張致龍，關(guān)陳晨

(新疆大學(xué) 建筑工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

水分遷移在凍土的凍脹和融沉中起著重要作用[1]，精確評(píng)估凍土中的水分遷移需要確定滲透系數(shù).在凍土孔隙中，液態(tài)水和孔隙冰共同存在，孔隙冰的產(chǎn)生可降低凍土的滲透系數(shù)，土壤中冰含量隨溫度的變化而變化，因此，凍土的滲透系數(shù)也隨溫度變化.表征凍土中水分遷移的一個(gè)主要挑戰(zhàn)是如何在凍結(jié)和融化過(guò)程中確定溫度、初始含水率和滲透系數(shù)之間的變化關(guān)系[2?3].

由于凍土的滲透系數(shù)測(cè)試比較困難，在這方面的研究有限.凍土滲透系數(shù)的測(cè)量一般采用兩種方法：直接測(cè)量法和間接測(cè)量法.凍土滲透系數(shù)的直接測(cè)量首先由Burt等[4]提出，其設(shè)計(jì)了一種等溫條件下液體直接通過(guò)凍土的滲透儀，并在測(cè)試中采用低濃度的乳糖和聚乙二醇替代水分.Horiguchi等[5]以油為流體測(cè)量了0～-0.35 ℃之間土壤凍結(jié)過(guò)程中的滲透系數(shù)，發(fā)現(xiàn)凍土滲透系數(shù)隨溫度的降低而急劇減小.張虎等[6]以二甲基硅油作為流體，對(duì)含水量為62%的青藏高原粉質(zhì)黏土在0～-0.6 ℃范圍的滲透系數(shù)進(jìn)行了測(cè)量.間接測(cè)量法是假設(shè)凍土中的水分遷移與不飽和融土中的水分遷移相同，這種假設(shè)是基于融土中干燥和濕潤(rùn)過(guò)程與凍土中凍結(jié)和融化過(guò)程的液態(tài)水變化相似[7]，認(rèn)為土水特性曲線可以代替未凍水含量曲線[8].

理論計(jì)算方面，都假設(shè)凍土中的未凍水含量和融土中的含水量變化與滲透系數(shù)的函數(shù)關(guān)系是相同的.Flerchinger等[9]采用這一假設(shè)計(jì)算凍土滲透系數(shù)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)液態(tài)水含量小于某一閾值時(shí)，必須人為設(shè)置凍結(jié)土壤的滲透系數(shù)為零.Lundin[10]認(rèn)為應(yīng)用融土的滲透系數(shù)方程計(jì)算凍土的水流量會(huì)使計(jì)算值過(guò)高，因此加入了一個(gè)阻抗參數(shù).Watanabe等[11]建立了一種毛細(xì)管束模型來(lái)描述凍土中的水流，但此模型同樣采用土水特性曲線（SWCC）代替未凍水含量曲線（SFCC），并且忽略了孔隙壁對(duì)水流的影響.然而，粉質(zhì)黏土中3～100 nm孔隙的累積體積約占總孔隙體積的一半，試驗(yàn)和理論研究發(fā)現(xiàn)，由于小孔隙（納米孔）壁對(duì)水滑移和有效粘度的影響，在相同壓力梯度作用下，小孔隙中的水通量相對(duì)體積水顯著變化[12?14]，比通過(guò)不同直徑碳納米管膜且使用無(wú)滑移的Hagen-Poiseuille方程計(jì)算的水通量大1到5個(gè)數(shù)量級(jí)，在接觸角較小的納米孔中，流速還會(huì)降低[15?16].此外，測(cè)試土水特性曲線比較困難，并且花費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)，但隨著核磁共振（NMR）和時(shí)域反射計(jì)（TDR）技術(shù)的發(fā)展，使得未凍水含量曲線的測(cè)量更為容易，并且能更準(zhǔn)確地反應(yīng)未凍水含量的變化情況.因此，一些研究人員認(rèn)為應(yīng)用直接測(cè)量的未凍水含量曲線能更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)凍土的滲透系數(shù)[17].

考慮到上述使用SWCC的局限性，并且以上理論模型都沒(méi)有考慮孔隙壁對(duì)水的滑移和有效粘度的影響.為了更準(zhǔn)確、更容易地預(yù)測(cè)凍土的滲透系數(shù)，本文提出一種利用未凍水含量曲線、考慮孔隙壁對(duì)水的滑移和有效粘度影響的新模型來(lái)描述凍土中水的遷移，并討論了土壤凍結(jié)過(guò)程中滲透系數(shù)的變化，將計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值進(jìn)行比較，驗(yàn)證了模型的合理性.

