王洪濤，鄒 斌

（1.寧德師范學(xué)院信息與機(jī)電工程學(xué)院，寧德 352100；2.上海大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海 200444）

近年來(lái)，世界各地的大停電事故頻發(fā)，起因往往是由單個(gè)元件故障或過(guò)載線路被切除引發(fā)潮流轉(zhuǎn)移，引發(fā)連鎖故障后導(dǎo)致大面積停電，威脅到電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行[1]。因此關(guān)鍵線路辨識(shí)對(duì)預(yù)防電網(wǎng)連鎖故障和制定大停電事故預(yù)案具有重要意義。

隨著可再生能源發(fā)電量所占比例逐年升高，給電力系統(tǒng)注入了強(qiáng)不確定性，電力系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)復(fù)雜多變，因此在辨識(shí)關(guān)鍵線路時(shí)，需要考慮不同運(yùn)行狀態(tài)下線路潮流的影響。

目前關(guān)鍵線路辨識(shí)方法以確定運(yùn)行方式下的潮流計(jì)算結(jié)果為基礎(chǔ)，采用輸電介數(shù)[2]、電氣介數(shù)[3-4]、潮流介數(shù)[5-7]、功率介數(shù)[8]、綜合介數(shù)[9]和傳輸介數(shù)[10]等指標(biāo)衡量線路對(duì)功率傳輸中所起的作用，辨識(shí)電網(wǎng)中的關(guān)鍵線路。文獻(xiàn)[2]以電網(wǎng)有向圖模型為基礎(chǔ)，搜索源流節(jié)點(diǎn)對(duì)間的潮流傳輸路徑，從電網(wǎng)源流節(jié)點(diǎn)對(duì)輸電能力的角度定義了輸電介數(shù)，以輸電介數(shù)為指標(biāo)辨識(shí)關(guān)鍵線路。文獻(xiàn)[3]計(jì)及不同發(fā)電容量與負(fù)荷水平的影響，基于電路方程，提出了電氣介數(shù)指標(biāo)，反映了線路在所有發(fā)電機(jī)與負(fù)荷節(jié)點(diǎn)對(duì)之間傳輸功率的權(quán)重。文獻(xiàn)[4]在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上引入發(fā)電機(jī)-負(fù)荷節(jié)點(diǎn)對(duì)的靈敏度因子，定義了計(jì)及靈敏度因子的加權(quán)電氣介數(shù)，用于脆弱性線路辨識(shí)。文獻(xiàn)[5-7]基于潮流計(jì)算，利用有功潮流追蹤方法量化線路對(duì)發(fā)電機(jī)-負(fù)荷節(jié)點(diǎn)對(duì)的功率傳輸貢獻(xiàn)，提出了潮流介數(shù)的概念，辨識(shí)關(guān)鍵線路。文獻(xiàn)[8]引入線路功率介數(shù)的發(fā)電機(jī)因子、負(fù)荷因子及其權(quán)重系數(shù)，定義了線路功率介數(shù)，按功率介數(shù)的大小確定關(guān)鍵線路。文獻(xiàn)[9]綜合考慮了網(wǎng)架結(jié)構(gòu)、電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)、繼電保護(hù)重要度、電壓偏移情況、實(shí)際地理位置等因素的影響，定義了綜合介數(shù)，用于關(guān)鍵線路辨識(shí)。文獻(xiàn)[10]計(jì)及線路對(duì)無(wú)功潮流傳輸?shù)淖饔?，提出傳輸介?shù)的概念，用于辨識(shí)關(guān)鍵線路。此外，混合流介數(shù)[11]和傳輸因子介數(shù)[12]等指標(biāo)相繼被提出。以上研究將電網(wǎng)的運(yùn)行參數(shù)與介數(shù)相結(jié)合，從不同側(cè)面研究了電網(wǎng)的結(jié)構(gòu)特性和狀態(tài)特性對(duì)關(guān)鍵線路識(shí)別的影響，研究成果對(duì)電網(wǎng)規(guī)劃和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估具有指導(dǎo)意義。

但以上研究均是在確定的電力系統(tǒng)運(yùn)行方式下展開(kāi)的，由于傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)中不確定因素主要源于負(fù)荷或季節(jié)性水電出力的不確定性[13]，電力系統(tǒng)的運(yùn)行方式相對(duì)固定，以某種典型運(yùn)行方式下的潮流為基礎(chǔ)進(jìn)行關(guān)鍵線路辨識(shí)對(duì)傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)（未接入可再生能源）而言是適合的。

