周占學(xué) 于 爽 郭 帥 黃曉崢 周小龍

1）河北建筑工程學(xué)院, 河北張家口 075000

2）河北省土木工程診斷、改造與抗災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 河北張家口 075000

引言

顆粒阻尼器作為被動(dòng)阻尼器，具有耐久性好、可靠度高、操作方便、安裝簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)（魯正等，2013）。顆粒阻尼技術(shù)的耗能機(jī)理為顆粒間碰撞耗能與主體結(jié)構(gòu)沖擊耗能（魯正等，2014）。目前已有多位學(xué)者對(duì)顆粒阻尼器進(jìn)行試驗(yàn)研究、理論分析與數(shù)值模擬。魯正等（2012）通過3 層鋼框架附加顆粒阻尼器的振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)表明附加較小質(zhì)量比（2.25%）的顆粒阻尼器可減小主體結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。Fang 等（2018）引入致密顆粒流理論，建立了NOPD（非阻塞型顆粒阻尼器）能量耗散定量模型理論，結(jié)果表明，NOPD 能量耗散率隨振動(dòng)強(qiáng)度的增大而增大，隨粒徑的增大而減小。Hu 等（2008）通過使用離散元法模擬發(fā)現(xiàn)質(zhì)量比和材料密度均對(duì)阻尼性能有一定影響。Luo 等（2019）提出多層顆粒阻尼器應(yīng)用于縮尺比例為1:20 的單塔自錨式懸索橋，發(fā)現(xiàn)多層顆粒阻尼器可在不同烈度地震激勵(lì)下實(shí)現(xiàn)顯著減震效果。在Papalou 等（2015）開展的試驗(yàn)中，以顆粒阻尼器替換帕特農(nóng)神廟中破損的石鼓，研究了質(zhì)量比（顆粒質(zhì)量與古柱之比）、阻尼器位置與顆粒尺寸等參數(shù)對(duì)顆粒阻尼器有效性的影響。

由于顆粒間碰撞屬于高度非線性行為，目前關(guān)于顆粒阻尼器的數(shù)值模擬分2 種：一種是使用離散元素法單獨(dú)研究顆粒的力學(xué)行為；另一種是（施衛(wèi)星等，2013）輸入顆粒阻尼器的減震參數(shù)，進(jìn)行有限元分析時(shí)，將多顆粒簡(jiǎn)化為單個(gè)顆粒，忽略了顆粒間摩擦耗能。本文在Papalou 等（2015）試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，應(yīng)用PFC3D、FLAC3D 軟件實(shí)現(xiàn)離散-有限的耦合。PFC3D 是基于離散單元法模擬和分析顆粒體的軟件，計(jì)算原理主要是力-位移定律和牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，采用顯式有限差分法進(jìn)行循環(huán)迭代求解，通過調(diào)幅可考慮不同地震動(dòng)強(qiáng)度及不同地震動(dòng)強(qiáng)度下結(jié)構(gòu)反應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的變化規(guī)律（賈晗曦等，2019）。FLAC3D 為有限元分析軟件，采用顯式拉格朗日算法和混合-離散分區(qū)技術(shù)，可準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)模擬材料的塑性破壞和流動(dòng)，由于無須形成剛度矩陣，因此，采用較小的計(jì)算資源可求解大范圍的三維工程問題。本文首次通過PFC3D 與FLAC3D 軟件耦合模擬附有多顆粒阻尼器的帕特農(nóng)神廟多鼓石柱，充分考慮顆粒間摩擦與碰撞耗能，并探究地震強(qiáng)度和頻率對(duì)阻尼器抗震性能的影響及阻尼器位置對(duì)結(jié)構(gòu)體系抗震的影響，研究結(jié)果對(duì)于我國類似碑型古建筑抗震保護(hù)具有借鑒意義。

1 耦合方法

PFC3D 與FLAC3D 軟件各自以插件方式運(yùn)行于彼此的環(huán)境中，采用界面耦合的方法模擬，界面耦合的基本原理是在可能發(fā)生耦合作用的空間建立1 個(gè)單元wall，wall 可作為2 個(gè)空間信息傳遞的媒介，實(shí)現(xiàn)連續(xù)-非連續(xù)耦合作用。附著于FLAC3D 模型元素上的1個(gè)wall 單元如圖1 所示，圖中GH表示位于PFC3D模型組件上的接觸點(diǎn)，同時(shí)定義G為位于wall 上對(duì)應(yīng)于GH的接觸點(diǎn)，由于接觸部位存在變形，同時(shí)存在拉伸、剪切及扭轉(zhuǎn)作用，因此GH與G點(diǎn)空間位置可能存在不一致的情況。bi表示wall 角點(diǎn)及其附著部位FLAC3D 的zone 結(jié)點(diǎn)或結(jié)構(gòu)單元結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，ai為3個(gè)表征三角形的面積。

