殷煒棋，楊魯義，朱國仁

(吉林大學 機械與航空航天工程學院，吉林 長春 130022)

1 引 言

曲柄連桿機構能可靠地保證機構的傳動效率，廣泛應用于汽車發(fā)動機、壓裝機及機械手等各類設備中，是工業(yè)中應用相當廣泛的一類傳動機構。作為汽車發(fā)動機中的關鍵傳動部分，曲柄連桿機構可以起到傳遞動力的作用。圖1所示為汽車發(fā)動機的傳動機構示意圖，其工作過程為：燃料燃燒后將產(chǎn)生的高壓氣體作用于活塞上，形成的膨脹壓力轉換為曲軸向外輸出的轉矩，進而輸出動力，最終帶動車輪轉動。

圖1 汽車發(fā)動機傳動機構示意圖

Simscape作為Matlab/Simulink軟件平臺的重要組成部分，能夠快速完成涉及物理、機械工程等領域的仿真工作，簡化建模過程，提高仿真效率。通過可視化的模型構建，自動構造微分代數(shù)方程，描述系統(tǒng)的動態(tài)性能。Simscape包含F(xiàn)luids、Electrical及Multibody等工具箱，可應對復雜的多學科混合建模和仿真，進而實現(xiàn)聯(lián)合仿真。通過轉換模塊，Simscape模型可與Simulink模型進行集成，完成物理系統(tǒng)協(xié)同控制器的建模仿真工作。李珊珊等[1]基于Simscape對汽車制冷系統(tǒng)進行了仿真；楚娜娜等[2]基于Simscape對航空發(fā)動機系統(tǒng)進行了物理建模，并對其安全性進行了分析；黃宏俊等[3]利用Simscape Multibody對六自由度機器人的運動軌跡規(guī)劃進行了誤差分析；唐之堯等[4]基于Simscape對AMT車輛傳動系統(tǒng)進行仿真，提高了控制系統(tǒng)的開發(fā)效率。

工業(yè)領域中所應用的控制器種類繁多，PID控制器是應用最為廣泛的自動控制器之一，其實質就是根據(jù)輸入的偏差值，按照比例、積分、微分的函數(shù)關系進行運算，運算結果用以控制輸出，最終達到理想的目標值。

本文以Simscape為物理建模平臺，結合PID控制器算法，對曲柄連桿機構的運動軌跡進行仿真研究，驗證了機構內(nèi)控制器設計的合理性和準確性。本文提出的基于物理系統(tǒng)協(xié)同控制器的仿真方法，可為后續(xù)其他類型的控制器設計提供一定的參考和依據(jù)。

2 曲柄連桿機構物理建模

曲柄連桿機構結構簡單，由機架、曲柄、連桿及滑塊等單件組成。通過曲柄回轉運動與滑塊往復直線運動之間的相互轉換，進而達成機構的運動要求。圖2為曲柄連桿機構的平面示意圖，對如圖所示機構進行運動分析[5]，找出曲柄OA與滑塊B間的運動關系。設曲柄OA長度為r，連桿AB長度為l，B端用銷釘與滑塊B相連，曲柄OA與機架OB之間的角度為α，連桿AB與機架OB之間的角度為β，曲柄OA的角速度為ω。

圖2 曲柄連桿機構示意圖

滑塊B做往復直線運動，可用直角坐標法建立其運動方程。設O點為坐標原點，建立如圖所示的Oxy直角坐標系。由A點向x軸作垂線，交于C點。設滑塊B在某一瞬時的位置為XB，則有：

XB=OC+CB=r·cosα+l·cosβ

(1)

在三角形OAB中，根據(jù)正弦定理，有：

(2)

(3)

將式(3)代入到式(1)中，得到滑塊B的運動方程為：

(4)

將式(4)對時間進行一階求導，進而得到滑塊B的速度為：

(5)

3 基于Simscape對系統(tǒng)進行建模仿真

根據(jù)曲柄連桿機構的物理建模結果，在Simscape環(huán)境下搭建仿真系統(tǒng)，系統(tǒng)由Plant系統(tǒng)、Controller系統(tǒng)以及Observer系統(tǒng)等3部分組成。整體框架如圖3所示。