在高比例可再生能源接入電力系統(tǒng)的背景下，源荷兩端的不確定性加劇，系統(tǒng)的運(yùn)行方式呈現(xiàn)多樣化，電網(wǎng)潮流雙向化[13]，因此在關(guān)鍵線路辨識(shí)時(shí)需要考慮源荷不確定性對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的影響。文獻(xiàn)[14]以靜態(tài)安全裕度為指標(biāo)，對(duì)交直流混聯(lián)電力系統(tǒng)的關(guān)鍵線路辨識(shí)進(jìn)行了研究，取得了良好的效果，但未考慮可再生能源出力的隨機(jī)性對(duì)關(guān)鍵線路辨識(shí)的影響。文獻(xiàn)[15]考慮了負(fù)荷隨機(jī)波動(dòng)、電網(wǎng)參數(shù)不精確和脆弱性模型選擇的不確定性對(duì)電網(wǎng)脆弱性的影響。文獻(xiàn)[16]計(jì)及了風(fēng)電出力、負(fù)荷不確定性對(duì)關(guān)鍵線路辨識(shí)的影響，但未計(jì)及風(fēng)電出力與負(fù)荷的相關(guān)性。文獻(xiàn)[17]以線路負(fù)載率對(duì)潮流熵進(jìn)行了改進(jìn)，以綜合潮流指標(biāo)關(guān)鍵線路進(jìn)行辨識(shí)，但僅考慮了風(fēng)電出力的不確定性，未考慮多風(fēng)電場(chǎng)出力相關(guān)性對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響。文獻(xiàn)[18]以C藤Copula模型描述風(fēng)電出力與多個(gè)區(qū)域負(fù)荷的不確定性和相關(guān)性，評(píng)估線路的過(guò)負(fù)荷風(fēng)險(xiǎn)，但C藤Copula的藤結(jié)構(gòu)是固定的，且二維Copula函數(shù)的類(lèi)型有限，會(huì)影響到建模的精度[19]。

在高比例可再生能源并網(wǎng)的背景下，為了發(fā)現(xiàn)潛在的關(guān)鍵線路，首先需要準(zhǔn)確地模擬每個(gè)時(shí)間斷面上系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)，要模擬每個(gè)時(shí)間斷面上系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)就需要建立源荷概率模型，描述源荷的不確定性和相關(guān)性，獲得源荷相關(guān)性樣本；然后將源荷相關(guān)性樣本用于概率最優(yōu)潮流計(jì)算，獲得每個(gè)時(shí)間斷面上系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)（包括線路潮流的方向和大?。?，通過(guò)綜合各種運(yùn)行狀態(tài)下線路的潮流介數(shù)，發(fā)現(xiàn)潛在的關(guān)鍵線路，實(shí)現(xiàn)關(guān)鍵線路辨識(shí)。

為此，本文以概率潮流介數(shù)為關(guān)鍵線路辨識(shí)的評(píng)價(jià)指標(biāo)，采用BN（Bayesian network）建立源荷概率模型，描述風(fēng)電出力、光伏出力與負(fù)荷的不確定性和相關(guān)性，以源荷相關(guān)性樣本為基礎(chǔ)進(jìn)行概率最優(yōu)潮流計(jì)算，然后利用順流潮流追蹤法，計(jì)算出線路的概率潮流介數(shù)，進(jìn)而得到關(guān)鍵線路辨識(shí)結(jié)果。以IEEE 39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為算例，將本文方法與靜態(tài)辨識(shí)、計(jì)及源荷不確定性不計(jì)及相關(guān)性、計(jì)及源荷不確定性和相關(guān)性的關(guān)鍵線路辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，對(duì)比結(jié)果檢驗(yàn)了所提方法的有效性。

1 源荷概率模型

1.1 BN基本原理

基于概率推理和圖論的BN通過(guò)結(jié)點(diǎn)（隨機(jī)變量）間的條件概率表示隨機(jī)變量間因果關(guān)系，同時(shí)可以在有限的、不確定性信息中進(jìn)行學(xué)習(xí)與推理，計(jì)算多維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率，能夠描述各隨機(jī)因素之間因條件相關(guān)性而產(chǎn)生的不確定性[20]。

設(shè)w個(gè)隨機(jī)變量X={X i}i=1,2,…,w，BN包括兩部分：一是描述隨機(jī)變量間因果關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)W，二是度量隨機(jī)變量間關(guān)系強(qiáng)度的分布參數(shù)（條件概率表）θ。

假設(shè)對(duì)Xi做o次采樣，得到的數(shù)據(jù)樣本集D={D1,D2,…,D o}，通過(guò)BN的結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)和參數(shù)學(xué)習(xí)后建立了一個(gè)BN=(G,θ)，根據(jù)BN的鏈?zhǔn)揭?guī)則可知，X={Xi}i=1,2,…,w的聯(lián)合概率分布可以表示為

式中，隨機(jī)變量X i所有父結(jié)點(diǎn)的集合用π(Xi)表示。

由于BN能夠?qū)⒍嗑S隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布以概率圖模型的方式表達(dá)，并有效地簡(jiǎn)化了聯(lián)合概率分布的計(jì)算，得到多維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布相當(dāng)于獲得了多維隨機(jī)變量的全景式描述。因此建立源荷的概率模型，為高比例可再生能源背景下模擬系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)奠定了基礎(chǔ)。

1.2 評(píng)分搜索的BN結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)

評(píng)分搜索法是將BN的結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)視為已知觀測(cè)樣本下的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題，因此先定義網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的評(píng)分函數(shù)，然后根據(jù)觀測(cè)樣本對(duì)每個(gè)候選網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行評(píng)分，最后以評(píng)分最高的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)作為最優(yōu)的結(jié)構(gòu)[21]。

（1）評(píng)分函數(shù)

評(píng)分函數(shù)一般為帶懲罰項(xiàng)的最大似然評(píng)分函數(shù)，最大似然函數(shù)反映了觀測(cè)樣本經(jīng)驗(yàn)分布與候選結(jié)構(gòu)的擬合程度，懲罰項(xiàng)對(duì)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)施加懲罰，防止網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)觀測(cè)樣本的過(guò)擬合。觀測(cè)樣本為離散數(shù)據(jù)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的評(píng)分函數(shù)表示為

