潘昌忠， 羅 晶， 李智靖， 熊培銀， 陳 君

(湖南科技大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

傳統(tǒng)工業(yè)機(jī)器人一般采用剛性結(jié)構(gòu)，存在基座笨重、功耗高、 操作空間有限、負(fù)重比低、靈活性差等問題，已經(jīng)難以滿足高精密產(chǎn)品生產(chǎn)和現(xiàn)代化企業(yè)的自動(dòng)化需求[1]。相比而言，柔性臂機(jī)器人采用柔性材料制作的柔性連桿結(jié)構(gòu)，具有質(zhì)量輕、功耗低、工作空間大、負(fù)載自重比高、靈活性好等特點(diǎn)[2]，在航空航天、工業(yè)制造等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景，受到了人們的廣泛關(guān)注[3]。然而，柔性機(jī)械臂是一類高度非線性、強(qiáng)耦合以及時(shí)變的分布參數(shù)系統(tǒng)，它具有無(wú)限個(gè)自由度和有限個(gè)控制輸入，屬于一類欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)[4-6]。有限的控制輸入不僅要實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的控制目標(biāo)，而且還要抑制柔性連桿由于運(yùn)動(dòng)而引起的彈性振動(dòng)，否則將嚴(yán)重影響機(jī)械臂的定位精度和操作效率[7]，而且在外太空等空氣阻尼微弱的環(huán)境中，這種彈性振動(dòng)很難自行消失[8]。因此對(duì)柔性機(jī)械臂進(jìn)行振動(dòng)抑制與穩(wěn)定控制是機(jī)器人研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)難題。

關(guān)于柔性機(jī)械臂的振動(dòng)抑制問題，Zhang 等[9]提出了一種基于觀測(cè)器的邊界控制方法，實(shí)現(xiàn)了柔性機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制。吳忻生等[10]使用偏微分方程表示的分布參數(shù)模型描述柔性機(jī)械臂的動(dòng)態(tài)特性，在末端邊界基于李雅普諾夫直接法進(jìn)行控制，降低了機(jī)械臂的彈性振動(dòng)。Liu 等[11]針對(duì)具有輸入擾動(dòng)和輸出約束的柔性機(jī)械臂，利用李雅普諾夫直接法，設(shè)計(jì)了帶有干擾觀測(cè)器的邊界控制器，在調(diào)節(jié)角度位置的同時(shí)抑制彈性振動(dòng)。然而，這些控制方法除在關(guān)節(jié)處需要控制輸入外，在末端負(fù)載處也需要額外的控制輸入。

為了實(shí)現(xiàn)柔性機(jī)械臂僅在關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器作用下的穩(wěn)定和振動(dòng)抑制控制目標(biāo)，楊春雨等[12]根據(jù)奇異攝動(dòng)理論將模型分解為描述剛體運(yùn)動(dòng)的慢時(shí)間尺度模型和描述柔性變形的快時(shí)間尺度模型，通過測(cè)量機(jī)械臂彈性振動(dòng)，提出了一種雙時(shí)間尺度組合控制器。張曉宇等[13]在柔性機(jī)械臂兩側(cè)粘貼壓電傳感器和壓電致動(dòng)器，提出一種基于H∞優(yōu)化的抗擾控制算法。王海等[14]構(gòu)建了基于壓電陶瓷材料的柔性機(jī)械臂的主動(dòng)抑振理論模型，設(shè)計(jì)了一個(gè)可變控制方案的抑振器。婁軍強(qiáng)等針對(duì)伺服電動(dòng)機(jī)、諧波齒輪減速器、柔性臂及壓電致動(dòng)器組成的智能柔性機(jī)械臂系統(tǒng)，提出了一種基于PD控制與模糊控制的復(fù)合控制策略。這些控制方法雖然獲得了良好的振動(dòng)抑制效果，但是需要傳感器測(cè)量柔性臂的角位移，而且需要附加壓電傳感器檢測(cè)柔性振動(dòng)，不僅增加了系統(tǒng)的設(shè)計(jì)成本，而且使系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜。Meng 等[15]等利用模糊遺傳算法的在線優(yōu)化能力，提出了一種基于系統(tǒng)能量的智能優(yōu)化穩(wěn)定控制策略，實(shí)現(xiàn)了柔性機(jī)械臂的快速穩(wěn)定控制。Schnelle 等[16]通過反饋線性化將非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化為線性系統(tǒng)，提出了一種自適應(yīng)模型預(yù)測(cè)軌跡跟蹤控制方法。但是，這些控制方法依賴于系統(tǒng)精確的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)柔性機(jī)械臂存在參數(shù)攝動(dòng)、未建模動(dòng)態(tài)及外部干擾等不確定性因素時(shí)，控制系統(tǒng)的魯棒性將難以保證。

