趙洋立

（重慶市設計院有限公司，重慶 400015）

0 引言

樹狀結(jié)構(gòu)具有節(jié)約人員活動空間、外觀輕盈、構(gòu)件截面較小等優(yōu)點，近年來在實際工程中的應用越來越多。樹狀結(jié)構(gòu)也被稱為樹狀支撐、樹狀柱，其節(jié)點幾何數(shù)據(jù)具有樹狀數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，與其他豎向受力構(gòu)件相比有兩個特征：一是同級節(jié)點之間沒有構(gòu)件連接；二是上端為對平面受力結(jié)構(gòu)的多點支承，下端為單點剛接支座。

近年來，針對樹狀結(jié)構(gòu)的相關(guān)研究與實踐成果越來越多，但大部分研究主要著眼于基于應變能的樹狀分叉點的幾何位置優(yōu)化[1]，而樹狀結(jié)構(gòu)本身的生成方法主要受建筑師影響或依賴于數(shù)學公式；有關(guān)樹狀結(jié)構(gòu)的形態(tài)生成方法與結(jié)構(gòu)經(jīng)濟性關(guān)系的文章[2]則較為少見，而支撐點的分布、排列方式直接影響樹狀支撐的最終優(yōu)化形態(tài)。

結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法是一種由傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式向自由、靈活、合理方向轉(zhuǎn)變的途徑之一，也是結(jié)構(gòu)設計方法由偏經(jīng)驗向偏理論轉(zhuǎn)變的有效方法，同時還是建筑空間感受與力學合理性相協(xié)調(diào)的手段。該方法的理論進一步發(fā)展與成熟，將為人們提供嶄新的活動空間，帶來與自然和諧共存的環(huán)境。

隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值找形方法逐漸受到人們重視。半谷教授將“廣義逆矩陣”理論應用到柔性結(jié)構(gòu)初始形狀確定問題，且提供了利用機動體系的特點創(chuàng)構(gòu)出結(jié)構(gòu)形態(tài)的可能性。名古屋大學教授大森針對懸掛薄膜等柔性結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法，實現(xiàn)了逆吊試驗理論化方法。上世紀90 年代初，Xie 與Steven 模仿自然界的進化規(guī)律提出了“ESO 方法”，目前該方法在機械工程領(lǐng)域被廣泛應用。近幾十年來眾多的學者相繼提出了很多分析方法，如“均質(zhì)化方法”“Bubble 方法”“遺傳算法（GA）”“基結(jié)構(gòu)法（GSM）”“粒子群算法”等。這些數(shù)值分析的方法目前雖然還沒有成熟，不能應用到實際工程中，但對結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)理論與方法的進一步探討與深入研究打下了良好基礎(chǔ)。“改進進化論方法”“高度調(diào)整法”“桿系結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法”已應用到實際工程中，得到了較高的評價。其中，“高度調(diào)整法”是利用應變能對節(jié)點坐標的敏感度特性逐步調(diào)整形狀的方法來獲得“輕而剛”的連續(xù)殼形狀的方法。

基于敏感度的桿系結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法[3]（下文簡稱“漸進法”）是針對桿系結(jié)構(gòu)，利用單元、節(jié)點坐標參數(shù)與結(jié)構(gòu)應變能的關(guān)系，提出能夠兼顧拓撲與形狀的桿系結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法。該方法基于有限元平衡方程，分別計算節(jié)點自由移動、約束移動、單元增加和單元消除等四種應變能敏感度，并利用這些敏感度與應變能變化關(guān)系生成或修正結(jié)構(gòu)的拓撲形狀，調(diào)整節(jié)點位置，最終得到應變能最小的合理結(jié)構(gòu)形態(tài)。

而逆吊遞推找形法[4]（下文簡稱“逆吊法”）的實施步驟可概括為:首先找到各級樹枝所承擔的屋面區(qū)域的受荷中心，然后依次令各級樹枝指向其分擔的屋面受荷中心，最后通過逐級遞推建立樹狀結(jié)構(gòu)的幾何形態(tài)。

本文著眼于結(jié)構(gòu)模型生成階段，運用“漸進法”與“逆吊法”嘗試探討支撐點分布位置的優(yōu)劣。

1 試驗過程

1.1 支撐形式選擇與生成方法

樹狀支撐結(jié)構(gòu)的幾何特征可以用樹狀數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來描述。在描述過程中我們發(fā)現(xiàn)，每個分叉點的數(shù)據(jù)包含以下幾個方面：父節(jié)點的編號、本節(jié)點的編號、本節(jié)點的坐標、本節(jié)點的分支度量（分支度）?？梢灶A見的是，在優(yōu)化設計階段，除了最末端的節(jié)點位置外，其他節(jié)點的坐標都會改變。所以生成階段需要關(guān)注的數(shù)據(jù)是節(jié)點的分支度量、末端節(jié)點（葉節(jié)點）的幾何坐標、各節(jié)點之間的父子關(guān)系。

