馬 敏， 于 潔， 范文茹

(中國民航大學(xué) 電子信息與自動(dòng)化學(xué)院, 天津 300300)

碳纖維復(fù)合材料作為一種新型復(fù)合材料，具有高比強(qiáng)度、高比模量及穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域[1-2]。碳纖維復(fù)合材料結(jié)構(gòu)復(fù)雜，由于其導(dǎo)電性存在各向異性的特點(diǎn)[3]，常用的鋪設(shè)方式有[0°/90°]和[0°/45°/90°]。碳纖維復(fù)合材料在生產(chǎn)制造和使用過程中可能造成結(jié)構(gòu)損傷，損傷可能出現(xiàn)在材料的表面或者內(nèi)部，一旦出現(xiàn)損傷對(duì)于工業(yè)應(yīng)用來講可能是致命的[4]。因此，對(duì)碳纖維復(fù)合材料進(jìn)行有效的損傷檢測(cè)十分必要。隨著碳纖維復(fù)合材料的廣泛使用已經(jīng)出現(xiàn)了很多檢測(cè)方法。其中，電阻抗層析成像技術(shù)以其無創(chuàng)性、可視化、無輻射、操作簡(jiǎn)單、成本低等優(yōu)點(diǎn)已被廣泛研究應(yīng)用[5]。電阻抗層析成像(electrical impedance tomography，EIT)檢測(cè)通過在被測(cè)區(qū)域周圍施加電流激勵(lì)獲取測(cè)量電壓信號(hào)，計(jì)算電導(dǎo)率分布情況，進(jìn)而反演出被測(cè)區(qū)域圖像[6]。但是，EIT逆問題求解具有病態(tài)性和不適定性，重建算法的好壞一定程度上決定了圖像重建質(zhì)量。常用的逆問題的求解算法包括線性投影法[7]、Tikhonov正則化算法[8]和Landweber算法[9]等。它們適用于簡(jiǎn)單損傷的檢測(cè)，但在復(fù)雜損傷檢測(cè)中會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的電極偽影且其重建時(shí)間一般較長(zhǎng)。

為了有效提高重建質(zhì)量，改進(jìn)重建算法是相當(dāng)重要的。基于L2范數(shù)作為凸優(yōu)化的算法因其計(jì)算簡(jiǎn)單、求解穩(wěn)定被廣泛采用，但其過于平滑沒有產(chǎn)生更多稀疏的解，使圖像分辨能力較差[10]。而L0范數(shù)可以克服L2范數(shù)正則化的缺點(diǎn)，增強(qiáng)成像目標(biāo)的稀疏性，但L0范數(shù)的求解屬于NP-hard問題[11]。在求解EIT逆問題時(shí)，采用L0范數(shù)的替代模型近似求解稀疏重建算法受到廣泛應(yīng)用[12-13]。Lp偽范數(shù)模型[14]通過增加一個(gè)自由度可以更好地逼近真實(shí)解L0，增強(qiáng)解的稀疏性的同時(shí)，也可以更好地呈現(xiàn)圖像的局部信息，提高算法地抗噪聲能力。此外，近年來，低秩矩陣約束在圖像重建領(lǐng)域也受到了廣泛關(guān)注與應(yīng)用。核范數(shù)[15]一直被用于解決低秩問題。由于EIT重建圖像呈現(xiàn)出低秩特征，若有效利用先驗(yàn)信息用于圖像重建過程將有益于提高重建精度[16]。

目標(biāo)函數(shù)一旦構(gòu)建，選擇合適的求解器進(jìn)行求解也格外重要。分裂布雷格曼方法[17-18]已被廣泛應(yīng)用于求解L1范數(shù)的凸優(yōu)化問題，它將目標(biāo)函數(shù)分裂成幾個(gè)子問題進(jìn)行求解，在取得良好的重建效果的同時(shí)，進(jìn)而縮短重建時(shí)間。

綜上，本文提出的改進(jìn)低秩稀疏正則化算法主要進(jìn)行了三點(diǎn)優(yōu)化：

(1)引入Lp偽范數(shù)模型，獲得更逼近L0范數(shù)模型稀疏解，有效提高圖像重建質(zhì)量同時(shí)增強(qiáng)算法的魯棒性；

(2)引入核范數(shù)作為低秩約束項(xiàng)，有效利用圖像重建過程中的先驗(yàn)信息以提高圖像重建的分辨率；

(3)利用分裂布雷格曼方法對(duì)泛函進(jìn)行求解，增強(qiáng)算法的實(shí)時(shí)性。

1 CFRP損傷基于EIT重建原理及傳統(tǒng)算法

1.1 CFRP層壓板電學(xué)性質(zhì)

CFRP復(fù)合材料是由導(dǎo)電碳纖維和絕緣樹脂聚合物復(fù)合而成。由于碳纖維是導(dǎo)電材料，并且碳纖維的纖維方向的電導(dǎo)率較高，纖維方向的垂直方向和層壓板的厚度方向的電導(dǎo)率較低，以致CFRP的導(dǎo)電性具有各向異性的特點(diǎn)。因此，CFRP層壓板通常被簡(jiǎn)化為多層疊加的均質(zhì)連續(xù)各向異性材料[19]，電導(dǎo)率張量Σ為

