孫和平，周江存，徐建橋

1. 中國科學院精密測量科學與技術創(chuàng)新研究院大地測量與地球動力學國家重點實驗室，湖北 武漢 430077; 2. 中國科學院大學，北京 100049

我們生活的地球是太陽系中唯一生機盎然的行星，地球內部發(fā)生許多動力學過程，如構造活動、地震等，表面受到大氣、海洋等的負荷作用，同時也會受到來自太陽系其他天體的引潮力作用，以及太陽的熱輻射等。伴隨這些過程與力的作用，地球會產(chǎn)生形變。有些形變是能夠直觀地感受到的，比如地震產(chǎn)生的破壞性錯動；有些形變只有通過高精度儀器設備才能探測到，如潮汐形變，盡管它在地面的垂向位移幅度有數(shù)十厘米之大[1]，但因為沒有相對運動，所以人們站在地表是無法感知到這種形變的。實際上，人們對于地球形變的研究，不僅僅局限于狹義的幾何量(或運動學變量)，如地面的位移、傾斜、應變等，而且拓展到了許多物理量，如外部重力場的變化、內部的應力場變化等動力學變量。隨著針對不同觀測量的儀器觀測精度的提高，對于地球形變的研究不僅可以檢驗形變理論的正確性，還可以進一步完善地球模型與分析和認知不同的動力學過程。實際上，這些不同的動力學過程都可以用等效的力源來表示，如地震的等效體力源、火山的Mogi源、流體運動的膨脹源等。因此，研究地球的形變就與不同力源的作用緊密聯(lián)系在了一起。

研究地球形變通?；趦煞N坐標系統(tǒng)：柱坐標系和球坐標系。前者通常適用于研究小范圍形變，如中小地震引起的近場形變；后者適用于研究全球范圍內的大尺度形變，如大地震引起的中遠場形變、海潮負荷引起的全球形變等。關于地球受力形變的研究理論最早可能要追溯到對平面半無限空間負荷問題的系統(tǒng)工作，該理論主要涉及平衡方程與本構關系方程[2]。隨著觀測精度的提高，對理論的發(fā)展也提出了新的要求。如GNSS、InSAR、DAS(分布式聲速傳感器)可以探測毫米級乃至更微小的形變信息；重力測量的精度也達到了μgal量級，如FG-5重力儀，特別是超導重力儀的探測精度甚至要再高2個數(shù)量級。此外，傾斜儀、應變儀等觀測精度也越來越高。因此，通常在研究全球性的大尺度形變時，除了需要采用球坐標系外[3-4]，還需要考慮地球的分層結構、自引力及由變形導致的質量調整產(chǎn)生的附加引力位等。因此，在平衡方程中需要考慮重力及引入泊松方程[5-6]。地震反演研究表明，地球更加接近于一個彈性的分層球體[7]。因此，現(xiàn)今地球形變的研究大多以此為基本模型。

為了方便研究，通常假設地球是球對稱、不自轉、完全彈性和各向同性的，也就是所謂的SNREI(spherically symmetric,non-rotating,elastic and isotropic)地球[8]，如目前常用的PREM地球模型，除了考慮地幔的各向異性外，也給出了一個等效的各向同性模型[7]。此外，采用該類模型研究地球形變常常隱含地包括地球的可壓縮性與自引力。采用SNREI模型的一個方便之處在于球型形變與環(huán)型形變的解耦，從而簡化數(shù)值計算。然而對于研究動態(tài)的形變問題，特別是地球自由振蕩問題，常常需要考慮地球的橢率與自轉[8-10]，這兩個因素不僅會導致球型形變與環(huán)型形變的耦合，還會引起振型的譜峰發(fā)生分裂，即所謂的正常譜峰分裂，相關內容可以參考文獻[11—12]。

