辛 宇，崔春義，許成順，梁志孟，王本龍，裴華富

（1.大連海事大學(xué)土木工程系，遼寧大連 116026；2.北京工業(yè)大學(xué)城市與工程安全減災(zāi)省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124；3.大連理工大學(xué)海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連 116024）

引言

樁-土動(dòng)力相互作用作為巖土工程中的熱點(diǎn)問(wèn)題，一直受到學(xué)術(shù)界和工程界的關(guān)注［1-2］。近年來(lái)，隨著交通基礎(chǔ)設(shè)施及近海工程建設(shè)的大力發(fā)展，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)水平荷載作用下樁基動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行了諸多層面的研究，并取得了豐富的研究成果［3-7］。

首先，因物理概念清晰和計(jì)算簡(jiǎn)單，Winkler地基模型在樁基水平動(dòng)力分析中得到了廣泛應(yīng)用［8-10］。相比較而言，Pasternak雙參數(shù)地基模型進(jìn)一步考慮了地基土體剪切效應(yīng)，更加符合實(shí)際［11-15］。因此，許多學(xué)者圍繞雙參數(shù)地基模型中樁基水平動(dòng)力響應(yīng)方面開(kāi)展了系列研究工作。Dogan等［12］在均質(zhì)雙參數(shù)地基上將樁等效為歐拉-伯努利梁，利用拉格朗日方法推導(dǎo)得出樁基水平振動(dòng)解析解，分析了Pasternak地基系數(shù)對(duì)樁基水平振動(dòng)的影響規(guī)律。張望喜等［16］通過(guò)哈密頓原理和能量變分原理推導(dǎo)得出多層Pasternak 雙參數(shù)地基中樁基受水平振動(dòng)的解析解。王玨等［17-18］利用傳遞矩陣法推導(dǎo)得到Pasternak 雙參數(shù)層狀地基中單樁水平和回轉(zhuǎn)振動(dòng)阻抗解析解。

以上研究樁基模型均將樁體簡(jiǎn)化為Euler-Bernoulli 梁，只考慮了樁體彎曲變形，忽略了樁體剪切變形的影響。而對(duì)于大直徑樁，采用能考慮樁身剪切變形的Timoshenko 梁模型則更為合理和必要［19］。基于此，早期Sun 等［20］、陳云敏等［21］考慮樁剪切變形影響，分別建立了單層和成層土中樁基水平振動(dòng)控制方程，并推導(dǎo)出了對(duì)應(yīng)解。進(jìn)一步地，胡安峰等［22-24］基于Timoshenko 梁理論求解了復(fù)雜黏彈性地基中單樁水平動(dòng)力響應(yīng)，強(qiáng)調(diào)了忽略樁身剪切變形會(huì)引起較大誤差。隨后，章敏等［25］在Timoshenko梁模型基礎(chǔ)上推導(dǎo)得出了樁頂水平頻域響應(yīng)解析解，研究了非飽和土中端承樁穩(wěn)態(tài)水平振動(dòng)特性。欒魯寶等［26］將PCC 樁簡(jiǎn)化為T(mén)imoshenko 模型，進(jìn)一步闡述了Timoshenko 模型與Euler-Bernoulli 模型計(jì)算樁頂阻抗時(shí)的差異性。

另一方面，上述研究均未考慮軸向荷載對(duì)樁基動(dòng)力響應(yīng)的影響，而在實(shí)際工程中樁基往往同時(shí)承受水平和軸向荷載作用［27-28］。圍繞此點(diǎn)考慮，Catal［29-30］基于Winkler 模型，求解了在多向復(fù)雜荷載作用下的樁基振動(dòng)方程。欒魯寶等［31-32］考慮豎向荷載作用，分別求解了黏彈性地基中大直徑管樁和飽和土中端承樁水平動(dòng)力響應(yīng)解析解，并進(jìn)一步分析了豎向荷載對(duì)水平受荷樁動(dòng)力響應(yīng)的影響。

不難看出，在樁基水平振動(dòng)已有研究中較少有同時(shí)考慮地基、樁基剪切變形和軸向荷載影響的相關(guān)研究。因此，本文將考慮軸向壓力二階效應(yīng)的影響，將土體和樁基分別簡(jiǎn)化為Pasternak 雙參數(shù)成層地基和Timoshenko 梁，建立大直徑樁-成層土相互作用體系水平振動(dòng)分析模型，進(jìn)而結(jié)合樁土連續(xù)邊界條件求解樁身位移、內(nèi)力、轉(zhuǎn)角的解析解，并與已有相關(guān)解析解進(jìn)行退化對(duì)比驗(yàn)證其合理性。在此基礎(chǔ)上，探討樁身長(zhǎng)徑比、地基剪切層厚度、樁土模量比、樁身剪切變形系數(shù)及軸向荷載對(duì)樁基水平動(dòng)力響應(yīng)的影響規(guī)律。