1 理論推導(dǎo)

此模型基于Hagen-Poiseuille方程，采用凍土的未凍水含量曲線，并考慮了凍土中孔隙壁對(duì)水流的影響，推導(dǎo)出飽和凍土滲透系數(shù)與初始含水率、溫度的函數(shù)關(guān)系.

1.1 凍土中的孔隙

當(dāng)溫度低于土的凍結(jié)溫度時(shí)，冰先從土中的大孔隙中心生長(zhǎng)，但由于孔隙壁表面力（范德瓦耳斯力）的作用，在孔隙壁附近和小孔隙中的水仍然保持液體狀態(tài).如圖1所示，已凍大孔隙中的未凍水膜厚度d可以表示為[18]：

式中：A為Hamaker常數(shù)，A=-10?19.5[17]；ρi為冰密度，ρi=917 kg/m3；Lf為冰的融化潛熱，Lf=3.34×105J/kg；Ti為土的凍結(jié)溫度.由Gibbs-Thomson方程，未凍小孔隙的臨界直徑（未凍孔隙最大直徑）γGT可以表示為[18?19]：

式中：σls為冰水界面能，σls=2.90×10?2J/m2.

凍土中的孔隙包含兩種：含冰孔隙和無(wú)冰孔隙，含冰孔隙所占總孔隙的比例隨溫度的變化而變化.未凍孔隙的臨界直徑和已凍孔隙的未凍水膜厚度與溫度變化關(guān)系可以由式（1）和式（2）計(jì)算得到.如圖2所示，當(dāng)土溫度低于-1 ℃時(shí)，未凍孔隙的直徑小于100 nm，已凍孔隙的未凍水膜厚度小于5 nm，均為納米孔隙，因此，必須考慮孔隙壁對(duì)水流的影響.由于未凍孔隙的臨界直徑比已凍孔隙的未凍水膜厚度大十幾倍，所以，凍土中的液態(tài)水主要是通過(guò)未凍孔隙遷移的.圖3顯示了不同初始含水量Nanticoke黏土[20]和青藏高原粉質(zhì)黏土[21]的孔徑累積體積分布曲線，由圖3可知，3～100 nm的孔隙累積體積約占低含水土壤孔隙總體積的一半.研究表明，孔隙壁附近的水粘度比體積水的粘度高，水與小孔隙壁相互作用使水的物理性質(zhì)表現(xiàn)出劇烈的變化[22?23].因此，研究水在凍土中遷移時(shí)必須考慮水在小孔隙壁上的滑移和有效粘度的變化.

1.2 凍土中的水流

在壓力梯度作用下，水流過(guò)一個(gè)給定直徑的孔隙，不考慮水在孔隙壁上的滑移、層流，由力平衡得出Hagen-Poiseuille方程：

式中：J為水通量；μ∞為體積水的粘度，μ∞=9.62×10?7Pa·s；R為孔隙直徑；?p/?z為壓力梯度.當(dāng)溫度低于-1℃時(shí)，由于凍土中未凍孔隙的直徑都小于200 nm，考慮水在孔壁上的滑移和有效粘度的變化，水通量由式（3）變?yōu)閇24]：

式中：ls,t為實(shí)際滑移長(zhǎng)度；μ(d)為孔隙水的有效粘度.水的實(shí)際滑動(dòng)長(zhǎng)度作為土-水接觸角的函數(shù)可以描述為[25]：

式中：θ為土-水接觸角，θ=25?[26]；C為常數(shù)，C=0.41[24].

為了得到凍土孔隙中水的有效粘度，采用孔隙中的界面和體積水粘度的加權(quán)平均值[27]：

式中：μi為水的粘度；Ai為孔隙中土-水接觸面積；At為孔隙橫截面積.μi/μ∞與接觸角θ為線性關(guān)系[24]：

為了理解孔隙壁對(duì)水通量的影響，引入了增強(qiáng)因子，增強(qiáng)因子定義為水通量的測(cè)量值與J的比值[12?13]，如果公式（4）可以描述實(shí)測(cè)水通量，則增強(qiáng)因子可以表示為：

如圖4所示，由公式（8）計(jì)算出的增強(qiáng)因子與凍土孔徑的關(guān)系.計(jì)算結(jié)果表明：由于孔隙壁對(duì)水流的影響，凍土中水的流量隨著孔隙直徑的減小而降低，最小可以降低為原來(lái)的50%，降低的速率也隨著孔隙直徑的減小逐漸變大.

