劉小斌， 張金南， 侯 男， 董宏麗

( 1. 上海電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 中德工程學(xué)院，上海 201411； 2. 東北石油大學(xué) 人工智能能源研究院，黑龍江 大慶 163318； 3. 東北石油大學(xué) 黑龍江省網(wǎng)絡(luò)化與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 大慶 163318； 4. 東北石油大學(xué) 三亞海洋油氣研究院，海南 三亞 572025 )

0 引言

隨控制理論和信息技術(shù)的發(fā)展，有關(guān)復(fù)雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(如傳感器網(wǎng)絡(luò)、多智能體、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))的研究增多[1-5]。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)由一系列相互作用的動(dòng)態(tài)單元組成，包括自然界中的食物網(wǎng)、蜂窩，以及人類生活中的生物網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)、社交網(wǎng)絡(luò)等[6-8]。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特征是存在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)耦合，其動(dòng)力學(xué)行為研究涵蓋控制、穩(wěn)定性、同步與狀態(tài)估計(jì)等問(wèn)題[9-12]。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步可理解為，在初始條件不同的情況下，各個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)或子系統(tǒng)通過(guò)相互作用使輸出趨于接近。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步現(xiàn)象常見(jiàn)且重要，如掛在同一個(gè)橫梁上的兩個(gè)鐘擺通過(guò)橫梁而相互作用，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后自然地出現(xiàn)同步擺動(dòng)；5G無(wú)線通信網(wǎng)絡(luò)通過(guò)各基站間交互信令，實(shí)現(xiàn)時(shí)鐘同步(發(fā)射與接收數(shù)據(jù)的時(shí)間基準(zhǔn)相同)，保證基站有序傳輸數(shù)據(jù)，避免產(chǎn)生強(qiáng)烈干擾而影響正常運(yùn)轉(zhuǎn)。

狀態(tài)估計(jì)作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的另一種動(dòng)態(tài)行為分析，受到人們廣泛關(guān)注[13-15]。在網(wǎng)絡(luò)實(shí)時(shí)監(jiān)控、故障診斷和工業(yè)生產(chǎn)等需要掌握網(wǎng)絡(luò)行為特征的工程應(yīng)用中，準(zhǔn)確且全面地獲取網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)，是保證設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵。由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)規(guī)模大、節(jié)點(diǎn)耦合強(qiáng)或環(huán)境條件惡劣等因素，難以直接獲取全部網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)信息?；诳色@得的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的傳感器測(cè)量信號(hào)，在給定性能指標(biāo)的約束下設(shè)計(jì)狀態(tài)估計(jì)器，得到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)盡可能準(zhǔn)確的近似值。如EDWARDS C等提出分布式觀測(cè)器結(jié)構(gòu)，估計(jì)由正時(shí)變耦合強(qiáng)度連接的大型半線性網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)，并應(yīng)用于互聯(lián)柔性連桿機(jī)器人系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)，估計(jì)電機(jī)軸與連桿角位置和速度[14]。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的外耦合描述不同節(jié)點(diǎn)之間的連接強(qiáng)度或拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，內(nèi)耦合反映一個(gè)節(jié)點(diǎn)內(nèi)部各狀態(tài)分量的連接情況[16]，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的外耦合或內(nèi)耦合是固定的。當(dāng)發(fā)生鏈路故障、重建連接、通道阻塞、網(wǎng)絡(luò)攻擊或其他突發(fā)現(xiàn)象時(shí)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的外耦合發(fā)生改變；當(dāng)受到工作條件或環(huán)境擾動(dòng)等影響時(shí)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)耦合發(fā)生改變，可能對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的性能產(chǎn)生作用[17]。在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的性能分析過(guò)程中，考慮耦合變化可以有效保證研究的現(xiàn)實(shí)性及有效性。有關(guān)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的不固定外耦合和內(nèi)耦合的研究包括切換拓?fù)鋄18-19]、時(shí)變拓?fù)鋄20-21]、馬爾可夫切換拓?fù)鋄22]、不確定內(nèi)耦合[23]、時(shí)變內(nèi)耦合[24]及隨機(jī)內(nèi)耦合[25]等，其中馬爾可夫鏈通過(guò)轉(zhuǎn)移概率反映模態(tài)切換，是典型的隨機(jī)切換模型，用來(lái)描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)變化耦合強(qiáng)度現(xiàn)象。

