張 磊，李世民，康淑瑰，王鐵寧

（1.山西大同大學(xué)，山西 大同 037009；2.解放軍63963 部隊(duì)，北京 100072；3.陸軍裝甲兵學(xué)院，北京 100072）

0 引言

在小樣本條件下，如何準(zhǔn)確高效地預(yù)估裝備維修器材消耗需求，為指揮、管理和決策等關(guān)鍵環(huán)節(jié)提供及時(shí)合理的參照，進(jìn)而確保裝備高效保障這一問題，一直以來都是裝備保障算法的研究熱點(diǎn)之一。

目前，基于小樣本的維修器材需求預(yù)測(cè)方法的相關(guān)研究已有很多，如灰色GM（1，1）模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)模型、ARIMA 模型，以及相關(guān)的改進(jìn)模型等。其中，灰色GM（1，1）模型因其數(shù)據(jù)需用量少、預(yù)測(cè)結(jié)果穩(wěn)定性好而被廣泛運(yùn)用于器材需求預(yù)測(cè)的相關(guān)研究中，而灰色Markov 模型便是經(jīng)典的灰色GM（1，1）優(yōu)化模型之一。

灰色Markov 模型通過計(jì)算殘差值的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率修正GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，進(jìn)而提升模型的預(yù)測(cè)精度。但在處理僅有少量樣本的裝備維修器材需求量預(yù)測(cè)問題時(shí)，運(yùn)用狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻率代替狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行計(jì)算，難以給出合理的預(yù)測(cè)結(jié)果。同時(shí)，根據(jù)殘差狀態(tài)概率值的大小判斷并修正預(yù)測(cè)值具有較大的隨機(jī)性，導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果可靠性不高。雖然文獻(xiàn)［19-20］運(yùn)用擬牛頓法或者牛頓法逼近最優(yōu)轉(zhuǎn)移概率強(qiáng)度，取得了較好的效果，但由于該方法計(jì)算過程繁瑣，樣本需求量較大，難以適應(yīng)少量樣本數(shù)據(jù)條件下的維修器材需求預(yù)測(cè)問題。

圍繞這一問題，本文運(yùn)用梯度下降算法確定Markov 轉(zhuǎn)移概率強(qiáng)度和待定系數(shù)的優(yōu)化值，提升灰色Markov 模型預(yù)測(cè)維修器材消耗需求的參照性和可靠性。梯度下降算法是一種計(jì)算過程簡(jiǎn)單、收斂速度快且應(yīng)用范圍廣泛的優(yōu)化方法，近年來常被用于算法性能改進(jìn)的相關(guān)研究。本文將GM（1，1）在各時(shí)間節(jié)點(diǎn)擬合產(chǎn)生的殘差考慮為正負(fù)兩個(gè)隨機(jī)狀態(tài)在狀態(tài)概率分布下的期望輸出值，建立殘差的二乘損失函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)。為使二乘損失函數(shù)取得最小值，運(yùn)用梯度下降算法逼近現(xiàn)有少量信息的條件下，轉(zhuǎn)移概率強(qiáng)度和Kolmogorov 方程待定系數(shù)的最優(yōu)值，進(jìn)而確定Markov 修正值對(duì)GM（1，1）的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行修正，有效提高了灰色Markov 模型預(yù)測(cè)裝備維修器材需求量結(jié)果的合理性和可參考性。目前，本文算法已應(yīng)用于“國(guó)際軍事比賽”出國(guó)攜行裝備維修器材的預(yù)測(cè)。通過實(shí)際應(yīng)用效果可知，該算法可有效提高伴隨保障的保障效率和效費(fèi)比。

1 灰色Markov 模型

1.1 GM（1，1）模型

則GM（1，1）的灰色微分方程為：

1.2 灰色Markov 模型

2 梯度下降灰色Markov 模型

2.1 殘差損失函數(shù)的梯度下降

2.2 初值的確定

為避免迭代過程得到局部最優(yōu)解的情形，需要進(jìn)一步根據(jù)具體的擬合數(shù)據(jù)得到盡可能接近最優(yōu)解的初始解，由轉(zhuǎn)移概率強(qiáng)度定義可知，當(dāng)i≠j 時(shí)，有：

