28個(gè)完整會(huì)合周期自晨始見(jiàn)至夕始伏的每日夜半位置，數(shù)據(jù)量為10165個(gè)；對(duì)于火星，計(jì)算了15個(gè)完整會(huì)合周期的每日夜半位置，數(shù)據(jù)量為9204個(gè)；對(duì)于土星，計(jì)算了29個(gè)完整會(huì)合周期的每日夜半位置，數(shù)據(jù)量為10231個(gè)。

根據(jù)計(jì)算結(jié)果分別繪制出木星、火星和土星的黃經(jīng)絕對(duì)誤差散點(diǎn)圖，如圖7—9所示。圖中的縱坐標(biāo)表示行星黃經(jīng)絕對(duì)誤差，單位為“°”；橫坐標(biāo)表示從公元600年冬至之后外行星首次定見(jiàn)所在日的夜半起算的日數(shù)，單位為“日”。圖7中的橫坐標(biāo)始于601年6月2日夜半，圖8始于601年11月29日夜半，圖9始于601年11月22日夜半。

圖7 《皇極歷》木星黃經(jīng)絕對(duì)誤差散點(diǎn)圖

圖8 《皇極歷》火星黃經(jīng)絕對(duì)誤差散點(diǎn)圖

圖9 《皇極歷》土星黃經(jīng)絕對(duì)誤差散點(diǎn)圖

從圖7—9可以看出，外行星的黃經(jīng)絕對(duì)誤差在約30年內(nèi)呈現(xiàn)出周期性的變化。然而，在此之中火星有兩個(gè)會(huì)合周期的誤差比較反常。通過(guò)查驗(yàn)，這兩個(gè)周期的晨始見(jiàn)分別處于白露、秋分兩氣，處于這兩氣的修正方案是“白露至寒露，初日行半度，四十日行二十度”。已在第1章中論述火星動(dòng)態(tài)描述時(shí)，指出此處“半度之行”是對(duì)火星晨始見(jiàn)位于“白露至寒露”段內(nèi)的二次修正，日率減去40日，度率減去20度。若不考慮術(shù)文中的“初日行半度”的修正，可繪制出火星黃經(jīng)絕對(duì)誤差散點(diǎn)圖，如圖10所示。

圖10 《皇極歷》火星黃經(jīng)絕對(duì)誤差散點(diǎn)圖(不修正“初日行半度”)

如圖10，若不考慮火星晨始見(jiàn)位于“白露至寒露”段內(nèi)“初日行半度”的修正，這兩個(gè)反常周期(圖8)的誤差會(huì)大幅度減小，且與前后會(huì)合周期的誤差銜接度更好。

因此，根據(jù)以上分析，《皇極歷》外行星計(jì)算精度可由表3中的相關(guān)數(shù)據(jù)反映。

表3 《皇極歷》601—630年外行星計(jì)算精度(9)表3中火星計(jì)算精度結(jié)果均為不考慮“初日行半度”情況下所得。

印度天文學(xué)著作《五大歷書(shū)匯編》成書(shū)于6世紀(jì)中葉，其中的《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》與中國(guó)傳統(tǒng)歷法處理行星運(yùn)動(dòng)的方式相同，即以代數(shù)方法計(jì)算行星的位置。唐泉對(duì)《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》中的行星運(yùn)動(dòng)作了深入研究并給出外行星及金星的計(jì)算精度[11]，外行星計(jì)算精度數(shù)據(jù)摘錄于表4。通過(guò)比較，《皇極歷》中推算外行星黃經(jīng)誤差精度相比《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》要稍微高一些。

表4 《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》行星計(jì)算精度

3.2 影響《皇極歷》外行星位置精度的原因分析

根據(jù)上述對(duì)《皇極歷》行星推步算法的解讀分析，不難看出，定見(jiàn)時(shí)刻被視為行星在一個(gè)會(huì)合周期上的關(guān)節(jié)點(diǎn)，再由太陽(yáng)位置及見(jiàn)去日推算行星定見(jiàn)時(shí)刻的位置，最后以行星每日的行度累加，即可得到行星任意一日的位置。可見(jiàn)，行星定見(jiàn)時(shí)刻的推算，以及行星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)自晨始見(jiàn)至夕始伏的每日行度都有可能影響到《皇極歷》外行星位置計(jì)算精度。接下來(lái)，從這兩方面展開(kāi)探討。

