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        外力作用下板塊模型運(yùn)動的臨界問題分析

        2022-08-05 01:50:18趙清鋒
        物理教師 2022年7期
        關(guān)鍵詞:分析

        趙清鋒

        (武漢市卓刀泉中學(xué)建和分校,湖北 武漢 430065)

        板塊模型是物理學(xué)中的基本模型.木板與物塊的運(yùn)動情況受其質(zhì)量、板塊之間動摩擦因數(shù)、木板與地面之間動摩擦因數(shù)、外力的作用對象、外力大小、外力方向等多個因素的影響.條件不同,板塊運(yùn)動狀態(tài)不同,給出不同條件運(yùn)動狀態(tài)結(jié)果不同.這也是中學(xué)物理??嫉闹攸c(diǎn)內(nèi)容.相關(guān)文獻(xiàn)多研究水平外力作用在物塊或木板上從而分析板塊運(yùn)動情況,[1-5]本文從不同外力沿不同方向的角度對板塊模型運(yùn)動的臨界問題進(jìn)行詳細(xì)討論,為相關(guān)研究提供思路.

        1 基本模型及物塊和木板運(yùn)動的臨界條件

        水平地面上有一質(zhì)量為m1的長木板,木板的左端上有一質(zhì)量為m2的物塊,用與水平方向成θ角的拉力F 作用在物塊上,考慮外力F 不同,物塊和木板的運(yùn)動狀態(tài)不同,設(shè)F 隨時間t 變化關(guān)系為F=k·t(k為常量).木板與地面間的動摩擦因數(shù)為μ1,物塊與木板間的動摩擦因數(shù)為μ2.假設(shè)最大靜摩擦力均與相應(yīng)的滑動摩擦力相等,重力加速度大小為g,如圖1所示.

        圖1 板塊模型

        當(dāng)外力很小時,物塊和木板均不運(yùn)動,隨著外力F 增大到一定程度,物塊開始運(yùn)動,而此時的運(yùn)動情況可能出現(xiàn)兩種情況:(1)物塊運(yùn)動,木板靜止;(2)物塊和木板一起向右運(yùn)動.對m2和m1分別進(jìn)行受力分析如圖2、圖3所示.其中F12為木板對物塊的支持力,f12為木板對物塊的摩擦力,F(xiàn)21為物塊對木板的壓力,f21物塊對木板的摩擦力,F(xiàn)地為地面對木板的支持力,f地為地面對木板的摩擦力,m1g和m2g分別為木板和物塊所受的重力.

        圖2 對物塊m2進(jìn)行受力分析

        圖3 對木板m 1進(jìn)行受力分析

        隨著拉力F 增加,物塊與木板之間最大靜摩擦力f12m和木板與地面之間對應(yīng)的最大靜摩擦力f地m也隨之變化,即

        從(1)(2)兩式均可以看出,f12m和f地m均為拉力F 的一次函數(shù),隨著F 的變化,當(dāng)f12m和f地m相等,且等于拉力F 在水平方向的分力F cosθ時,此時達(dá)到物塊與木板之間、木板與地面之間剛要運(yùn)動的臨界條件,令f12m=F cosθ,此時可得

        根據(jù)以上分析,取m1=2 kg、m2=1 kg、μ2=0.5、g=10 m/s2,μ1滿足(4)式,分別取θ=30°、θ=-30°、θ=0°,數(shù)值計(jì)算并作圖分析.圖4(a)(b)(c)為f12m、f地m、F cosθ隨F 的變化關(guān)系圖像.從圖中可以看出,當(dāng)μ1滿足(4)式時,與上文分析一致.

        圖4 θ取不同值時,f 12m、f地m、F cosθ隨F 的變化關(guān)系

        當(dāng)F 滿足(3)式時,對應(yīng)的臨界力F cosθ隨θ的變化關(guān)系如圖5所示.

        圖5 F cosθ隨θ 變化關(guān)系

        2 θ>0,物塊和木板運(yùn)動的情況分析

        2.1 物塊運(yùn)動,木板靜止

        圖6 f 12m、f地m、F cosθ隨拉力F 的變化關(guān)系

        圖6(a)-(d)中μ1取值分別為μ1=0.15,μ1=0.1667,μ1=0.3,μ1=0.6.圖像分析結(jié)果與上文討論結(jié)果一致,且θ>0時,若開始木板未動,則一直滿足f12m<f地m,即木板將一直不動.數(shù)值計(jì)算結(jié)果可得,當(dāng)拉力F=4.480 N 時,物塊開始做加速度增加的加速運(yùn)動,直到物塊脫離木板,如圖7所示.

        圖7 加速度a隨F 的變化關(guān)系

        2.2 物塊和木板先一起向右運(yùn)動,再相對運(yùn)動

        根據(jù)上述數(shù)值計(jì)算結(jié)果得到F1=3.2750 N、F2=4.9341 N、F3=10 N、F4=15.8370 N、F5=20 N.當(dāng)拉力F≤F1時,物塊和木板均處于靜止?fàn)顟B(tài);當(dāng)拉力F1<F≤F2時,物塊和木板一起做加速度增加的加速運(yùn)動,在拉力F=F2時,木板加速度達(dá)到最大,為a2max=0.5066 m/s2;當(dāng)F>F2時,物塊和木板相對運(yùn)動,物塊做加速度增加的加速運(yùn)動,直到F=F5時,物塊離開木板不再水平運(yùn)動,而木板先做加速度減小的加速運(yùn)動,當(dāng)F=F3時,木板的加速度減小為0,然后繼續(xù)減速運(yùn)動,當(dāng)拉力F=F4時,木板速度減小為0,加速度達(dá)到最小a4min=-0.5837 m/s2,之后靜止不動.

        圖8

        本文討論的拉力F 隨時間t 均勻變化,若拉力為某一固定值,對物塊的運(yùn)動的加速度沒有影響,僅僅是拉力F≥F3時,木板由于沒有初始速度而不再減速,處于靜止不動.對于拉力F 為其他函數(shù),也可以用類似的方法進(jìn)行分析.

        3 θ<0,物塊和木板運(yùn)動的情況分析

        3.1 物塊運(yùn)動,木板靜止

        按照上圖取值,通過數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn),當(dāng)拉力F=8.1165 N 時F·cosθ=f12m,物塊開始運(yùn)動.當(dāng)F=F6=40 N 時f12m=f地m,木板開始運(yùn)動,此時根據(jù)圖形分析可得,物塊與木板均做加速度增加的加速運(yùn)動,物塊加速度增加得更快.

        從數(shù)值計(jì)算結(jié)果及圖像分析可得,當(dāng)μ1>μ2時,圖10(b)中物塊加速度變化與圖9(b)中一樣,只是木板此時處于靜止?fàn)顟B(tài).

        圖9

        圖10

        3.2 物塊和木板先一起向右運(yùn)動,再相對運(yùn)動

        圖11

        根據(jù)上述數(shù)值計(jì)算結(jié)果得到,F(xiàn)1=6.3883 N、F2=9.3863 N.當(dāng)拉力F≤F1時,物塊和木板均處于靜止?fàn)顟B(tài);當(dāng)拉力F1<F≤F2時,物塊和木板一起做加速度增加的加速運(yùn)動;當(dāng)F>F2時,物塊和木板相對運(yùn)動,且均做加速度增加的加速運(yùn)動,物塊加速度增加得更快.

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