羅仕杭，何 慶，2

1.貴州大學 大數(shù)據(jù)與信息工程學院，貴陽 550025

2.貴州大學 貴州省公共大數(shù)據(jù)重點實驗室，貴陽 550025

在工程應(yīng)用和科學研究中存在大量高維度、非線性以及目標函數(shù)不可導的全局優(yōu)化問題，傳統(tǒng)的優(yōu)化方法很難在合理的時間內(nèi)找到這些問題的全局最優(yōu)解。元啟發(fā)式算法具有原理簡單、易操作、參數(shù)少等優(yōu)點，為復雜全局優(yōu)化問題提供了一種新的解決途徑。因此，近年來元啟發(fā)式發(fā)算法在避障[1]、自動控制[2]、調(diào)度問題[3]、圖像演化[4]、路徑規(guī)劃[5]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用與研究。

阿基米德優(yōu)化算法（Archimedes optimization algorithm，AOA）是2021年Hashim等[6]基于阿基米德原理提出的新型元啟發(fā)式優(yōu)化算法，AOA的種群個體是浸入流體中的物體，當浸入流體中的物體之間發(fā)生碰撞時，碰撞程度隨時間不斷減弱，適應(yīng)度值優(yōu)的個體加速度大，引導其他個體逐漸收斂到最優(yōu)位置，達到尋優(yōu)的目的。

AOA具有模型簡單、易于擴充、設(shè)置參數(shù)少等優(yōu)點。然而，AOA與其他群智能優(yōu)化算法相似，存在全局搜索能力弱、尋優(yōu)精度低、易陷入局部最優(yōu)等缺陷。

為改善群智能算法存在全局搜索能力弱、尋優(yōu)精度低、易陷入局部最優(yōu)等問題，許多學者提出改進：王堅浩等[7]針對鯨魚優(yōu)化算法（whale optimization algorithm，WOA）收斂精度低的問題，添加慣性權(quán)重對種群位置進行非線性擾動更新，提高了算法的收斂精度；龍文等[8]提出非線性變化的收斂因子，達到平衡WOA的全局探索和局部開發(fā)能力；李守玉等[9]將變異反向?qū)W習策略引入蝴蝶優(yōu)化算法（butterfly optimization algorithm，BOA），提高算法的尋優(yōu)精度；王海瑞等[10]將柯西高斯變異引入麻雀搜索算法（sparrow search algorithm，SSA）中，在增加種群多樣性的基礎(chǔ)上避免算法陷入局部最優(yōu)。雖然上述文獻中的改進策略在一定程度上提高算法收斂精度和速度，但是算法仍存在全局開拓能力弱、搜索精度不足等缺陷。為此，本文提出融合Sin混沌和分段權(quán)值的阿基米德優(yōu)化算法（SAOA）。首先，利用無限折疊迭代的Sin混沌反向?qū)W習策略初始化種群，通過計算適應(yīng)度值選取初始階段最優(yōu)的個體，增強種群多樣性并提高求解效率；其次，引入算數(shù)交叉算子，將當前個體與最優(yōu)個體進行交叉，產(chǎn)生的子代個體更靠近全局最優(yōu)個體，引導種群向最優(yōu)區(qū)域靠攏，增強全局搜索的充分性；同時，采用分段權(quán)值策略來平衡算法的全局開采和局部挖掘能力，協(xié)助算法跳出局部最優(yōu)。最后通過8個基準測試函數(shù)及其Wilcoxon秩和檢驗、部分CEC2014測試函數(shù)以及機械優(yōu)化案例進行仿真實驗，驗證了SAOA的有效性和可行性。

1 阿基米德優(yōu)化算法

在標準AOA中，通過轉(zhuǎn)移因子(TF)控制個體間碰撞和平衡狀態(tài)之間的切換（即算法從全局探索切換到局部開發(fā)的過程）獲得優(yōu)化問題的解，其中定義如下：