一方面，有必要對(duì)行星在約30年時(shí)段內(nèi)每次定見(jiàn)時(shí)刻的精度進(jìn)行分析。依據(jù)《皇極歷》行星推步算法得到開(kāi)皇二十年冬至后約30年內(nèi)木星、火星和土星各完整會(huì)合周期的歷取定見(jiàn)日期，以及由中國(guó)黃道星空天文軟件所得理論定見(jiàn)日期(10)“中國(guó)黃道星空”是劉次沅專(zhuān)門(mén)為研究中國(guó)古代天象記錄而開(kāi)發(fā)的一款天文軟件，它可以計(jì)算并演示日、月、五星在黃道天區(qū)的位置和運(yùn)動(dòng)。此處的“理論定見(jiàn)日期”就是通過(guò)《皇極歷》所給外行星“見(jiàn)去日”常數(shù)，進(jìn)而借助該軟件推算這一天象發(fā)生的日期。，如表5所示。

表5 《皇極歷》601—630年木星、火星和土星定見(jiàn)日期

表5中結(jié)果表明木星歷取定見(jiàn)日期與理論定見(jiàn)日期的最大誤差是6日，平均誤差約為2日；火星的最大誤差是41日，平均誤差約為21日；土星的最大誤差是5日，平均誤差約為3日。可見(jiàn)，《皇極歷》推算外行星定見(jiàn)時(shí)刻的計(jì)算誤差中火星最大，木星和土星基本相當(dāng)。

另一方面，我們對(duì)外行星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)自晨始見(jiàn)至夕始伏的速度進(jìn)行分析。根據(jù)表2的計(jì)算結(jié)果，可繪制以600年11月22日為土星定見(jiàn)的一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)的理論速度與歷取速度，即呈現(xiàn)出開(kāi)皇二十年冬至之后土星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。如圖11所示。

圖11 土星理論速度與歷取速度圖示

《皇極歷》中的土星在一個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)被分為前順行、前留、逆行、后留和后順行這五個(gè)段目，且順行與逆行的歷取速度均以勻速運(yùn)動(dòng)給出，如圖11所示。對(duì)比理論速度曲線可以看出，土星的理論速度實(shí)際在每時(shí)每刻都是改變的。歷取速度劃分的段目較少，很難達(dá)到與理論速度較好擬合。此外，歷取速度在前留、后留這兩段目各占39日，而實(shí)際理論速度中“留”卻僅是存有一瞬間的狀態(tài)。因此，《皇極歷》對(duì)土星一個(gè)周期內(nèi)各段目的運(yùn)行狀態(tài)描述也是影響土星計(jì)算精度誤差的一個(gè)重要因素。

以同樣的方式，繪制出開(kāi)皇二十年冬至之后木星和火星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)的理論速度與歷取速度，如圖12和圖13所示。

圖12 木星理論速度與歷取速度圖示

圖13 火星理論速度與歷取速度圖示

值得注意的是，與木星和土星不同，圖13中所呈現(xiàn)的火星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)的理論速度與歷取速度并不對(duì)稱(chēng)，換言之，其晨始見(jiàn)的速度與該會(huì)合周期夕始伏的速度不相等。從理論速度曲線上同樣反映出這一現(xiàn)象，且歷取速度與之?dāng)M合較好。如圖14所示，我們給出更大的時(shí)間范圍內(nèi)速度擬合曲線，即約公元600—630年火星15個(gè)會(huì)合周期內(nèi)晨始見(jiàn)至夕始伏期間運(yùn)行理論速度與歷取速度圖示。

圖14 《皇極歷》火星公元601年11月29日夜半后每日理論速度與歷取速度圖示

《皇極歷》的火星歷取速度之所以能達(dá)到這樣好的效果，其原因在于它設(shè)計(jì)火星前疾段和后疾段運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)的巧妙算法，以一個(gè)會(huì)合周期中前疾初日與后疾初日所值節(jié)氣，來(lái)分別規(guī)定火星在這兩個(gè)段目運(yùn)行的日率和度率。

4 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)《皇極歷》外行星入氣加減差、動(dòng)態(tài)描述及五星推步算法構(gòu)建思路的解讀，并結(jié)合上述分析討論，得出下面幾點(diǎn)結(jié)論：

