楊 靜，朱志臻，石躍武，崔志同，吳 偉，陳 偉

(1. 火箭軍工程大學， 西安 710025； 2. 強脈沖輻射環(huán)境模擬與效應國家重點實驗室； 3. 西北核技術(shù)研究所：西安 710024)

寬帶測量系統(tǒng)可用于脈沖電場測量，廣泛應用于高空核電磁脈沖(high altitude electromagnetic pulse，HEMP)試驗測量領(lǐng)域[1-4]。為獲得寬帶電場測量系統(tǒng)的帶寬及測量范圍等頻率響應信息，需進行標定[5-7]，通過考察測量系統(tǒng)對標準輸入電場的響應進行。當標準輸入為不同頻率的正弦波時，稱為頻域標定。頻域標定可方便地獲得測量系統(tǒng)的頻率響應曲線，但輸入正弦波的幅值有限，一般為μV·m-1～100 V·m-1量級，對于低靈敏度核電磁脈沖測量系統(tǒng)實施難度大。當標準輸入為方波或雙指數(shù)波等脈沖信號時，稱為時域標定。與使用環(huán)境類似，時域標定電場環(huán)境一般用于獲得測量系統(tǒng)的線性工作范圍及過沖等信息。充分利用寬帶測量系統(tǒng)的時域標定結(jié)果推算系統(tǒng)頻率響應-3 dB通帶上下限，是對頻域標定的有益補充，有助于更好地了解寬帶測量系統(tǒng)的特性。

本文首先根據(jù)寬帶測量系統(tǒng)頻率響應特點，將其建模為一階巴特沃斯濾波器，在此基礎上建立寬帶測量系統(tǒng)時域標定過程的數(shù)學模型。然后將階躍信號作為標準輸入信號，解析推導了系統(tǒng)-3 dB通帶上限頻率fc_H與輸出響應上升沿tr之間的關(guān)系，即fc_H=0.35/tr。這個關(guān)系式可用于對測量系統(tǒng)fc_H的估計。由于實際采用的寬帶測量系統(tǒng)頻響曲線的過渡段可能比一階巴特沃斯濾波器更陡或高頻響應存在一定抖動，為描述具有此類頻率響應特點的測量系統(tǒng)，可將寬帶測量系統(tǒng)分別建模為高階巴特沃斯和二階切比雪夫低通濾波器，通過擬合方式，對上述關(guān)系式的常系數(shù)進行修正，得到的系數(shù)均不小于0.35，表明采用公式fc_H=0.35/tr對寬帶測量系統(tǒng)的fc_H進行的估計較為保守。因階躍信號在實際中不存在，采用上升時間tr0為0.5 ns和2.5 ns的方波作為標準輸入，通過數(shù)值仿真計算了tr隨fc_H的變化關(guān)系，結(jié)果表明在采用的標準方波前沿tr0遠小于0.35/fc_H時，上述估計才有效。針對HEMP使用需求，本文還推導了采用雙指數(shù)波形作為標準輸入時，輸出波形的解析表達式。解析和數(shù)值結(jié)果都表明，fc_H=0.35/tr不適用于標準輸入為雙指數(shù)波的情形。最后將寬帶測量系統(tǒng)建模為一階巴特沃斯高通濾波器，將理想方波作為標準輸入，通過理論推導和數(shù)值仿真給出了系統(tǒng)-3 dB頻率響應下限頻率fc_L與輸出波形平頂降和方波半高寬之間的關(guān)系，可用于對測量系統(tǒng)fc_L的估計。根據(jù)推導過程，分析給出了標定用方波的半高寬選取原則。針對實際需求，進一步推導了利用輸出波形平頂降的斜率估計fc_L的公式。

1 計算模型

1.1 數(shù)學模型

本文通過寬帶測量系統(tǒng)對標準輸入信號的行時域響應特點估計系統(tǒng)的頻域響應-3 dB通帶上下限。標定過程及數(shù)學模型如圖1所示：標定平臺產(chǎn)生的標準電場作為寬帶測量系統(tǒng)的標準輸入，根據(jù)輸入和輸出的波形特征計算和評估測量系統(tǒng)的特性。仿真中，將標準輸入hin(t)建模為理想方波、雙指數(shù)波及階躍信號等函數(shù)，將寬帶測量系統(tǒng)建模為具有明確轉(zhuǎn)移函數(shù)表達式的濾波器，如巴特沃斯低通濾波器和切比雪夫濾波器等，在頻域有