地球表面的動力過程主要體現(xiàn)為全球水循環(huán)，它導致水在大氣、海洋與地表和地下不停運移與交換。在地球的表面，約70%是海洋，在引潮力作用下，海洋產(chǎn)生潮起潮落現(xiàn)象，即海洋潮汐，簡稱海潮。而海潮產(chǎn)生的海水質量的時空變化會改變固體地球表面的荷載，由此導致的影響稱為海潮負荷效應。此外，大氣中的水汽含量、溫度、氣壓等導致其密度產(chǎn)生變化，也就是質量的時空變化，它也會使地球發(fā)生形變。同時大氣在地表的溫度、氣壓的變化也會使地球發(fā)生形變。與海潮負荷類似，地表的河流、地下水等也會產(chǎn)生負荷效應。

不管是地球外部、表面或內部的力源，地球變形過程都可以用基本的物理方程與地球介質的彈性參數(shù)來描述，因此，可以建立相應的初邊值問題，從而模擬出變形量的大小。地球的形變通常用無量綱的勒夫數(shù)來描述[3,13]，它是一個比值，反映了地球在力的作用下的反應強度。勒夫數(shù)大，說明單位力作用下的變形量也大。因此，對于地球形變問題的研究，基礎的工作就是基于一個給定的地球模型，計算不同的勒夫數(shù)與相應的格林函數(shù)，并結合實測數(shù)據(jù)進行模擬計算與分析。鑒于地球固體潮的研究已經(jīng)非常成熟，相關改正方法和參數(shù)可以參考IERS規(guī)范。本文著重介紹地表質量和熱負荷與地震引起的地球形變方面的理論模擬研究進展情況。

1 地球形變理論初邊值問題求解

初邊值問題涉及泛定方程與邊界條件和初始條件[14]，泛定方程通常是用數(shù)學方法對基本的物理定理或定律進行描述所獲得的一組微分方程。對于地球而言，主要包括由牛頓第二定律描述的運動方程，對于不考慮慣性力時的靜態(tài)形變問題也稱為平衡方程；聯(lián)系彈性體(即地球介質)應力和應變的本構關系，即虎克定律；描述擾動位與擾動密度的泊松方程。如果要考慮與溫度場有關的熱效應，需要考慮熱傳導方程。對于SNREI地球來說，可以將所有變量展開為球函數(shù)級數(shù)。在理論研究中，采用點力源是非常方便的，并將這個力源置于球坐標的極軸上，如地表負荷源置于北極點，內部位錯源的震中置于北極點。同時，對力源同樣做球諧展開，這樣就可以得到關于球諧展開系數(shù)的微分方程，這些方程最后都可以寫成如下統(tǒng)一的形式

(1)

式中，r是球坐標系下的矢徑；Y是由不同變量構成的矢量；A是系數(shù)矩陣；F是(等效的)單位體積力的球諧展開系數(shù)。對于力源在地表的負荷問題，可直接用F建立地表邊界條件[6,15-16]；對于力源在內部的地震位錯問題，可將F轉換為內部震源處的不連續(xù)邊界條件[5]。因此，最終只需要求解齊次的微分方程組，即式(1)右邊不再出現(xiàn)F。在地心處，滿足正則條件，即位移場、附加引力位和溫度梯度為零。如果地表沒有力源，則需要滿足自由邊界條件，即正應力與剪應力為零。此外，如果方程涉及時間，還需要初始條件。這樣通過求解這個初邊值問題就可以得到任意位置的Y，從而得到勒夫數(shù)

(2)

式中，y1、y3、y5分別表示Y中的垂直位移、水平位移和附加引力位分量，對于有直接引力項的力源δ=1(如地表質量負荷)，其他力源δ=0，n和m分別是球諧展開的階和次。對于地表負荷問題，m=0；對于位錯問題，m=0,1,2。這樣，就可得到格林函數(shù)

(3)