(1)

式中：σ11為纖維方向電導(dǎo)率；σ22為纖維方向的垂直方向電導(dǎo)率；σ33為材料板厚度方向的電導(dǎo)率。

圖1 CFRP 層壓板模型Fig.1 The model of CFRP

1.2 EIT圖像重建原理

EIT圖像重建是通過激勵(lì)電流I和邊界測(cè)量電壓V反演場(chǎng)域內(nèi)部電導(dǎo)率σ的分布情況[20]。 EIT圖像重建過程如圖2所示。

圖2 EIT圖像重建過程Fig.2 EIT image reconstruction process

電導(dǎo)率分布通過建模和有限元離散化對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)EIT測(cè)量值可表示為

V=U(σ;I)=R(σ)I

(2)

式中：U(·)為σ和I～V映射的正演模型；R(σ)為σ到電阻的映射模型。

在電導(dǎo)率σ變化很小的情況下，通過線性化方程組的方法可以來精確地求解EIT逆問題。

δU=U′(σ0)=Jδσ

(3)

式中： δU∈Rm×1(m為獨(dú)立電壓測(cè)量值個(gè)數(shù))為材料損傷前后電壓測(cè)量差值；δσ∈Rn×1(n為重建圖像中的像素?cái)?shù))為電導(dǎo)率張量模值變化量的分布矩陣；J∈Rm×n為Jacobian矩陣。

1.3 EIT傳統(tǒng)算法

1.3.1 Tikhonov正則化算法

Tikhonov正則化算法根據(jù)最小二乘法和平滑準(zhǔn)則將EIT的不適定逆問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問題。

(4)

式中：L為正則化算子，通常選為單位矩陣I；λ為正則化系數(shù)。

由此，可獲得Tikhonov正則化算法的解為

x=(JδTJδ+λI)-1JδTδU

(5)

1.3.2 稀疏正則化算法

為了增強(qiáng)解的稀疏性，L1范數(shù)作為解的懲罰項(xiàng)被廣泛應(yīng)用于EIT圖像重建。

(6)

傳統(tǒng)L1算法是應(yīng)用稀疏正則化(SpaRSA)方法[21]求解式(6)得出如下解估計(jì)值序列

(7)

(8)

式中，α為迭代步長(zhǎng)，采用自適應(yīng)譜分析法[22]更新。

根據(jù)split Bregman方法求解式(6)，可得如下迭代方案

(9)

2 改進(jìn)低秩稀疏正則化算法

受電極數(shù)量、位置和“軟場(chǎng)”效應(yīng)的影響，EIT逆問題求解是一個(gè)欠定、病態(tài)問題。正則化方法是處理不適定問題的一個(gè)常用方法，它通常由兩個(gè)部分組成，即解的精確測(cè)度和穩(wěn)定泛函，即懲罰項(xiàng)。目前，L1范數(shù)作為懲罰項(xiàng)來刻畫解的稀疏性被廣泛應(yīng)用，但L1正則化與真實(shí)的稀疏解仍有很大差距，在復(fù)雜損傷模型中，難以取得令人滿意的成像結(jié)果。

近年來，低秩正則化在圖像重建領(lǐng)域受到了廣泛關(guān)注，通過利用成像目標(biāo)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的低秩特性以提高重建質(zhì)量。但是，當(dāng)僅考慮低秩特征時(shí)，重建結(jié)果仍欠佳。因此，本文采用低秩正則化和稀疏正則化的有效結(jié)合方式，以提高重建質(zhì)量。首先引入Lp偽范數(shù)，通過增加一個(gè)自由度來增強(qiáng)重構(gòu)目標(biāo)解的稀疏性，更好的刻畫圖像的局部信息，其次，引入核范數(shù)作為低秩正則化項(xiàng)，通過描述重建對(duì)象的多個(gè)特征的先驗(yàn)信息來提高重建精度，最后，引入分裂布雷格曼方法對(duì)新的目標(biāo)泛函進(jìn)行求解，通過將目標(biāo)泛函分裂成多個(gè)子問題來提高成像質(zhì)量和縮短成像時(shí)間。

