滕漢卿 穆 然

（湖南鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 株洲 412001）

AMB（Active Magnetic Bearing）轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由于其支承電磁軸承具有無磨耗、高精度、高轉(zhuǎn)速等諸多優(yōu)點，受到廣泛關(guān)注與應(yīng)用，季進(jìn)臣等[1]研究了電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中不平衡剛性轉(zhuǎn)子在跌落至保持軸承內(nèi)的非線性動力學(xué)行為；孫保蒼等[2]提出了利用狀態(tài)反饋法控制磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性振動；呂延軍[3]等研究了徑向主動電磁軸承- 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)周期運動的局部穩(wěn)定性和分岔行為；張鋼等[4]研究了5 自由度電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的倍周期運動、擬周期運動和混沌運動現(xiàn)象。

目前對于電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性的研究大部分在單參數(shù)域內(nèi)進(jìn)行，在雙參數(shù)域內(nèi)的非線性特性研究還相對較少，因此，本文在雙參數(shù)域內(nèi)對AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性展開研究，探討剛度系數(shù)對其動力學(xué)行為的影響。

1 動力學(xué)模型

如圖1 所示為系統(tǒng)的力學(xué)模型圖，圖中O 為緩沖環(huán)中心，O'為轉(zhuǎn)子中心，m1為軸頸質(zhì)量，m2為轉(zhuǎn)盤質(zhì)量，δ為緩沖環(huán)間隙，u 為質(zhì)量偏心距，k 為轉(zhuǎn)軸剛度，kf為緩沖環(huán)支撐剛度，c 為轉(zhuǎn)子阻尼，w 為轉(zhuǎn)子角速度，γ 為電磁軸承空氣間隙，結(jié)合力學(xué)分析，則系統(tǒng)的動力學(xué)方程為：

圖1 力學(xué)模型圖

在式（4）～式（6）中，γ 為磁浮軸承空氣間隙，α 為耦合系數(shù)，μ0為磁導(dǎo)率，N 為線圈匝數(shù)，Ag為磁極有效磁通面積，ib為偏置電流，P 為反饋增益比例因數(shù)，D 微分反饋增益因數(shù)，引入以下無量綱量將運動方程無量綱化：

基于以上無量綱量，則轉(zhuǎn)子與緩沖環(huán)間歇碰撞力無量綱化后的形式為：

2 數(shù)值仿真

如圖2 所示為基于基準(zhǔn)參數(shù)下的Ω-K 雙參數(shù)平面圖，從全局來看，隨著剛度系數(shù)的逐漸增加，系統(tǒng)運動特性表現(xiàn)的越來越復(fù)雜，當(dāng)剛度系數(shù)K＜1.0 時，系統(tǒng)運動都處于周期1 運動，隨著剛度系數(shù)的增大，系統(tǒng)響應(yīng)中出現(xiàn)了周期2、周期4、周期6、周期12 等多周期運動共存的舌形島狀區(qū)域，圖2 中大于13 倍周期運動的區(qū)域即為混沌或概周期運動，在此運動區(qū)間內(nèi)存在著不規(guī)則且極窄的周期13 運動帶，當(dāng)剛度系數(shù)取較大值時，在圖2 的右上方區(qū)域出現(xiàn)了小范圍的周期3、周期6 及周期12 運動區(qū)，為進(jìn)一步分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在特定剛度系數(shù)下各周期運動特性的轉(zhuǎn)遷過程，還需結(jié)合單參數(shù)分岔圖、龐加萊截面映射圖等進(jìn)行分析。

圖2 基于基準(zhǔn)參數(shù)的Ω-K雙參數(shù)平面圖

圖3 表示K=2.0 時系統(tǒng)的局部分岔特性及時間與X方向振幅的變化，如圖3（a）所示系統(tǒng)運動在Ω=1.20 處發(fā)生了跳躍現(xiàn)象，對比跳躍點前后的時間歷程圖3（b）與3（c）發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)運動在跳躍點前Ω=1.199 時轉(zhuǎn)子振動幅值大，而在跳躍點后Ω=1.201 處振動幅值明顯變小，這說明跳躍現(xiàn)象的發(fā)生增強(qiáng)了系統(tǒng)1 倍周期運動的穩(wěn)定性。

圖3 系統(tǒng)在K=2.0 時的局部分岔圖及時間歷程圖

如圖4（a）所示，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在Ω=1.311 出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象，后經(jīng)過倍化分岔在Ω=2.018 處由2 倍周期運動演化為概周期運動，隨后概周期運動逐漸過渡到混沌運動；如4（b）所示在Ω∈（2.30～2.37）的范圍內(nèi)在混沌運動中交替出現(xiàn)范圍很小的周期性運動，此時為陣發(fā)性混沌特征，同時在Ω∈（2.40～2.45）的轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)的概周期運動中也出現(xiàn)了周期運動；如圖4（c）所示在Ω∈（3.2～3.6）的轉(zhuǎn)速區(qū)間范圍內(nèi)，系統(tǒng)運動通過逆倍化分岔的形式由4倍周期運動-2 倍周期運動-1 倍周期運動。

圖4 系統(tǒng)在K=3.0 時的分岔圖

如圖5（a）所示，當(dāng)Ω=2.31 時為13 倍周期運動，此時龐加萊截面映射圖表現(xiàn)為13 個離散點，隨著轉(zhuǎn)速增加，如圖5（b）所示為系統(tǒng)運動在Ω=2.33 處混沌運動狀態(tài)時的龐加萊截面映射圖，此時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動不穩(wěn)定。圖5（c）所示當(dāng)Ω=2.41 時系統(tǒng)運動為概周期運動，此時軸心軌跡截面為圖5（c）所示的封閉環(huán)，系統(tǒng)運動為臨界失穩(wěn)狀態(tài)。

圖5 系統(tǒng)在K=3.0 時不同轉(zhuǎn)速下的龐加萊截面映射圖

3 結(jié)論

本文結(jié)合雙參數(shù)平面圖、分岔圖及龐加萊截面映圖等探討了具有緩沖環(huán)的電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在雙參數(shù)域內(nèi)的分岔特性，得出以下結(jié)論：

3.1 在剛度系數(shù)遞增的過程中，周期1 運動轉(zhuǎn)速區(qū)間逐漸減少，而多周期及混沌概周期運動的區(qū)域逐漸增加，同時在混沌運動區(qū)域中出現(xiàn)了面積極小的周期性運動區(qū)域，表明出現(xiàn)了陣發(fā)性混沌現(xiàn)象。

3.2 系統(tǒng)運動在Ω=1.20 的低轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象，這種跳躍現(xiàn)象增強(qiáng)了系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性，系統(tǒng)響應(yīng)在X 方向的振動幅值明顯減小。

3.3 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在穿越臨界轉(zhuǎn)速后以逆倍化分岔的形式進(jìn)入穩(wěn)定的周期1 運動。