式中，u、v、w、φ分別為垂直位移、切向位移、橫向位移、附加引力位；N為構建邊界條件時的規(guī)格化系數(shù)；Pnm為Legendre函數(shù)；ψ是計算點到源點的角距離；φ是方位角；最右邊的括號適用于位錯問題，kc和ks是某個常數(shù)，至于是取余弦還是正弦取決于不同位移場分量與位錯模式[17-18]。

對于SNREI模型，傳統(tǒng)的研究地球純彈性形變的方法是采用四階Runge-Kutta方法[19-20]。需要注意的是，變量之間的相關性會隨著球諧階數(shù)的增大而增強，因此，當球諧階數(shù)非常大時，會導致最后確定待定系數(shù)的矩陣奇異。文獻[20]注意到變量包含因子rn，因此，先從變量中扣除rn再進行計算，再結合積分過程中的歸一化方法，可有效改善相關性問題。

對上述的初邊值問題，可采用有限元方法的思路直接進行數(shù)值求解，或者從最基本的方程出發(fā)構造弱解形式。文獻[21]在有限元方法的基礎上發(fā)展了譜有限元方法，在球面上采用球諧函數(shù)展開，在矢徑方向采用有限元，但該方法沒有考慮地球的可壓縮性及液態(tài)的外核。文獻[22—23]將該方法擴展到可壓縮地球模型，但同樣沒有考慮液態(tài)的外核。文獻[24]借鑒文獻[19]的方法，引入勢函數(shù)并假設液核初始模型滿足Adams-Williamson條件，推導出液核中平衡方程及其對應的弱解形式，使譜有限元方法能夠應用于更加真實的地球模型。

文獻[25]提出了一種近似解析解方法，通過合理假設地球介質分層參數(shù)隨r的變化關系，得到了常系數(shù)矩陣A，從而得到了每一層的解析解，然后通過傳播矩陣方法與邊界條件得到最終的解。文獻[26]曾經(jīng)也給出一個解析解，但它的假設與真實地球不太符合。不同于文獻[26]的假設，文獻[25]的假設更加合理，只要層厚足夠小，通過這種假設所得模型與最初模型是完全一致的。數(shù)值試驗表明，實際上層厚可以取得很大，就能得到滿意的結果，因此這種方法非常高效，但對球諧展開的高階項存在數(shù)值溢出問題。文獻[27]采用傳播矩陣中的剛度矩陣方法解決了溢出問題。文獻[28]對比了多種高效的傳播矩陣方法。關于不同求解方法的討論可參考文獻[29]。

2 研究進展

2.1 地表質量負荷

在年際以下的時間尺度上，地球表面的質量調整主要是全球的水循環(huán)，體現(xiàn)在海洋、大氣與陸地水的變化中，其中海洋的影響又分為潮汐與非潮汐效應。海洋與陸地水的影響可用式(4)表示(以地表的垂直位移為例)

(4)

式中，a是地球半徑；θ和λ分別是計算點的余緯與經(jīng)度；θ′和λ′分別是源點(即負荷作用點)的余緯與經(jīng)度；ρ是海水或陸地水密度；H是海潮潮高或海面高變化量或等效水高；u稱為垂直位移的格林函數(shù)；ψ與源點和計算點的坐標滿足式(5)

cosψ=cosθcosθ′+sinθsinθ′cos(λ-λ′)

(5)

除了采用式(4)的數(shù)值積分外，還可以采用球諧展開方法。球諧展開方法就是將H展開為球諧級數(shù)，u采用式(3)中的形式，根據(jù)球諧函數(shù)的正交關系，得到式(6)

(6)