圖1 附著于FLAC3D 模型元素上的1 個(gè)wall 單元Fig. 1 A wall element attached to the elements of the FLAC3D model

定義ri為GH與G 的距離（ri=GH-bi），接觸傳遞至FLAC3D 模型元素的總接觸力與總彎矩（PFC3D模型中的接觸可承受彎矩）分別為F和M，其中M按下式計(jì)算：

2 試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證

2.1 計(jì)算模型與驗(yàn)證方案

帕特農(nóng)神廟位于希臘雅典衛(wèi)城的最高處石灰?guī)r的山崗上，是衛(wèi)城最重要的主體建筑，建成于公元前432 年，神廟平面呈長方形，由46 根高34 英尺（9.88 m）大理石柱構(gòu)成，現(xiàn)僅留有1 座石柱林立的外殼，如圖2（a）所示。首先使用FLAC3D 以zone 單元對(duì)神廟古柱結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，然后導(dǎo)入PFC3D 使用ball 單元建立顆粒阻尼器模型，其次在古柱結(jié)構(gòu)與顆粒阻尼器界面處以wall 耦合交互信息，最后在FLAC3D 中分析結(jié)構(gòu)模型抗震性能，并與Papalou 等（2015）試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。在此基礎(chǔ)上，分析地震強(qiáng)度、頻率及阻尼器位置對(duì)結(jié)構(gòu)抗震性能的影響。

圖2 帕特農(nóng)神廟及古柱模型Fig. 2 Temple of Parthenon and model of Stone Column

Papalou 等（2015）試驗(yàn)中將顆粒填入石制空鼓，替換已破損的石鼓，分析替換后顆粒阻尼器對(duì)帕特農(nóng)神廟古柱減震的影響，研究表明，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)組合可降低30%以上的古柱動(dòng)態(tài)響應(yīng)。與額外增加同等質(zhì)量配重相比較，增加顆?？梢愿佑行У乜刂乒舱耥憫?yīng)（張奎等，2017）。為便于比較分析，本文數(shù)值模型與Papalou 等（2015）試驗(yàn)保持一致，即柱高為2 992 mm，自重為1 707 kg，由11 個(gè)直徑不同的空鼓組成，頂鼓直徑為445 mm，底鼓直徑為584 mm，鼓高均為272 mm，柱身材料為大理石，柱體底座為900 mm×700 mm×140 mm大理石板，如圖2（b）所示。古柱PFC3D 與FLAC3D 耦合仿真模型如圖2（c）所示。

2.2 驗(yàn)證結(jié)果

依據(jù)Papalou 等（2015）試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，輸入Kalamata 地震波，如圖3 所示，古柱頂鼓中心點(diǎn)為荷載作用下的監(jiān)測(cè)位點(diǎn)。將古柱頂鼓替換為包含顆粒阻尼器的空鼓，阻尼器顆粒粒徑均為50 mm，顆粒個(gè)數(shù)為32 個(gè)，顆粒為鋼球。數(shù)值計(jì)算與試驗(yàn)得到的位移時(shí)程曲線如圖4（a）所示，由圖4（a）可知，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果基本一致。數(shù)值計(jì)算與試驗(yàn)得到的加速度功率譜如圖4（b）所示，由圖4（b）可知，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果基本一致，最大誤差為17.5%。綜上所述，PFC3D 與FLAC3D 耦合方法可模擬顆粒阻尼器與結(jié)構(gòu)模型，實(shí)現(xiàn)連續(xù)-非連續(xù)分析，可充分考慮顆粒間的相互作用，真實(shí)有效地分析顆粒阻尼器抗震性能，可用于分析顆粒阻尼器參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)減震性能的影響。

圖3 Kalamata 地震波Fig. 3 Kalamata wave

圖4 仿真分析與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig. 4 Comparison between simulation analysis and experimental results

