耿 飛 徐 超 溫增平

（中國(guó)地震局地球物理研究所, 北京 100081）

引言

地震風(fēng)險(xiǎn)分析包括地震危險(xiǎn)性分析、地震易損性分析和地震災(zāi)害損失估計(jì)3 個(gè)方面。地震易損性是指在給定地震強(qiáng)度水平下，結(jié)構(gòu)反應(yīng)達(dá)到或者超越某種破壞狀態(tài)的條件概率。易損性分析是地震風(fēng)險(xiǎn)分析中連接地震危險(xiǎn)性分析和地震災(zāi)害損失估計(jì)的重要步驟。易損性的估計(jì)方法主要有經(jīng)驗(yàn)方法和解析方法（周奎等，2011） ，經(jīng)驗(yàn)方法主要依賴于專家經(jīng)驗(yàn)，解析方法主要采用動(dòng)力非線性計(jì)算方法。當(dāng)前對(duì)于易損性的估計(jì)越來越依賴于計(jì)算機(jī)（Ellingwood 等，2007）?；谛阅艿目拐鹪O(shè)計(jì)采用了全概率模型，要求結(jié)構(gòu)的反應(yīng)具有概率的含義，即結(jié)構(gòu)的易損性要具有概率的含義。傳統(tǒng)的靜力非線性方法如能力譜方法，雖然不同大小的反應(yīng)譜值代表了不同發(fā)生概率的地震動(dòng)，但是反應(yīng)譜方法得到的結(jié)構(gòu)性能是確定的，因此傳統(tǒng)的靜力非線性方法難以適用于基于性能的結(jié)構(gòu)易損性估計(jì)。一般通過計(jì)算機(jī)采用動(dòng)力非線性方法計(jì)算結(jié)構(gòu)反應(yīng)的概率分布，進(jìn)而得到解析的易損性曲線。解析易損性的主要缺點(diǎn)在于計(jì)算工作量較大且耗時(shí)久（周奎等，2011）。若有近似方法來計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)，既可以得到結(jié)構(gòu)反應(yīng)的概率分布，同時(shí)結(jié)果又能夠達(dá)到足夠的精度，那么就可以大大減少計(jì)算量。

等效線性化方法是將非線性單自由度體系等效成具有等效周期和等效阻尼比的線性體系，并進(jìn)行最大非線性位移反應(yīng)求解（蘇亮等，2011），是一種適用于抗震性能設(shè)計(jì)、計(jì)算結(jié)構(gòu)非線性地震峰值響應(yīng)的工程實(shí)用化方法（曲哲等，2010），國(guó)內(nèi)外已有大量相關(guān)研究。Rosenblueth 等（1964）基于簡(jiǎn)諧荷載作用下單自由度系統(tǒng)的雙線性滯回模型，首先提出了利用最大變形處的割線剛度來確定系統(tǒng)周期的變化，并利用運(yùn)動(dòng)循環(huán)滯回曲線所圍成的面積與阻尼消耗能量相等的關(guān)系，確定了等效阻尼比。Gulkan 等（1974）指出在地震荷載作用下多數(shù)時(shí)間內(nèi)位移遠(yuǎn)小于最大反應(yīng)，因此Rosenblueth 和Herrea 確定的等效阻尼比值過大，導(dǎo)致對(duì)最大位移反應(yīng)的估計(jì)偏小。Gulkan 和Sozen 利用最大變形處的割線剛度確定等效周期，運(yùn)用Takeda 滯回模型結(jié)合振動(dòng)臺(tái)實(shí)驗(yàn)，得到關(guān)于等效阻尼比的經(jīng)驗(yàn)公式。Shibata 等（1976）將單自由度系統(tǒng)的等效線性化方法擴(kuò)展到多自由度系統(tǒng)，提出了著名的等代結(jié)構(gòu)法。Iwan（1980）利用彈性單元和庫(kù)侖滑動(dòng)單元的組合得到滯回模型，并利用12 條地震動(dòng)記錄進(jìn)行時(shí)程分析，得到了等效周期和等效阻尼比的經(jīng)驗(yàn)公式。Kowalsky（1994）利用最大變形處的割線剛度確定系統(tǒng)等效周期的變化，并利用Takeda 滯回模型得到了等效阻尼比。Mirand 等（2002）對(duì)5 種等效線性化模型結(jié)果和彈塑性時(shí)程反應(yīng)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比研究，指出不同等效線性化模型的精度。Lin 等（2008）和Miranda 等（2004）利用強(qiáng)度折減系數(shù)，計(jì)算不同周期和不同強(qiáng)度折減系數(shù)的單自由度系統(tǒng)的最大反應(yīng)，對(duì)比彈塑性時(shí)程反應(yīng)結(jié)果，通過統(tǒng)計(jì)方法得到了基于強(qiáng)度的等效線性化經(jīng)驗(yàn)公式。Goda 等（2010）研究了不同地震類型、地震區(qū)域以及Bouc-Wen 滯回模型不同參數(shù)對(duì)等效線性化參數(shù)的影響，并通過統(tǒng)計(jì)方法得到了基于強(qiáng)度折減系數(shù)的等效線性化模型。FEMA-440（FEMA，2005）基于ATC-40（ATC，1996）反應(yīng)譜法規(guī)定的流程，利用等效線性化方法改進(jìn)了等效周期和等效阻尼比的計(jì)算公式。