Hout(jω)=Hin(jω)Hm(jω)

(1)

其中：Hout(jω)為輸出波形的頻譜；Hin(jω)為標準輸入信號的頻譜；Hm(jω)為寬帶測量系統(tǒng)的頻譜。通過傅里葉反變換可求得時域輸出hout(t)。推導可獲得輸入和輸出波形的數(shù)字特征與濾波器模型通帶上下限頻率fc_H和fc_L的關(guān)系，用來指導實際標定過程中對測量系統(tǒng)頻率響應通帶上下限的估計。

圖1中，tr0，tw0表征輸入波形的數(shù)字特征。tr0為輸入波形的上升時間，定義為由峰值的10%上升到峰值的90%所需的時間；tw0為輸入波形半高寬，定義為波形上升至峰值的50%到下降至50%之間的時間。受寬帶測量系統(tǒng)帶寬的限制，輸出波形可能會發(fā)生一定的畸變，高頻成分損失會造成波形前沿變緩，有時會伴隨著振鈴和過沖現(xiàn)象，低頻成分損失會造成波形發(fā)生脈寬變窄和平頂降等現(xiàn)象，典型輸出波形如圖2所示。

圖2中，tr，tw，A，B表征輸出波形的數(shù)字特征。tr為輸出波形的上升時間；tw為輸出波形的半高寬。當標準方波作為輸入時，輸出波形會出現(xiàn)平頂降，A和B分別為平頂處的最大值和最小值，表征平頂降的程度，如圖2(b)所示

1.2 標準輸入模型

標準輸入hin(t)可為理想方波、階躍信號及雙指數(shù)波等。理想方波記為

(2)

頻域表示為

(3)

其中：C為輸入波形的幅值；tw0為輸入波形的半高寬。

單位階躍信號常記為ε(t)，傅里葉變換式為

(4)

雙指數(shù)波的數(shù)學表達式為

Hin3(t)=Ck0(e-βt-e-αt)ε(t)

(5)

其中：k0為歸一化系數(shù)；α，β為波形參數(shù)，決定了波形的形狀，不同的α，β組合可形成不同前沿和半高寬的雙指數(shù)波形[8]，α>β。雙指數(shù)波的頻域表達式為

(6)

對標準IEC 61000-2-9[9-10]給出的HEMP E1成分，C=50 kV·m-1，k0=1.3，α=6×108s-1，β=4×107s-1。

1.3 寬帶測量系統(tǒng)的濾波器模型

電磁脈沖試驗中使用的寬帶測量系統(tǒng)一般在較寬的頻帶內(nèi)具有比較平坦的頻率響應，且寬帶測量系統(tǒng)的頻率響應上限fc_H與下限fc_L相差較大，因此將其建模為一個低通濾波器和一個高通濾波器的級聯(lián)。為簡化分析，后續(xù)討論中濾波器模型通帶最大衰減設為-3 dB，對阻帶起始頻率和阻帶最小衰減不作要求。這樣，將寬帶測量系統(tǒng)建模為巴特沃斯低通濾波器時

(7)

其中：ωc_H為通帶-3 dB截止角頻率,ωc_H=2πfc_H；N為濾波器階數(shù)，N越大，過渡段越陡。N=1， 5， 10時，典型巴特沃斯低通濾波器的幅度響應如圖3所示。由圖3可見，巴特沃斯濾波器在通帶內(nèi)具有平坦的幅度響應和單調(diào)下降的過渡段，將寬帶測量系統(tǒng)頻率響應建模為巴特沃斯濾波器具有代表性。巴特沃斯高通濾波器情形與低通濾波器類似，不再贅述。

實際采用的寬帶測量系統(tǒng)的高頻響應可能存在一定抖動，為描述具有此類頻率響應特點的測量系統(tǒng)，可將寬帶測量系統(tǒng)建模為二階I型切比雪夫低通濾波器。同樣設濾波器通帶抖動為3 dB，對阻帶起始頻率和阻帶最小衰減不作要求。

2 -3 dB通帶頻率上限與輸出波形前沿的關(guān)系

2.1 輸入波形為階躍信號

設標準輸入波形為階躍信號，寬帶測量系統(tǒng)建模為一階低通的巴特沃斯濾波器，通過傅里葉變換推導輸出波形表達式，給出輸出波形脈沖前沿與寬帶測量系統(tǒng)-3 dB頻率上限fc_H的關(guān)系。