隨網(wǎng)絡(luò)通信的產(chǎn)生，在信號(hào)傳輸網(wǎng)絡(luò)為生產(chǎn)提供便利的同時(shí)，通信信道帶寬有限等物理?xiàng)l件易引發(fā)多種網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)現(xiàn)象[26-28]。特別是當(dāng)信號(hào)通過(guò)無(wú)線通信信道傳輸時(shí)，受地理位置或障礙物影響而引起反射和衍射，導(dǎo)致接收到的信號(hào)包含來(lái)自不同路徑的信號(hào)分量。在接收端，各路徑信號(hào)分量的到達(dá)時(shí)間和相位不盡相同，與原信號(hào)相比，它們迭加后導(dǎo)致信號(hào)振幅變化和延遲，降低信號(hào)的質(zhì)量和精度，稱為多路徑衰落[29-30]。相較于使用理想測(cè)量信號(hào)，使用信道衰落信號(hào)設(shè)計(jì)估計(jì)器更加反映真實(shí)情況。人們?cè)谛诺浪ヂ溲芯糠矫嫒〉眠M(jìn)展[31-33]，如SHEN Y等引入Rice衰落模型，描述傳感器測(cè)量信號(hào)經(jīng)由衰落信道傳輸至濾波器時(shí)，隨機(jī)發(fā)生數(shù)據(jù)缺失及延遲，為克服測(cè)量信號(hào)的時(shí)滯項(xiàng)給數(shù)學(xué)推導(dǎo)帶來(lái)影響，設(shè)計(jì)遞歸濾波器。

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的實(shí)際使用過(guò)程中，發(fā)生元件老化和工作條件差異等現(xiàn)象，使系統(tǒng)的模型參數(shù)具有時(shí)變特性[34-35]。引入時(shí)變參數(shù)可以較準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)演變，提高研究的可靠性和應(yīng)用有效性。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)也受到環(huán)境的隨機(jī)突變、部件故障或子系統(tǒng)互聯(lián)等擾動(dòng)，直接影響系統(tǒng)的狀態(tài)和動(dòng)態(tài)性能。為避免建模理想化，在狀態(tài)中考慮乘性噪聲和加性噪聲以反映存在的擾動(dòng)[36-37]。實(shí)際系統(tǒng)一般還具有非線性特性，在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)分析與綜合研究過(guò)程中，不可缺少對(duì)非線性的處理[38-39]。因此，非線性時(shí)變復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步及信道衰落估計(jì)，是符合工程需要和亟待解決的基礎(chǔ)研究課題。

首先，介紹一類貼合實(shí)際的具有乘性噪聲和加性噪聲的時(shí)變離散復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的拓?fù)溥B接和內(nèi)耦合連接強(qiáng)度隨機(jī)變化，隨機(jī)性由馬爾可夫鏈刻畫，模態(tài)按照轉(zhuǎn)移概率隨機(jī)切換。其次，分析系統(tǒng)的同步性能和設(shè)計(jì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)H∞同步方法。再其次，基于更為一般化的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，考慮實(shí)際測(cè)量傳輸時(shí)產(chǎn)生數(shù)據(jù)隨機(jī)缺失和延遲等，采用信道衰落的數(shù)學(xué)模型反映信息不完全現(xiàn)象，設(shè)計(jì)基于信道衰落的H∞狀態(tài)估計(jì)器；借助于計(jì)算遞歸矩陣不等式確定H∞估計(jì)器增益。最后，通過(guò)兩個(gè)仿真實(shí)例說(shuō)明設(shè)計(jì)方法是可行的。

1 問(wèn)題描述

在有限域[0,N0]上，考慮節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為Λ的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。節(jié)點(diǎn)i(i=1,2,…,Λ)動(dòng)態(tài)：

(1)

