王兆南 張?jiān)?/p>

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院， 蘭州 730070)

薄壁箱梁在汽車荷載或其他不對(duì)稱豎向荷載作用下的畸變效應(yīng)是非常突出的。為了合理地設(shè)計(jì)薄壁箱梁，對(duì)畸變引起的應(yīng)力進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算是非常必要的；同時(shí)在薄壁箱梁內(nèi)部設(shè)置橫隔板可有效地限制畸變變形，減少箱梁畸變翹曲引起的正應(yīng)力，從而使得箱形梁在偏心豎向荷載作用下能夠受力合理，達(dá)到延長(zhǎng)橋梁使用期限的目的。薄壁箱梁畸變研究的方法有板元分析法、能量變分法、廣義坐標(biāo)法等[1-2]。對(duì)得出的畸變控制微分方程可采用初參數(shù)解法，Galerkin解法等求解。其中Galerkin解法可方便地考慮薄壁箱梁內(nèi)部橫隔板設(shè)置的數(shù)量對(duì)畸變效應(yīng)的影響[3]。Ren等研究了簡(jiǎn)支箱形梁考慮橫隔板剪切變形對(duì)畸變的影響[4]。趙甲薦等研究了單箱雙室箱梁橫隔板的剪切應(yīng)變能[5]。李運(yùn)生等進(jìn)行了鋼-混凝土曲線組合箱梁橋橫隔板間距的研究[6]。李育楷等研究了橫隔板間距對(duì)懸挑箱梁畸變的影響[7]。張彥玲等通過有限元研究了橫隔板設(shè)置對(duì)簡(jiǎn)支單箱雙室箱形梁畸變的影響[8]。橫隔板的設(shè)置對(duì)箱梁畸變變形的限制是明顯的，能有效地減小箱梁的畸變正應(yīng)力[9-10]。

畸變控制微分方程的解法較多[11-14]，有適合等截面箱梁畸變研究的初參數(shù)法，有適合變截面箱梁畸變研究的紐馬克法。彈性地基梁比擬法(BEF法)是解算畸變微分方程的有效方法，然而該方法適合于無限長(zhǎng)梁，當(dāng)箱梁長(zhǎng)度在一定范圍之內(nèi)時(shí)，初參數(shù)法和BEF法在邊界附近的計(jì)算值存在較大偏差。以上這些方法在考慮箱梁橫隔板的影響時(shí)，處理較為復(fù)雜，沒有Galerkin解法方便直觀。同時(shí)，劉保東等通過波形鋼腹板連續(xù)剛構(gòu)橋的扭轉(zhuǎn)畸變?cè)囼?yàn)研究，分析了橫隔板對(duì)箱梁畸變限制的影響[15]。

本文以箱梁腹板豎向撓度wd為未知量，在改進(jìn)的箱梁畸變分析理論的基礎(chǔ)上，采用能量變分原理建立矩形截面單箱單室薄壁箱梁的畸變控制微分方程，分析以畸變撓度和畸變角為未知量的箱梁畸變扇性坐標(biāo)、畸變翹曲慣性矩之間的關(guān)系。采用Galerkin解法研究箱梁跨內(nèi)設(shè)置的橫隔板數(shù)量對(duì)畸變變形的影響。

1 畸變假定和畸變扇性坐標(biāo)

等高度簡(jiǎn)支箱梁，頂板上任意位置作用的偏心豎向均布荷載，均可分解成作用于箱梁各板件連接角點(diǎn)上的反對(duì)稱荷載P，單位為kN/m，如圖1所示。沿梁縱向，從跨中截取單位長(zhǎng)的梁段，其頂板、底板和腹板等板件形成一個(gè)閉合框架，在此假定[1-2]：

1) 組成框架各板件的橫向變形忽略不計(jì)，箱形截面的周邊不可壓縮，橫向應(yīng)變?yōu)榱恪?/p>

2) 箱梁發(fā)生畸變翹曲時(shí)，組成箱形截面的各板件作為各縱向板梁的橫截面，分別滿足平截面假定。

3) 忽略箱梁各板件厚度對(duì)翹曲的影響，剪應(yīng)力和翹曲正應(yīng)力沿壁厚均勻分布。

單箱單室矩形截面箱梁截面形式如圖1所示，變量d、a1、a2為箱梁框架各板件的寬度；箱梁腹板、底板、頂板(包括懸臂板)的厚度為t1、t2、t4，左、右腹板厚度相等；彈性模量為E，泊松比為μ，反對(duì)稱荷載P的作用位置如圖1所示，分析采用右手坐標(biāo)系。