一階低通巴特沃斯濾波器模型的頻率響應可表示為

(8)

輸出波形的頻域表達式為

Hout1(jω)=Hin2(jω)Hm1(jω)

(9)

傅里葉反變換可得輸出波形為

hout1(t)=0.5sgnt-ε(t)e-ωc_Ht+0.5

(10)

(11)

即

(12)

當寬帶測量系統(tǒng)的高頻特性與一階低通巴特沃斯濾波器類似，且輸入波形為理想階躍信號或方波時，可根據(jù)式(12)估算寬帶測量系統(tǒng)的高頻特性。

2.2 輸入波形為非理想方波

理想方波的上升時間tri=0，實際輸入方波的上升時間tri不可視為0。針對HEMP頻段，以上升時間為0，0.5 ns和2.5 ns的方波為例，得到輸出波形上升時間tr隨一階巴特沃斯低通濾波器-3 dB通帶頻率上限fc_H的變化關(guān)系，如圖4所示。由圖4可見，當fc_H?0.35/tr時，可根據(jù)式(12)來估計測量系統(tǒng)的-3 dB通帶頻率上限fc_H；當fc_H與0.35/tr相當時，采用式(12)估計fc_H的偏差較大；當fc_H足夠大時，輸出波形前沿等于輸入波形前沿，式(12)同樣不適用。因此，采用式(12)估計寬帶測量系統(tǒng)的-3 dB通帶頻率上限時，需保證標準方波輸入的前沿足夠小，即tr?0.35/fc_H。

2.3 輸入波形為雙指數(shù)波

若標準輸入波形為雙指數(shù)波形，寬帶傳輸系統(tǒng)建模為一階低通的巴特沃斯濾波器時，輸出波形的傅里葉變換式為

Hout2(jω)=Hin3(jω)Hm1(jω)

(13)

當ωc_H≠α且ωc_H≠β時，通過傅里葉反變換可得輸出波形為

hout2(t)=Ck0(k1e-βt+k2e-αt+

k3e-ωc_Ht)ε(t)

(14)

由式(14)可知，輸出波形的前沿同時受到α，β，ωc_H的影響。以IEC 61000-2-9中規(guī)定的HEMP E1作為標準輸入,不同fc_H對應的輸出波形如圖5所示；輸出波形的上升時間tr隨濾波器模型的fc_H的變化關(guān)系如圖6所示。由圖6可見，tr和fc_H不再滿足式(12)。因此，標定用輸入波形為雙指數(shù)波時，不推薦使用式(12)估計寬帶測量系統(tǒng)的-3 dB通帶頻率上限。

2.4 測量系統(tǒng)的高階低通濾波器模型

當測量系統(tǒng)過渡段較陡時，寬帶測量系統(tǒng)可建模為高階低通巴特沃斯濾波器。以fc_H=100 MHz為例，標準方波輸入對應的輸出波形的前沿部分如圖7所示。由圖7可見，巴特沃斯低通濾波器模型的階數(shù)越高，輸出波形的振鈴和過沖現(xiàn)象越明顯，對應的峰值越大，上升時間越小。若輸入波形無過沖，而寬帶測量系統(tǒng)的輸出波形出現(xiàn)過沖，寬帶測量系統(tǒng)的過渡段陡峭是可能的原因之一。

不同階數(shù)巴特沃斯濾波器輸出波形的上升時間tr隨-3 dB通帶頻率上限fc_H的變化關(guān)系如圖8所示。由圖8可見，fc_H相同時，階數(shù)越高，輸出波形的上升時間tr越小。利用y=-bx+a對圖8進行擬合，并固定斜率b=-1，可得到a的值。擬合得到不同階數(shù)巴特沃斯濾波器對應的a及標準偏差σ，如表1所列。令fc_H=α/tr，則α=10a，計算得到的α也列于表1。由表1可知，α<0.35，表明對于頻率響應過渡段較陡的測量系統(tǒng)，采用式(12)對通帶-3 dB頻率上限fc_H進行估計時，得到的fc_H偏小。

表1 不同階數(shù)巴特沃斯濾波器模型對應的擬合參數(shù)Tab.1 Fitting parameters corresponding to Butterworthfilter models with different orders