針對(duì)以上問題，本文以平面單連桿柔性機(jī)械臂(planar single-link flexible manipulator，PSLFM)為研究對(duì)象，提出一種基于粒子群優(yōu)化 (particle swarm optimization，PSO) 算法的軌跡優(yōu)化與自抗擾振動(dòng)抑制控制方法，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人末端執(zhí)行器在任意目標(biāo)位置的穩(wěn)定控制目標(biāo)。首先，基于假設(shè)模態(tài)法和歐拉-拉格朗日公式建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，通過分析該模型的欠驅(qū)動(dòng)特性獲得驅(qū)動(dòng)變量與欠驅(qū)動(dòng)變量之間的狀態(tài)約束方程。其次，考慮狀態(tài)約束關(guān)系的影響，利用雙向軌跡規(guī)劃方法，為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)規(guī)劃一條從初始位置到中間位置的前向軌跡和一條從目標(biāo)位置到中間位置的反向軌跡，并通過粒子群算法對(duì)軌跡參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，確保兩條軌跡平滑地拼合成一條軌跡，從而為系統(tǒng)規(guī)劃出一條從初始位置到目標(biāo)位置的期望軌跡，將系統(tǒng)的位置控制與振動(dòng)抑制問題就轉(zhuǎn)化為軌跡跟蹤控制問題。然后，引入線性自抗擾控制(active disturbance rejection control，ADRC)技術(shù)，把機(jī)械臂的模型參數(shù)攝動(dòng)、未建模動(dòng)態(tài)及外界干擾等不確定性因素看作一個(gè)新的擴(kuò)張狀態(tài)變量，設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器和基于狀態(tài)誤差的反饋控制器使系統(tǒng)沿期望軌跡到達(dá)目標(biāo)狀態(tài)。最后，通過仿真與對(duì)比試驗(yàn)，說明所提方法的有效性和優(yōu)越性。

本文通過把基于PSO的抑振軌跡規(guī)劃技術(shù)與自抗擾控制技術(shù)相結(jié)合，提出一種基于軌跡規(guī)劃的前饋控制和自抗擾反饋控制的復(fù)合控制策略。與其他方法相比，該控制策略具有以下三個(gè)優(yōu)點(diǎn)：

(1) 不需要額外控制輸入，僅使用關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器，同時(shí)實(shí)現(xiàn)PSLFM的關(guān)節(jié)穩(wěn)定控制與彈性振動(dòng)抑制；

(2) 不使用速度傳感器，也不需要檢測(cè)振動(dòng)的壓電傳感器，所設(shè)計(jì)的控制器僅需要測(cè)量角位移的傳感器；

(3) 不依賴精確的數(shù)學(xué)模型，所設(shè)計(jì)的自抗擾控制器能夠保證系統(tǒng)存在不確定性情況下的魯棒性。

1 PSLFM的建模和問題描述

假設(shè)模態(tài)法建立的方程計(jì)算效率高，便于數(shù)值仿真及實(shí)時(shí)控制，是柔性機(jī)械臂研究中的主流方法[17-18]。本章先采用假設(shè)模態(tài)法與歐拉-拉格朗日公式建立平面單連桿柔性機(jī)械臂的數(shù)學(xué)模型，然后對(duì)模型的欠驅(qū)動(dòng)特性進(jìn)行分析，進(jìn)而提出本文的控制目標(biāo)。

1.1 動(dòng)力學(xué)建模

PSLFM的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示，其物理參數(shù)如表1所示。圖1中：XOY為慣性坐標(biāo)；X′OY′為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)；R為柔性臂上任意點(diǎn)相對(duì)于慣性坐標(biāo)的位置。

圖1 PSLFM 的結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Structure model of PSLFM

表1 PSLFM 的物理參數(shù)

假設(shè)該柔性連桿為Euler-Bernoulli臂，并且由于它被限制在水平方向上移動(dòng)平面上，重力的影響被忽略，那么連桿滿足梁的無(wú)阻尼彎曲自由振動(dòng)微分方程

(1)

其中彈性撓度w(x,t)表達(dá)為

(2)

