王 勛（天津理工大學，天津 300028）

1 建筑結構抗震設計的數學原理

建筑抗震設計在保證質量和安全的前提下，最基本的設計原則就是在滿足有關設計規(guī)范的前提下，依托最優(yōu)的設防烈度進行抗震結構的優(yōu)化設計。

通常情況下，各種工程項目的結構方案、結構材料以及其結構拓撲早已在初設階段確定方向，所以目前要對各種建筑進行優(yōu)化設計，尤其是抗震優(yōu)化設計，一般均是在結構尺寸上實施優(yōu)化。

設計優(yōu)化階段的效益目標函數主要包含造價C(-x)和今后長遠的社會效益與經濟效益。長遠的社會效益和經濟效益就囊括了結構運維期間直接經濟效益的期望值和結構失效帶來的損失期望值L(-x)，故而建筑抗震的結構優(yōu)化函數關系式為：

根據式（1）的經濟效益目標函數式開展抗震結構的優(yōu)化設計，憑借最優(yōu)設防烈度的基本概念，以建筑結構的抗震設防烈度Id作為建筑抗震設防的參數代表，便可以將建筑抗震的結構設計優(yōu)化分解為兩個步驟。

1.1 第一步驟確定最優(yōu)設防荷載

根據最優(yōu)設計的經濟效益目標函數式（1），建筑結構的最優(yōu)設防荷載的目的函數關系式為：

式（2）中，Id表示抗震設防烈度；

C[(Id)]表示與設計方案相對應的投資成本；

L[(Id)]表示對應設計方案下的損失期望值。

1.2 第二步驟確定損失期望值

根據式（2）可知，當C[(Id)]趨于最小時，投資運行的成本最低，那么在C[(Id)]趨于最小的情況下，結構抗震的優(yōu)化關鍵便是在于計算分析每個方案Id境況下的損失期望值。

2 抗震設計準則和地震破壞概率

依照國家現行的有關規(guī)范，建筑結構遭遇地震時的有效狀態(tài)分為三個級別：小震不壞、中震可修和大震不倒[1]。本文為了更有效地探究地震對建筑結構的影響，故而將地震情況下的建筑結構破壞度分為5個等級[2]，其對應關系式為：

根據式（3），再結合建筑結構抗震設計的需求，本文采取的抗震設計水準原則如表1所示。

表1 抗震設計的水準原則

在表1中，IL，Id，IU分別對應的是小震、中震和大震及其設計目標要求為：建筑結構基本完好、建筑結構可修繕、建筑結構不發(fā)生倒塌。對不同抗震方案Id境況下的結構承受的破壞率為：

Pf[Bi,(Id)]表示發(fā)生了Bi級別地震時建筑結構破壞概率。

有了如式（4）的地震境況下建筑結構失效概率函數關系之后，可進一步推算出某工程項目的建筑場地基本烈度分別為6度、7度、8度、9度狀態(tài)下的構件破壞概率如表2～表5所示。

表2 某建筑場地基本烈度為6度狀態(tài)下的構件破壞概率

表3 某建筑場地基本烈度為7度狀態(tài)下的構件破壞概率

表4 某建筑場地基本烈度為8度狀態(tài)下的構件破壞概率

表5 某建筑場地基本烈度為8度狀態(tài)下的構件破壞概率

根據表2～表5中的計算結果可以看出，在相應的抗震結構設計方案下，建筑結構受破壞的概率是關于建筑場地基本烈度和抗震設防烈度的函數，最優(yōu)抗震設防烈度的選擇對于滿足質量、安全要求下的設計把控是非常重要的。

3 關于最優(yōu)設防烈度I d的決策

在充分考慮建筑物投資成本和長遠經濟效益目標的需求下，建筑結構的抗震設計最優(yōu)Id（設防烈度）的目標函數關系式可根據前文推算為：

式（5）中，θ表示對建筑當前投資成本C及其損失期望L的重要程度而特別設置的系數，對于在政治上或者經濟要求上有特別要求的政府項目，其θ值一般大于1；對于一般開發(fā)商開發(fā)的一般項目，其重要程度θ一般小于1；沒有任何特殊要求的情況下，θ一般取1。

例如，某工程項目為8層的辦公建筑，建筑長度39m，建筑寬度12m，首層層高4.2m，標準層和頂層層高均為3.3m。項目地塊區(qū)域屬于Ⅱ類場地，基本抗震設防烈度為7度，經綜合考慮地震的周期折減系數設為0.8。在抗震設計優(yōu)化后，根據施工圖對該項目一榀框架的構件鋼筋和混凝土用量進行計算，其鋼筋和混凝土量如表6所示。

表6 某工程項目一榀框架抗震優(yōu)化設計后的鋼筋和混凝土用量

（1）經查詢市場材料價格后，通過前文計算式得出每一榀框架的造價Cmin值如下：

6度境況下：Cmin=3500元/t×2.867t+3100元/t×0.951t+600元/m3×(10.92+10.42)m3=2.5548萬元

7度境況下：Cmin=3500元/t×2.894t+3100元/t×1.017t+600元/m3×(13.42+10.35)m3=2.7543萬元

8度境況下：Cmin=3500元/t×3.626t+3100元/t×1.178t+600元/m3×(16.39+10.28)m3=3.2343萬元

（2）根據式（2）、式（4）和式（5），分別計算出優(yōu)化設計后各個烈度下的損失期望：

6度境況下：L(Id)=(0.29×0.02+0.15×0.2+0.37×0.6+0.18×1.8+0.01×6.5)C=0.6468C=0.6468×2.5548=1.6524萬元

7度境況下：L(Id)=(0.68×0.02+0.13×0.2+0.14×0.6+0.05×1.8)C=0.2136C=0.2136×2.7543=0.5883萬元

8度境況下：L(Id)=(0.91×0.02+0.05×0.2+0.03×0.6+0.01×1.8)C=0.0642C=0.0642×3.2343=0.2076萬元

通過以上計算可知，該項目位置區(qū)域的基本設防烈度為7度，但是在充分考慮質量、安全和投資成本、損失期望等因素的影響下，按照8度的設防烈度進行優(yōu)化設計，造價投資最少，滿足要求且經濟節(jié)約。

4 結語

對建筑物進行優(yōu)化設計的前提是不能影響質量和安全，尤其是在對抗震設計進行優(yōu)化時，更要審慎考慮質量、安全、投資成本與損失期望之間的綜合關系。本文透過對投資成本以及損失期望在三種不同設防烈度下的情況進行對比，探究尋找最優(yōu)設防烈度的抗震設計優(yōu)化路徑。