陳 楊，張建剛

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，蘭州 730070)

1 引 言

隨機(jī)共振最初是由Benzi等人[1]提出用于解釋地球古代氣候的大振幅周期性變化現(xiàn)象.此后隨機(jī)共振及其相關(guān)問題引發(fā)了各界研究者的關(guān)注.隨機(jī)共振是由噪聲、弱周期信號(hào)和非線性環(huán)境相互作用引起的現(xiàn)象.然而噪聲并不總是破壞性的，相反，噪聲和非線性系統(tǒng)的作用有時(shí)也會(huì)產(chǎn)生建設(shè)性的結(jié)果.例如，隨機(jī)共振就是由噪聲誘導(dǎo)的弱信號(hào)放大產(chǎn)生的，它將部分噪聲能量轉(zhuǎn)化為信號(hào)能量，達(dá)到增強(qiáng)系統(tǒng)輸出響應(yīng)的目的，從而提高了信噪比.通過隨機(jī)共振處理，微弱信號(hào)的幅值、能量等被提高，更便于故障的檢測.并且隨機(jī)共振方法不需要進(jìn)行濾除噪聲的操作，有用信號(hào)也不會(huì)被削弱，具有很高的理論和實(shí)際研究價(jià)值.噪聲誘導(dǎo)的隨機(jī)共振已經(jīng)被廣泛運(yùn)用于生物[2-5]、物理[6-9]、化學(xué)[10-12]、量子力學(xué)[13-15]和激光[16-18]等領(lǐng)域.

Fauve和Heslot[19]首次通過觀察Schmidt觸發(fā)電路系統(tǒng)的雙穩(wěn)態(tài)輸出特性，證實(shí)了隨機(jī)共振現(xiàn)象的存在.隨后，人們對(duì)隨機(jī)非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了廣泛研究，主要集中于對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)性質(zhì)的研究.然而大多數(shù)非線性系統(tǒng)中勢(shì)函數(shù)的對(duì)稱性無法保證，因此，研究非對(duì)稱勢(shì)阱的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)特性至關(guān)重要.目前，在噪聲驅(qū)動(dòng)下的非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的研究收獲頗豐.例如，Yang等[20]研究了復(fù)雜噪聲環(huán)境下的時(shí)滯非對(duì)稱系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)在加性和乘性α穩(wěn)定噪聲共同激勵(lì)或單獨(dú)加性α穩(wěn)定噪聲激勵(lì)下，調(diào)節(jié)參數(shù)均可誘導(dǎo)隨機(jī)共振現(xiàn)象.Zhou等[21]研究了周期混合信號(hào)和噪聲聯(lián)合激勵(lì)下的非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)對(duì)于基頻和高階諧頻情形下均出現(xiàn)隨機(jī)共振，并且高階諧頻存在抑制現(xiàn)象.

運(yùn)用隨機(jī)共振原理進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用是近10年來的研究熱點(diǎn)，而過去大部分工作是高斯白噪聲激勵(lì)下經(jīng)典雙穩(wěn)系統(tǒng)的理論研究，及其各方面的應(yīng)用.本文主要研究了高斯色噪聲激勵(lì)下非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)復(fù)雜性，研究結(jié)果表明，在非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)相較于對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)更有利實(shí)現(xiàn)對(duì)隨機(jī)共振的控制，其應(yīng)用于軸承故障診斷方面的性能相較于對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)更為可觀.本文結(jié)構(gòu)安排如下：第2節(jié)描述了高斯色噪聲激勵(lì)下的非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)，計(jì)算出了平均首次通過時(shí)間和信噪比的表達(dá)式，第3節(jié)分析了各個(gè)參數(shù)，如噪聲強(qiáng)度、非對(duì)稱系數(shù)、信號(hào)的幅值和頻率等分別對(duì)信噪比的影響，以及非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的兩個(gè)不同方向的平均首次通過時(shí)間與噪聲強(qiáng)度、非對(duì)稱系數(shù)、噪聲關(guān)聯(lián)時(shí)間之間關(guān)系，第4節(jié)對(duì)信噪比參數(shù)運(yùn)用自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法(APSO)進(jìn)行了優(yōu)化，運(yùn)用仿真信號(hào)進(jìn)行模擬分析，并采用了實(shí)際軸承數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，第5節(jié)對(duì)本文作出總結(jié).