式中，ρe是地球平均密度(來自于N)，帶上標C和S的Hnm表示H的球諧展開系數(shù)，注意這里為了方便計算，采用了大地測量學中使用的完全規(guī)格化的球函數(shù)(以上橫線加以區(qū)別)，并且N的值為單位引力位。文獻[30]討論了重力負荷計算中關于直接引力項系數(shù)的選取問題。文獻[31]提出了一種加速式(6)收斂的方法，并指出由于負荷質量分布不連續(xù)引起的吉布斯效應在沿海地區(qū)對結果會有很大的影響。文獻[32]采用該方法研究了海潮負荷對垂直位移的影響。數(shù)值積分方法的計算量大、精度高，而球諧展開方法由于比較簡單，計算量小但精度相對低。鑒于此，文獻[33]提出了近區(qū)采用數(shù)值積分、遠區(qū)采用球諧展開的方法。文獻[34]對這兩種方法進行了比較，計算了海潮負荷導致的垂直位移，指出在沿海區(qū)域由兩種方法得到的結果平均差異為3 mm，最大達到10 mm。文獻[35]給出了比較完整的計算重力、位移、傾斜和應變的球諧展開方法的計算公式，通過對兩種方法計算的結果的比較(表1)，也指出該方法只適合于內陸地區(qū)。

表1 不同海潮負荷計算方法在上海站的比較[35]

隨著計算機技術的發(fā)展，數(shù)值計算效率得到了很大的提高，因此應選擇用式(4)進行數(shù)值計算。目前，有許多開放軟件可以計算式(4)，如文獻[36]編寫的SPOTL包中的nloadf函數(shù)，該方法采用了文獻[37]提出的積分格林函數(shù)方法，有效提高了計算效率，同時考慮了不同海洋區(qū)域的海水密度變化影響。文獻[38]在GOTIC基礎上發(fā)布的改進版本GOTIC2；Bos和Scherneck提供的計算海潮負荷的網(wǎng)頁版(http:∥holt.oso.chalmers.se/loading/)。文獻[39]發(fā)布的SGOTL，隨著Python的流行，也出現(xiàn)了Python版本的軟件[40]。

由式(4)可知，兩個關鍵的量是H和u，前者對應著負荷源模型，如海潮模型，后者對應著地球模型。實際上，H中隱含一個關于海陸邊界的信息，由于海潮或海面變化只存在于海洋，而陸地水和大氣負荷(考慮反變氣壓計效應)只存在于陸地。因此，在研究陸地水的負荷效應時，只需要改變海洋和陸地的判斷就可以直接使用計算海潮負荷的程序進行計算。STRM地形數(shù)據(jù)為確定高空間分辨率的海陸邊界提供了直接的資料，利用分辨率為90 m的地形數(shù)據(jù)優(yōu)化計算點周邊的海陸邊界。文獻[41]計算了沿海臺站的海潮負荷效應對重力的影響，對比了由不同海陸邊界獲得的結果，并指出了高精度海陸邊界對于準確計算海潮負荷的重要性(圖1)。后來在計算中對中國沿海全域的海陸邊界進行了優(yōu)化，構建了我國沿海和島嶼的海潮負荷模型[42]。

圖1 利用不同分辨率的海陸邊界計算的不同沿海臺站重力海潮負荷[41]

得益于衛(wèi)星測高技術的發(fā)展，流體動力學模擬與驗潮站資料的增多，海潮模型的精度得到了很大的提高，特別是近海潮汐模型，已廣泛應用于海潮負荷效應的模擬。全球有多家機構從事全球大氣、海洋和陸地水模型的構建工作，如FES系列的全球海潮模型[43]，ECCO模型(www.ecco-group.org)、CPC模型(www.cpc.ncep.noaa.gov/products/GODAS)和GLDAS模型(earth.gsfc.nasa.gov)等。通過這些模型，開展了許多負荷效應的模擬應用工作[44-53]。文獻[54—55]研究了海潮模型在重力海潮負荷改正中的適定性問題。文獻[56]研究了利用不同海潮模型用于重力改正對解算的自由核章動參數(shù)的影響。這些研究為海潮模型的選擇提供了重要的參考。近年來，InSAR技術廣泛應用于地球形變的研究，文獻[57]研究了海潮負荷對InSAR視線方向形變的影響。文獻[58—59]比較了香港地區(qū)部分GPS站得到的海潮負荷和模型的比較，類似的工作也用于新西蘭GPS站觀測數(shù)據(jù)的開展。