圖1 單箱單室矩形截面箱梁Fig.1 Single-box single-cell box girders with rectangular sections

圖2 箱梁畸變扇性坐標(biāo)和畸變特征Fig.2 Distortion sectorial coordinates of box girders and distortion characteristics

(1)

對(duì)此式進(jìn)行化簡(jiǎn)并求解β′，解出β′后箱梁橫截面上周向各點(diǎn)的畸變扇性坐標(biāo)數(shù)值即可確定。

2 畸變翹曲慣性矩和橫向抗彎剛度

t2a2β′2+t1a1(6β′2-6β′+1)]

(2)

因有β′=β/(1+β)，用β代替β′，則上式變?yōu)椋?/p>

(3)

如以畸變角γd為未知量，推導(dǎo)箱梁畸變翹曲慣性矩Iωd，則角點(diǎn)A的畸變扇性坐標(biāo)ω′dA為：

(4)

式中：kd為和箱梁截面畸變中心相關(guān)的系數(shù)[2]。

角點(diǎn)D的畸變扇性坐標(biāo)ω′dD為：

(5)

這兩種未知量對(duì)應(yīng)的畸變扇性坐標(biāo)在箱梁橫截面角點(diǎn)處的數(shù)值存在一個(gè)比值為a2/4。在此，以畸變扇性坐標(biāo)ω′dA和ω′dD為基礎(chǔ)，推導(dǎo)以畸變角γd為未知量的對(duì)應(yīng)的箱梁畸變翹曲慣性矩Iωd，最后可得Iωd見式(6)，單位為m6。

(6)

箱梁橫向框架抗彎剛度Kd，根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)中桿件矩陣位移法的關(guān)于桿件剛度的表達(dá)式，可得箱梁框架橫向抗彎剛度[3]為：

(7)

對(duì)文獻(xiàn)[16]中的以箱梁腹板撓度為未知量，建立的梯形截面箱梁畸變翹曲慣性矩的計(jì)算式進(jìn)行修正。修正后的箱梁畸變翹曲慣性矩計(jì)算式如下所示。

(8)

其中Δ=Δ1+Δ2

3 以wd為未知量的畸變微分方程和解法

(9)

對(duì)式(9)進(jìn)行變分運(yùn)算后可得：

(10)

方程(10)求解的邊界條件為：δw′d(EIωdw″d)=0，δwd(EIωdw?d)=0。在簡(jiǎn)支端：wd=0，w″d=0。針對(duì)畸變微分方程(10)可采用Galerkin法進(jìn)行求解，設(shè)腹板的豎向位移為：

(11)

式中：l為箱梁梁端橫隔板的間距；bk為一常數(shù)。

將wd代入式(10)，在等號(hào)兩端同乘sin(kπz/l)后得到：

(12)

如有P為常量均布荷載，可解出bk=2Pl4/(EIωdk5π5+Kdkπl(wèi)4)，k=1，2，3，…。因此，簡(jiǎn)支帶有端橫隔板的等高度薄壁箱梁的腹板的豎向位移可表示為：

(13)

簡(jiǎn)支薄壁等高度箱梁，除設(shè)置端橫隔板以外，箱梁跨內(nèi)還設(shè)置有n道橫隔板。此時(shí)相鄰橫隔板的間距為l/(1+n)，設(shè)跨內(nèi)布置了橫隔板的箱梁腹板豎向位移wdn為wdn=bknsin[(n+1)πz/l]，如同式(13)得出的過程，則wdn和跨內(nèi)橫隔板數(shù)量n之間有如下關(guān)系：

(14)

對(duì)應(yīng)的箱梁跨內(nèi)橫隔板的數(shù)量n可取為0、1、2、3等。

4 數(shù)值算例

取數(shù)值算例，采用本文方法計(jì)算箱梁在偏心豎向荷載作用下腹板的豎向撓度，考察增加的橫隔板對(duì)箱梁畸變變形的影響。

算例1為矩形截面簡(jiǎn)支箱梁橋，取自文獻(xiàn)[3]。計(jì)算跨徑L=32 m，E=36.5 GPa，μ=0。在箱梁頂板和腹板相接處施加均布線荷載P=2 kN/m，箱梁截面尺寸如圖3所示。