考慮一個(gè)高斯色噪聲和弱周期信號(hào)共同激勵(lì)下的非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)，其模型可由郎之萬方程表示為：

(1)

(2)

圖1給出了勢(shì)函數(shù)U(x)隨著不同非對(duì)稱系數(shù)r的關(guān)系曲線.從圖1可以看出，當(dāng)r=0時(shí)，勢(shì)函數(shù)是對(duì)稱的，即為雙穩(wěn)的；當(dāng)r>0時(shí)，隨著r的增大，系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)的不對(duì)稱性愈發(fā)明顯，左勢(shì)阱的勢(shì)壘增大，且勢(shì)阱變得更深，右勢(shì)阱的勢(shì)壘減小，且勢(shì)阱變得更淺.

圖1 勢(shì)函數(shù)U(x)隨r的關(guān)系曲線

接下來，我們介紹信噪比和平均首次通過時(shí)間的求解過程，以及各個(gè)參數(shù)的變化對(duì)它們的影響.由于高斯色噪聲是非馬爾可夫過程，所以無法直接獲得系統(tǒng)相應(yīng)的解析解，因此運(yùn)用統(tǒng)一色噪近似理論來推導(dǎo)FPK方程.首先，我們運(yùn)用統(tǒng)一色噪近似理論將原系統(tǒng)化為：

(3)

其中，m(x)=x-x3-r+AcosΩt；c(τ,x)=1-τ(1-3x2)；τ為噪聲相關(guān)時(shí)間；n(t)為高斯白噪聲.n(t)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)表示為：

〈n(t)〉=0

〈n(t)n(t′)〉=2δ(t-t′)

從而得到Fokker-Planck方程：

(4)

求解Fokker-Planck方程，可以得到穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)表達(dá)式：

(5)

(6)

利用平均首次通過時(shí)間(MFPT)的定義和最速下降法[22]，可以得到非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的兩個(gè)不同方向的平均首次通過時(shí)間的表達(dá)式.

(7)

其中xs表示x1或x2，從而可以得到粒子分別從x1和x2所在勢(shì)阱逃逸的速率W±的表達(dá)式.

(8)

根據(jù)兩態(tài)模型理論[23]，可以得到信噪比(SNR)的表達(dá)式.

(9)

其中,

l=AcosΩt，

(τ-1)(xun-x1)]

(10)

3 隨機(jī)共振

3.1 信噪比

根據(jù)信噪比表達(dá)式，我們考察信噪比隨著噪聲強(qiáng)度Q和非對(duì)稱系數(shù)r變化的三維圖，固定參數(shù)A=0.5，Ω=0.5，τ=0.2, 結(jié)果如圖2所示.從圖2可以看出，隨著噪聲強(qiáng)度Q和非對(duì)稱系數(shù)r的增大，信噪比先逐漸增大到最大值，然后逐漸減小，呈現(xiàn)出非單調(diào)結(jié)構(gòu).這是隨機(jī)共振現(xiàn)象的識(shí)別特征，代表系統(tǒng)能夠隨著Q和r的變化引發(fā)隨機(jī)共振現(xiàn)象.

(a)

根據(jù)信噪比的表達(dá)式，我們分別討論了信噪比作為噪聲強(qiáng)度和非對(duì)稱系數(shù)的函數(shù)關(guān)于噪聲關(guān)聯(lián)時(shí)間、信號(hào)幅值以及信號(hào)頻率的影響.圖3a給出了信噪比作為噪聲強(qiáng)度Q的函數(shù)隨著不同噪聲關(guān)聯(lián)時(shí)間τ的變化曲線.從圖3a可以看到傳統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象，峰值隨著τ的增大而減小，但峰值的水平方向的位置沒有明顯變化.圖3b給出了信噪比作為非對(duì)稱系數(shù)r的函數(shù)隨著噪聲關(guān)聯(lián)時(shí)間τ的變化曲線，信噪比同樣隨著τ的增大而減小.由此可知，較大的噪聲關(guān)聯(lián)時(shí)間會(huì)抑制系統(tǒng)隨機(jī)共振現(xiàn)象的發(fā)生.此外，除了噪聲強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)的影響，系統(tǒng)對(duì)非對(duì)稱因素的改變也十分敏感.

