楊 青

（駐馬店職業(yè)技術學院信息工程系，河南 駐馬店 463000）

0 引言

無線傳感網絡（wireless sensor networks，WSNs）已在精準農業(yè)、森林防火、動物跟蹤等領域廣泛使用。節(jié)點的位置信息是傳感器網絡具體應用的重要前提。在多數應用中，節(jié)點必須獲取自身的位置信息，缺乏位置信息的節(jié)點監(jiān)測數據是沒有應用價值的。

估計未知節(jié)點位置有3 個步驟：1）測量信號參數，如：到達時間、到達角度，利用這些信號參數轉換成定位參數；2）利用定位參數，結合定位算法估計節(jié)點位置；3）利用定位算法校正位置估計，提高定位精度。

盡管全球定位系統(tǒng)（global positioning system，GPS）是解決多數定位問題的常用策略，但是考慮到成本和能耗問題，利用GPS 系統(tǒng)估計WSNs 中節(jié)點位置的可操作性低。因此，先在網絡內部署一些已知位置的節(jié)點（錨節(jié)點），再利用錨節(jié)點與未知節(jié)點（源節(jié)點）間的測距數據，并結合定位算法估計未知節(jié)點位置。

目前存在多種方式測距，例如：到達時間（time of arrival，ToA）、到達時間差（time difference of arrival，TDoA）、到達角度（angle of arrival，AoA）和接收信號強度指標（received signal strength indicator，RSSI）。相比于ToA、TDoA 和AoA，RSSI 測距無需額外的硬件設施，易實施。因此，基于RSSI 測距的定位算法受到廣泛關注。先利用RSSI 測距數據建立定位方程，再利用優(yōu)化算法求解，進而實現對節(jié)點位置的估計。

現多數RSSI 定位算法將定位方程轉化為最大似然（maximum likelihood，ML）估計優(yōu)化問題。目前，研究人員針對優(yōu)化問題，提出了不同的算法。例如，文獻［5］采用牛頓迭代法求解ML 優(yōu)化問題，然而，ML 優(yōu)化問題等式存在較高的非線性和非凸性，傳統(tǒng)的循環(huán)迭代法求解ML 優(yōu)化問題的誤差較大，難以獲得全局最優(yōu)解。文獻［7］將ML 優(yōu)化問題轉化為半定規(guī)劃（semi-definite programming，SDP）問題，進而提高定位精度，但是該算法的魯棒性差。類似地，文獻［8-9］先對ML 優(yōu)化問題進行近似處理，再利用二階錐規(guī)劃（second order cone programming，SOCP）求解。然而，該算法存在一個不足：源節(jié)點位于凸集外時，定位誤差很大。

為此，提出基于接收信號強度測距的凸半定規(guī)劃節(jié)點定位算法RCSP。RCSP 算法先建立基于ML 的定位方程，并利用最優(yōu)化理論對定位方程近似處理，進而形成SDP 優(yōu)化問題，最終利用內點法求解源節(jié)點位置。仿真結果表明，提出的RCSP 算法的定位精度逼近于克羅下界（cramer rao lower bound，CRLB）。

1 問題描述

網絡有N 個錨節(jié)點和一個源節(jié)點。令s表示第i 個錨節(jié)點，其位置表示為X，用X 表示源節(jié)點位置。所有錨節(jié)點位置已知，源節(jié)點位置未知，需估計。

依據式（2）可以計算N 個錨節(jié)點所接收的RSSI值的條件概率密度函數：

2 基于SDP 松馳定位算法

由于式（4）是非線性和非凸性，對其進行處理，再利用SDP 求解。根據最優(yōu)化理論，在式（4）右邊乘以一個正數不會改變最優(yōu)解。為此，先將式（4）轉化為：

依據泰勒級數近似理論（taylor series approxima-

再將式（12）、式（13）轉換成SDP 凸優(yōu)化問題：

3 基于內點法的優(yōu)化問題求解

為了求解式（14）、式（15）所示的不等式約束的優(yōu)化問題，采用基于內點法的約束優(yōu)化算法求解。內點法的思想為：在可行域的邊界構成一道很高的“圍墻”，當迭代點靠近“圍墻”，目標函數（優(yōu)化問題函數）就快速增大，增加懲罰，阻止迭代點穿越“圍墻”，進而將最優(yōu)解保留在可行域之內?；趦赛c法的求解步驟如算法1 所示。

?