式中：xi(k)和zi(k)分別為節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)向量和輸出向量；?j(k)符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即?j(k)～N(0,1);若γjq(k)≠0，則Γq(k)diag{γ1q(k),γ2q(k),…,γrxq(k)}≥0為連接第j(j=1,2,…,rx)個(gè)狀態(tài)變量的內(nèi)耦合矩陣；v(k)表示干擾；A0(k)、B0j(k)(j=1,2,…,a)、Gi(k)和E0(k)為已知且維數(shù)恰當(dāng)?shù)膮?shù)矩陣；非線性向量函數(shù)h(·)(h(0)=0)遵循約束條件：

[h(x)-h(y)-H1(x-y)]T[h(x)-h(y)-H2(x-y)]≤0,?x,y∈Rrx,

(2)

式中：H1和H2為給定矩陣。馬爾可夫鏈q(k)(k≥0)在一個(gè)有限狀態(tài)空間{1,2,…,U}中取值。給定轉(zhuǎn)移概率矩陣Δ[πmn]U×U中的各個(gè)元素：

Prob{q(k+1)=n|q(k)=m}=πmn,?m,n∈{1,2,…,U}，

注1受環(huán)境干擾或元件老化等影響，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部動(dòng)態(tài)可能出現(xiàn)隨機(jī)特性。采用馬爾可夫鏈刻畫復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)變化耦合[19,22]，并考慮乘性噪聲開(kāi)展分析。

(3)

成立，那么離散時(shí)變復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為全局同步。

2 同步分析

(4)

定理1在引理1情形下，如果存在常數(shù)c>0和矩陣Qm(k)>0，在初始條件

(5)

下，可保證遞歸矩陣不等式

(6)

成立，那么離散時(shí)變復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)為全局漸近同步，其中，

證明根據(jù)式(1)，可得xi(k)(i=1,2,…,Λ)的緊湊表達(dá)形式：

h(x(k))+(Wm?Γm)x(k)+G(k)v(k)。

(7)

為簡(jiǎn)便處理時(shí)變復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(7)的同步問(wèn)題，選擇函數(shù)：

(8)

式中：

(9)

(10)

定義符號(hào)xir(k)xi(k)-xr(k)和hir(k)h(xi(k))-h(xr(k))。

由約束條件(2)可得

(11)

借助于引理1并根據(jù)式(10)和(11)，可得

(12)

考慮式(6)，可得

(13)

對(duì)式(13)兩邊關(guān)于k由0至N0求和，可得

進(jìn)而可得

根據(jù)式(5)，式(3)成立。

注2受環(huán)境噪聲影響，在存在本質(zhì)非線性等工程的實(shí)際情況下，建立具有時(shí)變參數(shù)、隨機(jī)變化耦合、非線性、乘性噪聲和加性噪聲的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)。在定理1中，給出使時(shí)變復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)實(shí)現(xiàn)同步的充分條件。計(jì)算遞歸矩陣不等式(6)的解集，使復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出之差符合H∞性能指標(biāo)要求，即在任何干擾存在的情況下，不同節(jié)點(diǎn)的輸出之差仍低于給定的擾動(dòng)衰減水平。

3 估計(jì)器設(shè)計(jì)

基于式(1)，考慮表達(dá)形式更為一般的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)估計(jì)：

(14)

在傳感器測(cè)量信號(hào)經(jīng)由通信網(wǎng)絡(luò)傳輸至接收裝置(估計(jì)器)的過(guò)程中，發(fā)生信道衰落現(xiàn)象，使實(shí)際被接收到的信號(hào)不再是原測(cè)量信號(hào)，而是來(lái)源于多路徑且有強(qiáng)度差異的各信號(hào)分量相迭加。采用數(shù)學(xué)表達(dá)形式描述信道衰落信號(hào)：

(15)