(a)

圖4a給出了信噪比作為噪聲強(qiáng)度Q的函數(shù)隨著信號(hào)頻率Ω的變化曲線.隨著Ω的增加，峰值也在逐漸增大，峰值的位置略微向右偏移.圖4b給出了信噪比作為不對(duì)稱系數(shù)r的函數(shù)隨著信號(hào)頻率Ω的變化曲線，呈現(xiàn)出類似現(xiàn)象，也再次說明信號(hào)頻率的增加可以促進(jìn)隨機(jī)共振的發(fā)生.

(a)

圖5a給出了信噪比作為噪聲強(qiáng)度Q的函數(shù)隨著信號(hào)幅值A(chǔ)的變化曲線.隨著A的增大，峰值逐漸增大，峰值位置沒有明顯偏移.圖5b給出了信噪比作為不對(duì)稱系數(shù)r的函數(shù)隨著信號(hào)的幅值A(chǔ)的變化曲線.圖5b呈現(xiàn)出隨機(jī)共振現(xiàn)象.隨著A的增大，峰值逐漸增大，峰值的位置也沒有明顯偏移.因此，較大的信號(hào)幅值，有利于隨機(jī)共振現(xiàn)象的發(fā)生.

(a)

3.2 平均首次通過時(shí)間

MFPT是描述隨機(jī)系統(tǒng)暫態(tài)特性的一個(gè)重要特征參數(shù)，代表粒子在噪聲驅(qū)動(dòng)下首次從一個(gè)勢(shì)阱躍遷到另一個(gè)勢(shì)阱的平均時(shí)間.根據(jù)MFPT的表達(dá)式，分別討論非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的兩個(gè)不同方向(左阱到右阱和右阱到左阱)的MFPT與噪聲強(qiáng)度、非對(duì)稱系數(shù)、噪聲關(guān)聯(lián)時(shí)間之間關(guān)系.當(dāng)r=0時(shí)，原方程退化為對(duì)稱雙穩(wěn)模型，MFPT與初始狀態(tài)無關(guān)，從而MFPT(x1→x2)的曲線與MFPT(x2→x1)的曲線是一致的，當(dāng)r≠0時(shí)，兩個(gè)不同方向的MFPT曲線趨勢(shì)是相反的，具體說明如下：

(11)

圖6給出了MFPT隨著噪聲強(qiáng)度Q和非對(duì)稱系數(shù)r在不同方向上變化的三維圖.由圖6a可見MFPT(x1→x2)隨著Q和r都呈現(xiàn)的大致趨勢(shì)為單調(diào)遞增，這意味著噪聲強(qiáng)度和非對(duì)稱系數(shù)的增大都不利于粒子在勢(shì)阱間的躍遷.圖6b則與MFPT(x1→x2)情況恰好相反，呈現(xiàn)了單調(diào)遞減的趨勢(shì)，因此當(dāng)方向相反時(shí)，對(duì)MFPT的影響也相反，即噪聲強(qiáng)度和不對(duì)稱系數(shù)的增大有利于系統(tǒng)在兩個(gè)穩(wěn)態(tài)之間相互躍遷.

(a)

圖7給出了MFPT(x1→x2)作為噪聲強(qiáng)度Q和非對(duì)稱系數(shù)r的函數(shù)隨著噪聲關(guān)聯(lián)時(shí)間τ的變化曲線.各曲線均呈現(xiàn)出單調(diào)遞增的趨勢(shì)，且隨著τ的增大，其陡峭程度也逐漸上升.這說明關(guān)聯(lián)時(shí)間τ對(duì)MFPT的影響較為顯著，關(guān)聯(lián)時(shí)間τ的增大，使得粒子從單個(gè)勢(shì)阱發(fā)生躍遷所需時(shí)間增加.

