劉西奎，劉文成，李 艷，莊繼晶

(1.山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590; 2.山東科技大學(xué) 電氣信息系, 山東 濟(jì)南 250031)

眾所周知，馬爾可夫跳躍系統(tǒng)是由多個(gè)模態(tài)或子系統(tǒng)組成的切換系統(tǒng)，系統(tǒng)在各個(gè)子系統(tǒng)間的切換服從一定的概率分布。該系統(tǒng)適合描述突變現(xiàn)象，如零部件故障、子系統(tǒng)之間關(guān)聯(lián)改變以及突發(fā)性環(huán)境擾動(dòng)等，被廣泛應(yīng)用到電力系統(tǒng)、制造系統(tǒng)、通訊系統(tǒng)等工程領(lǐng)域。近年來，關(guān)于馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的研究取得了豐富的成果。文獻(xiàn)[1]分別討論了連續(xù)和離散時(shí)間馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題。文獻(xiàn)[2]使用量化方法研究了一類具有時(shí)變轉(zhuǎn)移概率的奇異馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題。文獻(xiàn)[3]針對(duì)離散時(shí)間馬爾可夫跳變系統(tǒng)，結(jié)合有限時(shí)間理論，給出了有限頻段和有限時(shí)間兩種尺度的H∞濾波器設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[4]研究了馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的不定平均場(chǎng)隨機(jī)線性二次最優(yōu)控制，通過定義一種廣義黎卡提差分方程，得到最優(yōu)控制的一般形式。文獻(xiàn)[5-6]分別研究了離散時(shí)間和連續(xù)時(shí)間隨機(jī)馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的H-指數(shù)問題，并用于故障檢測(cè)濾波器設(shè)計(jì)。

符號(hào)表示：E[·]是[·]的數(shù)學(xué)期望;矩陣M∈Rm×n,M>0(M≥0) 表示M是正定(半正定)矩陣;λmax(M)與λmin(M)分別表示矩陣M的最大特征值和最小特征值; (M)★?M+MT。

1 定義和問題描述

考慮如下時(shí)滯隨機(jī)馬爾可夫跳躍系統(tǒng)：

(1)

式中:x(t)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)，u(t)∈Rm是控制輸入，z(t)∈Rq是控制輸出；時(shí)滯τ滿足τ≥0;φ(t)是定義在[-τ,0]的連續(xù)函數(shù)；ω(t)是定義在概率空間(Ω,F,Ρ)上的一維Wiener過程，滿足E[dω(t)]=0，E[d2ω(t)]=dt。ω(t)與{θt,t≥0}相互獨(dú)立。隨機(jī)過程{θt,t≥0}是一個(gè)右連續(xù)的馬爾可夫鏈，在集合S={1,2,…,N}中取值，其轉(zhuǎn)移概率矩陣為Π=[πij]N×N，πij是由狀態(tài)i到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移率，滿足轉(zhuǎn)移概率

外部擾動(dòng)v(t)滿足

(2)

為簡單起見，當(dāng)θt=i時(shí)，適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣A(θt),Aτ(θt),B(θt),C(θt),Cτ(θt),D(θt),G(θt),F(θt),H(θt),Hτ(θt)和D1(θt)分別記作Ai,Aτi,Bi,Ci,Cτi,Di,Gi,Fi,Hi,Hτi和D1i。

(3)

引理 1(Gronwall不等式)[22]設(shè)f(t)是一個(gè)非負(fù)函數(shù)，如果存在非負(fù)常數(shù)p和q，滿足

則

引理2(舒爾補(bǔ)引理)[23]對(duì)于實(shí)矩陣H，實(shí)對(duì)稱矩陣S，正定矩陣U，下列不等式等價(jià)：

S+HU-1HT<0，

2 有限時(shí)間有界性分析

本節(jié)討論u(t)=0時(shí)，系統(tǒng)(1)的有限時(shí)間有界性。通過線性矩陣不等式方法，給出系統(tǒng)(1)有限時(shí)間有界的充分條件。

定理1對(duì)于正常數(shù)η，如果存在正常數(shù)λi1,λi2，正定矩陣Pi,Oi,Q，滿足

(4)

Q

(5)

(6)

(7)

證明：構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(8)

進(jìn)而

(9)

式中Ξ=Cix(t)+Cτix(t-τ)+Fiv(t)。

由引理2，式(4) 等價(jià)于

左右兩邊分別乘以[xT(t)xT(t-τ)vT(t)]T及其轉(zhuǎn)置，并對(duì)比式(9), 得

(10)