1.3 凍土滲透系數(shù)

假設(shè)在圓柱形的凍土樣品中形成一個(gè)網(wǎng)狀的孔隙結(jié)構(gòu)，每一個(gè)孔隙的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，土樣的長(zhǎng)度為H（H

式中：?z=0 ～H；ξ為土柱長(zhǎng)度H與水流過(guò)實(shí)際路徑L的比值（H/L），ξ=0.6[11]；M為單位面積上某一孔徑的孔隙數(shù)目；nJ為單位面積上孔徑RJ的孔隙數(shù)目.

利用未凍水含量曲線（未凍水含量wu與溫度T）建立一個(gè)實(shí)際土樣和模型之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即將未凍水含量曲線中的未凍水含量分成若干寬度為△wu的等分，凍土中的未凍水含量wu(T)與溫度的變化相關(guān)，類(lèi)比達(dá)西定律，由式（9）可以得到凍土的滲透系數(shù)為：

式中：k=0,1,2,···，未凍水含量每下降△wu對(duì)應(yīng)的k增加1.依據(jù)式（10），當(dāng)k=0時(shí)，K為相同條件下融土的滲透系數(shù)，因?yàn)槿谕林兴忠栽诖罂紫吨辛鲃?dòng)為主，忽略孔隙壁對(duì)水流的影響，融土的滲透系數(shù)可以表示為：

式中：K0為相同含水量融土的滲透系數(shù).因此，凍土的滲透系數(shù)也可以表示為：

依據(jù)式（1）和式（2），當(dāng)孔隙直徑RJ>γGT（凍結(jié)孔隙）時(shí)，RJ=d.凍土中的未凍水含量等于各孔隙中的液態(tài)水之和，可以表示為：

式中：孔徑為RJ的孔隙數(shù)目nJ可以由式（13）和未凍水含量曲線計(jì)算得到.本凍土滲透系數(shù)模型僅需要準(zhǔn)確測(cè)量土的未凍水含量曲線和在相同條件下融土的滲透系數(shù)，因此，可以更容易和準(zhǔn)確地計(jì)算凍土的滲透系數(shù).

2 理論模型的驗(yàn)證

2.1 試驗(yàn)材料和測(cè)試方法

試驗(yàn)在凍土工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行，選用的土樣為青藏高原粉土和粉質(zhì)黏土，與文獻(xiàn)[6]的土樣相同.將土樣在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)風(fēng)干、碾碎、過(guò)2 mm篩后分成若干份備用，土樣的粒徑分布如圖5所示.為了制備不同含水率的飽和土壤樣品，在土樣中加入預(yù)設(shè)含量去離子水，攪拌均勻，放入密封的塑料袋中24 h，使水分充分均勻，然后進(jìn)行24 h真空飽和.采用干燥法測(cè)定土壤樣品的含水率，實(shí)測(cè)體積含水量分別為46.3%、51.2%、53.5%、62.2%、50.4%（粉土），并計(jì)算干密度，結(jié)果見(jiàn)表1，并將干燥法測(cè)得土樣含水率作為標(biāo)準(zhǔn)值.為減小因試樣非均質(zhì)帶來(lái)的誤差，將土樣分別逐層均勻地填埋于圓柱形塑料容器內(nèi)，制成直徑為6.18 cm、高為12 cm的圓柱形試樣.

表1 土壤樣品的干密度和初始含水率

試驗(yàn)中選用的5TM土壤水分傳感器，是由Decagon公司生產(chǎn)的ECH20土壤水分傳感器系列之一，體積含水量測(cè)量范圍為0～100%，工作溫度范圍為-40～50 ℃.5TM土壤水分傳感器可以測(cè)量土壤或介質(zhì)中的介電常數(shù)，由于土壤中水的介電常數(shù)遠(yuǎn)大于空氣與其它基質(zhì)的介電常數(shù)，因此，土壤的介電常數(shù)大小主要取決于土壤中水分的含量，通過(guò)測(cè)量土壤的介電常數(shù)就可以達(dá)到測(cè)量土壤中水分含量的目的.試驗(yàn)時(shí)將溫度設(shè)置為階梯型下降，溫度分別為0.5、-0.5、-1、-1.5、-2、-3、-5、-10 ℃的5TM探頭可以測(cè)得凍結(jié)過(guò)程中土壤介電常數(shù)的變化.