式中：pi(t)為第i個(gè)時(shí)間相關(guān)的廣義坐標(biāo)，也稱為模態(tài)坐標(biāo)；φi(x)為第i個(gè)與空間有關(guān)的模態(tài)函數(shù)

ai[sinh(λix)-sin(λix)]}

(3)

(4)

式中，λi為滿足如下特征方程的第i個(gè)正解

(5)

在實(shí)際中，忽略高階模態(tài)對(duì)系統(tǒng)的影響，取前n個(gè)模態(tài)，那么將式(2)重寫為

(6)

一般來說，n越大對(duì)系統(tǒng)的描述越精確。若模態(tài)p1,p2,…,pn都收斂到零，彈性撓度w(x,t)也收斂到零，此時(shí)系統(tǒng)將無(wú)殘余振動(dòng)。

根據(jù)圖1的幾何關(guān)系，位置向量R可以表示為

(7)

系統(tǒng)的動(dòng)能為

(8)

系統(tǒng)的彈性勢(shì)能為

(9)

式中，ki為系統(tǒng)的彈性系數(shù)，可以表示為

(10)

令p=[p1,p2,…,pn]T，θ=[q,pT]T，取歐拉-拉格朗日函數(shù)為L(zhǎng)=T-D，根據(jù)歐拉-拉格朗日方程

(11)

可獲得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

(12)

(13)

矩陣M(θ)可以表示為

(14)

式中，矩陣Mqp，Mpp的具體形式為

(15)

式中，σi,ηij,(i,j=1,2,…,n)的表達(dá)式分別為

(16)

矩陣Mqq可以表示為

(17)

1.2 問題描述

可以看到，PSLFM建模過程非常復(fù)雜，其彈性模態(tài)坐標(biāo)具有無(wú)窮維空間，是一類強(qiáng)耦合非線性的分布參數(shù)系統(tǒng)，要獲得系統(tǒng)精確的數(shù)學(xué)描述非常困難。另外，從式(12)建立的動(dòng)力學(xué)方程可知，系統(tǒng)有n+1個(gè)自由度，但只有一個(gè)控制輸入，是高度欠驅(qū)動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)，其中：q為驅(qū)動(dòng)變量；p為欠驅(qū)動(dòng)變量，它們之間存在強(qiáng)耦合的非線性狀態(tài)約束關(guān)系

(18)

因此，要實(shí)現(xiàn)PSLFM的穩(wěn)定控制與振動(dòng)抑制，就應(yīng)該考慮式(18)的非線性狀態(tài)約束關(guān)系的影響，通過控制驅(qū)動(dòng)變量q來間接控制欠驅(qū)動(dòng)變量p，實(shí)現(xiàn)q到達(dá)并穩(wěn)定在期望角度qd的同時(shí)保證欠驅(qū)動(dòng)變量p收斂到零。

本文的控制目標(biāo)表述為：對(duì)于由式(12)描述的PSLFM，當(dāng)系統(tǒng)模型不精確時(shí)，考慮式(18)的非線性狀態(tài)約束關(guān)系的影響，設(shè)計(jì)控制律τ使得機(jī)械臂驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)到達(dá)目標(biāo)角度時(shí)，柔性連桿的彈性振動(dòng)同時(shí)得到抑制，即：q→qd，p→0，實(shí)現(xiàn)末端執(zhí)行器從任意初始位置到目標(biāo)位置的精確穩(wěn)定控制。

2 振動(dòng)抑制軌跡規(guī)劃

為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的位置控制目標(biāo)，本章首先為驅(qū)動(dòng)變量q規(guī)劃規(guī)劃一條從初始位置到中間位置的前向軌跡和一條從目標(biāo)位置到中間位置的反向軌跡；然后，采用粒子群算法對(duì)軌跡參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，確保兩條軌跡平滑地拼合成一條完整的期望軌跡。

2.1 雙向軌跡設(shè)計(jì)

由于欠驅(qū)動(dòng)變量的存在，直接規(guī)劃系統(tǒng)從初始狀態(tài)q0到目標(biāo)狀態(tài)qd的平滑軌跡是困難的。本文使用一種雙向軌跡規(guī)劃的方法，它是一種計(jì)算簡(jiǎn)單、操作方便而且效果較好的振動(dòng)抑制方法。通過選擇中間角度qm為驅(qū)動(dòng)變量q規(guī)劃一條前向軌跡和一條反向軌跡。