李妍等（2005）對(duì)5 種等效線性化模型的計(jì)算精度進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，研究了不同延性、不同結(jié)構(gòu)周期以及不同阻尼比對(duì)這些方法計(jì)算精度的影響。曲哲等（2011）分析了結(jié)構(gòu)周期、延性系數(shù)以及恢復(fù)力模型等因素對(duì)等效線性化模型的影響，并通過對(duì)大量地震動(dòng)記錄下動(dòng)力彈塑性分析結(jié)果的擬合，提出了能夠綜合反映各方面參數(shù)影響的單自由度等效線性化模型。蘇亮等（2011）提出了一種確定等效線性化模型系統(tǒng)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法。曲哲等（2010）將等效線性化方法應(yīng)用于多自由度結(jié)構(gòu)，對(duì)結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件進(jìn)行等效線性化，利用振型分解反應(yīng)譜法計(jì)算結(jié)構(gòu)的峰值反應(yīng)。

從等效線性化方法研究的現(xiàn)狀可以看出，對(duì)于等效線性化的研究大多集中于等效線性化模型的參數(shù)求解和不同等效線性化模型的比較，對(duì)于將等效線性化方法用于實(shí)際結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的研究較少，也缺少將等效線性化方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)易損性分析的研究。本文將利用多條地震動(dòng)記錄，采用5 種典型的等效線性化模型對(duì)不同高度的鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行增量動(dòng)力分析（IDA），得到不同高度的結(jié)構(gòu)在不同強(qiáng)度地震作用下的反應(yīng)和易損性，并與OpenSees 程序分析的結(jié)果進(jìn)行比較，研究將單自由度等效線性化模型應(yīng)用于鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)的地震易損性分析在高度上的適用性。

1 等效線性化方法

等效線性化方法是指利用一個(gè)擁有較低剛度（或者較長(zhǎng)自振周期）和較高阻尼比的等效線彈性結(jié)構(gòu)來估計(jì)原非線性結(jié)構(gòu)在地震作用下的最大變形反應(yīng)，使原非線性結(jié)構(gòu)的最大變形反應(yīng)與等效線彈性結(jié)構(gòu)的最大變形反應(yīng)相等。

圖1 單自由度系統(tǒng)Fig. 1 Single degree of freedom system

圖2 割線剛度Fig. 2 Secant stiffness

圖3 雙線性滯回曲線Fig. 3 Bilinear hysteretic curve

當(dāng)屈服后剛度系數(shù)α =0，式（4）、（5）可分別表示為：

2 簡(jiǎn)化的單自由度模型

要進(jìn)行基于單自由度等效線性化模型的易損性分析，首先需要得到結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化的單自由度模型。多自由度系統(tǒng)在地震作用下的運(yùn)動(dòng)方程為：

3 結(jié)構(gòu)模型與等效單自由度系統(tǒng)