2.5 測量系統(tǒng)的I型切比雪夫低通濾波器模型

當測量系統(tǒng)的頻率響應在高頻處存在波動時，可采用二階I型切比雪夫低通濾波器模型。以fc_H=100 MHz為例，階躍函數(shù)經(jīng)過二階I型切比雪夫低通濾波器后輸出的波形如圖9所示。由圖9可見，階躍函數(shù)經(jīng)過二階切比雪夫濾波器模型后輸出波形出現(xiàn)過沖和振鈴。輸出波形上升時間tr隨二階I型切比雪夫低通濾波器模型fc_H的變化關(guān)系如圖10所示。

同樣采用y=-bx+a對圖10的曲線進行線性擬合，并固定斜率b=-1，得到的擬合參數(shù)如表2所列。仿真結(jié)果表明，不考慮其他因素，若實際寬帶測量系統(tǒng)的高頻特性部分出現(xiàn)上翹，頻率響應曲線接近二階的切比雪夫濾波器時，根據(jù)(12)式計算的fc_H偏小約3%。

表2 切比雪夫濾波器模型的擬合參數(shù)Tab.2 Fitting parameters of Chebyshev filter model

3 -3 dB通帶頻率下限與輸出波形平頂降的關(guān)系

為考察寬帶測量系統(tǒng)的低頻特性，設標準輸入波形為理想方波，將寬帶傳輸系統(tǒng)建模為一階高通巴特沃斯濾波器，通過推導輸出波形表達式，給出輸出波形參數(shù)隨寬帶測量系統(tǒng)fc_L(角頻率記為ωc_L，ωc_L=2πfc_L)的變化關(guān)系。典型輸出波形及平頂相關(guān)參數(shù)A，B，tw的定義如圖2(b)所示。

一階高通巴特沃斯濾波器模型的頻率響應可表示為

(15)

那么，輸出波形的頻域可表示為

Hout3(jω)=Hin1(jω)Hm2(jω)

(16)

通過傅里葉反變換求解輸出波形為

(17)

(18)

當x?1時，忽略x2及更高階小量，有

(19)

即

(20)

當A-B?A時，式(20)可寫為

(21)

式(21)右側(cè)第一項為輸出波形平頂?shù)男甭省?/p>

以脈寬為1 μs的理想方波作為輸入，一階高通巴特沃斯濾波器模型的fc_L分別為100， 200 ， 500 kHz和1 MHz時，輸出波形如圖11所示。

上述分析可知，輸出波形的平頂以e指數(shù)函數(shù)形式隨時間下降，fc_Ltw足夠小時，平頂近似為線性下降。通過選取合適半高寬的方波，可用式(20)快速估計寬帶測量系統(tǒng)的低頻特性。由圖11可見， 當tw過小時，A與B的值接近，讀數(shù)偏差造成的影響較大；tw過大時，平頂降不滿足線性假設，采用式(20)估計的結(jié)果偏差較大，實際工程使用需觀察輸出波形的平頂降，采用合適的tw。當A-B?A時，可采用式(21)通過輸出波形平頂降的斜率來估計fc_L。

4 結(jié)論

根據(jù)寬帶測量系統(tǒng)的特點，本文將寬帶測量系統(tǒng)建模為濾波器，進而建立了時域標定的數(shù)學模型。在此基礎上，推導得到了濾波器-3 dB通帶頻率上下限與其對標準方波的時域響應關(guān)系式(12)和式(20)。依據(jù)式(12)和式(20)可實現(xiàn)對寬帶測量系統(tǒng)頻率響應通帶上下限的工程估計，給工程應用帶來了很大的方便。

依據(jù)推導，采用式(12)估計寬帶測量系統(tǒng)通帶上限頻率fc_H時應采用標準方波作為輸入，且方波的上升時間應盡可能小，遠小于0.35/fc_H；若輸入波形為雙指數(shù)波，式(12)不再適用；對于測量系統(tǒng)的頻率響應曲線過渡段比一階巴特沃斯濾波器更陡或頻率響應通帶不夠平坦(如高頻部分出現(xiàn)波動)等情況，采用式(12)估計得到的fc_H比較保守。受測量系統(tǒng)低頻響應的影響，輸出波形的平頂以e指數(shù)函數(shù)形式隨時間下降。采用式(20)估計fc_L時需注意觀察輸出波形的平頂降，選取合適的輸入方波半高寬tw，使輸出波形平頂近似線性下降。同時輸入方波的半高寬tw應保證A，B間有足夠的距離，保證讀數(shù)精度；若輸出波形前沿部分存在過沖或振鈴，影響A的讀取時，若滿足A-B?A，可通過平頂降的斜率來估算fc_L。