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        用非慣性系中的角動(dòng)量定理分析颶風(fēng)球的運(yùn)動(dòng)

        2022-08-09 10:02:26陳影張艷燕馬曉棟
        關(guān)鍵詞:方向

        陳影,張艷燕,馬曉棟

        (新疆師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830054)

        國(guó)際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(International Young Physicists′Tournament,簡(jiǎn)稱IYPT)是全球最有影響力的年度物理學(xué)競(jìng)賽之一,比賽組織者每年為IYPT選定17個(gè)題目,與考試不同,這些題目是開(kāi)放性的,沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案。學(xué)生們研究IYPT 題目,就解決題目中物理問(wèn)題的基本知識(shí)、理論分析、實(shí)驗(yàn)方案、結(jié)果討論等進(jìn)行辯論性比賽。在解決IYPT題目的過(guò)程中,將體會(huì)科學(xué)研究的思維方式和處理問(wèn)題的方法,能夠?qū)W到很多新知識(shí),學(xué)習(xí)如何應(yīng)用新知識(shí),這些知識(shí)與通常課程中的有所不同。

        IYPT 題目也可以用于地區(qū)性的和全國(guó)性的比賽,中國(guó)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽(China Undergraduate Phys?ics Tournament,簡(jiǎn)稱CUPT)是借鑒IYPT 的模式創(chuàng)辦的面向全國(guó)所有高校本科生的層次最高、規(guī)模最大的辯論性物理學(xué)術(shù)賽事。

        文章研究2019 年第32 屆IYPT 的第六題,其內(nèi)容為:通過(guò)起始時(shí)用手旋轉(zhuǎn),并使用一根管子(如吸管)朝其吹氣,連在一起的兩個(gè)鋼球能以極高頻率旋轉(zhuǎn),解釋并探究這一現(xiàn)象。上述颶風(fēng)球運(yùn)動(dòng),是一個(gè)復(fù)雜而有趣的現(xiàn)象,兩個(gè)剛性連接在一起的鋼球,開(kāi)始在地面繞過(guò)其質(zhì)心的豎直軸旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)頻率增大到一定值時(shí),其中一個(gè)鋼球翹起,脫離與地面的接觸,當(dāng)翹起的角度達(dá)到一定值時(shí),翹起的角度不變,兩個(gè)連在一起的鋼球整體進(jìn)行穩(wěn)定的進(jìn)動(dòng),做類似陀螺的運(yùn)動(dòng)。

        由于題目復(fù)雜,目前文獻(xiàn)[1-2]分別用自由旋轉(zhuǎn)對(duì)稱體潘索理論和拉格朗日方程對(duì)颶風(fēng)球的進(jìn)動(dòng)進(jìn)行了定量分析,但它們對(duì)颶風(fēng)球翹起原因的分析都是簡(jiǎn)單和定性的。文章推導(dǎo)非慣性系中的角動(dòng)量定理,應(yīng)用其定量分析颶風(fēng)球的運(yùn)動(dòng),既包括颶風(fēng)球翹起的原因也包括颶風(fēng)球的進(jìn)動(dòng)。

        1 非慣性系中質(zhì)點(diǎn)組角動(dòng)量定理的推導(dǎo)

        因?yàn)閯傮w可以看作是由質(zhì)點(diǎn)組成的,所以上述角動(dòng)量定理可以用來(lái)研究剛體的運(yùn)動(dòng),以下用上述非慣性系中的角動(dòng)量定理(3)和(4)來(lái)分析颶風(fēng)球的運(yùn)動(dòng)。

        2 颶風(fēng)球地面轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的分析

        用管子向颶風(fēng)球吹氣,由于吹氣不均勻,對(duì)颶風(fēng)球左邊和右邊施加的力大小不相等,使颶風(fēng)球繞如圖1所示過(guò)颶風(fēng)球質(zhì)心的豎直軸公轉(zhuǎn),設(shè)其角速度為同樣由于吹氣不均勻,對(duì)颶風(fēng)球上部和下部施加的力大小也不相等,使颶風(fēng)球繞如圖1 所示過(guò)兩球質(zhì)心的軸自轉(zhuǎn),設(shè)其角速度為。其中,圖1-2 是颶風(fēng)球相對(duì)圖1-1公轉(zhuǎn)180度后的情況。

        圖1 颶風(fēng)球在地面轉(zhuǎn)動(dòng)的情況

        在每次實(shí)驗(yàn)中,吹氣的管子相對(duì)颶風(fēng)球的位置具有一定的任意性,所以的方向是隨機(jī)的。不失一般性,圖1給出其中任意一種情況,在此情況中,球1順著公轉(zhuǎn)方向滾動(dòng),而球2逆著公轉(zhuǎn)方向滾動(dòng)。