1 力學(xué)模型描述與基本假定

基于Pasternak 地基模型的水平簡(jiǎn)諧激振作用下大直徑單樁簡(jiǎn)化計(jì)算模型如圖1所示。具體地，樁頂處施加水平簡(jiǎn)諧激振力Q0eiωt，其中Q0為激振力幅值，ω為激振圓頻率，t為時(shí)間，N0為作用在樁頂?shù)妮S向壓力。此外，第j層土的厚度、剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)和地基剪切剛度分別為和；樁長(zhǎng)、樁徑分別為l和d；樁身微元體傾角、剪切角以及截面轉(zhuǎn)角分別為α，β，φ，第j段樁截面彎矩為Mj。

圖1 水平簡(jiǎn)諧激振作用下大直徑單樁簡(jiǎn)化計(jì)算模型Fig.1 Simplified calculation model for a large diameter single pile under horizontal harmonic excitation

基本假定如下：

（1）樁身簡(jiǎn)化為圓形等截面、均質(zhì)Timoshenko 梁；

（2）樁周土體沿樁身縱向劃分為n層，每層土體簡(jiǎn)化為Pasternak 地基模型以描述樁-土相互作用；

（3）樁-土模型系統(tǒng)各部分均滿足小變形條件，樁土界面為完全接觸且無(wú)相對(duì)滑動(dòng)；

（4）樁頂處僅發(fā)生水平位移，樁底處為固端約束。

2 定解問(wèn)題力學(xué)模型的建立與求解

綜合Timoshenko 梁和Pasternak 地基模型相關(guān)理論，得到第j（j為土層數(shù)，j=1，2，…，m，…，n）層段樁身單元的動(dòng)力平衡方程如下：

樁體水平位移和轉(zhuǎn)角可表示為：

將式（5）代入式（1）可得：

顯然，式（6）為四階線性常系數(shù)微分方程，其對(duì)應(yīng)的4個(gè)特征根為則可得其方程位移通解為：

進(jìn)一步地，由式（1）化簡(jiǎn)可得轉(zhuǎn)角為：

當(dāng)樁體不發(fā)生剪切變形時(shí)（即Jp→∞），式（8）可退化為Bernoulli-Euler 理論解，即。

將式（7）代入式（8）可得轉(zhuǎn)角通解為：

基于Timoshenko 梁理論，樁身彎矩、剪力與樁身水平位移相互關(guān)系為：

在第j段與第j+1 段樁身截面處，樁的水平位移、轉(zhuǎn)角、彎矩及剪力連續(xù)，即：

綜合式（12）和（13）可得系數(shù)矩陣方程組如下：

由式（14）可得：

由遞推關(guān)系可將第m段樁身對(duì)應(yīng)系數(shù)矩陣Tm表示為：

進(jìn)一步考慮樁頂和樁底邊界條件：

并將系數(shù)表達(dá)式（12）代入式（17），化簡(jiǎn)可得：

聯(lián)立式（16）～（18）則可求出T1，再根據(jù)遞推公式（16），最終可求出m段樁身對(duì)應(yīng)系數(shù)矩陣Tm，進(jìn)而可求得樁身各段水平位移；根據(jù)樁身水平位移表達(dá)式，利用樁身彎矩、剪力與樁身水平位移之間的關(guān)系，可求出樁身彎矩、剪力。

為便于后續(xù)分析，定義如下位移、彎矩、剪力無(wú)量綱包絡(luò)值參量如下：

式中umax(z)，mmax(z)，qmax(z)分別為每個(gè)動(dòng)力循環(huán)中樁基水平振動(dòng)位移、彎矩和剪力最大值。

便于更清晰地說(shuō)明上述推導(dǎo)過(guò)程，圖2 給出了對(duì)應(yīng)求解流程圖。

圖2 單樁求解流程示意圖Fig.2 Schematic diagram of single pile solution process

3 算例分析

關(guān)于大直徑單樁的界定及相關(guān)參數(shù)取值參照已有相關(guān)研究［22-24，31-32，35］。如無(wú)特殊說(shuō)明，算例中計(jì)算參數(shù)選取如下：土層參數(shù)n=3、第j層土阻尼系數(shù)、泊 松 比、密 度103kg/m3、彈性模量、樁土彈模比、樁長(zhǎng)l=8 m、樁徑d=1 m、樁體密度ρp=2.5×103kg/m3、樁體剪力形狀系數(shù)K′=3/4、無(wú)量綱頻率a0=0.5、外荷載幅值Q0=100 kN。