式中：D表示N個(gè)觀測(cè)樣本的離散數(shù)據(jù)集；W表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；?為參數(shù)向量；i=1,2,…,w表示結(jié)點(diǎn)；j=1,2,…,q i表示結(jié)點(diǎn)Xi的父結(jié)點(diǎn)π(X i)的狀態(tài)；k=1,2,…,r i表示結(jié)點(diǎn)Xi的狀態(tài)；N ij代表觀測(cè)樣本中滿足結(jié)點(diǎn)Xi的父結(jié)點(diǎn)π(Xi)為第j個(gè)狀態(tài)值的樣本個(gè)數(shù)；N ijk代表觀測(cè)樣本中滿足結(jié)點(diǎn)X i的父結(jié)點(diǎn)π(Xi)為第j個(gè)狀態(tài)值且結(jié)點(diǎn)Xi為第k個(gè)狀態(tài)值的樣本個(gè)數(shù)。

帶懲罰項(xiàng)的評(píng)分函數(shù)表示為

式中：f(N)是與觀測(cè)樣本個(gè)數(shù)N有關(guān)的非負(fù)懲罰函數(shù)；dim(W)表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)W的復(fù)雜度。

（2）結(jié)構(gòu)搜索

在確定了網(wǎng)絡(luò)的評(píng)分函數(shù)后，BN網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)就轉(zhuǎn)換為依據(jù)觀測(cè)樣本尋找最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。爬山法是基于評(píng)分函數(shù)的經(jīng)典算法[22]，該方法先從任意一個(gè)初始網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)開(kāi)始，然后對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行邊操作（加邊、減邊、邊翻轉(zhuǎn)），局部修改網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，得到一系列的候選網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，再用評(píng)分函數(shù)對(duì)每個(gè)候選網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行評(píng)分，從候選網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中篩選出最優(yōu)的候選網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。將最優(yōu)的候選網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與初始網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行評(píng)分比較，如果最優(yōu)的候選網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)評(píng)分高于初始網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，則將最優(yōu)的候選網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)作為初始網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)開(kāi)始下一輪搜索；否則，停止搜索，將初始網(wǎng)絡(luò)作為最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，作為BN網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的結(jié)果輸出。

1.3 最大似然估計(jì)法的BN參數(shù)學(xué)習(xí)

參數(shù)學(xué)習(xí)是在已確定BN網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上確定結(jié)點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)間的連接強(qiáng)度，即是對(duì)結(jié)點(diǎn)間的條件概率表進(jìn)行估計(jì)。在觀測(cè)樣本量較大，觀測(cè)樣本較為充足時(shí)，最大似然估計(jì)法的參數(shù)學(xué)習(xí)精度較高[23]。

在BN的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)已知的情況下，需要估計(jì)的BN網(wǎng)絡(luò)參數(shù)為

記θ是由θijk組成的向量，則θ的似然函數(shù)為

式中，D l為D中第l次采樣（或觀測(cè)）的樣本，l=1,2,…,h為采樣次數(shù)。

式（6）兩邊取自然對(duì)數(shù)，得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)

對(duì)式（7）求極值，即可得到θijk的最大似然估計(jì)量。

經(jīng)過(guò)BN結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)和參數(shù)學(xué)習(xí)后，就能夠建立基于BN的源荷概率模型，該模型以聯(lián)合概率分布的形式準(zhǔn)確、全面、完整地描述了源荷的不確定性和相關(guān)性。

需要說(shuō)明的是，對(duì)于服從任意分布的多維連續(xù)型隨機(jī)變量而言，在建立BN模型時(shí)需要對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量做離散化處理，建立BN模型后按照從根結(jié)點(diǎn)到葉子結(jié)點(diǎn)進(jìn)行遍歷采樣，得到隨機(jī)變量的離散的概率值樣本，將該樣本做連續(xù)化處理和累積概率分布的逆變換，獲得服從多維隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布的連續(xù)型樣本，具體方法見(jiàn)文獻(xiàn)[24]，這里不再贅述。

2 線路的潮流介數(shù)與概率潮流介數(shù)

2.1 線路的潮流介數(shù)

在電網(wǎng)中，電源節(jié)點(diǎn)發(fā)出的功率經(jīng)過(guò)線路傳輸?shù)截?fù)荷節(jié)點(diǎn)，由于電源節(jié)點(diǎn)和負(fù)荷節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲械奈恢貌煌粋€(gè)電源節(jié)點(diǎn)向不同的負(fù)荷節(jié)點(diǎn)傳輸功率時(shí)所經(jīng)過(guò)的線路不同，同一負(fù)荷節(jié)點(diǎn)從不同的電源節(jié)點(diǎn)汲取功率時(shí)所利用的線路也不相同，因此電網(wǎng)中各電源節(jié)點(diǎn)同時(shí)向各負(fù)荷節(jié)點(diǎn)傳輸功率時(shí)，在每條線路上流過(guò)的功率不同、每條線路的利用程度不同、每條線路在系統(tǒng)中的重要性也不同。

為了表征電源m向負(fù)荷n輸送功率P(m,n)時(shí)每條線路在全網(wǎng)中的利用程度和重要性，定義單一電源-負(fù)荷節(jié)點(diǎn)對(duì)的線路潮流介數(shù)[5]為