根據(jù)系統(tǒng)的無(wú)殘余振動(dòng)位置控制目標(biāo)，待規(guī)劃的期望軌跡應(yīng)該滿足兩個(gè)邊界條件，當(dāng)系統(tǒng)處于初始狀態(tài)時(shí)，應(yīng)該滿足

(19)

當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)目標(biāo)狀態(tài)時(shí)，應(yīng)該滿足

(20)

因此，給定前向軌跡參數(shù)ka，從初始角度q0到中間角度qm的前向軌跡Γ1設(shè)計(jì)為

(21)

式中：sf=qm-q0；0≤t<1/ka。

給定反向軌跡參數(shù)kb，從目標(biāo)角度qd到中間角度qm的反向軌跡Γ2設(shè)計(jì)為

(22)

式中：sr=qm-qd；tr=1/kb-t，且0≤tr≤1/kb。

從式(21)與式(22)中還可以看到，qm，ka和kb是軌跡規(guī)劃中非常重要的一組參數(shù)，這三個(gè)參數(shù)的取值將影響機(jī)械臂的跟蹤效果，因此為獲得更好的跟蹤效果，還需要求解出一組最優(yōu)的參數(shù)值。

2.2 基于PSO的軌跡優(yōu)化

與遺傳算法等其他優(yōu)化技術(shù)相比，PSO算法[19]的計(jì)算成本更低，需要調(diào)整的參數(shù)更少。因此，本文采用PSO算法對(duì)qm,ka和kb進(jìn)行智能優(yōu)化，以確保兩條軌跡平滑地拼合成一條完整的期望軌跡，從而將系統(tǒng)的位置控制與振動(dòng)抑制問題就轉(zhuǎn)化為軌跡跟蹤控制問題。

(23)

當(dāng)軌跡Γ2到達(dá)中間角度qm時(shí)，把式(22)代入式(18)中進(jìn)行數(shù)值求解得到相應(yīng)的中間位置，記作

(24)

(25)

式中：si=[qm,ka,kb]為第i個(gè)粒子的的位置；vi為粒子的速度；Pi為第i個(gè)粒子的個(gè)體歷史最優(yōu)位置；Gt為群體歷史最優(yōu)位置；N為粒子群的大?。籏max為最大迭代次數(shù)；w為慣性因子；c1,c2為加速常數(shù)；vmax，vmin為速度的上下邊；smax，smin為位置的上下邊界；r1，r2為在[0,1]當(dāng)中的隨機(jī)值。

PSO求解算法步驟如下：

算法1：期望軌跡的PSO求解算法

輸出：參數(shù)qm,ka,kb或最優(yōu)解Gt

初始化：設(shè)置參數(shù)N,Kmax,hmin,w,c1,c2,vmax,vmin, 隨機(jī)初始化粒子群s(0)和初始速度v(0)，更新相應(yīng)個(gè)體最佳位置Pt和群體最佳位置Gt。

whileKhmin

fori=1toN

forj=1to3

vi.j(K+1)=wvi,j(K)+c1r1[Pt-si,j(K)]+

c2r2[Gt-si,j(K)]

ifvi,j(K+1)≥vmaxthen

vi,j(K+1)=vmax;

ifvi,j(K+1)≤vminthen

vi,j(K+1)=vmin;

ifh(si)

Pt=si(K+1);

ifh(si)

Gt=si(K+1);

K=K+1。

3 自抗擾軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

自抗擾控制是在傳統(tǒng)PID和現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)上提出的一種不依賴系統(tǒng)模型的控制方法[20]。這種方法在解決非線性和建模不精確的系統(tǒng)等控制問題方面具有廣闊的應(yīng)用背景[21]。因此，本章設(shè)計(jì)自抗擾軌跡跟蹤控制器以實(shí)現(xiàn)PSLFM在模型精確時(shí)對(duì)規(guī)劃軌跡進(jìn)行精確跟蹤?；谧钥箶_控制技術(shù)的PSLFM軌跡跟蹤控制結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

3.1 狀態(tài)誤差反饋控制器

考慮式(18)中的非線性約束關(guān)系，可以通過控制驅(qū)動(dòng)變量q來間接控制欠驅(qū)動(dòng)變量p。由式(18)得

(26)

代入式(12)可以得到一個(gè)驅(qū)動(dòng)變量子系統(tǒng)

(27)