利用分裂布雷格曼方法求解稀疏正則化問題的EIT重建過程可被描述為

s.t.d1=δσ,d2=X

(10)

式(4)可依據(jù)分裂布雷格曼方法分裂成如下幾個(gè)簡(jiǎn)單問題

(11)

(12)

(13)

分裂布雷格曼算法的好壞主要取決于分裂出來的幾個(gè)子問題的求解算法的優(yōu)劣。對(duì)于以上三個(gè)子問題，采用簡(jiǎn)單的梯度下降法求解式(11)，式(12)是標(biāo)準(zhǔn)核范數(shù)最小化問題，應(yīng)用奇異值閾值迭代方法進(jìn)行求解，根據(jù)Lp偽范數(shù)收縮算子來更新式(13)。

(14)

(15)

(16)

表1 改進(jìn)低秩稀疏正則化算法

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

仿真使用COMSOL5.4軟件建立八層各向異性 CFRP 層壓板模型，根據(jù)CFRP材料的常見損傷，構(gòu)建三類損傷類型模型：沖擊損傷模型、分層損傷模型、裂紋損傷模型。所構(gòu)建的損傷模型如圖3所示。模型a是一個(gè)單沖擊損傷，損傷為一個(gè)半徑為5 mm、高度為3.2 mm的圓柱體，位于層壓板中心；模型b是一個(gè)三沖擊損傷，三個(gè)損傷均為半徑為5 mm、高度為3.2 mm的圓柱體；模型c是一個(gè)單分層損傷，損傷為一個(gè)半徑為5 mm，高度為0.8 mm的圓柱體，位于層壓板中心；模型d是一個(gè)雙分層損傷，左側(cè)損傷為一個(gè)半徑為8 mm，高1.2 mm的圓柱體，右側(cè)損傷為一個(gè)半徑為6 mm，高1.2 mm的圓柱體；模型e為一個(gè)裂紋損傷，損傷是一個(gè)長(zhǎng)35 mm，寬1 mm，高3.3 mm的長(zhǎng)方體，位于板材中心斜左45°的位置。

圖3 層壓板損傷模型(mm)Fig.3 The models of CFRP laminates(mm)

每個(gè)電極為一個(gè)半徑1.5 mm，高10 mm的銅質(zhì)圓柱，嵌入在CFRP層壓板四周，電流激勵(lì)大小為4 500 A/m2。

選取Tikhonov正則化算法、L1正則化算法、分裂布雷格曼算法和改進(jìn)低秩稀疏正則化算法分別對(duì)損傷圖像重建并進(jìn)行對(duì)比分析。根據(jù)對(duì)不同算法的成像效果以及評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行比較分析。評(píng)價(jià)指標(biāo)為圖像的相關(guān)系數(shù)(correlation coefficient， CC)[23-24]和損傷面積誤差估計(jì)Serror[25]。CC值越接近于1，表示重建圖像與真實(shí)圖像的誤差越小，相關(guān)程度越大，重建質(zhì)量越高。損傷面積誤差估計(jì)采用Canny算子和最小二乘橢圓擬合出重建圖像的損傷面積大小與真實(shí)模型損傷面積大小相比較得出，以更好比較說明重建損傷和真實(shí)損傷大小的相似程度。

(17)

(18)

式中：S′為圖像重建損傷面積大?。籗為真實(shí)損傷面積大小。

3.1 無噪聲仿真試驗(yàn)

對(duì)理想測(cè)量狀態(tài)進(jìn)行仿真，可驗(yàn)證算法在求解EIT逆問題中的有效性。此時(shí)，EIT系統(tǒng)所獲取的電壓測(cè)量值中不含噪聲。CFRP材料損傷重建效果對(duì)比如圖4所示， CFRP材料損傷重建相關(guān)系數(shù)對(duì)比如圖5所示。CFRP材料損傷面積誤差估計(jì)對(duì)比如表2所示。

圖4 無噪聲下不同算法CFRP材料損傷重建圖像對(duì)比Fig.4 Comparison of damage reconstruction images of CFRP with different algorithms without noise