也就是說，當(dāng)i≠j 時(shí)，轉(zhuǎn)移強(qiáng)度可近似表示為對(duì)應(yīng)狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移概率。而狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率強(qiáng)度的初值可由下式近似得到：

2.3 模型的運(yùn)算流程

由式（6）形式可知，隨著時(shí)間變量t 的值不斷增大，式（6）的計(jì)算結(jié)果將迅速趨于平穩(wěn)分布，為保證預(yù)測(cè)結(jié)果的合理性，可以運(yùn)用圖1 中流程進(jìn)行1步預(yù)測(cè)，再由1 步預(yù)測(cè)結(jié)果作為訓(xùn)練值再進(jìn)行1 步預(yù)測(cè)。

圖1 改進(jìn)模型的運(yùn)算流程

3 數(shù)值模擬

為模擬序列受隨機(jī)因素影響下的變化情況，運(yùn)用模擬軟件生成均值為0，方差為1 的隨機(jī)序列ξ（k）作為模擬殘差序列。由相關(guān)文獻(xiàn)分析可知，對(duì)于裝備維修器材消耗需求的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差通常為1%～5%左右，因此，構(gòu)建指數(shù)型隨機(jī)序列：

由圖2 可知，當(dāng)?shù)綌?shù)約為5 000 步左右時(shí)數(shù)值收斂并接近真實(shí)目標(biāo)值。說明在小樣本條件下，梯度下降算法也可有效搜索轉(zhuǎn)移概率強(qiáng)度的相對(duì)優(yōu)化值，進(jìn)而提升灰色Markov 模型預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性和合理性。同時(shí)由圖2 可知，模型收斂速度先快后慢，最快的階段約集中于迭代前期的少量步數(shù)，也可滿足裝備維修器材需求預(yù)測(cè)的應(yīng)用需求。

圖2 模型的收斂情況

4 算例分析

為檢驗(yàn)梯度下降灰色Markov 模型在裝備維修器材需求預(yù)測(cè)問題中的性能，本文采用3 組來自不同文獻(xiàn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試，分別為某裝甲裝備維修器材消耗情況、某型軍械器材消耗情況以及某戰(zhàn)術(shù)器材消耗情況。選取最后兩個(gè)數(shù)據(jù)作為測(cè)試數(shù)據(jù)，其余為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，具體劃分情況和GM（1，1）擬合效果優(yōu)度如表1 所示。

表1 模型檢驗(yàn)數(shù)據(jù)

具體計(jì)算步驟為：

Step 1 運(yùn)用式（1）和式（2）計(jì)算序列X的擬合值和預(yù)測(cè)值，并根據(jù)殘差值劃分狀態(tài)區(qū)間，如圖3所示。器材實(shí)際消耗值圍繞擬合數(shù)據(jù)浮動(dòng)變化幅度可以由圖3 看出。

圖3 數(shù)據(jù)殘差狀態(tài)劃分

由表1 和圖3 可知，器材實(shí)際消耗值圍繞擬合數(shù)據(jù)曲線浮動(dòng)變化，特別是第2 組和第3 組數(shù)據(jù)，擬合優(yōu)度數(shù)值較低，擬合效果較差。較大的數(shù)據(jù)變化幅度，除導(dǎo)致單純的GM（1，1）預(yù)測(cè)結(jié)果易存在較大誤差外，會(huì)進(jìn)一步降低模型預(yù)測(cè)結(jié)果的合理性和參考價(jià)值。為說明計(jì)算過程，僅對(duì)第1 組數(shù)據(jù)的計(jì)算過程進(jìn)行說明，計(jì)算結(jié)果如下頁(yè)表2 所示。

表2 GM（1，1）的擬合過程

Step 2 根據(jù)表2 計(jì)算結(jié)果確定ε=21.477 2，ε=-14.015 2；

Step 3 運(yùn)用式（16）～ 式（19）確定初始值；并由表2 的狀態(tài)劃分結(jié)果確定1 步狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻率所構(gòu)成的矩陣。

Step 7 將Step 6 得到的預(yù)測(cè)結(jié)果歸入到訓(xùn)練序列，即{234，260，258，275，285，329，347，365，396，432，483，512，541.417 8}，計(jì)算結(jié)果見表1。重復(fù)Step 1～Step 6，得到修正后的預(yù)測(cè)結(jié)果為582.489 5。