特別需要強(qiáng)調(diào)的是，為方便說(shuō)明問(wèn)題，后續(xù)分析中位移、彎矩、剪力振動(dòng)響應(yīng)均采用前述定義的無(wú)量綱包絡(luò)值參量描述。

3.1 解析解的合理性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所推導(dǎo)的大直徑單樁水平動(dòng)力響應(yīng)解析解的合理性，不考慮軸向荷載的影響（N0→0），首先將樁體由Timoshenko 梁退化為Euler-Bernoulli 梁（Jp→∞），本文退化解與文獻(xiàn)［18］解的對(duì)比情況如圖3所示。同時(shí)，將土層Pasternak 模型退化至模型，本文退化解與文獻(xiàn)［24］解的對(duì)比情況如圖4所示。由圖可見(jiàn)，本文所推導(dǎo)大直徑單樁水平振動(dòng)響應(yīng)解析解的退化解分別與已有解結(jié)果吻合。

圖3 本文退化解（N0 →0，Jp →∞）與Wang 等［18］已有解分布對(duì)比情況Fig.3 Comparison of present solution（N0 →0，Jp →∞）with Wang，et al in Ref.［18］

圖4 本文退化解

3.2 樁基參數(shù)化對(duì)比分析

為進(jìn)一步分析樁基和層狀地基剪切變形對(duì)樁體水平振動(dòng)響應(yīng)的影響，分別將本文計(jì)算模型中樁體由 Timoshenko 梁 退 化 為 Euler-Bernoulli 梁（Jp→∞），樁周土Pasternak 地基退化為Winkler 地基，即將本文P-T（Pasternak-Timoshenko）模型退化至W-E（Winkler-Euler）模型。由文獻(xiàn)［10］

Fig.4 Comparison of present solutionwith Hu An-feng，et al in Ref.［24］可知，當(dāng)樁長(zhǎng)徑比（即樁長(zhǎng)與樁直徑的比值）l/d＜8時(shí)，樁身剪切效應(yīng)的影響不可忽視。具體地，算例中分別選取樁體長(zhǎng)徑比l/d=3，6，樁土彈模比為Es=Ep/5000。

圖5所示為上述兩種模型計(jì)算所得樁身水平位移、彎矩及剪力無(wú)量綱包絡(luò)參量分布對(duì)比情況。由圖5（a）可見(jiàn)，P-T 模型和W-E 模型計(jì)算所得樁身水平位移無(wú)量綱包絡(luò)參量的最大值均出現(xiàn)于樁頂，且水平位移無(wú)量綱包絡(luò)參量隨土層深度增加呈減小趨勢(shì)。特別地，地基淺層范圍內(nèi)（本文z＜1 m），采用兩種模型計(jì)算所得樁身水平位移無(wú)量綱包絡(luò)參量差異較為明顯，且此種差異隨土層加深而漸至可以忽略。圖5（b）中樁頂彎矩?zé)o量綱包絡(luò)參量均大于樁端，樁身無(wú)量綱包絡(luò)參量在半樁長(zhǎng)處出現(xiàn)反轉(zhuǎn)拐點(diǎn)，且此后隨土層深度的增加，兩種模型計(jì)算所得樁身無(wú)量綱彎矩包絡(luò)參量差異變大。此外，由圖5（c）可以看出，樁身剪力無(wú)量綱包絡(luò)參量均隨土層深度的增加而減小，且采用兩種模型計(jì)算所得樁身剪力無(wú)量綱包絡(luò)參量差值隨土層深度的增加呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)。綜上不難看出，由于考慮了樁周土和樁身剪切變形的影響，本文所采用P-T 模型計(jì)算樁身內(nèi)力結(jié)果均比W-E 模型對(duì)應(yīng)結(jié)果偏小。

圖5 P-T 模型和W-E 模型計(jì)算所得樁身無(wú)量綱包絡(luò)參量分布對(duì)比情況Fig.5 Comparison of the distribution of dimensionless envelope parameters of the pile body calculated by P-T model and W-E model