式中，t表示當前迭代次數(shù)，tmax表示迭代次數(shù)。

在初始化階段，AOA初始化個體的密度(den)、體積(vol)、加速度(acc)，在此步驟中，AOA評估初始化種群，選出當前最優(yōu)適應(yīng)度個體位置(xbest)、最優(yōu)密度(den)、最優(yōu)體積(vol)、最優(yōu)加速度(acc)，以此用來對下一代密度、體積和加速度的更新。

式中，N是種群的規(guī)模，i=(1,2,…,N)。rand是取值為（0，1）的隨機數(shù)。和分別為第i個個體在第t代和第t+1代的密度，和為第i個個體在第t代和第t+1代的體積。

當TF≤0.5時，算法進行全局搜索，個體的加速度更新方式如下：

當TF＞0.5時，算法處于局部開發(fā)階段，此時個體加速度更新公式為：

通過公式（5）對加速度進行標準化處理，用來進行個體位置更新：

式中，u和l為常數(shù)。

在全局搜索階段，碰撞個體的位置更新公式如下：

式中，表示第i個個體在第t次迭代的位置向量，C1為常數(shù)，rand∈(0,1)的一個隨機數(shù)，xrand表示第i個隨機個體在第t次迭代的位置向量，d為密度降低因子，更新公式為：

在局部開發(fā)階段，個體的位置更新公式為：

式中，xbest表示全局最優(yōu)個體，C2為常數(shù)，T=C3×TF,C3為常數(shù)。F是改變個體移動方向的標志，用于決定個體位置更新的方向，定義如下：

式中，p=2×rand-C4,C4為常數(shù)。

2 改進的阿基米德優(yōu)化算法

在基本AOA中，種群初始化采用隨機分布的方式，這種方式造成種群多樣性差，導致個體前期搜索存在一定的盲目性，從而使得算法收斂速度慢；其次，在全局開發(fā)階段，AOA僅依靠隨機個體帶領(lǐng)種群向最優(yōu)區(qū)域?qū)ふ易顑?yōu)解，當隨機個體是一個較差的解時，會導致算法求解精度低，同時，在局部開發(fā)階段，雖然種群圍繞最優(yōu)個體進行位置更新，但是當最優(yōu)個體陷入局部極值空間時，種群也會陷入局部最優(yōu)，使得算法出現(xiàn)停滯搜索現(xiàn)象；最后，AOA用來平衡全局搜索和局部開發(fā)能力的轉(zhuǎn)移因子TF并不是有規(guī)律的，根據(jù)公式（1）可知TF的最小取值是0.36，最大值是1，則全局搜索階段的區(qū)間是（0.36，0.5），局部開發(fā)階段的區(qū)間是（0.5，1），這使得算法全局搜索階段過短，未能搜索更廣闊的區(qū)域，可能丟失更優(yōu)的解。

綜上所述，本文針對上述AOA原理的缺陷，引入對應(yīng)的策略進行改進。具體策略介紹如下。

2.1 Sin混沌反向?qū)W習初始化策略

種群初始多樣性可以有效地擴大算法的搜索范圍，從而提高算法的尋優(yōu)精度和收斂速度[11]?；煦缃?jīng)常被用于優(yōu)化問題，其基本原理是通過映射關(guān)系在混沌變量空間[0，1]之間產(chǎn)生混沌序列，再將其轉(zhuǎn)化到個體的優(yōu)化變量空間內(nèi)。Sin混沌模型是一種具有較好遍歷性和隨機性的映射折疊次數(shù)無限的混沌模型。反向?qū)W習[12]通過當前解尋到其對應(yīng)的反向解，然后評估選擇更好的解，從而引導個體尋找最優(yōu)解。因此，本文先利用Sin混沌產(chǎn)生多樣性較好的初始種群；其次，根據(jù)反向?qū)W習產(chǎn)生反向種群；最后，分別計算Sin混沌初始種群及反向種群的適應(yīng)度，選擇適應(yīng)度低的解作為初始種群，提高了找到最優(yōu)初始解的概率，從而使種群向全局最優(yōu)解靠近。Sin混沌1維映射表達式如下：