        假設(shè)在圖1-1中,吹氣方向偏于球1,當(dāng)颶風(fēng)球公轉(zhuǎn)180 度后,在圖1-2中,吹氣方向則偏于球2,但這兩種情況下,吹氣都促進(jìn)颶風(fēng)球公轉(zhuǎn);假設(shè)在圖1-1中,吹氣方向偏于颶風(fēng)球的上部,吹氣促進(jìn)颶風(fēng)球的自轉(zhuǎn),但當(dāng)颶風(fēng)球轉(zhuǎn)過(guò)180度,在圖1-2中,吹氣阻礙颶風(fēng)球的自轉(zhuǎn)。所以在一般情況下,吹氣產(chǎn)生的公轉(zhuǎn)角速度比自轉(zhuǎn)角速度大,以下都在此一般情況下討論。

        如圖1 所示,球1 和球2 與地面的接觸點(diǎn)繞公轉(zhuǎn)軸和自轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與球1 和球2 的半徑R相同。球1與地面的接觸點(diǎn)繞公轉(zhuǎn)軸和自轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動(dòng)的分速度分別為,這兩個(gè)分速度方向相反,球1 與地面的接觸點(diǎn)相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為,由于公轉(zhuǎn)角速度比自轉(zhuǎn)角速度大,球1 與地面的接觸點(diǎn)向前滑動(dòng),摩擦力f1方向與其運(yùn)動(dòng)方向相反;球2與地面的接觸點(diǎn)繞公轉(zhuǎn)軸和自轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動(dòng)的分速度也分別為,但這兩個(gè)分速度方向相同,球2 與地面的接觸點(diǎn)相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為,球2與地面的接觸點(diǎn)也向前滑動(dòng),摩擦力f2方向也與其運(yùn)動(dòng)方向相反。

        球1 和球2 與地面的接觸點(diǎn)相對(duì)于地面的加速度都有三個(gè)分量,其中兩個(gè)分別是垂直指向公轉(zhuǎn)軸和自轉(zhuǎn)軸的法向角速度分量和,另一個(gè)是摩擦力產(chǎn)生的加速度分量,方向?yàn)檠厍? 和球2 與地面的接觸點(diǎn)所做圓周運(yùn)動(dòng)的切向方向。

        從圖1中不難看出,f1產(chǎn)生的力矩阻礙公轉(zhuǎn)但促進(jìn)自轉(zhuǎn),f2產(chǎn)生的力矩既阻礙公轉(zhuǎn)又阻礙自轉(zhuǎn)。

        3 颶風(fēng)球翹起原因的分析

        以球1 與地面的接觸點(diǎn)為參考點(diǎn),尚未翹起的颶風(fēng)球受到重力2mg和分別與兩個(gè)法向加速度方向相反的慣性力,其中m是球1 和球2 的質(zhì)量,如圖2-1 所示。以下要討論以球1 與地面接觸點(diǎn)為支撐點(diǎn)球2 翹起的問(wèn)題,所以在以上受力分析中沒(méi)有考慮球2 受到地面的支持力,球1 受到地面的支持力和摩擦力也都沒(méi)有考慮,因?yàn)樗鼈冞^(guò)球1 與地面的接觸點(diǎn),不產(chǎn)生讓颶風(fēng)球翹起的力矩,與沿球1 與地面的接觸點(diǎn)所做圓周運(yùn)動(dòng)切向方向的加速度相應(yīng)的慣性力也沒(méi)有考慮,因?yàn)樗姆较蚺c翹起的轉(zhuǎn)軸平行,也不產(chǎn)生讓颶風(fēng)球翹起的力矩。

        圖2 以球1與地面的接觸點(diǎn)為參考點(diǎn),颶風(fēng)球的受力分析

        當(dāng)球2翹起時(shí),設(shè)過(guò)兩球質(zhì)心的自轉(zhuǎn)軸與豎直方向的夾角為θ,稱之為颶風(fēng)球的站立角,球1與地面的接觸點(diǎn)繞公轉(zhuǎn)軸和自轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑均為Rsinθ,如圖2-2 所示,球1 與地面的接觸點(diǎn)的法向加速度為以球1 與地面的接觸點(diǎn)為參考點(diǎn),颶風(fēng)球受到的慣性力,它們產(chǎn)生的力矩大小分別為此時(shí)重力產(chǎn)生的力矩大小為2mgRsinθ,繼續(xù)向上翹的條件是

        不難看出,如果以球2與地面的接觸點(diǎn)為參考點(diǎn),進(jìn)行受力分析,討論以球2與地面接觸點(diǎn)為支撐點(diǎn)球1翹起的問(wèn)題,結(jié)果與上面是一樣的。但實(shí)際上,球2相對(duì)于球1更容易翹起,原因分析如下。

        如圖2-2 所示,當(dāng)球2 翹起時(shí),球1 與地面的接觸點(diǎn)繞公轉(zhuǎn)軸和自轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動(dòng)的分速度分別為,這兩個(gè)分速度方向相反,球1與地面的接觸點(diǎn)相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為,由于公轉(zhuǎn)角速度比自轉(zhuǎn)角速度大,球1與地面的接觸點(diǎn)向前滑動(dòng),摩擦力f1方向與其運(yùn)動(dòng)方向相反,在摩擦力f1產(chǎn)生的力矩作用下,公轉(zhuǎn)角速度減小,自轉(zhuǎn)角速度?增大,球1 與地面的接觸點(diǎn)相對(duì)地面的速度減小,當(dāng)自轉(zhuǎn)角速度和公轉(zhuǎn)角速度相等時(shí),球1與地面的接觸點(diǎn)相對(duì)地面的速度為零,球1做無(wú)滑滾動(dòng),球1所受摩擦力f1=0,公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)加速度不變而達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