表2 CFRP材料損傷面積誤差估計(jì)對(duì)比

由圖4可知，Tikhonov算法能基本確定并顯示出損傷的大體位置，但不能準(zhǔn)確還原損傷的位置和大小，重建圖像邊緣受電極的影響嚴(yán)重，所成偽影發(fā)生嚴(yán)重粘連現(xiàn)象。L1正則化算法所成圖像能較清楚地顯示損傷的具體位置但不能準(zhǔn)確反映其大小，偽影得到了明顯改善，但在三沖擊損傷、雙分層損傷中存在嚴(yán)重的電極偽影，分裂布雷格曼算法比Tikhonov算法、L1正則化算法更有效地減弱了電極的影響，而且能夠準(zhǔn)確還原損傷的位置和大小，但仍存在所成損傷輪廓不清晰、圖像邊緣電極偽影嚴(yán)重的現(xiàn)象，而改進(jìn)低秩稀疏正則化算法的重建圖像在形狀、大小及位置方面最接近真實(shí)損傷，所成損傷輪廓清晰，重建圖像邊緣電極偽影明顯減少，在雙分層損傷模型中，真實(shí)反映了不同大小的兩處損傷，優(yōu)勢(shì)明顯。

由圖5可知，改進(jìn)低秩稀疏正則化算法與Tikhonov正則化算法、L1正則化算法和分裂布雷格曼算法相比，圖像相關(guān)系數(shù)的顯著提高，所成圖像精度更高。在模型a中，改進(jìn)算法相關(guān)系數(shù)達(dá)0.929 7，也進(jìn)一步驗(yàn)證了低秩稀疏正則化算法在CFRP復(fù)合材料檢測(cè)中具有良好的應(yīng)用前景。

圖5 圖像相關(guān)系數(shù)對(duì)比Fig.5 Comparison of image correlation coefficient

從表2中可以看出，Tikhonov正則化算法損傷面積誤差估計(jì)最大，所成損傷面積均是大于真實(shí)損傷面積，在裂紋損傷中高達(dá)1 857.58%。而L1正則化算法最能在單沖擊模型中反映真實(shí)損傷面積大?。辉趩畏謱又?，雖取得了較好的成像效果和較高的相關(guān)系數(shù)，但是由于電極偽影影響，它的面積誤差估計(jì)值達(dá)到91.28%。 分裂布雷格曼算法的損傷面積誤差估計(jì)值較Tikhonov正則化算法、L1正則化算法明顯減少，但在單分層損傷中也出現(xiàn)了較高的面積誤差。而改進(jìn)低秩稀疏正則化算法所成損傷大小與真實(shí)損傷最為相近，均取得了較低的面積誤差估計(jì)值，特別地，在單沖擊損傷和單分層損傷中面積誤差可忽略不計(jì)。

通過以上比較分析可以得出，改進(jìn)低秩稀疏EIT算法有效削弱了電極影響，更好反映圖像邊緣信息，提高了重建圖像質(zhì)量，所成損傷更貼近真實(shí)分布情況，具備適用性和應(yīng)用前景。

3.2 噪聲仿真試驗(yàn)

在實(shí)際工業(yè)測(cè)量中，測(cè)量數(shù)據(jù)不可避免地存在隨機(jī)干擾，即測(cè)量噪聲。它會(huì)增加逆問題的不適定性，使成像結(jié)果受到影響。圖像重建算法是否具有良好的魯棒性來減弱噪聲的影響也是一項(xiàng)重要的評(píng)價(jià)指標(biāo)。比較5%和10%噪聲對(duì)最終重建結(jié)果的影響，分析改進(jìn)低秩稀疏正則化算法的魯棒性。5%和10%噪聲試驗(yàn)圖像重建結(jié)果與相關(guān)系數(shù)對(duì)比分別如圖6和圖7所示。

由圖6、圖7可知，在5%噪聲、10%噪聲的干擾下，改進(jìn)低秩稀疏正則化算法仍能準(zhǔn)確反映損傷位置和大小，更好地呈現(xiàn)圖像邊緣信息，電極影響較小，與無噪聲情況下的損傷圖像相近。而L1算法、分裂布雷格曼算法在噪聲的干擾下所成損傷均發(fā)生了不同程度的畸變，所成損傷圖像模糊，電極偽影影響嚴(yán)重。此外，在噪聲干擾下，改進(jìn)低秩稀疏正則化算法所成圖像仍能保持較高的相關(guān)系數(shù)。

圖6 5%噪聲試驗(yàn)圖像重建結(jié)果與相關(guān)系數(shù)對(duì)比Fig.6 Comparison of image reconstruction results and correlation coefficient with 5% noise experimental

圖7 10%噪聲試驗(yàn)圖像重建結(jié)果與相關(guān)系數(shù)對(duì)比Fig.7 Comparison of image reconstruction results and correlation coefficient with 10% noise experimental

由圖8可以看出，改進(jìn)低秩稀疏正則化算法與無噪聲情況下的相關(guān)系數(shù)相近，進(jìn)一步驗(yàn)證了改進(jìn)低秩稀疏正則化算法能夠有效弱化噪聲影響，具有良好的魯棒性。