為檢驗(yàn)采用不同等效線性化模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)易損性分析的精度及其在結(jié)構(gòu)高度上的適用性，設(shè)計(jì)3 棟不同高度的RC 框架結(jié)構(gòu)，高度分別為5 層、10 層和15 層，根據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011-2010）（中華人民共和國(guó)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部等，2010）、《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》（JGJ 3-2010）（中華人民共和國(guó)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部，2011 ）的要求進(jìn)行設(shè)計(jì)，滿足我國(guó)現(xiàn)行抗震設(shè)計(jì)規(guī)范。主要設(shè)計(jì)參數(shù)如下：建筑場(chǎng)地二類，抗震設(shè)防烈度為8 度，設(shè)計(jì)基本地震加速度0.2g，設(shè)計(jì)地震分組第2 組，框架抗震等級(jí)2 級(jí)。結(jié)構(gòu)平面尺寸均相同，且首層層高均為4.5 m，其余層高為3.6 m，結(jié)構(gòu)平面和5 層結(jié)構(gòu)側(cè)立面如圖5 所示。混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C30，梁、柱截面受力主筋選用HRB335，箍筋選用HPB235，樓面荷載為4.0 K N/m2。 樓板厚度為120 mm，梁截面尺寸為3 50×600 mm，柱截面尺寸及配筋如表1 所示。

表1 柱尺寸及配筋Table 1 Sizes and reinforcement of columns

圖4 廣義力-位移關(guān)系的雙折線化Fig. 4 Bilinear model of generalized load-response curve

圖5 結(jié)構(gòu)平面及側(cè)立面示意圖Fig. 5 Structural plane and side elevation diagram

采用OpenSees 程序?qū)Y(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力推覆和增力動(dòng)量分析（IDA）以獲取結(jié)構(gòu)的等效單自由度模型和非線性動(dòng)力時(shí)程結(jié)果。由于結(jié)構(gòu)平面對(duì)稱，因此僅選用中間的一榀框架進(jìn)行分析。梁柱采用基于位移的纖維截面梁柱單元進(jìn)行模擬?；炷敛牧线x用Concret 01，鋼筋材料選用Steel 02，屈服后強(qiáng)度比b值取0.01，本構(gòu)曲線從彈性到塑性轉(zhuǎn)變的控制參數(shù)R0 取18，其他參數(shù)取默認(rèn)值。

通過OpenSees 計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的基本自振周期分別為0.703 s、1.047 s 和1.788 s，通過SAP2000 驗(yàn)算得到結(jié)構(gòu)的基本自振周期分別為0.753 s、0.932 s 和1.894 s。二者計(jì)算結(jié)果相近，驗(yàn)證了OpenSees 計(jì)算模型的合理性。

4 地震記錄選取及結(jié)構(gòu)易損性分析

4.1 地震記錄選取

有學(xué)者曾做過研究，對(duì)于中等高度的建筑，選取10～20 條地震記錄進(jìn)行增量動(dòng)力分析可以得到較為精確的地震需求估計(jì)（吳巧云等，2012）。對(duì)于結(jié)構(gòu)的破壞影響較大的都是大地震，且等效線性化模型進(jìn)行計(jì)算時(shí)速度較快，綜合考慮以上因素，本文通過NGA 數(shù)據(jù)庫(kù)挑選了相當(dāng)于二類場(chǎng)地的66 條震級(jí)大于6.5 級(jí)、斷層距小于35km 的地震記錄，用于增量動(dòng)力分析（IDA），地震動(dòng)記錄詳見耿飛（2013）。

4.2 易損性分析

結(jié)構(gòu)的易損性表示結(jié)構(gòu)在不同強(qiáng)度地震作用下，結(jié)構(gòu)的反應(yīng)達(dá)到或超越某種破壞狀態(tài)的條件概率。為了得到結(jié)構(gòu)的易損性，首先需經(jīng)過增量動(dòng)力分析（IDA）得到結(jié)構(gòu)在不同地震強(qiáng)度下的最大反應(yīng)，然后確定結(jié)構(gòu)最大反應(yīng)的概率分布情況，最后結(jié)合定義的結(jié)構(gòu)破壞狀態(tài)即可得到結(jié)構(gòu)的易損性。