圖3 箱梁截面尺寸 cmFig.3 Box girder cross sections

采用本文方法得出的算式，計(jì)算得到有端橫隔板的簡(jiǎn)支箱梁畸變參數(shù)和跨中截面腹板豎向撓度wd等項(xiàng)目數(shù)值如表1所列。采用比擬的彈性地基梁解法(BEF法)得到的箱梁跨中截面腹板豎向撓度為0.029 6 mm，略大于本文方法得出的數(shù)值。本文解和文獻(xiàn)[3]給出的解相互吻合較好。采用ANSYS軟件的Shell 63單元建立箱梁有限元模型，共劃分68 520個(gè)單元。分析得出的箱梁跨中截面腹板豎向撓度wd為0.035 92 mm，如表1和圖4所示。箱梁腹板豎向撓度采用有限元分析得出的值比相關(guān)文獻(xiàn)數(shù)值，其他解析法得出的數(shù)值大。

表1 算例1箱梁畸變計(jì)算Table 1 Box girder distortion of example 1

圖4 算例1箱梁跨中腹板豎向撓度wd 10-5mFig.4 Vertical deflection at the mid-span web of the box girder in example 1

采用本文Galerkin解法計(jì)算簡(jiǎn)支箱梁跨中截面腹板的撓度和跨內(nèi)橫隔板的數(shù)量關(guān)系如表2所列?？鐑?nèi)有橫隔板的箱梁畸變撓度減小量與跨內(nèi)無橫隔板的箱梁畸變撓度相比較，畸變撓度減小量的數(shù)值見表2。

表2 箱梁跨中腹板豎向撓度wdTable 2 Vertical deflection at the mid-span web of the box girder

由表2可見，在簡(jiǎn)支箱梁設(shè)置端橫隔板的情況下，箱梁跨內(nèi)橫隔板數(shù)量為0時(shí)，跨中截面腹板豎向撓度為0.025 89 mm；箱梁跨內(nèi)設(shè)置1道橫隔板時(shí)，跨中截面腹板豎向撓度為0.005 89 mm，畸變撓度減小量為77.25%；箱梁跨內(nèi)設(shè)置2道橫隔板時(shí)，畸變撓度減小量為95.48%；跨內(nèi)設(shè)置3道橫隔板時(shí)，畸變撓度減小量為98.84%。由此可以看出，簡(jiǎn)支箱梁在端橫隔板存在的情況下，在跨內(nèi)設(shè)置1道橫隔板時(shí)，畸變撓度就可減小到77.25%。若設(shè)置3道橫隔板，箱梁畸變變形將很小，在偏心豎向荷載作用下箱梁僅可按約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算偏心效應(yīng)。即使設(shè)置2道橫隔板，畸變撓度減小量為95.48%，畸變效應(yīng)也可忽略。

為直觀表達(dá)箱梁跨內(nèi)橫隔板數(shù)量的增加對(duì)簡(jiǎn)支箱梁跨中截面腹板豎向撓度的影響，現(xiàn)繪出二者的關(guān)系，如圖5所示。分析得到：箱梁跨內(nèi)設(shè)置較多的橫隔板對(duì)減小箱梁在偏心豎向荷載作用下的畸變變形限制是有限的，橫隔板數(shù)量設(shè)置較多時(shí)還會(huì)增加箱梁設(shè)計(jì)和施工的難度，對(duì)簡(jiǎn)支箱梁跨內(nèi)橫隔板的數(shù)量設(shè)置不宜過多。

圖5 箱梁橫隔板數(shù)量和腹板撓度關(guān)系Fig.5 The relations between the number of diaphragms and deflection of the box girder web

采用Galerkin解法，箱梁橫隔板的數(shù)量對(duì)箱梁畸變變形的影響，在畸變微分方程的解當(dāng)中得到了直觀的體現(xiàn)。采用初參數(shù)法時(shí)，這一過程較為復(fù)雜。采用本文的方法計(jì)算箱梁畸變翹曲正應(yīng)力的數(shù)值與其他方法的計(jì)算結(jié)果是相同的。

算例2取自文獻(xiàn)[16]，截面形式如圖1所示，簡(jiǎn)支單箱單室矩形截面箱梁。計(jì)算跨徑L=40 m，E=31 GPa，μ=0.167，截面尺寸a1=2 m、a2=4 m、d=2 m、t1=0.35 m、t2=0.2 m、t4=0.25 m。通過本文方法，文獻(xiàn)[16]給出算式，本文修正后的文獻(xiàn)[16]中的算式計(jì)算箱梁的畸變效應(yīng)各參數(shù)，結(jié)果如表3所示。