式中，Xn是取值為(-1,1)的序列且初始值不能設(shè)置為0。將Sin混沌序列映射到解空間中，得到種群X={Xi,i=1,2,…,N},Xj={Xj,j=1,2,…,dim}，種群個體表示如下：

式中，Xi+1,j為第i+1個種群的第j維值。

由種群X計算反向種群,，反向種群個體表示如下：

式中，[Xminj,Xmaxj]為搜索空間的動態(tài)邊界。將Sin混沌種群X和反向種群X*組成新種群{X∪X*}，將新種群的適應(yīng)度值進行排序，選擇N個適應(yīng)度值最優(yōu)的個體組成初始種群。

2.2 算數(shù)交叉算子

在標準的AOA中，碰撞個體根據(jù)公式（6）進行全局搜索，由于沒有任何先驗條件可以使用，僅依靠種群中隨機個體的引導進行種群位置更新，隨機個體可能是一個質(zhì)量較好的解，也可能是一個較差的解，導致算法的全局尋優(yōu)性能較弱。因此，為提高標準AOA的全局搜索性能，本文引入的算術(shù)交叉算子，表達式如公式（13）所示：

式中，λ∈(0,1)表示隨機數(shù)。

SAOA選擇當前個體與全局最優(yōu)個體進行算術(shù)交叉，產(chǎn)生新的子代個體更靠近當前最優(yōu)解，從而加快群體向全局最優(yōu)區(qū)域靠攏，同時算術(shù)交叉算子給予當前個體向優(yōu)秀個體學習的能力，增強種群信息分享能力，從而增加種群多樣性。將當前個體與全局最優(yōu)個體進行交叉后，雖然能增強算法全局搜索能力，但是無法直接判斷產(chǎn)生的新個體是否優(yōu)于原始個體。因此，通過交叉選擇后，利用貪婪機制比較新舊個體適應(yīng)度值，再決定是否更新當前個體，通過這種方式不斷獲得更優(yōu)解，從而提升算法全局尋優(yōu)性能。其中貪婪機制的數(shù)學模型如公式（14）所示：

2.3 分段權(quán)值策略

在標準AOA中，轉(zhuǎn)移因子TF取值為（0.36，1），當TF＞0.5時，算法進行局部開發(fā)，最優(yōu)個體引導種群進行位置更新，但是當最優(yōu)個體陷入局部極值空間時，種群將受其影響陷入局部最優(yōu)，使得算法出現(xiàn)“早熟”現(xiàn)象。為解決這個問題，本文提出分段權(quán)值的位置更新策略，首先，借鑒雙曲正切函數(shù)的思想，本文在算法迭代前中期種群位置更新處引入動態(tài)雙曲正切權(quán)值w，其值隨迭代次數(shù)的增加呈非線性遞減，其次，在算法迭代后期，引入正弦波動權(quán)值，降低算法陷入局部最優(yōu)的概率。本文所采用的動態(tài)雙曲正切權(quán)值，在算法迭代前期，SAOA獲得較大權(quán)值以保證其在更廣闊的區(qū)域搜索最優(yōu)解，在算法迭代中期，SAOA獲得較小權(quán)值，使當前個體可以在最優(yōu)個體附進行精確搜索，達到平衡全局搜索與局部開發(fā)的能力，算法迭代后期，利用正弦波不規(guī)則變換的特點來增強最優(yōu)個體在局部空間開發(fā)的多元性，協(xié)助種群跳出局部最優(yōu)。分段權(quán)值w的計算如公式（15）所示：

式中，wstart表示迭代開始時的初始權(quán)值，即當t=0時，wstart=0.8,wend表示迭代結(jié)束時的權(quán)值，即當t=tmax,wend=0.4。δ為迭代次數(shù)，β1=0.23,β3=1.6,θ=0.3。α和β2為調(diào)節(jié)因子，控制曲線的平滑度，經(jīng)過多次實驗驗證，當α=0.75和β2=0.06時，實驗結(jié)果為最優(yōu)。