(a)

圖8給出了MFPT(x2→x1)作為噪聲強(qiáng)度Q和非對(duì)稱系數(shù)r的函數(shù)隨著噪聲關(guān)聯(lián)時(shí)間τ的變化曲線，在τ的取值較小時(shí)，曲線均呈現(xiàn)單調(diào)遞減的趨勢(shì)，說明隨著噪聲能量的增加，躍遷的概率增加，粒子首次躍遷所用時(shí)間變短.

(a)

4 模擬分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 自適應(yīng)粒子群算法優(yōu)化參數(shù)

在進(jìn)行仿真模擬前，我們先將系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以便達(dá)到更優(yōu)的輸出結(jié)果，并將非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)與經(jīng)典雙穩(wěn)系統(tǒng)比較優(yōu)劣.基于隨機(jī)共振對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的敏感性，適當(dāng)?shù)卣{(diào)整參數(shù)可以使系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)水平.我們利用自適應(yīng)粒子群算法(APSO)[24]對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，模擬了信號(hào)最優(yōu)輸出結(jié)果.APSO是粒子群的改進(jìn)算法，它能夠自適應(yīng)地更新權(quán)值，保證了粒子有更快的收斂速度和全局搜索能力.

算法設(shè)計(jì)：在目標(biāo)搜索空間中，有若干個(gè)粒子組成的一個(gè)群體，每個(gè)粒子都是一個(gè)潛在的解，代入目標(biāo)函數(shù)之后算出其適應(yīng)值，再根據(jù)適應(yīng)值的大小判斷解的優(yōu)劣.粒子需要經(jīng)過多次迭代獲得最優(yōu)解，每經(jīng)過一次迭代都會(huì)更新一次位置.將適應(yīng)度最好的粒子位置作為當(dāng)前粒子群的最優(yōu)位置，再對(duì)粒子的步長和位置進(jìn)行調(diào)整，計(jì)算粒子更新后的適應(yīng)度，將每個(gè)粒子的適應(yīng)度與全體粒子所經(jīng)歷的最好位置比較，直到達(dá)到最優(yōu)解.

APSO流程如下：

(1)初始化粒子的步長和位置，將每個(gè)粒子當(dāng)前位置暫設(shè)為各自的最優(yōu)位置P_best.

(2)計(jì)算每個(gè)函數(shù)的適應(yīng)度，存儲(chǔ)它們的最佳位置和適應(yīng)度，并選擇適應(yīng)度最好的粒子位置作為當(dāng)前最優(yōu)秀位置Q_best，然后調(diào)整粒子的步長和位置.

(3)計(jì)算粒子更新后的適應(yīng)度，再把其適應(yīng)度與之前所經(jīng)歷的P_best對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度對(duì)比，取最優(yōu)作為當(dāng)前P_best.

(4)將每個(gè)粒子的適應(yīng)度與全體粒子的Q_best對(duì)比，取最優(yōu)作為當(dāng)前Q_best.

(5)如果達(dá)到最大迭代次數(shù)或最優(yōu)適應(yīng)度，則停止迭代，并輸出最優(yōu)解；如果未達(dá)到以上終止條件，則返回步驟2.

圖9 自適應(yīng)粒子群算法流程圖

表1 APSO算法優(yōu)化結(jié)果

4.2 仿真分析

在實(shí)際的機(jī)械軸承故障診斷中，由于軸承球體滾過故障具有周期性，我們選擇單邊衰減脈沖函數(shù)[25]作為仿真信號(hào)進(jìn)行模擬分析，即

S(t)=exp{-d[t-n(t)Td]2}·Asin(2πft)

(12)

(13)

其中Ad和∑iAi-Ad分別表示驅(qū)動(dòng)頻率和噪聲總功率.