4 性能分析

4.1 仿真參數及性能指標

利用MATLAB 軟件建立仿真平臺，對RCSP 算法進行M=1 000 次蒙特卡洛仿真試驗。N 個錨節(jié)點隨機分布在半徑為20 m 的圓內，一個源節(jié)點隨機分布在20 m×20 m 的正方形內（源節(jié)點位于錨節(jié)點凸集內），路徑衰減指數η=3，所有節(jié)點的通信半徑為R。

為了更好地分析RCSP 算法的性能，選擇UT-WSL、SDP和SOCP2 算法作為參照，如下頁表1 所示。并分析定位算法的歸一化均方根誤差性能（normalized root mean square error，NRMSE）：

表1 算法概述

除了算法的定位精度（NRMSE），算法的復雜度也是衡量定位算法性能的重要指標。為此，依據文獻［14］提出計算算法的復雜度公式，分析RCSP 算法的復雜度。

4.2 CRLB 性能

CRLB 是衡量定位算法性能的重要指標。令F表示費舍爾信息矩陣：

4.3 性能分析

首先分析噪聲方差σ 對NRMSE 的影響，σ 從1 dB～5 dB 變化，如圖1 所示，其中，N=8。假定，σ=σ，i=1，2，…，N。

圖1 NRMSE 隨噪聲標準差σ 變化情況

由圖1 可知，噪聲標準差σ 的增加提升了NRMSE，增加定位誤差。原因在于：σ 越大，噪聲干擾越大，加大了RSSI 擾動值的比例，這必然增加定位誤差。相比于UT-WSL、SDP 和SOCP2 算法，RCSP 算法的NRMSE 最低，定位精度最高，與CRLB相近。例如，當σ=2 dB 時，SOCP2 算法的NRMSE 低于UT-WSL 和SDP 的NRMSE 值，但是它比RCSP算法的NRMSE 值仍高了約0.4 m。

如圖2 所示，分析錨節(jié)點數對NRMSE 的影響，其中σ=4 dB，N 從2～16 變化。由圖2 可知，錨節(jié)點數的增加使各算法的NRMSE 呈下降趨勢。原因在于：錨節(jié)點數越多，源節(jié)點獲取的測距信息越多，定位精度越高。相比于UT-WLS 算法、SDP 算法和SOCP2 算法，RCSP 算法的NRMSE 得到有效降低。例如，當N=16 時，RCSP 算法的NRMSE 比UT-WLS算法、SDP 算法和SOCP2 算法分別下降了0.8 m、2.2 m 和1.4 m。

圖2 NRMSE 隨錨節(jié)點數變化情況

表2 顯示了UT-WLS 算法、SDP 算法和SOCP2算法的復雜度。由表2 可知，RCSP 算法與SDP 的復雜度相同，但是比UT-WLS 算法的復雜度略高。由圖1 和圖2 可知，RCSP 算法的NRMSE 最低，換而言之，RCSP 算法以略高的復雜度換取高的定位精度。

表2 算法的復雜度

5 結論

針對WSNs 的節(jié)點定位問題，提出基于接收信號強度測距的凸半定規(guī)劃節(jié)點定位算法RCSP。RCSP 算法利用RSSI 測距，再建立基于ML 估計的定位方程。通過轉換處理，使定位方程轉換成SDP形式，最終利用內點法求解。性能分析表明，相比于SDP 和UT-WSL 算法，RCSP 算法降低了定位誤差。后期將進一步優(yōu)化RCSP 算法，降低算法的復雜度，并拓展到真實環(huán)境場景。