由不同地球模型計算獲得的格林函數(shù)是不同的。如果考慮不同區(qū)域地殼的參數(shù)，如CRUST1.0，則格林函數(shù)在近區(qū)會有很大的不同[41,60-61]。圖2顯示了兩種地球模型計算的重力負荷格林函數(shù)在近場隨角距的變化，從中可以看出很明顯的差異。

圖2 不同地球模型對海潮負荷格林函數(shù)計算的影響[41]

在模擬大氣對重力觀測影響時，不同于研究海洋的影響，由于大氣的垂向分布范圍較廣，不能將其看成單層，而需要考慮大氣的垂向分布來計算直接引力。文獻[62]采用一個服從指數(shù)分布的大氣模型計算了直接引力項，并與計算點的局部大氣壓強進行比較得到了一個大氣重力導納值(直接引力/局部壓強)，發(fā)現(xiàn)結果比用平面大氣模型小7%～8%，說明了考慮地球曲率的必要性。文獻[63]指出，大氣負荷產(chǎn)生的重力變化達到30 μgal，其中90%由計算點周邊50 km的大氣引起，同時地表的大氣溫度發(fā)揮很大的作用。文獻[64]通過標準大氣模型計算了大氣重力格林函數(shù)，為進行全球大氣重力負荷效應的積分計算奠定了基礎。文獻[16]也計算了大氣重力格林函數(shù)，但采用不同的方法處理直接引力項，即除了對地表的大氣壓強產(chǎn)生的正應力負荷作用外，將大氣的引力看成是固體地球之外的作用(實際上該力可看成引潮力)，然后根據(jù)大氣的空間分布進行積分得到直接引力項的格林函數(shù)。實際上，由于采用的是基于小形變的線性理論，因此地球對地表質量負荷的響應等價于潮汐響應與地表正壓力響應的疊加。因此，文獻[16]的結果與以前的結果是一致的。然而實際研究中，由于三維大氣觀測資料的缺乏，常采用大氣重力導納值進行大氣負荷效應的扣除。大氣負荷除了引起重力變化外，同樣會引起位移、傾斜和應變等變化，而模擬它們的方法與海潮負荷中的方法是一致。

2.2 地表熱負荷

由于四季變化與日夜扭轉，地表的溫度是時刻變化的。熱脹冷縮對于地球也不例外，關于溫度與應變的關系在材料力學領域研究得比較多，因此在半無限空間體系下比較成熟。雖然人們對地球上典型巖石的熱力學參數(shù)都有很好的了解[65]，但是整個地球在地表熱負荷作用下的形變問題研究并不多。文獻[66]研究了分層球體的熱彈性變形問題，并用差分方法進行了數(shù)值計算，但跟平面半空間模型下的理論一樣，沒有考慮任何的體力。文獻[67]研究了均勻球的熱彈性變形問題，同樣也沒有考慮體力項。并且為了方便，在理論推導過程中作了一定的假設，因此，在球諧階數(shù)超過一定的值之后會有較大誤差。采用球諧展開的方法計算了地表溫度的周年變化對位移場的影響，發(fā)現(xiàn)與采用平面半無限空間模型得到的結果有較大的差異，進一步說明了采用球坐標系的必要性。對于地球來說，自引力是不容忽視的。文獻[68]利用全耦合的方程，考慮預應力和自引力，并采用文獻[25]的近似解析解方法及DVP傳播矩陣方法，求得了任意球諧展開階數(shù)的熱負荷勒夫數(shù)。并且在不作任何假設的情況下，給出了不考慮自引力的均勻球的嚴格解析解，其中熱負荷勒夫數(shù)是以球貝塞爾函數(shù)表示的。該理論為研究SNREI地球的地球熱源引起的地球形變，特別是重力場變化，奠定了理論基礎。