由圖1可知，在算法迭代初期，w值較大，使SAOA具有較強的全局勘探能力，在算法迭代中期，w值較小，使SAOA的開發(fā)性能逐步提高并盡可能在最優(yōu)解附近精確尋優(yōu)，在算法迭代后期，w值的方向和大小變換的不確定性增強SAOA搜索的多元性，避免算法陷入局部極值空間。因此，AOA引入分段權(quán)值策略后全局搜索階段的個體位置更新公式為：

局部開發(fā)階段個體位置更新公式為：

圖1 分段權(quán)值曲線圖Fig.1 Segmented weight curve graph

2.4 SAOA算法實現(xiàn)步驟

綜上改進策略，本文所提的SAOA算法步驟如下：

步驟1初始化算法相關(guān)參數(shù)：種群規(guī)模N、空間維度dim、種群的搜索空間[ub,lb]、最大迭代次數(shù)tmax、參數(shù)C1、C2、C3、C4、密度(den)、體積(vol)、加速度(acc)。

步驟2采用Sin混沌反向?qū)W習初始化策略初始化種群。

步驟3計算種群中每個個體的適應(yīng)度值并記錄當前最優(yōu)個體位置(xbest)、最優(yōu)密度(den)、最優(yōu)體積(vol)、最優(yōu)加速度(acc)。

步驟4根據(jù)公式（1）、（2）、（7）分別更新函數(shù)TF、den、vol、d。

步驟5當TF≤0.5時，進入步驟6根據(jù)公式（3）更新函數(shù)acc，進一步根據(jù)公式（5）更新函數(shù)acci-norm；當TF＞0.5時，進入步驟7，根據(jù)公式（4）更新函數(shù)acc，進一步根據(jù)公式（5）更新函數(shù)acci-norm。

步驟6算法進行全局搜索，根據(jù)公式（13）選擇隨機個體與當前最優(yōu)個體進行算術(shù)交叉操作，產(chǎn)生新的候選解，并通過公式（14）進行擾動，進一步根據(jù)公式（16）更新個體位置。

步驟7算法進行局部開發(fā)，根據(jù)公式（17）更新個體位置。

步驟8判斷是否滿足迭代終止條件，滿足則輸出全局最優(yōu)解及位置信息，否則進入步驟3繼續(xù)執(zhí)行。

改進算法流程圖如圖2所示。

圖2 SAOA算法流程圖Fig.2 SAOA algorithm flow chart

2.5 SAOA時間復雜度分析

時間復雜度間接反映算法的收斂速度。在標準AOA中，假設(shè)參數(shù)初始化（種群規(guī)模N、維度d等參數(shù)）時間為η1，初始化每個個體需要的時間為η2，求解目標適應(yīng)度函數(shù)時間為f(d)，則標準AOA種群初始階段時間復雜度為：

設(shè)更新函數(shù)TF、den、vol、d、acc時間為η3，每一維按公式（6）和（8）更新位置所需時間為η4，比較當前位置和歷史最優(yōu)位置的時間為η5，選取最優(yōu)位置的時間為η6，此階段時間復雜度為：

所以基本AOA的時間復雜度為：

在SAOA中，初始化參數(shù)所需時間與基本AOA相同，采用Sin混沌反向?qū)W習初始化種群所需時間為復雜度為O(N×d×f(d))，則SAOA初始化種群階段的時間復雜度為：

計算算術(shù)交叉算子所需時間為η7，每一維按公式（13）進行個體位置更新，利用貪婪機制比較新舊個體適應(yīng)度所需時間為η8，保留最優(yōu)位置時間為η9，此階段的時間復雜度為：

算法引入分段權(quán)值后，每一維按照公式（16）和（17）更新個體位置所需時間為η10，此階段的時間復雜度為：

綜上分析可得，SAOA的時間復雜度為：

綜上所述，SAOA與AOA時間復雜度一致，本文針對AOA缺陷所提改進策略并沒有增加時間復雜度。

3 仿真實驗與結(jié)果分析

3.1 實驗設(shè)計與測試函數(shù)