注3不充分信息現(xiàn)象一方面來(lái)自于傳感器本身的特性(傳感器非線性、量化、飽和、傳感器分辨率引起的不確定性)，另一方面來(lái)自于測(cè)量信號(hào)經(jīng)由網(wǎng)絡(luò)傳輸過(guò)程中受外部環(huán)境和擾動(dòng)等因素的影響，使原信號(hào)發(fā)生失真(信道衰落、測(cè)量丟失、誤碼、數(shù)據(jù)包錯(cuò)序)。在信道衰落信號(hào)(15)中，被接收的信號(hào)為來(lái)自多個(gè)不同路徑的子信號(hào)的迭加。區(qū)間[0,1]上，按照概率密度函數(shù)隨機(jī)取值的信道系數(shù)，反映各個(gè)信道中信號(hào)幅值的衰減。測(cè)量信號(hào)時(shí)滯描述由不同傳輸路徑的傳輸距離帶來(lái)的通信延遲。當(dāng)ε=0，δis(k)=1且Li(k)=0時(shí)，式(15)與理想測(cè)量信號(hào)相同。

基于信道衰落信號(hào)(15)，采用時(shí)變狀態(tài)估計(jì)器得到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(14)各節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)估計(jì)：

(16)

定義OmO(q(k))(O=Γ,ωir,Ki(k))和令和分別描述狀態(tài)與輸出的估計(jì)誤差。由式(14)和(16)可得：

(17)

為了數(shù)學(xué)表示簡(jiǎn)便，定義變量：

X(k)diag{X1(k),X2(k),…,XΛ(k)}(X=A,C,E),Bj(k)diag{B1j(k),B2j(k),…,BΛj(k)},

根據(jù)式(14)和(17)，可得xi(k+1)、ei(k+1)和zei(k)的緊湊形式：

(18)

(19)

(20)

設(shè)計(jì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(14)的時(shí)變狀態(tài)估計(jì)器(16)的增益參數(shù)，使增廣估計(jì)誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(20)滿足H∞性能指標(biāo)要求：

當(dāng)k=-ε,-ε+1,…,-2,-1時(shí)，η(k)≠0,

(21)

式中：γ為已知的干擾抑制水平；Zζ(ζ=-ε,-ε+1,…,0)為已知的正定矩陣。

分析增廣估計(jì)誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(20)的有限域H∞性能，給出時(shí)變狀態(tài)估計(jì)器(16)的存在條件。利用遞歸矩陣不等式方法計(jì)算估計(jì)器(16)的未知增益。

定理2給定干擾抑制水平γ>0及估計(jì)器增益參數(shù)Kim(k)(i=1,2,…,Λ)。如果存在正定矩陣Rm(k+1)>0，Pv(k)>0(v=1,2,…,ε)及正常數(shù)t，在初始條件

(22)

下，滿足不等式：

(23)

那么增廣估計(jì)誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(20)滿足H∞性能指標(biāo)要求，其中，

證明定義函數(shù)：

V(k,η(k),q(k))V1(k,η(k),q(k))+V2(k,η(k)),

(24)

為簡(jiǎn)化表達(dá)，令Rm(k)R(k,q(k)=m)，計(jì)算V(k,η(k),q(k))的差分的數(shù)學(xué)期望：

E{ΔV1(k,η(k),q(k))}=E{V1(k+1,η(k+1),q(k+1)=n)|η(k),q(k)=m}-V1(k,η(k),m)=

ηT(k)Rm(k)η(k)。

(25)

式中：

(26)

考慮非線性約束條件(2)，可得

(27)

則得

根據(jù)式(23)和初始條件(22)，可得式(21)成立。

討論時(shí)變H∞狀態(tài)估計(jì)器(16)的增益參數(shù)Ki(k,q(k))的求解方法。

定理3給定干擾抑制水平γ>0。若存在正定矩陣Rm(k+1)diag{R1m(k+1),R2m(k+1)}>0(R1m(k+1)diag{R11m(k+1),R12m(k+1),…,R1Λm(k+1)},R2m(k+1)diag{R21m(k+1),R22m(k+1),…,R2Λm(k+1)})，Pv(k)>0(v=1,…,ε)，矩陣Φm(k)diag{0,Φ2m(k)}(Φ2m(k)diag{Φ21m(k),Φ22m(k),…,Φ2Λm(k)})和正常數(shù)t，在初始條件下，滿足遞歸矩陣不等式：