4.2.1 結(jié)構(gòu)概率地震反應(yīng)分析

對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行IDA 分析，采用不同等效線性化模型和OpenSees 程序計(jì)算在不同峰值加速度（PGA）的地震輸入下結(jié)構(gòu)的反應(yīng)。不同結(jié)構(gòu)在不同強(qiáng)度地震作用下，頂點(diǎn)位移的統(tǒng)計(jì)均值和最大層間位移角的統(tǒng)計(jì)均值關(guān)系如圖6 所示。圖中等效線性化模型計(jì)算的層間位移角由單自由度模型的最大頂點(diǎn)位移根據(jù)一階振型求出，因此等效線性化模型計(jì)算出的最大頂點(diǎn)位移曲線和最大層間位移角曲線的形狀相同。若真實(shí)結(jié)構(gòu)僅有一階振型反應(yīng)，則圖中OpenSees 計(jì)算得到的最大頂點(diǎn)位移和最大層間位移角曲線形狀應(yīng)該相同。通過比較OpenSees 和其他幾種等效線性化模型計(jì)算得到的最大頂點(diǎn)位移和最大層間位移角曲線的相對(duì)位置，可以看出：（1）相對(duì)于OpenSees 計(jì)算結(jié)果，R&H 方法和退化方法總是低估了結(jié)構(gòu)的最大頂點(diǎn)位移，G&S 方法和Kowalsky 方法總是高估了結(jié)構(gòu)的最大頂點(diǎn)位移反應(yīng)，Iwan 方法和OpenSees 計(jì)算出的頂點(diǎn)位移結(jié)果相近。（2）隨著結(jié)構(gòu)高度的增加，OpenSees 計(jì)算的最大層間位移角相較其它5 種等效線性化模型不斷增大。（3）隨著高度增加，OpenSees 計(jì)算的最大層間位移角曲線形狀相對(duì)于最大頂點(diǎn)位移曲線形狀開始發(fā)生變化，且這種變化隨著高度的增加而增大，這說明高階振型的影響隨著高度的增加而增大。

圖6 頂點(diǎn)位移統(tǒng)計(jì)均值和最大層間位移角統(tǒng)計(jì)均值關(guān)系圖Fig. 6 The relationship between mean values of roof displacement and mean values of inter-story drift ratio

本文結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)參數(shù)由最大層間位移角θd表示。通過對(duì)IDA 的結(jié)果進(jìn)行對(duì)數(shù)回歸分析，可以得到結(jié)構(gòu)的最大層間位移反應(yīng)θd均值與地震動(dòng)的峰值加速度PGA 成對(duì)數(shù)線性關(guān)系：

式中，a、b為參數(shù)。根據(jù)不同等效線性化模型、不同高度結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果對(duì)公式（16）擬合得到參數(shù)a、b和標(biāo)準(zhǔn)差 β（表2） 。通過對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)差 β 可以看出，10 層結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差明顯較5 層結(jié)構(gòu)大，15 層結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差和10 層結(jié)構(gòu)相比變化不大，OpenSees 計(jì)算結(jié)果的對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差最小。

表2 對(duì)數(shù)回歸分析的參數(shù)結(jié)果Table 2 Results of parameters from logarithmic regression analysis

4.2.2 易損性曲線

由于結(jié)構(gòu)的破壞和最大層間位移角密切相關(guān)，因此本文將結(jié)構(gòu)的最大層間位移角和結(jié)構(gòu)的破壞狀態(tài)對(duì)應(yīng)起來。參考李應(yīng)斌等（2003）關(guān)于結(jié)構(gòu)破壞狀態(tài)的定義，本文所采用的結(jié)構(gòu)極限破壞狀定義如表3 所示。在給定地震強(qiáng)度PGA=x的條件下，結(jié)構(gòu)反應(yīng) θd達(dá) 到或超過某種破壞狀態(tài) θc的概率為：

表3 結(jié)構(gòu)破壞狀態(tài)對(duì)應(yīng)的最大層間位移角Table 3 The maximum inter-story drift ratio corresponding to the damage states of the structure

式（18）即為易損性函數(shù)，其中 μlnθd為結(jié)構(gòu)反應(yīng)對(duì)數(shù)的均值。將式（16）和表2 中的參數(shù)、表3 定義的破壞狀態(tài)代入式（18）即可得到結(jié)構(gòu)對(duì)特定破壞狀態(tài)的失效概率。不同結(jié)構(gòu)采用不同方法計(jì)算得到的易損性曲線如圖7 所示。

圖7 3 棟不同高度結(jié)構(gòu)的易損性曲線Fig. 7 Fragility curves of 3 structures with different heights