式中V1(xt,θt=i)=xT(t)Pix(t)。進(jìn)一步，

(11)

(12)

應(yīng)用引理1，得

(13)

(14)

(15)

(16)

結(jié)合式(13)～(16)，則

(17)

注2當(dāng)Fi=0,Gi=0時(shí)，定理1為系統(tǒng)(1)有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件。從而，定理1退化為文獻(xiàn)[28]的定理1。

3 通用控制器的設(shè)計(jì)

本節(jié)提出一種新型控制器

u(t)=α(t)K(θt)x(t)+(1-α(t))Kτ(θt)x(t-τ),

(18)

式中：K(θt)和Kτ(θt)表示控制器增益，隨機(jī)變量α(t)是伯努利變量，滿足

Pr{α(t)=1}=α, Pr{α(t)=0}=1-α。

顯然

E[α(t)-α]=0,E[(α(t)-α)2]=α(1-α)=β2。

將控制器(18)代入系統(tǒng)(1)，得

(19)

接下來，在定理1的基礎(chǔ)上，給出閉環(huán)系統(tǒng)(19)有限時(shí)間H∞有界的充分條件。

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

證明：對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)(19)，選擇Lyapunov函數(shù)(8)，則

=E[WTPix(t)]+E[xT(t)PiW]+E[WTPiW]+xT(t)Qx(t)-

因?yàn)镋[α(t)-α]=0,E[(α(t)-α)2]=α(1-α)=β2，所以

(25)

(26)

得

(27)

(28)

式中：

對(duì)式(28)兩邊分別乘以矩陣[xT(t)xT(t-τ)vT(t)zT(t)]T及其轉(zhuǎn)置，并與式(25)對(duì)比， 得

(29)

在零初始條件下，對(duì)式(29)兩邊積分并取數(shù)學(xué)期望，得

(30)

根據(jù)引理1，有

(31)

從而

由式(29)，進(jìn)一步得

(32)

(33)

且

(34)

由引理2, 可知式(22)和(33)等價(jià)。通過式(23)和(26)，可以得式(34)，即式(22)和(23)等價(jià)于式(6)。令定理1中的Oi=-γ2I，則式(11)與(32)等價(jià)，式(7)與(24)等價(jià)。其余證明與式(12)～(17)證明相同，在此省略。

注3當(dāng)α(t)=1和0時(shí)，控制器(18)分別為狀態(tài)反饋控制器u(t)=K(θt)x(t)和時(shí)滯狀態(tài)反饋控制器u(t)=Kτ(θt)x(t-τ)。與文獻(xiàn)[17-20]中的狀態(tài)反饋控制器和文獻(xiàn)[21]中的時(shí)滯反饋控制器對(duì)比，控制器(18)更具有一般性，可以用于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、單接點(diǎn)機(jī)械手臂等實(shí)際系統(tǒng)。

4 數(shù)值算例

為驗(yàn)證前述定理的有效性，考慮具有兩個(gè)模態(tài)的隨機(jī)時(shí)滯馬爾科夫跳躍系統(tǒng)(1)，其參數(shù)如下。

模態(tài)1：

模態(tài)2：

轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

由定理2可得η的可行域?yàn)閇0,18.99], 圖1和圖2分別是η與c2和γ的關(guān)系曲線圖。

圖1 η∈[0,20]時(shí)，c2的變化

圖2 η∈[0,20]時(shí)，γ的變化

從圖1和圖2可以看出，當(dāng)η=0.19時(shí)，c2取得最小值21.174 7，對(duì)應(yīng)的γ=2.639 9。

K1=[-1.464 9-1.065 5],Kτ1=[0.226 0-0.272 8],

圖3 狀態(tài)x(t)的響應(yīng)曲線

圖4 E[xT(t)Rx(t)]的演化

圖5表示c2和α的關(guān)系，其中小圖是α分別在閉區(qū)間[0.5,1]和[0.9,1]取值時(shí)c2的曲線圖。當(dāng)α(t)的數(shù)學(xué)期望α=0.98時(shí)，c2取最小值。即α=0.98時(shí)，控制器(18)的保守性最小。與文獻(xiàn)[20]的狀態(tài)反饋控制器(對(duì)應(yīng)α=1)相比，控制器(18)保守性更小。

圖5 c2與α的關(guān)系

5 結(jié)論