核磁共振方法被廣泛應(yīng)用于測(cè)量未凍水含量，利用紐曼公司生產(chǎn)的凍土核磁共振儀（NMR），對(duì)體積含水量為51.2%土樣在凍結(jié)過(guò)程中的未凍水含量變化進(jìn)行測(cè)量.NMR核磁共振法可以快速精確地在實(shí)驗(yàn)室獲得凍土中的未凍水含量，NMR法測(cè)量的是磁場(chǎng)中質(zhì)子的自由感應(yīng)衰變值FID，而樣品中水分含量與水的FID值成一定比例關(guān)系，所以通過(guò)測(cè)量負(fù)溫下相應(yīng)介質(zhì)的FID值就可以根據(jù)相應(yīng)的換算公式得到準(zhǔn)確的未凍水含量.通過(guò)對(duì)應(yīng)5TM測(cè)得的相同土樣的介電常數(shù)值，得到在凍結(jié)過(guò)程中未凍水含量與介電常數(shù)的關(guān)系曲線，得出轉(zhuǎn)化公式，如圖6所示，從而依據(jù)測(cè)出的介電常數(shù)，計(jì)算出其它的未凍水含量值.

2.2 未凍水含量

圖7為未凍水含量（體積含水率）隨溫度的變化關(guān)系.如圖7所示，在0～-0.5 ℃時(shí)，未凍水含量顯著降低，且相同土質(zhì)下，初始含水量較大的土樣下降幅度更大，如初始含水量為46.3%和62.2%的粉質(zhì)黏土，未凍水含量分別從46.3%減小到約20%以及從62.2%減小到約10%，這是因?yàn)橄嗤临|(zhì)下初始含水量越大，土中大孔隙總體積占比越高，在溫度低于冰點(diǎn)且大孔隙凍結(jié)后，未凍水含量下降幅度就越大；當(dāng)溫度在-0.5～-2.5 ℃時(shí)，較大孔隙開(kāi)始凍結(jié)，未凍水含量下降幅度減緩；當(dāng)溫度在-2.5～-5 ℃時(shí)，土體中的未凍水主要存在于約50 nm（圖2）的孔隙中，因此未凍水含量變化幅度很小；同時(shí)，在相同溫度下，初始含水量越小的土樣，未凍水含量越高，這是因?yàn)槌跏己吭叫。磧鲂】紫扼w積占比越大，而未凍水主要存在于未凍小孔隙中，因此，隨著初始含水量的減小，未凍水含量逐漸增加.

3 結(jié)果與討論

3.1 理論模型的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型的可靠性，將模型的計(jì)算結(jié)果與其它試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.如圖8所示，依據(jù)式（1）、（2）、（12）和（13）對(duì)不同土壤和含水量的滲透系數(shù)進(jìn)行計(jì)算.粉質(zhì)黏土的滲透系數(shù)計(jì)算采用與文獻(xiàn)[4]和[6]相同的土樣和初始含水率測(cè)得的未凍水含量曲線，粉土的初始含水量與文獻(xiàn)[8]接近.由圖8可知，本模型計(jì)算的凍土滲透系數(shù)與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，由于初始含水率和土壤類(lèi)型（黏土、高嶺土）的不同，其它測(cè)試結(jié)果與計(jì)算值略有不同，但也在初始含水率51.2%～62.2%的計(jì)算結(jié)果范圍內(nèi)，這說(shuō)明計(jì)算結(jié)果是可靠的.本模型能更容易、更準(zhǔn)確地計(jì)算凍土滲透系數(shù)，提高預(yù)測(cè)凍脹和融沉的準(zhǔn)確性.這是因?yàn)橥恋膬雒浻蓛刹糠纸M成，原位水凍脹和遷移水凍脹，水分遷移量大小主要由驅(qū)動(dòng)力和滲透系數(shù)決定，試驗(yàn)測(cè)得凍土滲透系數(shù)非常困難，一般采用替代溶液法，且需凍土溫度大于-1.5 ℃，因此，準(zhǔn)確給出不同含水率與土質(zhì)在負(fù)溫下的滲透系數(shù)是精確預(yù)測(cè)凍脹融沉的關(guān)鍵.

3.2 凍土的滲透系數(shù)