采用ANSYS有限元程序的Shell 63單元建立箱梁有限元模型，共劃分65 600個(gè)單元。分析得出的箱梁跨中截面腹板豎向撓度wd為1.39×10-5m，如圖6所示。將箱梁跨中截面頂板和底板角點(diǎn)處的橫向彎曲應(yīng)力提取出來，換算成箱梁框架A、D點(diǎn)的畸變橫向彎矩mA、mD如表3所示。

圖6 算例2箱梁跨中腹板豎向撓度wd 10-5mFig.6 Vertical deflection at the mid-span web of the box girder in example 2

表3中，有序號(hào)①的這一行采用文獻(xiàn)[16]的原數(shù)據(jù)；有序號(hào)②的這一行為采用文獻(xiàn)[16]中梯形截面箱梁畸變效應(yīng)計(jì)算式得到的數(shù)據(jù)，其中畸變翹曲慣性矩和文獻(xiàn)[16]中矩形截面箱梁的畸變計(jì)算式得出的數(shù)據(jù)不同，箱梁橫向框架剛度和文獻(xiàn)[16]給出的原數(shù)據(jù)相同；有序號(hào)③的這一行，為對(duì)文獻(xiàn)[16]相關(guān)計(jì)算式修訂后，及采用本文計(jì)算式(8)得出的數(shù)據(jù)。

采用文獻(xiàn)[16]的矩形截面箱梁畸變效應(yīng)計(jì)算式得出的腹板豎向撓度為0.959×10-5m，采用文獻(xiàn)[16]的梯形截面箱梁畸變效應(yīng)計(jì)算式得出的數(shù)值為1.474×10-5m。通過對(duì)文獻(xiàn)[16]的相應(yīng)計(jì)算式的修正，得出的腹板豎向撓度為1.497×10-5m，這一數(shù)值與本文方法計(jì)算的數(shù)值吻合良好。采用有限元計(jì)算的數(shù)值為1.390×10-5m，與本文方法計(jì)算值相差僅為6.71%。其他項(xiàng)目數(shù)值見表3，框架的畸變橫向抗彎剛度，采用各方法得到的數(shù)值都相同；畸變翹曲慣性矩?cái)?shù)值由于分析采用的方法不同，得到的數(shù)值也不相同。

對(duì)于箱梁畸變橫向彎矩，在算例2中采用兩種方法來計(jì)算。一種為求出箱梁畸變角或腹板豎向撓度，再通過換算得出箱梁的畸變橫向彎矩；一種直接采用框架分析法計(jì)算得到箱梁畸變橫向彎矩。算例2的箱梁畸變橫向彎矩?cái)?shù)值如表3所列，可以看出，以箱梁腹板豎向撓度為未知量的畸變效應(yīng)分析方法，得出的角點(diǎn)A的畸變橫向彎矩在數(shù)值上都很接近，框架分析法計(jì)算的數(shù)值較大。

框架分析法對(duì)箱梁角點(diǎn)D的畸變橫向彎矩計(jì)算值和有限元結(jié)果較為接近；本文方法計(jì)算數(shù)值和文獻(xiàn)[16]修正后算式的計(jì)算結(jié)果較吻合，和文獻(xiàn)[16]原數(shù)據(jù)結(jié)果相差較大。通過此例的分析，框架分析法和采用箱梁畸變分析理論直接計(jì)算箱梁畸變橫向彎矩的計(jì)算方法得到的結(jié)果還是有一定的差異。

5 結(jié)束語(yǔ)

1) 矩形截面單箱單室箱梁，采用以腹板豎向撓度wd為未知量的箱梁畸變分析中，箱梁橫截面角點(diǎn)處的畸變扇性坐標(biāo)值和以畸變角為未知量的分析過程得出的數(shù)值之比為a2/4，畸變翹曲慣性矩之比則為該值的平方。

2) 通過以腹板撓度為未知量的畸變微分方程采用Galerkin法求解，在設(shè)置端橫隔板的情況下，跨內(nèi)設(shè)置3道橫隔板的時(shí)候，箱梁的畸變效應(yīng)就可忽略不計(jì)，可僅按箱梁約束扭轉(zhuǎn)進(jìn)行偏心效應(yīng)的分析。設(shè)置更多的跨內(nèi)橫隔板對(duì)箱梁畸變變形的限制效果不會(huì)更明顯。

3) 在計(jì)算箱梁腹板豎向撓度時(shí)，本文方法和相關(guān)文獻(xiàn)數(shù)值、有限元分析結(jié)果相互吻合較好。在計(jì)算薄壁箱梁畸變橫向彎矩時(shí)，各方法結(jié)果之間有一定的差距，因此待進(jìn)一步研究分析。