運(yùn)用參數(shù)優(yōu)化后的系統(tǒng)對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行故障檢測，圖10a展示了仿真信號(hào)對(duì)應(yīng)的功率譜密度，其中，采樣頻率為10 KHz，樣本大小為2000.從時(shí)域上看，周期脈沖淹沒在噪聲中；從功率譜中看，幾乎所有振蕩都被載波頻率處的振蕩遮蔽.因此，從仿真信號(hào)中直接診斷故障十分困難.圖10b通過Hilbert變換[26]，將包絡(luò)信號(hào)中的特征頻率進(jìn)行了解調(diào)，但干擾成分依舊存在.圖10c為CBSR方法的輸出信號(hào)，相較于圖10b信號(hào)得到明顯改善，但依舊存在部分干擾頻率.圖10d展示了ABSR方法的輸出信號(hào)，從時(shí)域圖中可以看出具有清晰的信號(hào)周期，從功率譜圖中也可以觀察到幾乎無干擾成分的特征頻率，這說明ABSR方法從仿真信號(hào)中提取故障頻率的有效性.

(a)CBSR

為了測試ABSR方法的性能，本節(jié)對(duì)一組缺陷軸承數(shù)據(jù)進(jìn)行測試.軸承數(shù)據(jù)來自凱斯西儲(chǔ)大學(xué)(CWRU)數(shù)據(jù)中心[27]的實(shí)驗(yàn)裝置(圖11).本實(shí)驗(yàn)使用的軸承為6205-2RS SKF，其詳細(xì)幾何形狀見圖12.在軸外滾道引入單點(diǎn)故障，圖13為外滾道缺陷信號(hào)的分析.原始信號(hào)及其功率譜如圖13a所示，從波形中無法找到故障脈沖.經(jīng)過包絡(luò)提取后，分析結(jié)果如圖13b所示，從功率譜中可以看出球經(jīng)過外滾道缺陷的頻率，由于旋轉(zhuǎn)頻率的調(diào)制作用，影響了故障特征頻率的解調(diào)和準(zhǔn)確判斷.分別采用CBSR方法和ABSR方法對(duì)該信號(hào)分析，結(jié)果如圖13c和圖13d所示，波形排列都更加整齊，故障脈沖也都可以被清晰識(shí)別，而ABSR方法得到的特征頻率更高，因此診斷性能更好.

(a)

圖12 CWRU實(shí)驗(yàn)臺(tái)

圖13 軸承截面圖

(a)

5 結(jié) 論

本文研究了高斯色噪聲激勵(lì)下的非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振.首先，我們通過對(duì)信噪比曲線的分析發(fā)現(xiàn)，隨著噪聲強(qiáng)度和非對(duì)稱系數(shù)的變化，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象.其次，我們分別研究了噪聲關(guān)聯(lián)時(shí)間、信號(hào)的頻率、信號(hào)的幅值對(duì)信噪比的影響，發(fā)現(xiàn)信噪比關(guān)于噪聲強(qiáng)度與非對(duì)稱系數(shù)隨各個(gè)參數(shù)變化的趨勢(shì)類似.即：適當(dāng)?shù)亟档驮肼曣P(guān)聯(lián)時(shí)間有利于隨機(jī)共振現(xiàn)象的發(fā)生，與之相反，適當(dāng)?shù)靥岣咝盘?hào)的頻率和幅值也有利于隨機(jī)共振現(xiàn)象的發(fā)生.然后，我們分別探討了非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的兩個(gè)不同方向的MFPT與其他參數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)隨著信號(hào)關(guān)聯(lián)時(shí)間的增加，MFPT(x1→x2)也隨之增加，但MFPT(x2→x1)隨之減小.所以在MFPT(x2→x1)方向上增加信號(hào)關(guān)聯(lián)時(shí)間τ有利于實(shí)現(xiàn)粒子在兩者之間的過渡，提高了粒子在兩種狀態(tài)之間的躍遷速率.此外，我們觀察到在非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)中，噪聲強(qiáng)度、非對(duì)稱系數(shù)和噪聲關(guān)聯(lián)時(shí)間對(duì)不同方向上的平均首次通過時(shí)間的作用是相反的.最后，我們將單邊衰減脈沖函數(shù)作為仿真信號(hào)，說明了ABSR方法從仿真信號(hào)中提取故障頻率的有效性，并采用CWRU軸承數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證.鑒于非對(duì)稱性的重要性，我們擴(kuò)展了對(duì)非對(duì)稱性雙穩(wěn)模型的研究，希望能在一定程度上推動(dòng)今后的研究和應(yīng)用的發(fā)展.