現(xiàn)有結(jié)果表明，“二叉樹”分叉點處父桿件與兩個子桿件共三個方向的向量幾乎共面。這樣的后果是該部分父桿件與子桿件組成的子結(jié)構(gòu)存在一個“平面外”失穩(wěn)的屈曲模態(tài)，由于每個節(jié)點都有各自的屈曲模態(tài)，整體結(jié)構(gòu)則有較高的整體失穩(wěn)風險。

面對這樣的風險，可以預見的是，在進行屈曲分析之后，“二叉樹”結(jié)構(gòu)的桿件截面將有“平面內(nèi)”和“平面外”的區(qū)別，“平面外”方向截面慣性矩的增加將引起承載力的浪費，增加工程造價。相比之下，“三叉樹”結(jié)構(gòu)就不存在這個問題，故本次試驗生成的模型節(jié)點分支度為3。

模型生成過程中還應著重關(guān)注末端節(jié)點（葉節(jié)點）的幾何坐標、各節(jié)點之間的父子關(guān)系。而由于節(jié)點父子關(guān)系千變?nèi)f化，因此本次試驗僅指定一種節(jié)點父子關(guān)系。

1.2 計算模型的生成

1.2.1 初始條件

試驗基本模型為單層網(wǎng)殼與層數(shù)為2（所有葉節(jié)點深度為2）的“滿三叉樹”樹狀支撐，其形態(tài)與幾何尺寸如圖1 所示。為了減小構(gòu)件離散對支撐點的影響，故取網(wǎng)殼中每個三角形邊長為0.43m，并使構(gòu)件截面為400×4mm 的矩形。

圖1 初始模型三視圖

若保證網(wǎng)殼面外剛度不變，此時該布置可等效為網(wǎng)格大小為2m，截面為400×130×5mm 方鋼管組成的網(wǎng)殼。所有構(gòu)件均為6 自由度的梁單元。單元的截面與材料見表1。

表1 構(gòu)件截面與材料

為了比較支撐點位置的優(yōu)劣，以7 組算例為試驗素材，每組算例之間的區(qū)別在于α 角的大小，如圖2 所示。

圖2 參數(shù)與生成方法示意

每組算例內(nèi)含有兩個計算模型，一個是初始形態(tài)模型，初始形態(tài)的分叉點E 的坐標在ABC 的平均坐標D 與O 點的連線上，距離O 點10m，如圖3 所示；另一個是用優(yōu)化方法調(diào)整過分叉點（階度為2 的節(jié)點）位置的模型。

圖3 初始形態(tài)分叉點的生成

調(diào)整方法為基于應變能敏感度的漸進法[3]與逆吊遞推找形法[4]?！皾u進法”是通過迭代計算，調(diào)整節(jié)點坐標，利用節(jié)點坐標與總應變能的相關(guān)性，引入數(shù)值阻尼，以最小應變能為目標，使節(jié)點坐標收斂的方法?！澳娴踹f推法”是利用樹狀支撐桿件無彎矩的特點，運用形-力關(guān)系求桿件方向量，進而確定節(jié)點坐標的方法。

由于兩種方法的優(yōu)化結(jié)果非常接近，差異非常不顯著，所以下文中不再區(qū)分使用的優(yōu)化方法。

以A 組為例，兩個模型的外觀差異如圖4 所示。

圖4 初始形態(tài)與優(yōu)化形態(tài)的外觀差異

1.2.2 邊界條件

樹狀支撐底部，即根節(jié)點為6 自由度固接，葉節(jié)點所在桿件的末端（上端）釋放所有自由度，其余構(gòu)件之間完全剛接。為盡量減小網(wǎng)殼離散性帶來的影響，葉節(jié)點附近的節(jié)點設置了剛性連接，如圖5 所示。

圖5 剛性連接約束示意

結(jié)構(gòu)考慮自重和網(wǎng)殼上的z 軸負方向均布荷載。

1.3 求解方法

本試驗采用midas gen V2019 的整體解決方案，包括模型搭建、求解器、數(shù)據(jù)提取等。

2 技術(shù)分析

2.1 初始形態(tài)與漸進優(yōu)化后的應變能對比

圖6、圖7 展示了每組算例初始形態(tài)與優(yōu)化形態(tài)之間的應變能。為了方便對比，基于最小值做了歸一化處理。

圖6 初始形態(tài)與優(yōu)化形態(tài)的總應變能對比（原始數(shù)據(jù)）

圖7 初始形態(tài)與優(yōu)化形態(tài)的總應變能對比（歸一化處理）

可以看到的是，優(yōu)化的效果較為顯著?？倯兡芷骄陆?5%，最大下降21%（α=60°），且數(shù)據(jù)變化趨勢合理。這表明上文提到的優(yōu)化方法較為合理，具有實用價值。