圖2 基于PSO和ADRC的PSLFM軌跡規(guī)劃與跟蹤控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Structure diagram of trajectory planning and tracking control of PSLFM based on PSO and ADRC

為了建立驅(qū)動(dòng)變量子系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，把機(jī)器人的模型非線性項(xiàng)、耦合項(xiàng)歸結(jié)為系統(tǒng)的總擾動(dòng)項(xiàng)f，其表達(dá)式為

(28)

(29)

當(dāng)狀態(tài)變量x為已知信息時(shí)，為了使式(29)穩(wěn)定并補(bǔ)償總擾動(dòng)f的影響，SEF可以設(shè)計(jì)為

(30)

根據(jù)式(29)，驅(qū)動(dòng)變量子系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

(31)

其中，

(32)

由式(31)可知，把A-KcE的極點(diǎn)配置在左半平面即可保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了簡(jiǎn)化參數(shù)調(diào)整過程，可以把極點(diǎn)配置在同一位置，例如

(33)

式中，ωc為控制器帶寬。

3.2 線性擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器

控制律式(30)不僅需要系統(tǒng)的全狀態(tài)反饋信息，而且還依賴于非線性項(xiàng)f，當(dāng)狀態(tài)反饋信息與非線性項(xiàng)的精確模型不完全可知時(shí)，式(30)設(shè)計(jì)的控制律便難以應(yīng)用。為此，本節(jié)設(shè)計(jì)LESO用于對(duì)狀態(tài)x和非線性項(xiàng)f進(jìn)行實(shí)時(shí)觀測(cè)，以獲得它們的準(zhǔn)確估計(jì)值。

由式(28)可知，總擾動(dòng)f中包含高度非線性項(xiàng)、強(qiáng)耦合項(xiàng)。把f看作新的狀態(tài)變量，并對(duì)它進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，取擴(kuò)展后的狀態(tài)變量xe=[x,f]T，擴(kuò)展后的系統(tǒng)可以寫作

(34)

式中：Cm=[1,0,0]；ym為可測(cè)量的輸出。

(35)

(36)

式中：I5為5×5的單位矩陣；Lo為觀測(cè)器增益矩陣。選取合適的Lo可以保證LESO能獲得準(zhǔn)確的觀測(cè)值。

根據(jù)式(34)，把Ae-LoCe的極點(diǎn)配置在左半平面，即可保證LESO的觀測(cè)誤差趨近于零。為了簡(jiǎn)化參數(shù)調(diào)整過程，可以把極點(diǎn)配置在同一位置，例如

(37)

式中，ωo為觀測(cè)器帶寬。

(38)

注1：式(33)和式(37)中的帶寬參數(shù)ωo與ωc的取值對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、魯棒性等具有重要的影響[22]。它們的優(yōu)化思路為：調(diào)試出合適初值ωo，選擇ωc使ωo≈(3～5)ωc；緩慢增加ωo與ωc，直到出現(xiàn)噪聲或者震蕩；然后分別增加或者減小ωo與ωc，使其滿足系統(tǒng)指標(biāo)要求。

注2：當(dāng)PSLFM受到參數(shù)攝動(dòng)以及輸入干擾d等不確定性因素的影響時(shí)，總擾動(dòng)項(xiàng)f中將引入新的非線性項(xiàng)，使f的表達(dá)式更加復(fù)雜，即式(28)改寫為

(39)

3.3 閉環(huán)穩(wěn)定性

(40)

式中，Ao=Ae-LoCe。

令控制器誤差ec=xd-x，則SEF中的誤差動(dòng)態(tài)可以描述為

(41)

式中，Ac=A-EKc。

聯(lián)立兩式得

(42)

由式(42)可知，誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的特征值是Ac和Ao的特征值，只要將控制器和觀測(cè)器的極點(diǎn)配置左半平面，就可以確保誤差動(dòng)態(tài)的收斂性。假設(shè)總擾動(dòng)f是有界的，存在線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器以及合適的控制器參數(shù)使閉環(huán)系統(tǒng)是有界輸入輸出有界穩(wěn)定的[24]。