3 柱抗震性能影響因素分析

3.1 地震強(qiáng)度的影響

基于前述模型及參數(shù)，將Kalamata 地震波加速度幅值調(diào)整為0.05g、0.1g、0.2g、0.245g，作為結(jié)構(gòu)底部振動(dòng)輸入。將古柱頂鼓替換為包含顆粒阻尼器的空鼓，顆粒粒徑為50 mm，顆粒個(gè)數(shù)為32 個(gè)，顆粒為鋼球。不同地震強(qiáng)度激勵(lì)下頂鼓滯回曲線（柱頂點(diǎn)抗力-位移曲線）如圖5 所示，由圖5 可知，隨著地震強(qiáng)度的加強(qiáng)，滯回曲線包圍的面積越大，說明顆粒阻尼器消耗結(jié)構(gòu)能量越大；不同加速度下滯回曲線整體呈梭形且形狀相似，當(dāng)激勵(lì)幅值較小時(shí)，古柱變形能力較好，表現(xiàn)出較強(qiáng)的抗震性能。

圖5 頂鼓滯回曲線Fig. 5 Bulging hysteretic curve

取每個(gè)加速度幅值下20 個(gè)振動(dòng)循環(huán)，求得加速度幅值為0.05g時(shí)的等效黏滯阻尼系數(shù)為13.03%～15.27%，加速度幅值為0.1g時(shí)的等效黏滯阻尼系數(shù)為16.50%～19.88%，加速度幅值為0.2g時(shí)的等效黏滯阻尼系數(shù)為20.55%～23.34%，加速度幅值為0.245g時(shí)的等效黏滯阻尼系數(shù)為21.17%～24.51%，可知隨著加速度幅值的增加，等效黏滯阻尼系數(shù)增加，結(jié)構(gòu)耗能能力增強(qiáng)。

不同地震強(qiáng)度下結(jié)構(gòu)頂鼓加速度和位移響應(yīng)如表1 所示，由表1 可知，附加顆粒阻尼器古柱加速度均值響應(yīng)和位移均值響應(yīng)均小于未附加顆粒阻尼器古柱；加速度均方根減震率為（未附加顆粒阻尼器古柱響應(yīng)-附加顆粒阻尼器古柱響應(yīng)）/未附加顆粒阻尼器古柱響應(yīng)，最大值為39.6%，最小值為13.9%，說明顆粒阻尼器在不同地震強(qiáng)度下均表現(xiàn)出良好的耗能能力；地震強(qiáng)度對(duì)結(jié)構(gòu)加速度均方根減震率的影響較大，對(duì)位移均方根減震率的影響較小。

表1 不同地震強(qiáng)度下結(jié)構(gòu)頂鼓加速度和位移響應(yīng)Table 1 Acceleration and displacement response of the structure with different earthquake intensity

3.2 輸入地震波的影響

分別將寧河波、Kobe 波、Kalamata 波加速度幅值調(diào)整為0.2g，地震波傅里葉幅值譜如圖6 所示，作為結(jié)構(gòu)底部振動(dòng)輸入。經(jīng)分析，寧河波主頻為0.732 Hz。Kobe 波主頻為1.4 Hz，Kalamata 波主頻為2.614 Hz，古柱的前4 階自振頻率分別為1.2、1.44、1.86、2 Hz。將頂鼓替換為包含顆粒阻尼器的空鼓，顆粒參數(shù)同上節(jié)。

圖6 傅里葉幅值譜Fig. 6 Fourier amplitude spectrum

損耗能量（輸入總能量－彈性振動(dòng)能）、加速度（由寧河波、Kobe 波、Kalamata 波作用下結(jié)構(gòu)頂部19 s內(nèi)加速度時(shí)程響應(yīng)）與頻率三維圖如圖7 所示。由圖7 可知，當(dāng)頻率低且加速度較小時(shí)，結(jié)構(gòu)損耗能量低，當(dāng)頻率低且加速度較大時(shí)，結(jié)構(gòu)損耗能量高；低頻區(qū)結(jié)構(gòu)損耗能量低，高頻區(qū)結(jié)構(gòu)損耗能量高；當(dāng)入射波主頻頻率增大時(shí)，三維圖像趨于平緩，加速度對(duì)阻尼器的影響減小，阻尼器對(duì)結(jié)構(gòu)減震作用增強(qiáng)。

圖7 不同地震波作用下的損耗能量分布Fig. 7 Energy loss distribution under different seismic waves

不同激勵(lì)頻率下結(jié)構(gòu)頂鼓加速度和位移響應(yīng)如表2 所示，由表2 可知，不同地震波作用下附加顆粒阻尼器古柱加速度均值響應(yīng)和位移均值響應(yīng)均小于未附加顆粒阻尼器古柱；不同地震波作用下，顆粒阻尼器對(duì)古柱的減震效果不同，Kalamata 波作用下古柱加速度均方根減震率和位移均方根減震率最大，寧河波作用下古柱加速度均方根減震率和位移均方根減震率最小。綜上所述，顆粒阻尼器對(duì)入射波頻率敏感，對(duì)結(jié)構(gòu)減震效果的影響顯著。