(1)根據(jù)表3中的數(shù)據(jù)，得知對(duì)《皇極歷》外行星而言，木星和土星黃經(jīng)誤差絕對(duì)值的最大值分別是5.27°和5.10°，誤差絕對(duì)值的平均值分別是1.94°和2.61°。這表明《皇極歷》中木星和土星的計(jì)算精度大體相當(dāng)，而火星黃經(jīng)計(jì)算誤差要比木星和土星大得多。火星黃經(jīng)誤差絕對(duì)值的最大值是17.67°，約是木星和土星黃經(jīng)最大誤差的3倍還要多，誤差絕對(duì)值的平均值也達(dá)到4.80°。此外，通過(guò)對(duì)外行星約30年中的每個(gè)定見(jiàn)日期的誤差分析，如表5，同樣得到火星的定見(jiàn)日期誤差最大，木星和土星誤差相當(dāng)且較火星小很多。這是因?yàn)榛鹦窃谌齻€(gè)外行星中，它的軌道偏心率最大、周期長(zhǎng)、速度快，因而火星的計(jì)算相對(duì)木星和土星要更困難一些。

(2)《皇極歷》討論火星“前疾”段的日率和度率時(shí)，附加修正法則所提到的“半度之行”，這一項(xiàng)修正對(duì)火星黃經(jīng)計(jì)算精度的提高似乎沒(méi)有發(fā)揮正面作用，如圖8和圖10所示。引入“半度之行”修正的火星黃經(jīng)誤差絕對(duì)值的最大值高達(dá)31.49°，誤差絕對(duì)值的平均值是6.65°；而未考慮“半度之行”修正的火星黃經(jīng)誤差絕對(duì)值的最大值是17.67°，誤差絕對(duì)值的平均值是4.80°?？煽闯鰪木确矫婵疾?，這個(gè)算法顯得多余。但是從初唐《戊寅元?dú)v》《麟德歷》這兩部歷法對(duì)“半度之行”的論述分析而言，其涵義就是對(duì)原有日率和度率的二次修正，理解上無(wú)誤。因而關(guān)于“半度之行”的合理性問(wèn)題還需要作進(jìn)一步探討。

(3)《皇極歷》外行星黃經(jīng)絕對(duì)誤差散點(diǎn)圖呈現(xiàn)周期性變化的規(guī)律，與其公轉(zhuǎn)周期基本吻合，如圖7—10所示。文章中所討論自公元600年冬至之后首次始見(jiàn)的當(dāng)日夜半起算約12000日時(shí)間段內(nèi)，大約包含了2.7個(gè)木星公轉(zhuǎn)周期、1.1個(gè)土星公轉(zhuǎn)周期、17.5個(gè)火星公轉(zhuǎn)周期。木星和土星黃經(jīng)絕對(duì)誤差的變化規(guī)律與它們的公轉(zhuǎn)周期比較吻合，而火星由于其公轉(zhuǎn)周期較短，其黃經(jīng)絕對(duì)誤差變化不太容易與公轉(zhuǎn)周期對(duì)應(yīng)。然而，火星呈現(xiàn)出七個(gè)會(huì)合周期循環(huán)規(guī)律性的波動(dòng)趨勢(shì)，這與火星的大沖周期更為匹配。

(4)由于目前隋代之前的歷法行星計(jì)算精度的研究甚少，本人所在項(xiàng)目組的其他成員提供了一些未發(fā)表的魏晉南北朝時(shí)期歷法中外行星誤差計(jì)算精度的初步結(jié)果，得知這時(shí)期木星和土星的黃經(jīng)誤差絕對(duì)值的最大值達(dá)到十幾二十多度，火星更是有高達(dá)四五十度的誤差?？梢?jiàn)，《皇極歷》在引入太陽(yáng)和行星不均勻運(yùn)動(dòng)修正算法之后，確實(shí)在很大程度上改善了其行星計(jì)算水平。雖然隋代及唐初時(shí)期歷法中的“入氣加減差”和“五星動(dòng)態(tài)表”均屬于基于經(jīng)驗(yàn)性觀測(cè)的數(shù)值算法系統(tǒng)，但是這項(xiàng)研究也進(jìn)一步表明古代歷法家在探索行星運(yùn)動(dòng)理論、設(shè)計(jì)數(shù)值算法逐漸逼近真值的過(guò)程中，不懈努力的精神是值得肯定和學(xué)習(xí)的。

致 謝感謝兩位匿名審稿專(zhuān)家提出寶貴的修改建議。論文寫(xiě)作過(guò)程中還得到了北京天文館古觀象臺(tái)楊帆老師提供的材料和幫助，在此表示衷心感謝!