本文基于Intel?CoreTMi7-i7-6500U CPU，2.50 GHz主頻，8 GB內(nèi)存以及Windows 10（64位）的操作系統(tǒng)對所提出的算法進行仿真實驗。編程軟件為MATLAB 2018（a）。各個算法的參數(shù)設(shè)置如表1所示，選取8個基準函數(shù)其中5個單峰函數(shù)F1～F5，3個復雜非線性多峰函數(shù)F6～F8，取值范圍、最優(yōu)值信息如表2所示。

表1 算法參數(shù)設(shè)置Table 1 Algorithm parameter setting

表2 基準測試函數(shù)介紹Table 2 Benchmark test functions

3.2 不同改進策略對算法性能影響分析

為驗證SAOA算法的可行性和優(yōu)越性，將基本AOA與本文加入Sin混沌反向?qū)W習初始化策略的算法（AOA1）、加入算術(shù)交叉算子的算法（AOA2）、加入分段權(quán)值策略的算法（AOA3）在8個具有不同尋優(yōu)特征的基準函數(shù)上進行仿真實驗。算法參數(shù)統(tǒng)一設(shè)置為：種群規(guī)模N=30,搜索空間維度dim=30,最大迭代次數(shù)tmax=500。表3通過最優(yōu)值、最差值、平均值和標準差四個性能指標來評估各算法的尋優(yōu)性能。5種算法對8個基準測試函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果如表3所示。

表3 不同改進策略的結(jié)果比較Table 3 Comparison of results of different improvement strategies

由表3可知，SAOA對函數(shù)F1、F3、F6、F8求解時，SAOA都能夠?qū)さ嚼碚撟顑?yōu)值，對函數(shù)F2和F4，無論是尋優(yōu)精度還是穩(wěn)定性均表現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢。在求解函數(shù)F5和F7時，SAOA陷入局部最優(yōu)值，其他對比算法也尋優(yōu)停滯，但SAOA相較于其他改進策略具有更高的收斂精度和穩(wěn)定性。具體來說，僅采用算術(shù)交叉算子（AOA2）對AOA性能的改進有限，但其收斂精度相對于AOA也得到一定程度的提升，尤其對求解函數(shù)F6和F8，均得到了尋優(yōu)理論值，這是因為通過當前個體與最優(yōu)個體進行交叉后，不僅增強種群之間信息交流，而且產(chǎn)生的子代個體可以有效引導種群向最優(yōu)區(qū)域進行尋優(yōu)。Sin混沌反向?qū)W習初始化策略（AOA1）和分段權(quán)值策略（AOA3）對函數(shù)F1、F3、F6、F8效果顯著，均能尋到理論值，同時對函數(shù)F2、F4求解精度和穩(wěn)定性也有極大提升，這是因為Sin混沌反向?qū)W習初始化策略增強了種群的多樣性并提高初始階段種群解的質(zhì)量，分段權(quán)值策略使得算法在迭代前期獲得較高權(quán)值，增強SAOA全局探索能力，在迭代中期權(quán)值減小，幫助SAOA在局部空間精確搜索，在迭代后期權(quán)值大小和方向不斷變化，協(xié)助SAOA跳出局部最優(yōu)，提高算法的尋優(yōu)精度和收斂速度。

3.3 算法收斂性分析

為了反映SAOA的動態(tài)收斂特性，取搜索空間維度為30維，每個算法獨立運行30次，采用平均收斂曲線圖描述算法的收斂性。圖3（a）～（h）給出了8個基準測試函數(shù)的平均收斂曲線圖：

由圖3可知，對于函數(shù)F1、F2、F3、F4、F6、F8,SAOA在尋優(yōu)精度和收斂速度上都明顯優(yōu)于其他4種對比算法，且迭代前期的搜索性能和迭代末期的開拓性能也都優(yōu)于其他4種算法，在相同的迭代次數(shù)下具有更高的求解精度和更快的收斂速度，并在相同的求解精度下具備更快的收斂速度，表明SAOA在保證開拓能力的同時也能充分保證搜索能力，不失種群多樣性和尋優(yōu)穩(wěn)定性。對于函數(shù)F5、F7,SAOA與其他4種算法一樣，雖然陷入局部最優(yōu)后難以跳出，但SAOA的平均收斂曲線均位于4種對比算法平均收斂曲線下方，且達到特定精度所需的迭代次數(shù)最少。

