胡 波，李亞雄，李 珍，馬延強

(1.華電電力科學研究院有限公司，浙江杭州 310030；2.武漢商貿職業(yè)學院，湖北武漢 430205；3.河北五一八智能科技有限公司，河北邯鄲 056000)

變電站直流供電系統(tǒng)的運行可靠性對站內設備的安全穩(wěn)定運行起到重要作用。鉛酸蓄電池是變電站直流供電系統(tǒng)的核心部件，它是保證變電站安全可靠運行的重要前提之一。荷電狀態(tài)(state of charge,SOC)作為評估電池狀態(tài)的參數(shù)之一，反映了電池剩余容量狀況[1-3]。正確估算電池SOC可以增加使用次數(shù)，合理評估鉛酸蓄電池的供電能力。但是電池的SOC不能直接測量，需要通過估算算法利用電池參數(shù)進行計算。

目前SOC估算算法主要有以下幾種：(1)安時積分法：安時積分法需要知道電池的初始SOC，電池SOC誤差會隨著時間積累而增大[4-5]。(2)開路電壓法：需要建立SOC-OCV曲線，不能實現(xiàn)實時估算。(3)神經網(wǎng)絡法、支持向量機(SVM)等學習算法需要建立在龐大的實驗數(shù)據(jù)之上，需要大量的訓練數(shù)據(jù)和大量的計算量來描述電池的非線性特性，來估計電池的荷電狀態(tài)，同時其運算量和估計精度與訓練方法有關[6-7]。(4)數(shù)學模型法：電池的SOC受噪聲影響大。(5)自適應濾波算法，如擴展卡爾曼濾波(EKF)、無跡卡爾曼濾波(UKF)、H∞濾波等，采用各種模型和算法計算SOC，這類算法不依賴大量數(shù)據(jù)，估算精度高，魯棒性強，廣泛應用于電池的SOC估算領域，但該類算法對電池模型精度要求較高。

為了準確估算電池的剩余容量，提高估算精度，本文提出容積卡爾曼濾波算法(cubature Kalman filter,CKF)，容積卡爾曼濾波是一種成熟的動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)估計技術，目前已廣泛應用于多個領域[8]。CKF 的基本思想是利用球徑向立方法則計算非線性貝葉斯濾波器中遇到的多元矩積分。就像用于線性高斯模型的著名卡爾曼濾波器一樣，CKF 的一個重要優(yōu)點是它的數(shù)學嚴謹性。本文采用鉛酸蓄電池等效電路模型結合遞推最小二乘法[9](recursive least squares,RLS)，通過搭建仿真模型驗證CKF算法可以有效提高電池SOC估算精準度。

1 電池等效電路模型建立

為保證電池荷電狀態(tài)估算取得理想結果，需要建立精確的SOC模型。其中，熱模型、電化學模型、等效電路模型和神經網(wǎng)絡模型比較常見。熱模型主要針對電池產熱問題。電化學模型通過電池內部的電化學反應方程式描述電池的特性，由于該模型原理復雜，在電池SOC估算中應用較少。神經網(wǎng)絡模型需要以數(shù)據(jù)為支撐，需要長時間對數(shù)據(jù)進行分析，以此來得到一個可靠的模型，具有耗時長、依賴數(shù)據(jù)等缺點。等效電路模型是利用各種基本電路元件串并聯(lián)建立電路網(wǎng)絡，具有與電池相同的外特性，易于建立估算變量的狀態(tài)空間方程，因此等效電路模型在電池荷電狀態(tài)估計中比較常見。該類模型主要有以下幾種：Rint、Thevenin、PNGV、GNL 等[10]。其中，Thevenin 模型可以反映鉛酸蓄電池工作時的動態(tài)特性，被廣泛應用于鉛酸蓄電池的建模分析中。

鉛酸蓄電池的等效電路模型如圖1 所示。圖中R0為歐姆內阻，電化學極化電阻和電容以Rp、Cp表示。當電池正常工作時，模型參數(shù)與時間無關，是一個常數(shù)。

圖1 Thevenin等效電路模型

基于基爾霍夫定律，可得模型的電壓電流關系式為：

通常用安時積分法計算蓄電池的SOC，常用表達式如式(2)：

式中：η為庫侖效率；QN為電池標稱容量。

將式(1)和(2)離散，如式(3)所示：

式中：τp=RpCp用來表示模型中時間響應常數(shù)。

式中：wi為過程噪聲；v為測量噪聲。二者用來表示模型的不確定性。

2 參數(shù)辨識

2.1 OCV-SOV 曲線的擬合

本文通過圖2 的新威電池測試實驗平臺，得到電池充電實驗的OCV-SOC曲線，如圖3 所示。

圖2 電池測試實驗平臺

圖3 電池OCV-SOC擬合曲線

2.2 模型參數(shù)的獲取

等效電路模型能夠精確地描述電池的靜態(tài)及動態(tài)特性，復雜度低，易于計算，在工程實踐中簡單可行。為了辨識模型中電路元件的參數(shù)，將電池模型轉化為應用RLS 辨識的數(shù)學形式，如式(5)：