式中：min(Pm,Pn)為單一潮流介數(shù)的權(quán)重，取電源m的實(shí)際有功出力與負(fù)荷n的實(shí)際有功負(fù)荷中的較小值；P(m,n)為電源m向負(fù)荷n傳輸?shù)挠泄β?；Pij(m,n)為電源m向負(fù)荷n傳輸有功功率P(m,n)時(shí)對(duì)線路ij上潮流的貢獻(xiàn)功率；Fij,mn可以表征單電源向單負(fù)荷傳輸有功功率時(shí)，全網(wǎng)所有線路的重要程度。

按式（8）可計(jì)算出每條線路的Fij,mn，根據(jù)疊加原理，將所有電源-負(fù)荷節(jié)點(diǎn)對(duì)在傳輸有功功率時(shí)線路的潮流介數(shù)累加，可得到線路潮流介數(shù)Fij為

式中：m為電源節(jié)點(diǎn)；G為電源節(jié)點(diǎn)集；n為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)；L為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)集。

由于線路潮流介數(shù)Fij不僅與電源、負(fù)荷的實(shí)際出力有關(guān)，而且與系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)、網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有關(guān)，因此Fij反映了線路ij在功率傳輸過(guò)程中的貢獻(xiàn)和重要程度，可以作為關(guān)鍵線路辨識(shí)的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

2.2 基于潮流追蹤法的線路潮流介數(shù)計(jì)算

在線路潮流介數(shù)的表達(dá)式（9）中，需要獲得P(m,n)以及Pij(m,n)。根據(jù)潮流追蹤[5，16，25]的原理，在確定電網(wǎng)潮流分布的情況下，將網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)化為無(wú)損網(wǎng)絡(luò)，然后構(gòu)造順流分配矩陣，采用順流追蹤法對(duì)電源-負(fù)荷節(jié)點(diǎn)對(duì)的潮流進(jìn)行追蹤，確定線路ij中的功率組成分量，具體計(jì)算方法如下。

（1）在確定電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)的情況下，得到發(fā)電機(jī)發(fā)出有功功率、負(fù)荷吸收的有功功率、各條線路的有功潮流和線路損耗。

（2）電網(wǎng)潮流無(wú)損化處理。將線路有功損耗作為等效負(fù)荷，均攤至線路的首端和末端節(jié)點(diǎn)，形成有功無(wú)損網(wǎng)絡(luò)。

（3）基于有功無(wú)損網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造順流分配矩陣A=(aij)r×r，r為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，矩陣中的元素a ij為

式中：P ij為線路ij從i節(jié)點(diǎn)流向j節(jié)點(diǎn)的有功功率；PTj為節(jié)點(diǎn)j總注入的有功功率。

（4）構(gòu)造發(fā)電機(jī)有功出力對(duì)角陣PGG、節(jié)點(diǎn)有功負(fù)荷對(duì)角陣PLL和節(jié)點(diǎn)注入有功功率對(duì)角陣PTT

式中，PGr為節(jié)點(diǎn)r的發(fā)電機(jī)有功出力。

式中，PLr為節(jié)點(diǎn)r的有功負(fù)荷。

式中，PTr為節(jié)點(diǎn)r注入的總的有功功率。

（5）計(jì)算電源節(jié)點(diǎn)向負(fù)荷節(jié)點(diǎn)分配有功功率的系數(shù)矩陣KG和負(fù)荷節(jié)點(diǎn)從電源節(jié)點(diǎn)汲取有功功率的系數(shù)矩陣KL

（6）求取電源節(jié)點(diǎn)m向負(fù)荷節(jié)點(diǎn)n提供的有功功率P(m,n)為

式中：KL(n,m)為有功汲取系數(shù)矩陣KL中第n行、第m列的元素；PGm為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)m的有功出力。

（7）計(jì)算Pij(m,n)的關(guān)系式為

式中：i為線路有功功率流入的節(jié)點(diǎn)號(hào)；j為線路有功功率流出的節(jié)點(diǎn)號(hào)；KL(n,j)為矩陣KL中第n行、第j列的元素，KG(m,i)為矩陣KG中第m行、第i列的元素；Pij為線路ij上的有功功率。

（8）根據(jù)式（9）計(jì)算出電網(wǎng)中所有線路的潮流介數(shù)Fij。

2.3 線路的概率潮流介數(shù)

為了考慮源荷的不確定性引起系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的變化，以概率最優(yōu)潮流計(jì)算為基礎(chǔ)，計(jì)算線路的概率潮流介數(shù)。在忽略風(fēng)電和光伏機(jī)組發(fā)電成本的情況下，將最優(yōu)潮流的目標(biāo)函數(shù)設(shè)置為常規(guī)機(jī)組的發(fā)電成本，約束條件包括有功功率和無(wú)功功率的平衡約束、常規(guī)發(fā)電機(jī)有功出力和無(wú)功出力的上下限約束以及節(jié)點(diǎn)電壓幅值的上下限約束。最優(yōu)潮流采用原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法求解，求解后確定系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)，再根據(jù)順流潮流追蹤法，計(jì)算每條線路的潮流介數(shù)。

假設(shè)風(fēng)光荷樣本的集合中共有N組樣本，若第k組樣本對(duì)應(yīng)的最優(yōu)潮流收斂，此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)為k，以該狀態(tài)下所有線路的潮流介數(shù)中的最大值max(Fij(k))為基準(zhǔn)值，將每條線路的潮流介數(shù)歸一化為

