嚴恭敏，戴晨杰，劉 璠

(西北工業(yè)大學自動化學院，西安 710072)

0 引言

標準Kalman濾波的計算量與狀態(tài)維數(shù)的3次方成正比，計算量因狀態(tài)維數(shù)的增加而急劇變大。一個復雜的大系統(tǒng)往往包含眾多的狀態(tài)變量，但大系統(tǒng)通?？梢苑纸獬扇舾勺酉到y(tǒng)，并且在子系統(tǒng)中可能還存在一個關鍵的公共參考系統(tǒng)。針對這類大系統(tǒng)，可以設計一個高維的綜合濾波器，包含所有狀態(tài)變量，再進行Kalman濾波，這一處理方式通常稱為集中式濾波(Centralized Kalman Filter, CKF)；也可以采取所謂的聯(lián)邦濾波(Federated Kalman Filter, FKF)方法進行分散降階處理，有利于降低各子系統(tǒng)的計算量，還便于各子系統(tǒng)的故障診斷和隔離，避免有故障的子系統(tǒng)影響整個濾波器，從而提高總體性能。在聯(lián)邦濾波中，如果所有子濾波器的狀態(tài)均為公共狀態(tài)，則全局狀態(tài)融合精度與集中濾波器精度相同，結(jié)果均是最優(yōu)的；但是當某些濾波器存在私有狀態(tài)時，聯(lián)邦濾波的精度一般低于集中濾波，這時聯(lián)邦濾波是一種次優(yōu)濾波算法。聯(lián)邦濾波最早由N.A.Carlson提出，他在提出聯(lián)邦濾波時曾聲稱聯(lián)邦濾波器已被美國空軍的容錯導航系統(tǒng)“公共卡爾曼濾波器”計劃選為基本算法，但從目前組合導航系統(tǒng)的發(fā)展情況看，歷經(jīng)30余年實踐該算法并沒有明顯的優(yōu)勢，未獲得廣泛的實際應用。

對于所有子濾波器的狀態(tài)均為公共狀態(tài)的聯(lián)邦濾波，不具備減小計算量的優(yōu)勢，分散為幾個濾波器后反而增加了計算量，這種聯(lián)邦濾波完全可以被序貫濾波所取代，序貫濾波同樣易于量測故障診斷和隔離。提出聯(lián)邦濾波的初衷和優(yōu)勢應當在于存在大量私有狀態(tài)的系統(tǒng)。論文在分析傳統(tǒng)聯(lián)邦濾波基本原理的基礎上，首先通過一個簡單隨機系統(tǒng)仿真例子，驗證了聯(lián)邦濾波估計結(jié)果的不合理性。顯然，若對簡單系統(tǒng)不可行，面對更加復雜的系統(tǒng)將更難獲得好的估計效果。接著，以典型的速度+姿態(tài)傳遞對準為例，通過仿真實驗驗證了聯(lián)邦濾波的狀態(tài)估計效果不好，與集中濾波相比聯(lián)邦次優(yōu)濾波的誤差太大，不能滿足應用需求。最后，給出研究總結(jié)：已有文獻普遍認為聯(lián)邦濾波是一種有效的狀態(tài)估計方法，但本文通過舉反例得到了不同的結(jié)論，對其可用性和實用性給出了負面的評價。

1 聯(lián)邦濾波基本原理

1.1 集中Kalman濾波

隨機線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型記為

(1)

式(1)中，是×1維的狀態(tài)向量；是×1維的量測向量；-1、-1、是已知的系統(tǒng)結(jié)構參數(shù)，分別為×維的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣、×維的系統(tǒng)噪聲分配矩陣及×維的量測矩陣；-1是×1維的系統(tǒng)噪聲向量，是×1維的量測噪聲向量，兩者都是零均值的高斯白噪聲向量序列，且它們之間互不相關，即滿足

(2)

其中，是半正定的,是正定的，δ為克羅內(nèi)克函數(shù)。

針對系統(tǒng)式(1)的Kalman濾波公式為

(3)

1.2 傳統(tǒng)聯(lián)邦濾波算法

假設式(1)可拆分成+1個子濾波器狀態(tài)空間，分別記為

(4)

其中

(5)

(6)

(7)

傳統(tǒng)的聯(lián)邦濾波算法步驟如下。

(8)

(9)

3)Kalman濾波。各子濾波器(含主濾波器)進行Kalman濾波更新，如下

(10)

4)信息融合。綜合所有子濾波器(含主濾波器)的結(jié)果，進行信息融合，如下

(11)

(12)

1.3 聯(lián)邦濾波公式改進

(13)

2 一個簡單系統(tǒng)舉例

假設有一個含3個狀態(tài)分量和2個量測分量的線性隨機系統(tǒng)，記作CS，具體為

(14)