將式(5)代入最小二乘法辨識方法中，辨識出各項數(shù)值，再通過這些參數(shù)推導出蓄電池等效模型的參數(shù)。

遞推最小二乘算法遞推公式如式(6)：

3 電池SOC 估算算法

3.1 擴展卡爾曼濾波算法

卡爾曼濾波技術基于高斯白噪聲系統(tǒng)，主要用于線性系統(tǒng)，針對非線性系統(tǒng)的問題，研究者們提出EKF 算法估算鉛酸蓄電池的SOC。EKF 算法原理如圖4 所示。

圖4 EKF算法原理

EKF 算法的主要計算公式如下：

3.2 容積卡爾曼濾波算法

EKF 算法在計算蓄電池SOC時，會產生大量引入截斷誤差的問題，使得SOC的估算精度下降，甚至導致濾波發(fā)散，而CKF 算法不必應用泰勒公式，采用球面-相徑容積規(guī)則，無需對非線性模型線性化，其計算量小，濾波精度高?？紤]如下帶有附加過程和測量噪聲的離散時間非線性動態(tài)系統(tǒng)：

式中：xk為時刻k的狀態(tài)向量；zk為時刻k的測量向量；Gk-1為離散時間過程噪聲；wk-1為高斯白噪聲；vk為測量噪聲。

CKF 算法的實現(xiàn)過程如下：

(1)參數(shù)初始化

x0為狀態(tài)向量初始值，計算平均值和協(xié)方差。

(2)時間更新

(a)構造協(xié)方差誤差為：

(b)容積點計算公式為：

式中：n為狀態(tài)變量的數(shù)量，定義ξ如式(11)：

(c)通過狀態(tài)空間方程傳播容積點，并根據(jù)式(12)計算預測狀態(tài)：

(d)測量誤差的協(xié)方差計算公式如式(13)所示：

式中：Qk-1為時間步長k-1 時的過程噪聲協(xié)方差矩陣。

(3)測量更新

(a)再次分解協(xié)方差誤差。

(b)重新計算容積點，傳遞容積點并對測量值進行預測，公式為：

(c)協(xié)方差估計值計算方法如式(15)所示：

式中：Rk-1為時間步長k-1 的測量噪聲協(xié)方差矩陣。

(d)卡爾曼增益計算公式為：

(e)預測狀態(tài)更新公式如式(17)所示：

(f)協(xié)方差誤差更新公式為：

CKF 算法估算蓄電池SOC流程如圖5 所示。

圖5 CKF算法估算SOC流程圖

4 仿真分析

為了驗證結合Thevenin 等效電路模型的CKF 算法對鉛酸蓄電池SOC估算的精度，本文建立仿真模型，利用EKF 算法、安時積分法、CKF 算法計算電池SOC，通過實驗曲線對比估算精準度。仿真模型估算流程如圖6 所示。

圖6 EKF與CKF算法SOC估算流程圖

鉛酸蓄電池SOC的曲線如圖7、圖8 所示。

圖7 EKF算法與安時積分法電池SOC估算值

圖8 EKF算法與安時積分法電池SOC估算誤差

由圖可知，EKF 算法的估算精度優(yōu)于安時積分法，誤差不會出現(xiàn)累積的情況。在變電流工況下驗證CKF 算法的估算精度，并與EKF 算法對比。兩種算法估計曲線及SOC估計誤差如圖9 所示。

圖9 CKF算法與EKF算法電池SOC估算值

由圖10 可知，在變電流工況下，CKF 算法的估計誤差大部分小于EKF 的估計誤差，估算精準度高。因此，結合等效電路模型采用遞推最小二乘法進行參數(shù)辨識后，CKF 算法對鉛酸蓄電池SOC的估算精度要優(yōu)于EKF 算法和安時積分法。

圖10 CKF 算法與EKF算法電池SOC估算誤差

5 結論

本文研究的鉛酸蓄電池模型采用等效電路模型，推導離散化方程。通過遞推最小二乘法辨識電池模型的參數(shù)。在變電流工況下，分別使用安時積分法、EKF 算法、CKF 算法估算鉛酸蓄電池的SOC。仿真實驗結果表明，CKF 算法的估算精度明顯優(yōu)于EKF 算法和安時積分法，并且誤差范圍小，具有更好的估算能力。