圖6所示為不同樁身長(zhǎng)徑比條件下的樁身水平位移、彎矩、剪力無(wú)量綱包絡(luò)參量分布對(duì)比情況。由圖6 可見(jiàn)，不同樁長(zhǎng)徑比條件下的樁身水平位移無(wú)量綱包絡(luò)參量，均隨樁身長(zhǎng)徑比的增加而增大；長(zhǎng)徑比越小，后半樁長(zhǎng)段無(wú)量綱彎矩包絡(luò)參量增幅越大，并隨長(zhǎng)徑比的增大而減小；樁身無(wú)量綱剪力包絡(luò)參量隨樁長(zhǎng)徑比的增加而減小。綜上所述，當(dāng)樁身長(zhǎng)徑比較小時(shí)，樁身長(zhǎng)徑比變化對(duì)樁身無(wú)量綱水平位移、彎矩和剪力包絡(luò)參量均影響顯著，且此種變化影響隨樁徑比增大而逐漸變小，并趨于穩(wěn)定。

圖6 不同樁長(zhǎng)徑比條件下樁身水平位移、彎矩及剪力無(wú)量綱包絡(luò)參量分布對(duì)比情況Fig.6 The comparison of pile dimensionless envelope parameters of horizontal displacement，bending moment and shearing force under different pile slenderness

為進(jìn)一步分析樁土彈模比對(duì)樁基水平位移、彎矩、剪力無(wú)量綱包絡(luò)參量的影響規(guī)律，分析工況具體如表1所示。其中，Case1～Case3 為表層土Ep/Es1的變化工況，Case4～Case6 為夾層土Ep/Es2的變化工況。

表1 樁-土彈模比工況Tab.1 Distribution of pile-soil modulus ratio

如圖7所示為樁土彈模比變化對(duì)樁基水平位移無(wú)量綱包絡(luò)參量的影響情況。從圖中可以看出，在同一深度條件下，隨表層土、夾層土對(duì)應(yīng)樁土彈模比的增加，樁頂水平位移無(wú)量綱包絡(luò)參量幅值變大。圖8 和9所示分別為樁土彈模比變化對(duì)樁基彎矩、剪力無(wú)量綱包絡(luò)參量的影響情況。由圖可見(jiàn)，在同一深度條件下，隨著表層土、夾層土對(duì)應(yīng)樁土彈模比的增加，樁身彎矩和剪力無(wú)量綱包絡(luò)參量均變大。相比較而言，表層土樁土彈模比的變化對(duì)樁頂水平位移、樁身彎矩和剪力無(wú)量綱包絡(luò)參量的影響更為顯著。

圖7 樁土彈模比變化對(duì)樁身水平位移無(wú)量綱包絡(luò)參量的影響Fig.7 Influence of pile-soil elastic modulus ratio on the dimensionless envelope parameters of pile horizontal displacement

圖8 樁土彈模比變化對(duì)樁身彎矩?zé)o量綱包絡(luò)參量的影響Fig.8 Influence of pile-soil elastic modulus ratio on the dimensionless envelope parameters of pile bending moment

為了方便說(shuō)明問(wèn)題，引入與樁體截面形狀有關(guān)的剪力形狀系數(shù)K′（見(jiàn)公式（1））。具體地，當(dāng)截面形狀為圓形時(shí)，K′一般取為3/4；當(dāng)橫截面為方形時(shí)，K′一般取為2/3；當(dāng)橫截面為環(huán)形截面時(shí)，K′=，其中R為外圓半徑，r為內(nèi)圓半徑［36］。

圖9 樁土彈模比變化對(duì)樁身剪力無(wú)量綱包絡(luò)參量的影響Fig.9 Influence of pile-soil elastic modulus ratio on the dimensionless envelope parameters of pile shearing force

圖10所示為樁截面變化對(duì)樁身水平位移、彎矩及剪力無(wú)量綱包絡(luò)參量分布的影響情況。其中，同時(shí)將本文解中樁體由Timoshenko 梁退化為Euler-Bernoulli 梁（Jp→∞），即由P-T 模型退化為P-E 模型進(jìn)行對(duì)比分析。由圖可見(jiàn)，在相同截面條件下，P-T 模型對(duì)應(yīng)的樁身水平位移無(wú)量綱包絡(luò)參量大于P-E 模型計(jì)算結(jié)果；P-T 模型對(duì)應(yīng)的樁身內(nèi)力無(wú)量綱包絡(luò)參量小于P-E模型計(jì)算結(jié)果。特別地，在環(huán)形截面條件下，P-T 模型對(duì)應(yīng)的樁身水平位移和內(nèi)力無(wú)量綱包絡(luò)參量與P-E 模型計(jì)算結(jié)果差異最為顯著。而對(duì)于圓形截面而言，此種差異很小甚至可以忽略。這也就是說(shuō)，對(duì)于環(huán)形截面的大直徑管樁而言，在進(jìn)行樁基水平振動(dòng)特性分析時(shí)考慮樁體剪切變形影響十分必要。