2.3 同震形變

最早關于地球地震位錯形變的研究采用的是平面柱坐標，如經(jīng)典的Okada解析公式[69]。采用柱坐標系的主要原因可能源于材料或工程研究領域的理論傳承。文獻[70—71]將相關理論拓展到球形地球模型并給出了解析解，但采用的模型沒有考慮重力場耦合，即自引力效應。文獻[72]采用了1個考慮預應力、自引力、液態(tài)外核，徑向非均勻等更接近真實地球的模型開展了相關工作。文獻[17,73—74]在此基礎上作了深入的系統(tǒng)性研究，采用文獻[5]的方法模擬了點源位錯引起的位移場和重力場等變化。通過將有限斷層離散化，將每個子斷層認為是點源，得到了有限斷層產(chǎn)生的同震形變[75]。相關的理論體系可參考文獻[76]。

文獻[4]比較了由平面模型和球模型所得結果，說明在近場二者是一致的。但是后續(xù)的研究表明，在中遠場二者的差異較明顯，說明了使用球形地球模型的必要性，這一點也被后來的研究進一步強調[77-78]。

文獻[79]提出了計算同震形變的互換定理，即內部的位錯源產(chǎn)生的地表形變可以用3種地表力源作用下在位錯源所在位置產(chǎn)生的形變的組合來表示，這使得同震形變的計算更加簡單，因為這使得位錯形變問題只涉及3組在地心正則的解，或者說只需要解齊次的微分方程組而不需要考慮力源項(從力源轉化的內部不連續(xù)性或特解項)。文獻[80]給出了上述3種地表力源引起的地球變形的漸近解。因此利用互換定理，文獻[81—83]研究了同震形變的漸近解，該方法也被用來計算斷層在地表時的位錯勒夫數(shù)漸近值[84]。文獻[85]也用該方法加速內部同震體應變格林函數(shù)計算的收斂，說明漸近值在格林函數(shù)計算中的作用。文獻[3]給出了均勻球的3組在地心正則的解。因此，可以直接運用互換定理計算均勻球內的位錯產(chǎn)生的地表形變，并且采用文獻[80]的漸近解可確保格林函數(shù)的收斂[86]。但是，對于一個更加真實的分層地球，均勻球的漸近值無法被應用。

文獻[18]利用文獻[25]的近似解析解方法和DVP傳播矩陣法研究了位錯勒夫數(shù)的計算問題，他們的方法解決了以前的方法在超高階的計算中的變量相關導致矩陣奇異的問題，因此，可以計算到很高的階數(shù)。由于用不同于文獻[74]的位錯勒夫數(shù)定義，能夠通過觀察高階位錯勒夫數(shù)值和球諧階數(shù)的關系直觀地發(fā)現(xiàn)二者之間的聯(lián)系，并確定了擬合公式與位錯勒夫數(shù)漸近值，從而克服了特殊情形下格林函數(shù)不收斂的計算難題[87]。漸近值加速格林函數(shù)收斂的作用可從式(7)看出，同樣以垂直位移為例

(7)

式中，第1個求和的差值隨著階數(shù)n的增大衰減更快，而第2個求和有嚴格的解析式[87-88]，因此，能夠很快得到收斂的格林函數(shù)。文獻[89]也對地震引起內部變形進行了研究，同樣獲得了收斂的格林函數(shù)。當球諧階數(shù)很高時，重力的影響越來越不明顯，因此，通過忽略自引力并運用DVP傳播矩陣的特殊性質。文獻[90]在理論上獲得了位錯勒夫數(shù)的漸近值，從而徹底解決了位錯格林函數(shù)的計算問題。

最近十幾年，發(fā)生了多次震級較大的地震，這些大地震引起了全球尺度的顯著變形[91]，同時也對地球自轉[92-93]、地球參考框架[94-95]、地球的體積變化[96](圖3)，以及地球內部能量的轉換產(chǎn)生了較大影響[97-99]。這些研究是對地震形變模擬理論的重要應用。