        當(dāng)球1翹起時(shí),與以上的分析同理,球2與地面的接觸點(diǎn)繞公轉(zhuǎn)軸和自轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動(dòng)的分速度分別為和,但這兩個(gè)分速度方向相同,球2 與地面的接觸點(diǎn)相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度不易減小到零,球2 與地面的接觸點(diǎn)始終在地面上滑動(dòng)而不能做無(wú)滑滾動(dòng),在摩擦力f2產(chǎn)生的力矩作用下,公轉(zhuǎn)角速度和自轉(zhuǎn)角速度持續(xù)減小,狀態(tài)不穩(wěn)定。

        圖3-1給出颶風(fēng)球翹起過(guò)程的中間狀態(tài),以颶風(fēng)球與地面的接觸點(diǎn)為參考點(diǎn),颶風(fēng)球受到的慣性力之和2ma0,其中a0是法向加速度和之和,在翹起過(guò)程中從圖3-1 中可以看出,慣性力之和2ma0對(duì)颶風(fēng)球的翹起起到促進(jìn)作用。

        圖3 以颶風(fēng)球與地面的接觸點(diǎn)為參考點(diǎn),颶風(fēng)球所受慣性力之和

        圖3-2 給出颶風(fēng)球翹起達(dá)到的無(wú)滑滾動(dòng)穩(wěn)定狀態(tài),以瞬心為參考點(diǎn),颶風(fēng)球受到的慣性力之和,瞬心合加速度的方向指向颶風(fēng)球的質(zhì)心,颶風(fēng)球所受合慣性力的方向則指向瞬心,此時(shí)只有重力產(chǎn)生力矩,其作用看似阻礙颶風(fēng)球的翹起,但實(shí)際上重力產(chǎn)生的力矩讓翹起的颶風(fēng)球發(fā)生進(jìn)動(dòng)而保持穩(wěn)定狀態(tài)。這個(gè)問(wèn)題在下一節(jié)討論。

        4 颶風(fēng)球進(jìn)動(dòng)穩(wěn)定狀態(tài)的分析

        圖4 颶風(fēng)球三個(gè)慣量主軸方向上的單位矢量

        則整個(gè)颶風(fēng)球的角動(dòng)量為

        如前所述,當(dāng)颶風(fēng)球做無(wú)滑滾動(dòng)時(shí),以瞬心為參考點(diǎn),只有重力能產(chǎn)生力矩,力矩為

        圖5 颶風(fēng)球角動(dòng)量的矢尖做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

        得出的翹起角和角速度之間關(guān)系與文獻(xiàn)[1-2]得出的理論結(jié)果一致,而文獻(xiàn)[2]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果符合較好。

        5 結(jié)語(yǔ)

        在一般教材[3-4]中,有質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理、質(zhì)點(diǎn)組的角動(dòng)量定理,它們的參照系都是慣性系,其中質(zhì)點(diǎn)組的角動(dòng)量定理可推廣應(yīng)用于剛體,參照系是非慣性系的角動(dòng)量定理也有,但僅限于質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理和無(wú)滑滾動(dòng)的剛體分析力學(xué)對(duì)瞬心的角動(dòng)量定理兩種特殊情況,而沒(méi)有一般情況下非慣性系中的角動(dòng)量定理,文章對(duì)此進(jìn)行推導(dǎo)并用于分析颶風(fēng)球的運(yùn)動(dòng),而颶風(fēng)球也是屬于一般教材中少見(jiàn)的復(fù)雜問(wèn)題。

        文獻(xiàn)[2]用分析力學(xué)推導(dǎo)颶風(fēng)球的站立角度,把力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)方程以能量為基本概念的形式表達(dá),使數(shù)學(xué)分析與幾何和力學(xué)脫離開(kāi)來(lái),非常簡(jiǎn)潔精煉。文章用角動(dòng)量定理分析颶風(fēng)球的翹起過(guò)程,推導(dǎo)直觀形象,并且輔以幾何作圖相對(duì)清楚透徹地分析其中的物理過(guò)程及其細(xì)節(jié),兩種方法優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)。

        教學(xué)內(nèi)容的更新[5-8]是教學(xué)改革的重要方面,颶風(fēng)球既可以作為學(xué)習(xí)拉格朗日方程和潘索自由旋轉(zhuǎn)對(duì)稱體理論一個(gè)具有指導(dǎo)性的練習(xí),也可以作為引入非慣性系中角動(dòng)量定理的實(shí)例。高校開(kāi)展大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽活動(dòng),是大學(xué)生實(shí)踐教學(xué)的一個(gè)重要舉措,結(jié)合大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽進(jìn)行各類教學(xué)活動(dòng),有利于提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)去分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力,使學(xué)生的知識(shí)、能力和素質(zhì)得到全面的提升和發(fā)展。

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