通過對(duì)比不同結(jié)構(gòu)在不同破壞狀態(tài)下的易損性曲線可知：對(duì)5 層結(jié)構(gòu)，相較于OpenSees 計(jì)算結(jié)果，R&H 方法和退化方法低估了結(jié)構(gòu)的易損性，G&S 方法和Kowalsky 方法高估了結(jié)構(gòu)的易損性，Iwan 方法和OpenSees 計(jì)算結(jié)果最接近，說明不同的等效線性化模型結(jié)果具有明顯的差異。對(duì)于10 層結(jié)構(gòu)，OpenSees 計(jì)算結(jié)果不再一直介于5 種等效線性化模型的結(jié)果之間，隨著地震強(qiáng)度的增大，OpenSees 計(jì)算得到的易損性結(jié)果逐漸大于5 種等效線性化模型的結(jié)果。對(duì)于15 層結(jié)構(gòu)，隨著地震強(qiáng)度的增大，OpenSees 計(jì)算得到的易損性結(jié)果明顯大于5 種等效線性化模型的結(jié)果。

對(duì)于5 層結(jié)構(gòu)， Iwan 模型的結(jié)果和OpenSees 計(jì)算得到的易損性結(jié)果最為接近，等效線性化模型的估計(jì)結(jié)果準(zhǔn)確。對(duì)于10 層結(jié)構(gòu)，5 種等效線性化模型的計(jì)算結(jié)果和OpenSees 計(jì)算結(jié)果之間出現(xiàn)偏差，可以大致的估計(jì)出結(jié)構(gòu)易損性。對(duì)于15 層結(jié)構(gòu)，5 種等效線性化模型的計(jì)算結(jié)果和OpenSees 計(jì)算結(jié)果之間有著明顯差別，此時(shí)用等效線性化模型估計(jì)結(jié)構(gòu)的易損性會(huì)出現(xiàn)明顯偏差。綜上，隨著結(jié)構(gòu)高度的增加，結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)中高階振型反應(yīng)的影響逐漸增大，而基于單自由度的等效線性化模型無法考慮高階振型的影響，從而低估了結(jié)構(gòu)的最大地震反應(yīng)和易損性。因此當(dāng)結(jié)構(gòu)的高度超過一定程度時(shí)，單自由度等效線性化模型難以適用于易損性估計(jì)。

5 結(jié)論

本文主要采用5 種基于單自由度的等效線性化模型和OpenSees 程序分別對(duì)5 層、10 層和15 層共3 棟結(jié)構(gòu)進(jìn)行IDA 分析，得到了不同地震強(qiáng)度下結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)以及不同破壞狀態(tài)下的易損性曲線。通過對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析比較，得到基于單自由度等效線性化模型的易損性分析在高度上的適用性。主要的結(jié)論如下：

（1）不同等效線性化模型的計(jì)算結(jié)果差別明顯，模型選擇對(duì)結(jié)果準(zhǔn)確性具有重要影響。Iwan 模型對(duì)于高階振型影響不大的結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確，且計(jì)算結(jié)果偏于保守。從平均值看，由統(tǒng)計(jì)方法得到的等效線性化公式結(jié)果要優(yōu)于各種基于半理論的模型。

（2）隨著結(jié)構(gòu)高度增加，高階振型的影響越來越大且不可忽略，當(dāng)結(jié)構(gòu)高度達(dá)到一定程度時(shí)，基于單自由度的等效線性化模型會(huì)過低的估計(jì)結(jié)構(gòu)的反應(yīng)而造成對(duì)易損性的低估。

（3）對(duì)于10 層以下結(jié)構(gòu)，Iwan 模型和OpenSees 計(jì)算得到的易損性曲線差別不大，等效線性化模型適用于結(jié)構(gòu)的易損性估計(jì)；對(duì)于10 層以上結(jié)構(gòu)，由于高階振型的影響較大，等效線性化模型估計(jì)結(jié)構(gòu)的易損性會(huì)逐漸出現(xiàn)較大的誤差。

（4） 對(duì)于10 層及以下的鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，用等效線性化模型估計(jì)結(jié)構(gòu)易損性可以在保證結(jié)果精度的同時(shí)大大減少計(jì)算量，是一種實(shí)用的計(jì)算方法。