圖3 地震對地球體積大小的累積影響[96]

3 總結與展望

本文回顧了地球彈性變形的理論、地表負荷和地震位錯引起形變的理論模擬方面的主要研究進展，地球彈性變形理論發(fā)展至今，可以說已經(jīng)非常完善，相關的研究成果也非常多。然而隨著技術的發(fā)展，觀測精度越來越高，地球變形的理論也需要得到更進一步的發(fā)展。

在短時間尺度下，地球表現(xiàn)出顯著的彈性特征，因此，地球的彈性形變模擬在目前大地測量和地球物理學的研究中發(fā)揮著非常重要的作用。因為地球的形變模擬提供了聯(lián)系力源與形變的紐帶——格林函數(shù)，因此一方面可以確定不同力源導致的地球形變，另一方面也可以在反演地球內部結構、物性參數(shù)，以及力源參數(shù)、甚至動力過程中發(fā)揮重要作用。地球是一個復雜的系統(tǒng)，有太多的因素會導致地球的形變。隨著高精度觀測資料的獲取，會發(fā)現(xiàn)更多觀測與理論不相符合的情形，或用現(xiàn)有理論無法解釋的現(xiàn)象。比如越來越多的證據(jù)表明，在地熱開采區(qū)或注水區(qū)的地震具有明顯的非雙力偶特征，并認為這可能與流體有關[100]，然而具體的機制仍不明確，對震后孔隙彈性回彈的認識仍有待加強，因此，需要發(fā)展孔隙彈性位錯理論；地溫觀測發(fā)現(xiàn)了明顯的溫度場同震變化[101]和溫度的潮汐變化信號[102]，前者與構造活動的關系及后者與引潮力的聯(lián)系都是值得深入研究的課題，因此，需要發(fā)展地球的熱彈性變形理論，包括引潮力作用與地震位錯作用的相應理論。熱彈性理論不僅可用于計算由于溫度場變化導致的地球形變，還可以研究變形引起的溫度場變化，盡管人們一直認為后者的效應是很小的，通常采用所謂單向耦合的理論，但是地球內部溫度的測量目前已經(jīng)能夠達到非常高的精度(0.1 mK)，因此，需要發(fā)展雙向耦合的熱彈性理論及開展相關的應用研究。

在長時間尺度上，地球表現(xiàn)出滯彈性的特征，相關的研究涉及冰后均衡調整與震后黏彈性松弛，根據(jù)對應性原理，其在拉普拉斯域的邊值問題與彈性邊值問題是一致的，因此，相關的彈性理論可以直接應用，只需要最后對結果實施反拉普拉斯變化即可。相關的黏彈性形變的研究進展可參考文獻[103]。

我國正大力發(fā)展非常規(guī)能源的開采(如頁巖氣和地熱等)及水電開發(fā)，要評估這類活動對環(huán)境的影響就涉及流體與溫度場，即孔隙彈性與熱彈性的問題，或將二者統(tǒng)一的孔隙熱彈性的問題?，F(xiàn)在也有一些基于柱坐標系統(tǒng)理論的研究，但是現(xiàn)有理論可能已經(jīng)不能滿足當今觀測精度越來越高的需求。因為這些理論沒有考慮預應力與地球的自引力，然而這些會影響最終的計算結果[104]。考慮自引力后，由于平面半無限空間模型天然的缺陷，需要作某種假設[105]。因此，作為多學科交叉的地球形變問題，有必要發(fā)展球坐標系統(tǒng)下的相應理論對觀測結果或現(xiàn)象作客觀的描述與解釋，同時也有必要開展觀測網(wǎng)絡的建設獲取更加豐富的高精度觀測數(shù)據(jù)，以增強我們對地球動力過程的認知。