4 仿真結(jié)果與分析

在本章中，使用MATLAB/Simulink工具搭建仿真平臺(tái)，通過對(duì)比仿真驗(yàn)證所提方法的有效性與優(yōu)越性。

PSLFM的模型參數(shù)選取為：m=0.2，ρA=1，l=1，EI=3，Ih=0.04。考慮到系統(tǒng)模型的準(zhǔn)確性和計(jì)算的難度，系統(tǒng)的彈性模態(tài)數(shù)取n=2。PSLFM的初始位置為x=0,y=0和目標(biāo)位置x=0.877 6,y=0.479 4，相對(duì)應(yīng)的初始角度為q0=0，目標(biāo)角度為qd=0.5。PSO優(yōu)化算法中各參數(shù)值為N=100，hmin=0.01，w=0.6，c1=2，c2=2，vmax=2，vnin=-3；ADRC控制器的帶寬參數(shù)值為wc=150，wo=600。

圖3 對(duì)比的仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of comparison

從圖3(a)和圖3(b)可以看到，在軌跡規(guī)劃器和跟蹤控制器的作用下，本文所提方法的穩(wěn)定時(shí)間約為1.5 s，超調(diào)量幾乎為零；而Meng等的FGAC方法超調(diào)量約為5%，穩(wěn)定時(shí)間約在3.5 s。從圖3(c)還可以看到，兩種控制方法的彈性擾度都收斂到零的附近，都實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)抑制，但是本文方法更快速地實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)抑制。從圖3(d)可以看到，控制力矩都在±1.5 N·s之間。因此本文所提方法可以降低超調(diào)量，使系統(tǒng)具有更好的快速性。圖4(a)是f的觀測(cè)值與實(shí)際值的變化曲線，圖4(b)是觀測(cè)誤差ef的變化曲線。從圖4可以看到，本文所設(shè)計(jì)的LESO實(shí)現(xiàn)了對(duì)非線性不確定項(xiàng)f的快速準(zhǔn)確的估計(jì)。

圖4 f的觀測(cè)值與實(shí)際值Fig.4 The observation and the actual values of f

從圖5(a)和圖5(b)可以看到，系統(tǒng)末端點(diǎn)從初始角度運(yùn)動(dòng)到并穩(wěn)定在目標(biāo)角度，穩(wěn)態(tài)誤差與軌跡跟蹤誤差都很小。圖5(c)顯示連桿末端的殘余振動(dòng)逐漸收斂到零。即使系統(tǒng)同時(shí)受到參數(shù)攝動(dòng)與外部擾動(dòng)的影響，控制器也能成功抑制住柔性連桿的殘余振動(dòng)，實(shí)現(xiàn)了末端點(diǎn)的位置控制。圖5的仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提方法對(duì)輸入干擾與參數(shù)攝動(dòng)具有較好的魯棒性。

圖5 受不確定性影響下的仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results under the influences of uncertainties

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于PSO軌跡優(yōu)化與自抗擾控制的平面欠驅(qū)動(dòng)柔性機(jī)械臂振動(dòng)抑制位置控制方法。該方法通過模型的欠驅(qū)動(dòng)特性分析，得到了驅(qū)動(dòng)變量與欠驅(qū)動(dòng)變量的約束關(guān)系，并基于該關(guān)系，通過雙向軌跡規(guī)劃及PSO智能優(yōu)化算法獲得了驅(qū)動(dòng)變量的最佳運(yùn)動(dòng)軌跡，使系統(tǒng)沿該軌跡到達(dá)目標(biāo)位置的同時(shí)彈性振動(dòng)得到抑制?；谧詳_擾控制技術(shù)設(shè)計(jì)了擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器與狀態(tài)誤差反饋控制律，實(shí)現(xiàn)了對(duì)最佳運(yùn)動(dòng)軌跡的精確跟蹤控制。仿真與對(duì)比結(jié)果表明，所提控制方法具有超調(diào)量小、響應(yīng)速度快、參數(shù)整定方便等優(yōu)點(diǎn)，并且對(duì)輸入干擾和參數(shù)攝動(dòng)具有較好的魯棒性。

值得說明的是，本文的軌跡優(yōu)化是在欠驅(qū)動(dòng)變量標(biāo)稱模型下開展的，即忽略了式(18)中的不確定性；而且ADRC控制器設(shè)計(jì)也僅考慮了驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量的不確定性因素。對(duì)于欠驅(qū)動(dòng)變量模型存在不確性的情況，可以借鑒文獻(xiàn)[25]提出的在線迭代優(yōu)化算法，以對(duì)參數(shù)攝動(dòng)及擾動(dòng)等造成的角度偏差進(jìn)行在線修正。此外，搭建實(shí)物平臺(tái)以驗(yàn)證方法的實(shí)用性，這些將是下一步要開展的重點(diǎn)研究工作。