其中，1,、2,均為零均值的單位白噪聲，且兩者之間不相關；為時變元素。容易看出，系統(tǒng)式(14)不含系統(tǒng)噪聲，3個狀態(tài)分量為相互獨立的隨機常值，第一量測分量1,是狀態(tài)1,、2,與噪聲1,之和；而第二量測2,是狀態(tài)1,、3,與噪聲2,之和，1,為兩量測共有的公共狀態(tài)。因而，可將式(14)拆分成3個子系統(tǒng)，分別記為子系統(tǒng)S1、S2和主系統(tǒng)SM，具體如下

(15)

顯然，如果為固定常值，系統(tǒng)S1和S2都是不完全可觀的，即狀態(tài)1,和2,之間、狀態(tài)1,和3,之間相互耦合，無法單獨分離；而若設置為時變的，則狀態(tài)1,和3,之間可分離，從而也導致狀態(tài)1,和2,之間可分離，最終使得3個狀態(tài)分量都變?yōu)橥耆捎^的。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

從圖1(a)、(c)、(e)可以看出，當<100時，由于系統(tǒng)不完全可觀，兩種濾波算法的3個狀態(tài)分量均不能被正確估計；當>100時，因元素發(fā)生變化使系統(tǒng)變得完全可觀測，集中濾波中的3個狀態(tài)立即獲得了正確估計，接近于真值曲線Xtrue。圖1(a)聯(lián)邦濾波的公共狀態(tài)1,的估計結(jié)果雖然也有調(diào)整變化，但其估計值并不準確，結(jié)果明顯是有偏估計；圖1(c)子濾波器1(或圖1(e)子濾波器2)的私有狀態(tài)2,(或3,)的估計也都是有偏的。觀察圖1(b)，在=100后狀態(tài)1,的均方差迅速減小，聯(lián)邦濾波比集中濾波下降得更多，說明前者的估計精度虛高，致使在狀態(tài)1,的估計出現(xiàn)偏差后就難以再往正確方向進行調(diào)整了。

3 傳遞對準舉例

在組合導航的聯(lián)邦濾波算法應用研究文獻中，比較典型的例子是慣性/衛(wèi)星/天文組合導航和速度+姿態(tài)匹配傳遞對準，兩者都存在角運動和線運動兩類量測量，可以拆分出兩個子濾波器。這里以傳遞對準為例,驗證聯(lián)邦濾波的估計效果。

(16)

傳遞對準集中濾波器的狀態(tài)空間模型為

(17)

其中

圖2 失準角估計效果對比Fig.2 Misalignment angle comparison

兩種濾波算法的傳遞對準仿真結(jié)果曲線較多，這里僅展示子慣導失準角估計結(jié)果，如圖2所示。由圖2可見，集中濾波算法的3個失準角估計效果均較好，水平失準角一開始就很快收斂，在10s開始搖翼機動后，方位失準角也快速收斂；然而，聯(lián)邦濾波算法的3個失準角始終都存在較大偏差，不能正確收斂。對于其他狀態(tài)的估計，聯(lián)邦濾波算法的效果也不好，這里就不再一一展示了。

就前面所舉的兩個聯(lián)邦濾波仿真例子式(14)和式(17)，讀者可試著選擇其他信息分配因子或除式(13)外的其他Kalman濾波均方差陣放大方式，只要進行了反饋重置，聯(lián)邦濾波往往都很難取得理想的估計效果。從理論上不容易證明聯(lián)邦濾波的不合理性，眾多文獻介紹聯(lián)邦濾波是一種次優(yōu)濾波方法，但并沒有指出次優(yōu)濾波會有多“次”；而文獻[2]中“精度下降十分微小”的說法并不合適，本論文僅以舉例仿真的方式驗證了聯(lián)邦濾波估計結(jié)果的不正確，相較于集中濾波，聯(lián)邦濾波的次優(yōu)估計精度往往是不可接受的。

4 結(jié)論

許多文獻對聯(lián)邦濾波及其應用進行了研究，甚至提出了信息分配因子優(yōu)化、自適應聯(lián)邦濾波、聯(lián)邦濾波結(jié)構與容錯性分析等一系列更復雜的改進措施，都聲稱獲得了較好的應用效果，然而其程序代碼實現(xiàn)不公開，他人無法復現(xiàn)效果，目前尚未見聯(lián)邦濾波在實際組合導航產(chǎn)品中應用的實例報道。

本文通過兩個例子:一個簡單的3維系統(tǒng)和一個速度+姿態(tài)傳遞對準組合導航(詳細程序代碼可參見PSINSdemo est_federated_KF_simple_example3.m和test_align_transfer_fkf.m)，驗證了聯(lián)邦濾波是不可行的，難以獲得正確的濾波估計結(jié)果。想要從理論上證明聯(lián)邦濾波的不合理性，還是比較困難的。傳統(tǒng)聯(lián)邦濾波不是普遍成立的，在特定系統(tǒng)中或許可以使用，但是應當證明聯(lián)邦次優(yōu)濾波不至于太次，與集中濾波相比次優(yōu)估計結(jié)果是可接受的，當然這種可用性條件的給出或證明也是比較困難的。因此，對于以精度為主要性能指標的組合導航系統(tǒng)，聯(lián)邦濾波的實用性值得商榷。