綜上，表3的實驗結(jié)果與圖3的平均曲線驗證了本文所提改進算法的有效性。雖然在某些函數(shù)上5種算法收斂精度差距不明顯，但SAOA的收斂速度遠快于其他對比算法，表明SAOA的綜合尋優(yōu)能力比其他算法更強，穩(wěn)定性更高。

3.4 與最新改進的群智能算法對比

為比較SAOA與其他改進算法的尋優(yōu)性能，本文將SAOA與新改進的灰狼算法（improved grey wolf optimizer for solving engineering problems，IGWO）、混合灰狼和布谷鳥搜索優(yōu)化算法（hybrid grey wolf and cuckoo search optimization algorithm，GWO_CS）、新改進的鯨魚算法（CWOA）、IWOA以及新改進蝴蝶優(yōu)化算法（PWBOW）在空間維度30/200/500條件下對8個基準測試函數(shù)進行仿真實驗，其中“—”表示參考文獻未給出相應(yīng)數(shù)據(jù)，每個算法獨立運行30次后結(jié)果如表4所示。

圖3 5種算法的平均收斂曲線圖Fig.3 Comparison of average convergence curves of 5 algorithms

由表4的實驗結(jié)果表明：總體上IGWO與GWO_CS尋優(yōu)能力相差不大，CWOA是5種對比算法中尋優(yōu)精度最高的，且SAOA求解精度和穩(wěn)定性明顯優(yōu)于5種對比算法。

從縱向來看，CWOA只有對函數(shù)F1、F6、F8求解時，才能找到理論值，且由標準差可知CWOA尋到理論值不具有穩(wěn)定性，對函數(shù)F1～F4，IGWO算法與GWO_CS算法無法求解且PWBOA求解精度不高時，SAOA仍具有較高的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性，其中IGWO求解精度是5種算法中最差的，GWO_CS算法次之。函數(shù)F5存在局部極值，算法容易陷入局部最優(yōu)且無法跳出，CWOA對其求解精度略優(yōu)于SAOA，但差異穩(wěn)定在同一個數(shù)量級內(nèi)，可以接受。函數(shù)F7是一種具有山脊形狀的多峰函數(shù)，其全局最優(yōu)值比較難尋，所以SAOA同其他改進算法均未找到理論值，但其尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性均高于其他算法。

表4 與三種改進群智能算法在不同維度的結(jié)果對比Table 4 Comparison with results of three improved swarm intelligence algorithms in different dimensions

從橫向來看，當維度從30維上升到200維再上升到500維，5種對比算法求解精度和魯棒性均有不同程度下降，這是因為隨著維度增加使基準函數(shù)復雜度增加，尋優(yōu)過程需要更多計算，但SAOA求解精度仍最高，從而驗證了SAOA在求解低維和高維問題時具有極強的魯棒性，進一步說明了SAOA在求解函數(shù)優(yōu)化問題時具有一定的競爭優(yōu)勢。

3.5 Wilcoxon秩和檢測

上訴仿真實驗中，僅憑平均值和標準差不能夠完全說明SAOA算法的優(yōu)越性。為了保證算法的公平性和有效性，需要進行統(tǒng)計檢驗[13]。本文采用Wilcoxon秩和檢驗驗證SAOA每次實驗結(jié)果是否在統(tǒng)計上與其他算法存在明顯差異。秩和檢驗在5%的顯著性水平下進行，當p＜5%時，可以被認為拒絕H0假設(shè)，說明兩種算法之間存在顯著性差異；p＞5%時，可以被認為接受H0假設(shè)，說明兩種算法尋優(yōu)性能上整體相同。表5給出了SAOA與AOA1、AOA2、AOA3、GWO_CS算法、IGWO算法進行8個基準測試函數(shù)上的Wilcoxon秩和檢驗對比分析，其中“N/A”表示兩者之間性能相當，“Na”表示不適用，即無法進行顯著性判斷，判斷結(jié)果，“+”“-”“=”分別表示SAOA性能優(yōu)于、劣于和相當于對比算法。由表5可知，大部分p值都小于5%，總體上SAOA的性能與其他6種算法在統(tǒng)計上差異顯著，從而表明SAOA比其他算法擁有更好的優(yōu)越性。