為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪\(yùn)算性能，本文分別運(yùn)用GM（1，1）、GM（1，1）-Markov、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、SVR 和RBF等模型針對(duì)裝備維修器材消耗的序列X進(jìn)行預(yù)測(cè)，運(yùn)用式（3）、式（4）計(jì)算相對(duì)誤差和平均相對(duì)誤差，其3 組數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果如下頁(yè)表3 所示。

表3 各組數(shù)據(jù)中表現(xiàn)最優(yōu)數(shù)據(jù)均已加粗。由表3 中3 組數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果可知，第1 組數(shù)據(jù)中的實(shí)際器材消耗量為542 和576；普通GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)結(jié)果為546.34 和589.09；一般灰色Markov 模型的預(yù)測(cè)結(jié)果為557.08 和599.83；而運(yùn)用灰色梯度下降算法的灰色Markov 模型得到的預(yù)測(cè)結(jié)果為541.42 和581.88，顯然更加符合真實(shí)的器材消耗情況。第2 組和第3 組數(shù)據(jù)的計(jì)算同樣具有類似的優(yōu)化效果。梯度下降灰色Markov 模型預(yù)測(cè)結(jié)果分別將3 組數(shù)據(jù)的平均相對(duì)誤差降低為0.56%、2.02%和4.74%，優(yōu)于其他各種預(yù)測(cè)模型。說明在少量樣本數(shù)據(jù)條件下，基于二乘誤差損失函數(shù)的梯度下降算法可有效提高轉(zhuǎn)移概率強(qiáng)度取值的合理性，提升預(yù)測(cè)結(jié)果的合理性與可參考價(jià)值。而且由表3 可以看出，在迭代次數(shù)較少且處理數(shù)據(jù)類型不同的條件下，模型仍然可以有效改善灰色Markov 模型的預(yù)測(cè)效果，說明模型在處理小樣本維修器材需求預(yù)測(cè)問題時(shí)具有較好的穩(wěn)定性和收斂效果。

通常裝備維修器材消耗預(yù)測(cè)較好結(jié)果的平均相對(duì)誤差為5%以內(nèi)。由表3 可以看出，在數(shù)據(jù)波動(dòng)幅度較小時(shí)（見表1、圖3（a）），各類方法的精度效果比較接近，平均相對(duì)誤差均在5%以內(nèi)，梯度下降算法對(duì)于灰色Markov 模型的改進(jìn)效果有限。而在數(shù)據(jù)波動(dòng)幅度相對(duì)較大時(shí)（見表1、圖3（b）、圖3（c）），梯度下降算法對(duì)于灰色Markov模型的改進(jìn)效果則相對(duì)明顯，預(yù)測(cè)效果更為理想。由此可見，將優(yōu)化后的模型預(yù)測(cè)結(jié)果作為決策參照更加有利于裝備維修器材的高效率保障。

表3 模型的運(yùn)算結(jié)果

5 結(jié)論

裝備維修器材的消耗需求預(yù)測(cè)問題通常具有樣本數(shù)量少和隨機(jī)干擾因素多的特點(diǎn)。在這種條件下，運(yùn)用狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻率替代轉(zhuǎn)移狀態(tài)概率或者狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算不夠合理。本文將GM（1，1）模型擬合產(chǎn)生的殘差劃分為正負(fù)兩個(gè)隨機(jī)狀態(tài)，將各時(shí)間節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的殘差視為殘差在狀態(tài)概率分布下的期望值，可以有效避免根據(jù)狀態(tài)概率值相對(duì)大小選擇修正值進(jìn)而造成的偏差，提升了模型預(yù)測(cè)的合理性。同時(shí)，構(gòu)建了關(guān)于殘差值的二乘損失函數(shù)，運(yùn)用梯度下降算法得到了使得二乘損失函數(shù)取得最小值的狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移強(qiáng)度和Kolmogorov 方程待定系數(shù)的最優(yōu)解。數(shù)值模擬和算例分析結(jié)果表明，在數(shù)據(jù)變化幅度較大時(shí)，梯度下降灰色Markov 模型可基于小樣本信息，通過迭代獲得轉(zhuǎn)移概率強(qiáng)度和Kolmogorov 方程解系數(shù)的最優(yōu)值，有效提升灰色Markov 預(yù)測(cè)結(jié)果的合理性與可參考性。