圖9為不同初始含水量飽和土樣的滲透系數(shù)隨溫度的變化關(guān)系.在0～-0.5 ℃時(shí)，凍土的滲透系數(shù)隨著溫度的降低而快速減小，減小幅度受初始含水量和土質(zhì)類(lèi)型的影響，如：粉土從10?6cm/s減小到10?11cm/s，含水率62.2%的粉質(zhì)黏土從約10?6cm/s減小到10?10cm/s，這是因?yàn)楫?dāng)溫度低于凍結(jié)溫度時(shí)，大孔隙中的液態(tài)水首先相變成冰，在初始含水量較高的粉質(zhì)黏土和粉土中，大孔隙的體積占總孔隙體積的比例更高，未凍的小孔隙體積占的比例較小，而未凍水主要在小孔隙中流動(dòng)，使得高含水量的粉質(zhì)黏土和粉土的滲透系數(shù)更??；結(jié)合圖2可知，當(dāng)溫度達(dá)到-0.5 ℃時(shí)，孔徑約200 nm以上的孔隙全部?jī)鼋Y(jié)，使得未凍孔隙的體積占比急劇減小，因此，在凍結(jié)初期，土壤的滲透系數(shù)下降劇烈；在-0.5～-2.5 ℃時(shí)，各土樣滲透系數(shù)的降低速率減緩，減小幅度基本相同，約減小了2個(gè)數(shù)量級(jí)，水分遷移困難；在-2.5～-5 ℃時(shí)，由于各土樣滲透系數(shù)都小于10?10cm/s，粉土已小于10?13cm/s，雖然各土樣滲透系數(shù)最大相差2個(gè)數(shù)量級(jí)，但滲透系數(shù)都很小，水分遷移非常困難；小于-5 ℃的凍土滲透系數(shù)更小，一般計(jì)算認(rèn)為水分不再遷移，因此，不進(jìn)行更低溫度滲透系數(shù)的計(jì)算[30?31].這是因?yàn)闇囟鹊陀?2.5℃之后，孔徑約50 nm以上的孔隙全部?jī)鼋Y(jié)，不僅未凍孔隙占比更少，而且水分遷移還受到孔隙壁作用.

圖10為-0.5 ℃時(shí)飽和凍土的未凍水含量、滲透系數(shù)與初始含水量之間的關(guān)系.由圖10可知，未凍水含量和滲透系數(shù)隨初始含水量的增大而減小，且變化趨勢(shì)基本相同.這是因?yàn)樵?0.5 ℃時(shí)，直徑小于216 nm的孔隙中液態(tài)水并沒(méi)有凍結(jié)（圖2），隨著飽和土初始含水量增加，孔隙中所容納的水分體積增加，土顆粒的間距增大，部分小孔隙變?yōu)檩^大孔隙（γGT>216 nm）而凍結(jié)，未凍水主要處于小孔隙中（γGT<216 nm），而土中的小孔隙數(shù)量和總體積減小，在相同條件下，低含水量土樣中的未凍小孔隙的總體積大于高含水量土樣.因此，隨著飽和凍土的初始含水量增加，未凍水含量和滲透系數(shù)逐漸減小.

3.3 凍融過(guò)程中凍土的滲透系數(shù)

為了避免重復(fù)分析，我們只測(cè)量了初始含水量為46.3%的凍結(jié)粉質(zhì)黏土在0～-5 ℃凍融過(guò)程中的未凍含水量，如圖11所示，融化過(guò)程的未凍含水量小于相同溫度下的凍結(jié)過(guò)程.計(jì)算對(duì)應(yīng)的滲透系數(shù)如圖12所示，在相同溫度下，融化過(guò)程的滲透系數(shù)大于凍結(jié)過(guò)程，差值超過(guò)1個(gè)數(shù)量級(jí)，在溫度低于-3 ℃后，滲透系數(shù)小于10?11cm/s，水分遷移困難.

4 結(jié)論

（1）本文采用未凍水含量曲線，并考慮孔隙壁對(duì)水流的影響，基于Hagen-Poiseuille方程推導(dǎo)出一個(gè)凍土滲透系數(shù)模型，得出不同含水量下的飽和凍土滲透系數(shù)與溫度之間的函數(shù)關(guān)系.

（2）利用測(cè)得的未凍水含量曲線預(yù)測(cè)了不同含水量飽和粉質(zhì)黏土與粉土的滲透系數(shù)，用本模型計(jì)算的凍土滲透系數(shù)與相同條件的試驗(yàn)結(jié)果吻合得很好，驗(yàn)證了模型的可靠性.本模型僅需要測(cè)量土樣未凍水含量曲線和對(duì)應(yīng)融土滲透系數(shù)，這使得凍土滲透系數(shù)的預(yù)測(cè)更加容易和準(zhǔn)確.

（3）在凍結(jié)過(guò)程中，凍土的滲透系數(shù)與未凍水含量隨溫度的變化趨勢(shì)基本相同.溫度在0～-1 ℃區(qū)間內(nèi)，隨著溫度的降低，凍土的滲透系數(shù)迅速下降，初始含水率較高的粉質(zhì)黏土和粉土的滲透系數(shù)下降更快；溫度小于-1 ℃后，凍土滲透系數(shù)下降趨于平緩.