運(yùn)行狀態(tài)k出現(xiàn)的概率為

式中，Ns為N組樣本中最優(yōu)潮流收斂的總次數(shù)。

根據(jù)式（18）和（19）可定義線路i j的概率潮流介數(shù)Ri,j為

概率潮流介數(shù)Ri,j實(shí)質(zhì)上是線路ij在各種運(yùn)行狀態(tài)下潮流介數(shù)的期望，它綜合了電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)和線路潮流介數(shù)兩方面的因素，既反映了運(yùn)行狀態(tài)出現(xiàn)的概率，也體現(xiàn)了線路在該運(yùn)行狀態(tài)下對(duì)功率傳輸?shù)呢暙I(xiàn)。

2.4 關(guān)鍵線路辨識(shí)流程

考慮源荷不確定性和相關(guān)性的關(guān)鍵線路辨識(shí)流程圖如圖1所示，具體步驟如下：

圖1 關(guān)鍵線路辨識(shí)流程Fig.1 Flow chart of critical line identification

（1）輸入電網(wǎng)原始數(shù)據(jù)和風(fēng)電、光伏出力以及負(fù)荷的全年每小時(shí)數(shù)據(jù)；

（2）以BN建立源荷概率模型，采用蒙特卡洛抽樣法從概率模型中抽樣得到N組樣本負(fù)荷、光伏出力和風(fēng)電出力的相關(guān)性樣本；

（3）設(shè)置k=1，以第k組樣本為基礎(chǔ)進(jìn)行最優(yōu)潮流計(jì)算；

（4）如果最優(yōu)潮流收斂，則進(jìn)入下一步；否則，返回上一步，取k+1組樣本進(jìn)行最優(yōu)潮流計(jì)算；

（5）以最優(yōu)潮流計(jì)算結(jié)果為基礎(chǔ)，進(jìn)行順流潮流追蹤，計(jì)算線路的潮流介數(shù)；

（6）判斷N組源荷相關(guān)性樣本是否全部用于最優(yōu)潮流計(jì)算如k＜N，則k=k+1，返回到步驟（3），取k+1組源荷相關(guān)性樣本進(jìn)行最優(yōu)潮流計(jì)算；如k=N，則進(jìn)入下一步。

（7）計(jì)算所有線路的概率潮流介數(shù)，按概率潮流介數(shù)對(duì)關(guān)鍵線路排序。

3 算例研究

3.1 源荷概率模型

以美國(guó)PJM市場(chǎng)公布的2017年MIDATL區(qū)域負(fù)荷、4個(gè)光伏電站出力和4個(gè)風(fēng)電場(chǎng)出力的全年每小時(shí)數(shù)據(jù)作為BN建模數(shù)據(jù)[18]。各連續(xù)型隨機(jī)變量的離散化區(qū)間的個(gè)數(shù)為[3 3 4 6 3 3 5 4 6 3]，采用基于評(píng)分函數(shù)的爬山法和最大似然估計(jì)法對(duì)BN進(jìn)行結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)和參數(shù)學(xué)習(xí)，圖2給出了經(jīng)過(guò)BN結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)和參數(shù)學(xué)習(xí)后得到的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖。

圖2 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of Bayesian network

由BN結(jié)構(gòu)圖2可見(jiàn)該區(qū)域的負(fù)荷與風(fēng)電出力、光伏出力之間有相關(guān)性，通過(guò)參數(shù)學(xué)習(xí)可以獲得網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)間的條件概率表，條件概率表定量表達(dá)了結(jié)點(diǎn)之間的相關(guān)性。以6#結(jié)點(diǎn)為例，表1給出的條件概率表反映了6#結(jié)點(diǎn)與1#負(fù)荷結(jié)點(diǎn)、2#光伏結(jié)點(diǎn)之間的條件依賴(lài)關(guān)系，表中“La”、“So”、“Wi”分別表示1#負(fù)荷、2#光伏出力和6#風(fēng)電場(chǎng)出力的狀態(tài)，狀態(tài)值“1”、“2”、“3”表示負(fù)荷（或光伏出力、風(fēng)電場(chǎng)出力）處于“低”、“中”、“高”三類(lèi)狀態(tài)。

以表1中最后一行第一列的數(shù)據(jù)為例，說(shuō)明條件概率表中數(shù)據(jù)的含義，表中“La=3，So=3”表示如果負(fù)荷、光伏出力都處于“高”的狀態(tài)下，風(fēng)電場(chǎng)出力處于“低”狀態(tài)的概率為0.630 6，即：ρ(Wi=1|La=3,So=3)=0.630 6，表中其他條件概率值的含義與此相同。

表1 6#風(fēng)電場(chǎng)出力(Wi)與1#負(fù)荷(La)、2#光伏出力(So)的條件概率Tab.1 Conditional probabilities of No.6 wind farm output（Wi），No.1 load（La）and No.2 photovoltaic output（So）

對(duì)所建立的BN概率模型，按照網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖中的條件依賴(lài)關(guān)系，從根結(jié)點(diǎn)（圖2中的1號(hào)結(jié)點(diǎn)）至葉子結(jié)點(diǎn)進(jìn)行順序采樣。每次采樣時(shí)，先給出根結(jié)點(diǎn)的實(shí)例化取值（實(shí)例化取值由根結(jié)點(diǎn)的離散分布律決定，如：ρ(La=1)=0.2，ρ(La=2)=0.5，ρ(La=3)=0.3），然后根據(jù)BN的條件概率表得到葉子結(jié)點(diǎn)的實(shí)例化取值。采樣1 000次后，就得到1 000組離散的概率值樣本，利用式（21）將每個(gè)離散的概率值轉(zhuǎn)換為連續(xù)的概率值，再通過(guò)各維隨機(jī)變量累積概率分布的逆變換，得到各維隨機(jī)變量的樣本，即為源荷相關(guān)性樣本。