圖10 樁截面對(duì)樁身水平位移、彎矩及剪力無(wú)量綱包絡(luò)參量分布的影響Fig.10 The comparison of pile dimensionless envelope parameters of horizontal displacement，bending moment and shearing force under different pile sections

考慮軸向力N0作用時(shí)，定義，并將δ（δ=0，1，2，4）作為考慮軸向二階效應(yīng)的特征參數(shù)［37］。軸向作用特征參數(shù)變化對(duì)樁身水平位移、彎矩及剪力無(wú)量綱包絡(luò)參量分布的影響如圖11所示。因樁頂受軸力和水平力耦合作用可產(chǎn)生P-Δ效應(yīng)。由圖可見(jiàn)，隨著軸向作用特征參數(shù)的增加，水平位移無(wú)量綱包絡(luò)參量顯著增大。不同地，僅下半段樁身彎矩和樁端一定區(qū)域以外的剪力無(wú)量綱參量隨軸向作用特征參數(shù)的增加而增大。因此，在實(shí)際工程中樁頂軸向荷載對(duì)樁基水平振動(dòng)特性的影響不可忽視。

圖11 軸向荷載對(duì)樁身位移、彎矩及剪力無(wú)量綱包絡(luò)參量分布的影響Fig.11 Influence of axial loads on the dimensionless envelope parameters of pile shearing force

4 結(jié)論

本文土體采用Pasternak 地基模型，將樁基簡(jiǎn)化為T(mén)imoshenko 梁，建立了大直徑樁-成層土相互作用體系水平振動(dòng)分析簡(jiǎn)化分析模型，采用微分變換方法對(duì)方程解耦，并結(jié)合樁土連續(xù)邊界條件求解相關(guān)解答。在此基礎(chǔ)上，探討了樁身長(zhǎng)徑比、地基剪切層厚度、樁土模量比、樁身剪切變形系數(shù)及軸向荷載對(duì)樁基水平振動(dòng)特性的影響規(guī)律。計(jì)算分析結(jié)果表明：

（1）由于考慮了樁周土和樁身剪切變形的影響，采用P-T 模型計(jì)算樁身內(nèi)力無(wú)量綱包絡(luò)參量結(jié)果均比W-E 模型偏小。不同地，采用P-T 模型計(jì)算樁身水平位移無(wú)量綱包絡(luò)參量結(jié)果比W-E 模型偏大，且此種差異隨土層加深而漸至可以忽略。

（2）隨著內(nèi)部區(qū)域土體軟（硬）化程度的加大，扭轉(zhuǎn)阻抗曲線振幅明顯增大（減?。珒?nèi)部區(qū)域土體軟（硬）化程度對(duì)扭轉(zhuǎn)阻抗曲線共振頻率的影響可以忽略。

（3）在相同截面條件下，P-T 模型對(duì)應(yīng)的樁身水平位移無(wú)量綱包絡(luò)參量大于P-E 模型計(jì)算結(jié)果；PT 模型對(duì)應(yīng)的樁身內(nèi)力無(wú)量綱包絡(luò)參量小于P-E 模型計(jì)算結(jié)果。特別地，在環(huán)形截面條件下，P-T 模型對(duì)應(yīng)的樁身水平位移和內(nèi)力無(wú)量綱包絡(luò)參量與P-E模型計(jì)算結(jié)果差異最為顯著。

（4）隨著軸向作用特征參數(shù)δ的增加，水平位移無(wú)量綱包絡(luò)參量顯著增大。不同地，僅下半段樁身彎矩和樁端一定區(qū)域以外的剪力無(wú)量綱參量隨軸向作用特征參數(shù)δ的增加而增大。

（5）本文所采用解析模型和推導(dǎo)所得對(duì)應(yīng)解析解答，能綜合考慮軸向壓力二階效應(yīng)、樁周土和樁身剪切變形的影響，并針對(duì)求解相關(guān)解答進(jìn)行了退化對(duì)比驗(yàn)證，可為大直徑樁基工程相關(guān)水平向振動(dòng)分析和設(shè)計(jì)提供參考。