(28)

則增廣估計(jì)誤差動(dòng)態(tài)(20)達(dá)到H∞性能指標(biāo)要求(21)，其中，

狀態(tài)估計(jì)器(16)的增益參數(shù)為

證明式(23)與不等式等價(jià)：

(29)

根據(jù)Schur補(bǔ)引理，可得

(30)

時(shí)變狀態(tài)估計(jì)器(16)的設(shè)計(jì)算法：

步驟4結(jié)束。

注4基于定理2的H∞性能分析結(jié)果，在定理3中，對(duì)時(shí)變復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(14)提出有限域H∞狀態(tài)估計(jì)器(16)的設(shè)計(jì)方法。由遞歸矩陣不等式(28)可知，估計(jì)器設(shè)計(jì)方法形式簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。采用定理3的算法，可以在估計(jì)誤差達(dá)到H∞性能指標(biāo)要求(21)下，通過(guò)計(jì)算遞歸矩陣不等式的解，求出估計(jì)器(16)的增益參數(shù)，可得復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(14)的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的近似值。在有限域H∞性能指標(biāo)(21)的約束下，即使面對(duì)強(qiáng)烈噪聲，估計(jì)誤差也被限制在給定的干擾衰減水平下。定理3結(jié)果包括復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的時(shí)變參數(shù)、非線性約束條件中的矩陣、描述隨機(jī)變化耦合強(qiáng)度切換的馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率、信道系數(shù)的均值和均方差。

4 仿真實(shí)例

例1考慮有限域[0,30]，選擇復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(Λ=4)的參數(shù)：

給出非線性函數(shù)

圖1 仿真實(shí)例1模態(tài)切換Fig.1 Mode switching of simulation example 1

圖2 仿真實(shí)例1復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步誤差Fig.2 The synchronization error of complex network in simulation example 1

圖1為馬爾可夫鏈q(k)在轉(zhuǎn)移概率矩陣Δ下，隨時(shí)間在2個(gè)模態(tài)q(k)=1和q(k)=2之間的隨機(jī)切換情況。圖2為節(jié)點(diǎn)1的輸出z1(k)分別與其余3個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出z2(k)、z3(k)、z4(k)之間的同步誤差曲線。由圖2可知，在第0～13 s之間，節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2的最大同步誤差是0.010，節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)3的最大同步誤差是0.026，節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)4的最大同步誤差是0.045；從第14 s開(kāi)始，節(jié)點(diǎn)1與其余3個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的輸出同步誤差開(kāi)始趨于0。

例2在有限域[0,30]上，選擇復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(Λ=4)的參數(shù)：

其他參數(shù)和非線性函數(shù)的選擇見(jiàn)例1。

關(guān)于信道衰落信號(hào)(15)，給出ε=2，選擇信道系數(shù)的概率密度函數(shù)：

表1 仿真實(shí)例2的時(shí)變狀態(tài)估計(jì)器增益參數(shù)

圖3 仿真實(shí)例2輸出估計(jì)誤差Fig.3 Output estimation error of simulation example 2

圖4 仿真實(shí)例2估計(jì)性能Fig.4 The estimation performance of simulation example 2

5 結(jié)論

(1)對(duì)于考慮時(shí)變參數(shù)、隨機(jī)變化耦合、非線性、乘性噪聲和加性噪聲的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)H∞同步方法與基于信道衰落的H∞狀態(tài)估計(jì)器。

(2)分別基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限域同步與估計(jì)性能分析，以遞歸矩陣不等式表示使同步誤差與估計(jì)誤差具有H∞性能的充分條件。

(3)仿真實(shí)例證明設(shè)計(jì)方法具有有效性，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)達(dá)到H∞同步，并且設(shè)計(jì)的狀態(tài)估計(jì)器使得估計(jì)誤差系統(tǒng)滿足H∞性能要求。在后續(xù)研究中，將基于部分網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的測(cè)量，討論具有網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)現(xiàn)象的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)非脆弱性狀態(tài)估計(jì)。