式中：a、b表示離散的概率值對(duì)應(yīng)的連續(xù)區(qū)間左右端點(diǎn)值；rand為均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

為比較是否考慮源荷不確定性和相關(guān)性的樣本差異，給出4種情況下對(duì)應(yīng)的樣本為

Case1：負(fù)荷、光伏出力和風(fēng)電出力的8 760 h時(shí)序樣本，簡(jiǎn)稱(chēng)“原始樣本”。

Case2：風(fēng)光荷相互獨(dú)立，以兩參數(shù)的Weibull分布描述風(fēng)電出力，采用Beta分布描述光伏出力，Weibull和Beta分布的參數(shù)通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)得到；以正態(tài)分布描述負(fù)荷，正態(tài)分布的均值、標(biāo)準(zhǔn)差為原始樣本的均值、標(biāo)準(zhǔn)差。分別對(duì)Weibull分布、Beta分布和正態(tài)分布進(jìn)行蒙特卡洛抽樣1 000次，獲得的樣本，簡(jiǎn)稱(chēng)“獨(dú)立樣本”。

Case3：考慮風(fēng)光荷的不確定性和相關(guān)性，采用C藤Copula概率模型[19，26-27]，建立源荷概率模型，對(duì)模型抽樣1 000次得到的樣本，簡(jiǎn)稱(chēng)“Copula樣本”。

Case4：考慮風(fēng)光荷的不確定性和相關(guān)性，以BN建立源荷概率模型，抽樣1 000次得到的相關(guān)性樣本，簡(jiǎn)稱(chēng)“BN樣本”。

4種負(fù)荷樣本的概率密度曲線如圖3所示，比較4種負(fù)荷樣本的概率密度曲線可見(jiàn)：獨(dú)立樣本與原始樣本的概率密度曲線相比差異較大，其原因是該區(qū)域的實(shí)際負(fù)荷并不嚴(yán)格服從正態(tài)分布，以理想的正態(tài)分布描述該區(qū)域負(fù)荷，則產(chǎn)生了較大的偏差。Copula樣本、BN樣本的概率密度曲線與原始樣本的概率密度曲線吻合度高，在峰值處BN樣本比Copula樣本的概率密度曲線更貼近原始樣本的概率密度曲線。

圖3 區(qū)域負(fù)荷概率密度Fig.3 Probability density of regional load

2#光伏出力樣本的概率密度如圖4所示，將獨(dú)立樣本、Copula樣本、BN樣本與原始樣本的概率密度比較可知，BN樣本的概率密度曲線更接近原樣本概率密度曲線。8#風(fēng)電出力樣本的概率密度如圖5所示，獨(dú)立樣本與原樣本的概率密度曲線大體一致，Copula樣本、BN樣本與原樣本的概率密度曲線基本吻合，相比較而言BN樣本的吻合度更高。

圖4 光伏電站出力的概率密度Fig.4 Probability density of output from photovoltaic power station

圖5 風(fēng)電場(chǎng)出力的概率密度Fig.5 Probability density of output from wind farm

4種樣本歸一化后的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如圖6和圖7所示，從圖6和圖7中可見(jiàn)獨(dú)立樣本的均值、標(biāo)準(zhǔn)差與原始樣本的差異最大，BN樣本與原樣本的均值、標(biāo)準(zhǔn)差基本相同。

圖6 樣本的歸一化均值Fig.6 Normalized mean of samples

圖7 樣本的歸一化標(biāo)準(zhǔn)差Fig.7 Normalized standard deviation of samples

綜合以上比較和分析，說(shuō)明通過(guò)BN建立的概率模型能夠描述風(fēng)電、光伏出力與負(fù)荷的相關(guān)性，蒙特卡洛抽樣得到的BN樣本基本再現(xiàn)了原始樣本的概率特征。Copula樣本與原始樣本的概率特征基本一致，由于C藤Copula采用了固定的藤結(jié)構(gòu)，且二維Copula函數(shù)的類(lèi)型有限，影響了模型的精度[19]。獨(dú)立樣本由于沒(méi)有考慮風(fēng)光荷的相關(guān)性，該類(lèi)樣本與原始樣本概率特征的差異較大。獲得了相互獨(dú)立的源荷樣本和具有相關(guān)性的源荷樣本，為是否計(jì)及源荷不確定性和相關(guān)性的關(guān)鍵線路辨識(shí)奠定了基礎(chǔ)。

3.2 關(guān)鍵線路辨識(shí)