表2 不同激勵(lì)頻率下結(jié)構(gòu)頂鼓加速度和位移響應(yīng)Table 2 Acceleration and displacement responses of the structure with different excitation frequencies

3.3 顆粒阻尼器的影響

將顆粒阻尼器分別置于1～11 層鼓處，分析阻尼器位置對(duì)古柱減震效果的影響，入射波為加速度幅值0.2g的Kalamata 波，顆粒參數(shù)同上節(jié)。加速度響應(yīng)如圖8 所示，位移響應(yīng)如圖9 所示。由圖8、9 可知，阻尼器位置對(duì)減震效果的影響顯著，在11 層鼓處布置顆粒阻尼器對(duì)結(jié)構(gòu)峰值加速度及均值加速度的控制效果最優(yōu)；在7～11 層鼓處布置顆粒阻尼器對(duì)結(jié)構(gòu)峰值位移、均值位移的控制效果優(yōu)于在1～6 層鼓處布置阻尼器，這與Papalou 等（2015）的試驗(yàn)結(jié)果一致；另外，在1、2 層布置顆粒阻尼器時(shí)，結(jié)構(gòu)均值位移與峰值位移明顯大于阻尼器布置在3～11 層時(shí)，可能因?yàn)樵诘卣鸩?lì)作用下大理石柱具有一定濾波效果，古柱下部頻率高于上部，因此阻尼器布置在1、2 層鼓處時(shí)增大了結(jié)構(gòu)響應(yīng)，因此產(chǎn)生較大位移。應(yīng)在1～6 層鼓處減少顆粒阻尼器數(shù)量，以防形成鞭梢效應(yīng)，造成控制效果較差。

圖8 模型各層結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)Fig. 8 Acceleration response of each layer of the model

圖9 模型各層結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)Fig. 9 Displacement response of each layer of the model

A、B 古柱形成雙柱結(jié)構(gòu)體系（圖10），入射波為加速度幅值0.2g的Kalamata 波，顆粒阻尼器布置于A 柱11 鼓處，顆粒參數(shù)同上節(jié)。A 柱峰值加速度及位移如圖11 所示，B 柱峰值加速度及位移如圖12 所示。由圖11、12 可知，考慮雙柱結(jié)構(gòu)體系，A、B 柱峰值加速度及位移均有所減低，且A 柱減震效果優(yōu)于單柱，可知替換破損的空鼓（由前文可知在7～11 鼓處布置阻尼器優(yōu)于在1～6 鼓處布置阻尼器）時(shí)，采用結(jié)構(gòu)整體分析更符合實(shí)際情況。這與（Veeramuthuvel 等，2016）實(shí)驗(yàn)在飛行器給定位置設(shè)置顆粒阻尼器，在較遠(yuǎn)點(diǎn)位仍具有減震效果結(jié)論一致。

圖10 A、B 柱（單位：毫米）Fig. 10 Ancient pillars A and B（Unit：mm）

圖11 A 柱各層峰值加速度和峰值位移響應(yīng)曲線Fig. 11 Response curve of peak acceleration and peak displacement of each layer of column A

圖12 B 柱各層峰值加速度和峰值位移響應(yīng)曲線Fig. 12 Response curve of peak acceleration and peak displacement of each layer of column B

4 結(jié)論

本文應(yīng)用PFC3D 與FLAC3D 耦合技術(shù)，研究顆粒阻尼器對(duì)帕特農(nóng)神廟多鼓古柱抗震性能的影響，得出以下結(jié)論。

（1）數(shù)值分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合度較高，表明PFC3D 與FLAC3D 耦合方法可用于分析顆粒阻尼器對(duì)結(jié)構(gòu)減震性能的影響。

（2）地震強(qiáng)度較小時(shí)，顆粒阻尼器仍可產(chǎn)生較好的減震效果。不同地震波激勵(lì)對(duì)顆粒阻尼器性能的影響顯著。

（3）設(shè)計(jì)顆粒阻尼器時(shí)，采用結(jié)構(gòu)整體分析更符合實(shí)際情況。顆粒阻尼器布置在結(jié)構(gòu)中上部抗震效果更好。