喬勇 譚雪飛

求角的取值范圍問題是目前各級各類考試中出現(xiàn)的一種新題型，雖然比其他求范圍問題的難度要大一些，但只要把握其特點(diǎn)，即只要抓住角的一條邊或兩條邊來思考和解答問題，一樣能化難為易，快速解答，下面舉例說明其解法.

例1 已知∠AOB=50°，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD.

（1）如圖1，OD在∠AOB的內(nèi)部，∠AOD=36°，∠BOD=14°時，求∠EOF的度數(shù);

（2）如圖2，OD在∠AOB的外部，請?jiān)趫D中先補(bǔ)全圖形，再求∠EOF的度數(shù);

（3）如圖3，∠AOC=90°，射線OE，OF能否同時在∠BOC的內(nèi)部？若不能，請說明理由;若能，請說明理由，并求∠BOD的取值范圍.

解 （1）如圖1，已知

∠AOD=36°，∠BOD=14°，

因?yàn)樯渚€OE平分∠AOD，

所以∠EOD=12∠AOD=12×36°=18°，

因?yàn)镺F平分∠DOB

所以∠DOF=12∠DOB=12×13°=7°，

所以∠EOF=∠EOD+∠DOF

=18°+7°=25°.

（2）在圖2中畫出射線OE，OF，變?yōu)閳D4，圖4

因?yàn)樯渚€OE平分∠AOD，

所以∠EOD=12∠AOD，

因?yàn)镺F平分∠DOB，

所以∠DOF=12∠DOB，

因?yàn)椤螦OB=50°，

所以∠EOF=∠EOD-∠DOF

=12∠AOD-12∠DOB

=12（∠AOD-∠DOB）

=12∠AOB

=12×50°

=25°.

（3）射線OE，OF能同時存在于∠BOC的內(nèi)部.

理由：由（1）和（2）結(jié)論猜想得∠EOF=25°，容易證明：不論OD是在∠AOB的內(nèi)部還是外部，∠EOF=25°=定值.

因?yàn)椤螧OC=∠AOC-∠AOB=90°-50°=40°，

又因?yàn)?5°<40°，

所以∠EOF<∠BOC，

所以射線OE，OF能夠同時在∠BOC的內(nèi)部，

當(dāng)OE與OB重合時，在圖3中補(bǔ)全圖形變?yōu)閳D5，

所以∠BOD=∠AOB=50°，

當(dāng)OF與OC重合時，在圖3圖6

中補(bǔ)全圖形變?yōu)閳D6，

因?yàn)椤螮OF=25°，

所以 ∠BOE

=40°-25°=15°，

因?yàn)椤螦OB=50°，

所以∠AOE=∠AOB+∠BOE

=50°+15°

=65°，

所以∠DOE=65°，

所以∠BOD=∠DOE+∠BOE

=65°+15°

=80°，

所以∠BOD的取值范圍為

50°<∠BOD<80°.

注 從以上解答過程可以看出，我們先從∠EOF靠近OB的這條邊考慮∠BOD的最小值，再從∠EOF靠近OC的這條邊考慮∠BOD的最大值，進(jìn)而得到∠BOD的取值范圍.

例2 如圖7，已知O為直線AB上一點(diǎn)，射線OD，OC，OE位于直線AB上方，OD在OE的左側(cè)，∠AOC=120°，∠DOE=80°，點(diǎn)F在射線OB上.

（1）若射線OF繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)n°（0

（2）若射線OF繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)n°（0

解 （1）∠FOE和∠EOC的數(shù)量關(guān)系為

∠EOF=2∠EOC，

①當(dāng)∠DOE在∠AOC內(nèi)部時，如圖8，

令∠AOD=x°，則

∠DOF=2x°，

所以∠EOF=80°-2x°

=2（40°-x°），

∠EOC=120°-（x°+2x°+80°-2x°）

=40°-x°，圖9

所以∠EOF=2∠EOC.

②當(dāng)∠DOE的兩邊在射線OC的兩側(cè)時，如圖9，

令∠AOD=x°，則

∠DOF=2x°，

∠DOC=120°—x°，

∠EOF=2x°-80°=2（x°-40°），

∠EOC=80°-（120°-x°）=x°-40°，

所以∠EOF=2∠EOC，

綜上可證∠EOF=2∠EOC.

0

（2）①當(dāng)∠DOE在∠AOC內(nèi)部時，如圖10.

令∠AOD=x°，則

∠AOF=2x°，

∠EOC=120°-x°-80°

=40°-x°，

∠EOH=12（40°-x°）.

所以∠HOF=12（40°-x°）+80°+x°+2x°

=120°，

解得x=8，

則∠BOF=180°-2x°=180°-16°=164°.

1

②當(dāng)∠DOE的兩邊在射線OC的兩側(cè)時，如圖11.

令∠AOD=x°，則

∠AOF=2x°，

∠COD=120-x°，

∠EOC=80°-（120°-x°）

=x°-40°，

∠EOH=12（ x°-40°），

∠EOB=100°-x°，

∠BOF=180°-2x°，

所以∠HOF=12（x°-40°）+100°-x°+180-2x°

=120°，

解得x=56，

則∠BOF=180°-2x°=180°-112°=68°.

綜上所得：∠BOF的取值為68°或164°.

注 本題第（2）小題的第①種情況，是依據(jù)∠DOE的兩條邊都在∠AOC內(nèi)部而求值的，而第②種情況則是依據(jù)∠DOE的一條邊在∠AOC內(nèi)部、另一條邊在∠AOC外面求得答案的.可見，依據(jù)角的邊的位置分情況討論是解決角的范圍問題主要依據(jù)和主要方法.讀者不妨在今后的解題中試一試.