以IEEE 39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為測(cè)試系統(tǒng)[28]，系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)14臺(tái)、負(fù)荷節(jié)點(diǎn)19個(gè)、線路46條，系統(tǒng)總負(fù)荷6 254 MW，發(fā)電機(jī)有功出力6 297.9 MW。4個(gè)風(fēng)電場(chǎng)和4個(gè)光伏電站分別接入21、32、34、38節(jié)點(diǎn)和8、24、35、39節(jié)點(diǎn)，修改后的系統(tǒng)接線如圖8所示。4個(gè)風(fēng)電場(chǎng)額定功率分別為200 MW、150 MW、100 MW、100 MW，4個(gè)光伏電站額定功率均為50 MW，風(fēng)電、光伏電站接入的額定有功功率之和為750 MW。將Case1~Case4的樣本分別做歸一化處理，然后將各維風(fēng)電、光伏樣本乘以各風(fēng)電場(chǎng)、光伏電站的額定有功功率，就獲得了各風(fēng)電場(chǎng)、光伏電站的實(shí)際有功出力。按恒功率因數(shù)cosφ=0.98可以得到風(fēng)電場(chǎng)、光伏電站的無(wú)功功率。系統(tǒng)總負(fù)荷在原系統(tǒng)總負(fù)荷的基礎(chǔ)上增加30%，再乘以MIDATL地區(qū)實(shí)際負(fù)荷歸一化系數(shù)，作為修改后的節(jié)點(diǎn)負(fù)荷。

圖8 IEEE 39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.8 IEEE 39-node system

將3.1節(jié)Case1~Case4得到的4種樣本做尺度變換后，進(jìn)行概率最優(yōu)潮流計(jì)算，得到各種情況下按概率潮流介數(shù)排序的關(guān)鍵線路辨識(shí)結(jié)果如表2所示（取每種情況下排名前十的線路）。表2中靜態(tài)辨識(shí)是不考慮源荷不確定性情況下的關(guān)鍵線路辨識(shí)結(jié)果；Case1是以風(fēng)光荷原始樣本為基礎(chǔ)得到的關(guān)鍵線路辨識(shí)結(jié)果，以Case1作為其他關(guān)鍵線路辨識(shí)的比較標(biāo)準(zhǔn)。Case2是以獨(dú)立樣本為基礎(chǔ)的得到的關(guān)鍵線路辨識(shí)結(jié)果；Case3是以C藤Copula為基礎(chǔ)的得到的關(guān)鍵線路辨識(shí)結(jié)果；Case4是以BN樣本為基礎(chǔ)的得到的關(guān)鍵線路辨識(shí)結(jié)果。

表2 按概率潮流介數(shù)排序的關(guān)鍵線路辨識(shí)結(jié)果Tab.2 Critical line identification results sorted by probabilistic power flow betweenness

比較表2中靜態(tài)辨識(shí)與Case1的辨識(shí)結(jié)果可見(jiàn)，不考慮風(fēng)光荷不確定性與既考慮風(fēng)光荷不確定性又考慮相關(guān)性的關(guān)鍵線路辨識(shí)結(jié)果差異性顯著，靜態(tài)辨識(shí)Ri,j排序前十的線路中只有6條線路與Case1的相同，誤判率為40%。說(shuō)明在可再生能源并網(wǎng)、負(fù)荷隨機(jī)波動(dòng)的情況下，靜態(tài)辨識(shí)難以發(fā)現(xiàn)電網(wǎng)中全部潛在的關(guān)鍵線路，辨識(shí)的誤判率高。

Case1~Case4為考慮源荷不確定性的辨識(shí)，以Case1的辨識(shí)結(jié)果為參考標(biāo)準(zhǔn)，其他3種情況與Case1的結(jié)果進(jìn)行比較可見(jiàn)，Case2考慮風(fēng)光荷的不確定性但不考慮相關(guān)性，排序前十的關(guān)鍵線路中有兩條線路（25-37和16-24）與參考標(biāo)準(zhǔn)不一致，關(guān)鍵線路辨識(shí)的誤判率為20%，辨識(shí)誤差較大。Case3和Case4得到排序前十的關(guān)鍵線路與Case1相同，但排序和概率潮流介數(shù)與Case1有差異。

以Case1、Case3和Case4辨識(shí)結(jié)果中排序前三的線路16-17、21-22、23-36為例進(jìn)行分析。

（1）線路16-17：該線路在Case3和Case4的辨識(shí)結(jié)果中排在第1位，在21號(hào)、24號(hào)、34號(hào)、35號(hào)節(jié)點(diǎn)分別接入風(fēng)電、光伏機(jī)組后，線路16-17成為功率外送的樞紐，風(fēng)電、光伏出力通過(guò)該線路向其他節(jié)點(diǎn)輸送，電源-負(fù)荷節(jié)點(diǎn)對(duì)傳送功率經(jīng)過(guò)該線路的次數(shù)顯著增加（潮流介數(shù)的廣度），電源-負(fù)荷節(jié)點(diǎn)對(duì)在該線路上引起的有功分量增加，因此概率潮流介數(shù)R16,17最大，靜態(tài)辨識(shí)和Case1-Case4的辨識(shí)結(jié)果都驗(yàn)證了這一結(jié)論。

（2）線路21-22：該線路在Case4中排在第2位，與Case1的排序相同，該線路Case4與Case1的Ri.j值相比，相對(duì)誤差為3.33%，相對(duì)誤差較小。在Case3中該線路排在第3位，該線路Case3與Case1的Ri,j值相比，相對(duì)誤差為7.78%，相對(duì)誤差較大，說(shuō)明Case4比Case3的辨識(shí)精度高。線路21-22是風(fēng)電、光伏出力的外送和聯(lián)絡(luò)線路，是系統(tǒng)中的關(guān)鍵線路，該線路在靜態(tài)辨識(shí)結(jié)果中排序?yàn)榈?，說(shuō)明高比例可再生并網(wǎng)后，該線路的重要性顯著上升。