2.2 總應變能、樹狀支撐應變能對比

圖8 展示了每組算例的總應變能與支撐部分應變能。為了方便對比，基于最小值做了歸一化處理。

圖8 總應變能與支撐部分應變能對比（歸一化處理）

可以看到的是，總應變能與支撐部分應變能之比平均為2.4，即網(wǎng)殼部分應變能是支撐部分的1.4 倍。其中，α=50°算例的總應變能最小，且差異顯著；α=10°算例的支撐部分應變能最小，但差異不顯著。

2.3 支撐點分布與應變能的規(guī)律探討

α=40°～60°時，其總應變能較小，變化也不大，而α=0～10°時總應變能較大。所有總應變能數(shù)據(jù)的相對極差為29.4%，相對標準差為11.2%，變化較為顯著。所有支撐部分應變能數(shù)據(jù)的相對極差為8.76%，相對標準差為2.62%，相比于優(yōu)化的幅度21%，并不顯著。就這幾項數(shù)據(jù)而言，α=40°～60°的模型在所有算例當中相對更優(yōu)。

總應變能變化較大，但支撐應變能變化較小。通過觀察α=10°與α=40°的模型，筆者發(fā)現(xiàn)α=0～10°時，網(wǎng)殼三條長邊形成的懸挑段長度較大，使得邊緣區(qū)域的網(wǎng)殼節(jié)點的z 向剛度較小。那么在統(tǒng)計總應變能時，懸挑部分的貢獻就有相當大的占比。而α=40°時，各個區(qū)域的z 向變形相對均勻。

基于樸素的工程經(jīng)驗判斷，網(wǎng)殼的面外剛度直接影響結(jié)構(gòu)的總應變能。

2.4 改進與進一步討論

當我們觀察到支撐點的分布影響的總應變能，這種影響可能是間接的，通過其他中間變量影響的。如果存在這樣一個中間變量，我們將其與支撐點的分布位置脫鉤，就會使得支撐點分布與總應變能脫鉤。

筆者猜想，只要將z 向變形的均勻程度大幅提高，就可能排除支撐點分布對總應變能的影響。如果試驗數(shù)據(jù)的相對標準差大幅縮小，就表示算例之間總應變能的差異并不是直接由支撐點的位置控制的，而是由z 向變形的均勻程度控制的。

為了驗證這個猜想，將網(wǎng)殼的面外剛度放大10 倍，以模擬帶腹桿的網(wǎng)架結(jié)構(gòu)與樹狀支撐共同工作的表現(xiàn)，由此判斷支撐點分布的優(yōu)劣差異是否對網(wǎng)殼面外剛度敏感，如圖9、圖10 所示。

圖9 未增大面外剛度的算例中網(wǎng)殼部分應變能（歸一化處理）

圖10 增大面外剛度的算例中網(wǎng)架部分應變能（歸一化處理）

α=40°～60°時，其總應變能相對較小，差異不顯著。所有總應變能數(shù)據(jù)的相對極差為8.3%，相對標準差為3.8%。相比于上一組“柔性”網(wǎng)殼算例，相對標準差由11.2%縮小到3.8%，下降了63%。這表示網(wǎng)殼面外剛度大幅提高后，支撐點的布置與總應變能之間的相關(guān)性顯著下降。

所有支撐部分應變能數(shù)據(jù)的相對極差為3.6%，變異系數(shù)（相對標準差）為1.2%，差異不顯著。網(wǎng)殼（網(wǎng)架）部分應變能的標準差由20.0%下降至10.6%，下降顯著。

由此印證了支撐點分布對總應變能的影響，對網(wǎng)殼面外剛度敏感。進一步討論可以發(fā)現(xiàn)，對于面外剛度較大的網(wǎng)架結(jié)構(gòu)，支撐點的分布對應變能的影響不大；對于面外剛度較小的單層網(wǎng)殼，支撐點的分布對總應變能的影響顯著。

3 結(jié)論

就本文所指定形式的樹狀支撐結(jié)構(gòu)而言，在特定角度時總應變能較小，對于面外剛度較小的單層網(wǎng)殼，支撐點的分布對總應變能的影響顯著；對于面外剛度較大的網(wǎng)架結(jié)構(gòu)，支撐點的分布對應變能的影響不大；每個支撐點分擔荷載的均勻程度可能與總應變能負相關(guān)。由此可見，對于單層網(wǎng)殼與樹狀支撐組合形成的結(jié)構(gòu)，優(yōu)化支撐點的分布位置能顯著提高結(jié)構(gòu)合理性、降低材料用量，換言之，對支撐點分布位置的優(yōu)化十分必要。