圖3 曲柄連桿機構整體框架

3.1 Plant系統(tǒng)

為方便建模，預先在PTC_Creo三維機械設計軟件中對機構內(nèi)各單件(機架、曲柄、連桿及滑塊等)進行三維建模，進而通過約束裝配得到裝配體-曲柄連桿機構。通過Creo與Simscape聯(lián)合應用插件Simscape Multibody link將模型導入至Simscape環(huán)境。模型導入后，基于各單件間的約束關系以及空間坐標相對位置，對相關的轉動副、移動副以及坐標變換進行設置，由此構建出如圖4所示的Plant系統(tǒng)。

圖4 Plant系統(tǒng)

3.2 Controller系統(tǒng)

根據(jù)上文所述的機構運動關系，參考PD(比例微分控制)控制算法的應用原理，構造出Controller系統(tǒng)，圖5所示為其系統(tǒng)流程框圖。

圖5 Controller系統(tǒng)

3.3 Observer系統(tǒng)

Observer系統(tǒng)(見圖6)架構比較簡單，由一個命名為Tracking的Scope觀測器以及兩個From模塊組成。兩個From模塊分別接收預先給定的參考運動角度(Reference)以及曲柄OA的實際運動角度(Actual)。最終將二者的運動軌跡呈現(xiàn)到Tracking觀測器中，便于觀察仿真機構及分析仿真結果。

圖6 Observer系統(tǒng)

3.4 仿真流程

基于以上，整個機構的仿真流程如下：

(1)根據(jù)Plant系統(tǒng)內(nèi)曲柄OA的轉動副運動狀態(tài)，實時獲取其某一瞬態(tài)的轉動角度α以及轉動角速度ω。通過式(4)及式(5)中的數(shù)學關系變換，可得到該瞬態(tài)下滑塊B的位移XB以及速度VB。

(2)同理，通過預先給定機構的階躍信號，即參考旋轉角度αRef及參考旋轉角速度ωRef，通過數(shù)學關系變換，可得到滑塊B的參考位移XBRef以及參考速度VBRef。

(3)根據(jù)以上描述，獲取誤差值Err及一階微分誤差值Err_dot的結果，表達式如下：

Err=XBRef-XB

(6)

Err_dot=VBRef-VB

(7)

(4)在Controller系統(tǒng)中通過預設定PD控制器的比例因子及微分因子，進而得到控制信號，作為驅動力F作用于滑塊B的移動副上，從而完成機構的軌跡追蹤工作。

3.5 仿真分析示例

根據(jù)以上所述建模原理和仿真方法，現(xiàn)對機構進行軌跡仿真驗證。首先，指定參考角度及參考角速度。應用Simulink環(huán)境中的Signal Builder模塊，以階躍信號(以2s為時間間隔)給定參考，具體如圖7所示。

(a)參考角度

(b)參考角速度

根據(jù)經(jīng)驗，預設PD控制器比例因子為1200，微分因子為80。設置曲柄OA的初始角度為75°，仿真運行時間為10s。運行仿真后，實時觀察機構運動窗口，在Tracking觀測器中將得到參考轉動角度及實際轉動角度的實時對比運動軌跡，如圖8所示。

圖8 演示界面(機構運動窗口及觀測器)

由軌跡圖分析可知，機構在獲取轉動角度的誤差值后，立刻通過Controller系統(tǒng)做出反應，控制器在接收指令后，發(fā)出控制信號，施加驅動力于滑塊B，帶動曲柄OA做出動作，快速并準確地向參考角度靠近，完成軌跡追蹤。仿真結果驗證了本文所設計控制器的可靠性，為基于軌跡追蹤的其他類型控制器開發(fā)提供了一定的支持和參考。

4 結 論

本文提出了一種物理系統(tǒng)控制器的仿真分析方法，能方便、快速、準確地得到機構的運動、動力數(shù)據(jù)，進而完成軌跡追蹤。本文的研究結果可為后續(xù)類似機構的選型、優(yōu)化設計及控制器設計提供一定的參考。