圖8 不同噪聲下改進(jìn)算法相關(guān)系數(shù)對(duì)比Fig.8 Comparison of correlation coefficients of the improved algorithm under different noises

由表3可知，在不同噪聲干擾下，改進(jìn)低秩稀疏正則化算法重建損傷的面積誤差估計(jì)值均相近，對(duì)于單沖擊和單分層損傷模型，面積誤差估計(jì)值仍為0%，所成損傷大小與真實(shí)損傷大小十分相近，進(jìn)一步驗(yàn)證了該算法良好的魯棒性和適用性。

表3 不同噪聲下改進(jìn)算法損傷面積誤差估計(jì)對(duì)比

3.3 系統(tǒng)試驗(yàn)

CFRP復(fù)合材料EIT損傷檢測(cè)試驗(yàn)平臺(tái)如圖9所示。CFRP板材長(zhǎng)10 cm，寬 10 cm，高0.32 cm， 將16個(gè)電極均勻放置在板材四周，電極連接電流注入和電壓測(cè)量的多路復(fù)用器，以實(shí)現(xiàn)對(duì)電極的循環(huán)激勵(lì)和循環(huán)測(cè)量。電流激勵(lì)由精密電流源(KEITHLEY 6221)提供，給相鄰電極施加的激勵(lì)電流大小為100 mA，使用多功能開關(guān)測(cè)量單元( KEYSIGHT 34980A)和電樞矩陣開(KEYSIGHT 34932) 采集測(cè)量數(shù)據(jù)，由基于LabVIEW使用系統(tǒng)軟件進(jìn)行開關(guān)量的切換。最后，通過接線端子模塊(KEYSIGHT 34932T) 將采集到的電位數(shù)據(jù)導(dǎo)入圖像處理程序以得到圖像重建結(jié)果。

試驗(yàn)所用CFRP層壓板大小為100 mm×100 mm，四周鑲嵌16個(gè)銅質(zhì)鉚釘，每一邊四個(gè)鉚釘，間距為20 mm，鉚釘中心到CFRP板材邊界距離為5 mm，成像區(qū)域?yàn)?0 mm×80 mm。

試驗(yàn)?zāi)M了三種沖擊損傷和一種裂紋損傷。其中，單沖擊模型和上下雙沖擊模型損傷孔半徑均為3 mm，斜對(duì)角雙沖擊模型損傷孔半徑為5 mm，裂紋模型損傷大小為1 mm×40 mm×1 mm，成像效果如圖10所示。

圖10 CFRP復(fù)合材料檢測(cè)試驗(yàn)成像效果對(duì)比Fig.10 Comparison of imaging results of CFRP composite material detection experiments

由圖10可知，L1正則化算法對(duì)于單沖擊損傷不能較好的反應(yīng)損傷大小，對(duì)于雙沖擊損傷出現(xiàn)模糊不清現(xiàn)象，裂紋損傷的成像對(duì)比度較低，并且出現(xiàn)了電極偽影。分裂布雷格曼算法較L1正則化算法的成像質(zhì)量有所提高，但損傷仍不夠清晰、邊緣電極偽影嚴(yán)重，且出現(xiàn)了損傷畸變現(xiàn)象。而改進(jìn)低秩稀疏正則化算法重建圖像電極偽影得到了改善，損傷輪廓清晰明了，能夠更準(zhǔn)確的反映損傷的大小和形狀，對(duì)于裂紋損傷也更加清晰明顯。試驗(yàn)結(jié)果證明，改進(jìn)低秩稀疏正則化算法具備實(shí)用性，為EIT系統(tǒng)應(yīng)用于CFRP復(fù)合材料實(shí)際檢測(cè)提供依據(jù)。

4 結(jié) 論

本文通過仿真試驗(yàn)反演出的圖像及評(píng)價(jià)指標(biāo)驗(yàn)證了改進(jìn)低秩稀疏正則化算法對(duì)CFRP材料損傷檢測(cè)的有效性。

改進(jìn)低秩稀疏正則化算法重建圖像質(zhì)量能夠增強(qiáng)解的稀疏性，改善EIT逆問題的病態(tài)性，對(duì)于沖擊損傷、分層損傷和裂紋損傷均具有良好的反演能力，成像質(zhì)量均優(yōu)于傳統(tǒng)的Tikhonov算法、L1正則化算法和分裂布雷格曼算法，且成像效果穩(wěn)定，具有良好抗干擾性，具備CFRP復(fù)合材料損傷檢測(cè)的良好應(yīng)用前景。