（3）線路23-36：該線路是連接常規(guī)發(fā)電機(jī)和風(fēng)力機(jī)組的線路，Case2和Case3中該線路排在第2位，Case4中排在第3位與Case1的排序一致，說(shuō)明Case4的辨識(shí)結(jié)果更準(zhǔn)確。

為了進(jìn)一步比較4種不同情況下概率最優(yōu)潮流計(jì)算的結(jié)果，圖9給出了16節(jié)點(diǎn)的電壓幅值的PDF和線路16-17的有功潮流，從圖9（a）可見(jiàn)，Case2不考慮風(fēng)光荷相關(guān)性的情況下，16節(jié)點(diǎn)的電壓PDF與Case1相比有較大差異，Case3和Case4的PDF與Case1的PDF差異較小。圖9（b）中，Case3和Case4情形下線路16-17的有功潮流PDF與Case1的基本吻合；Case2情形下的有功潮流PDF與Case1的有顯著性差異。

圖9 節(jié)點(diǎn)電壓幅值和有功潮流的概率密度Fig.9 Probability density of node voltage amplitude and active power flow

16號(hào)節(jié)點(diǎn)電壓幅值均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表3所示，線路16-17有功潮流的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表4所示。比較表3、表4中Case1~Case4的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和相對(duì)誤差可知：Case4情形下電壓幅值和有功潮流的均值、標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)誤差最小、Case3的相對(duì)誤差次小，Case2的相對(duì)誤差最大。比較結(jié)果表明，以BN樣本為基礎(chǔ)的概率最優(yōu)潮流計(jì)算結(jié)果與原始樣本（時(shí)序的）為基礎(chǔ)的概率最優(yōu)潮流計(jì)算結(jié)果最為接近，說(shuō)明所提方法能夠較為準(zhǔn)確地模擬高比例可再生能源接入后電網(wǎng)的運(yùn)行狀態(tài)。

表3 16號(hào)節(jié)點(diǎn)電壓幅值的均值、標(biāo)準(zhǔn)差Tab.3 Mean and standard deviation of voltage amplitude at Node 16

表4 線路16-17有功潮流的均值、標(biāo)準(zhǔn)差Tab.4 Mean and standard deviation of active power flow of line 16-17

Case1~Case4情形下4種樣本的概率最優(yōu)潮流收斂次數(shù)如表5所示，由表5可知：4種風(fēng)光荷樣本進(jìn)行最優(yōu)潮流計(jì)算，最優(yōu)潮流收斂的次數(shù)均大于各自樣本組數(shù)的90%，說(shuō)明概率最優(yōu)潮流基本實(shí)現(xiàn)了對(duì)風(fēng)電出力、光照強(qiáng)度、負(fù)荷不同取值狀態(tài)下系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的模擬，概率最優(yōu)潮流的模擬結(jié)果為關(guān)鍵線路辨識(shí)提供了完整、可靠的系統(tǒng)運(yùn)行數(shù)據(jù)，關(guān)鍵線路辨識(shí)結(jié)果的可信度高。

表5 概率最優(yōu)潮流的收斂次數(shù)Tab.5 Number of convergence of probabilistic optimal power flow

4 結(jié)論

高比例可再生能源并網(wǎng)后使得電力系統(tǒng)的運(yùn)行方式復(fù)雜多變，狀態(tài)變量隨運(yùn)行方式的改變而時(shí)刻變化，確定運(yùn)行方式下的關(guān)鍵線路辨識(shí)方法無(wú)法考慮源荷不確定性和相關(guān)性對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響。為此，本文提出了考慮源荷不確定性和相關(guān)性的關(guān)鍵線路辨識(shí)方法。該方法利用基于BN的源荷概率模型，將概率最優(yōu)潮流與順流潮流追蹤法相結(jié)合，以概率潮流介數(shù)為指標(biāo)對(duì)關(guān)鍵線路進(jìn)行辨識(shí)。以IEEE 39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為算例，比較和分析了是否考慮源荷不確定性和相關(guān)性對(duì)關(guān)鍵線路辨識(shí)結(jié)果的影響，得到以下結(jié)論。

（1）不考慮源荷不確定性的關(guān)鍵線路靜態(tài)辨識(shí)方法不適用于高比例可再生能源接入電網(wǎng)后的關(guān)鍵線路辨識(shí)，關(guān)鍵線路辨識(shí)的誤判率為40%，誤判率高。

（2）僅考慮源荷不確定性，不考慮源荷相關(guān)性的關(guān)鍵線路辨識(shí)方法的誤判率為20%，辨識(shí)誤差較大。

（3）本文方法和基于C藤Copula的關(guān)鍵線路辨識(shí)方法都能夠同時(shí)考慮源荷不確定性和相關(guān)性，兩者的前十條關(guān)鍵線路與參考標(biāo)準(zhǔn)一致，但前者的關(guān)鍵線路排序和線路概率潮流介數(shù)的精度高于后者。

（4）所提方法較為全面地反映了源荷不確定性和相關(guān)性對(duì)關(guān)鍵線路辨識(shí)的影響，辨識(shí)結(jié)果準(zhǔn)確、可信度高，能夠模擬復(fù)雜多變的電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)，為開(kāi)展預(yù)防電網(wǎng)連鎖故障和制定電網(wǎng)事故預(yù)案等方面的研究提供了指導(dǎo)和參考。