表5 Wilcoxon秩和檢驗結(jié)果Table 5 Wilcoxon rank sum test results

3.6 在CEC2014測試函數(shù)上進行測試

為了進一步驗證SAOA處理具有復雜特征的問題時的魯棒性，本文選取部分具有復雜特征的CEC2014單目標優(yōu)化函數(shù)進行優(yōu)化求解，其中包括單峰（CEC01）、多峰（CEC12）、混合（CEC19）和復合（CEC23、CEC27、CEC30）類型函數(shù)，選取的部分函數(shù)如表6所示。本文將SAOA與基本AOA、PSO算法、GWO_CS算法、PWBOA、IGWO算法進行實驗對比。其中L-SHADE算法在CEC2014函數(shù)中表現(xiàn)出色，常作為對比算法，其數(shù)據(jù)和PSO算法的數(shù)據(jù)來源于文獻[14]。實驗參數(shù)選取種群規(guī)模為30，最大迭代次數(shù)為1 000，維度為30，獨立運行30次取平均值和標準差，實驗結(jié)果如表7所示。

表6 部分CEC2014函數(shù)介紹Table 6 Part of CEC2014 function

如表7可知，L-SHADE在單峰CEC03函數(shù)上表現(xiàn)出色，而SAOA尋優(yōu)性能相較標準AOA弱一些，因為SAOA需要進行更多的參數(shù)計算，造成收斂精度稍有下降；在多峰CEC12函數(shù)和在混合CEC19函數(shù)上，SAOA尋優(yōu)精度更加接近理論值；在復合特征CEC23、CEC27和CEC30函數(shù)上，SAOA的標準差為0，說明其對于復合特征函數(shù)尋優(yōu)穩(wěn)定性強。上述CEC2014測試函數(shù)尋優(yōu)結(jié)果分析說明，本文提出的SAOA算法對于具有復雜特征的函數(shù)尋優(yōu)上同樣具有很大優(yōu)勢，驗證了SAOA算法具有較強的魯棒性。

4 仿真實驗與結(jié)果分析

優(yōu)化設(shè)計是20世紀60年代發(fā)展起來的一門新學科與設(shè)計方法。在機械優(yōu)化設(shè)計中，經(jīng)常需要解決數(shù)值優(yōu)化問題，然而傳統(tǒng)的優(yōu)化方法受限于目標函數(shù)是非線性和可微等問題，很難找到最優(yōu)的解決方法[15]。因此，本文將提出的SAOA用于求解機械優(yōu)化設(shè)計問題，進一步驗證所提算法的適用性和可行性。

表7 CEC2014函數(shù)優(yōu)化對比Table 7 CEC2014 function optimization comparison

絕大多的機械優(yōu)化問題與數(shù)學模型有著緊密的聯(lián)系。選擇設(shè)計變量，目標函數(shù)以及約束條件是構(gòu)造優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型的關(guān)鍵步驟。該問題的數(shù)學模型一般可以描述為如下約束優(yōu)化問題[16]：

式中，x為設(shè)計變量，f(x)為目標函數(shù)，gj表示第j個不等式約束，hp表示第p個等式約束，xmin和xmax分別表示設(shè)計變量的上下界。

焊接梁設(shè)計是機械優(yōu)化設(shè)計問題中的一種，其設(shè)計是在4個決策變量和7個約束條件下，以最小化焊接梁的制造費用為優(yōu)化目標。決策變量分別為焊縫厚度(h)、鋼筋連接長度(l)、鋼筋高度(t)和鋼筋厚度(b)，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖4所示。

圖4 焊接梁結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Schematic diagram of welded beam structure

焊接梁設(shè)計的數(shù)學模型如下所示。

目標函數(shù)：

約束方程：

其中：

式中，τ為剪切應(yīng)力，σ為橫梁彎曲應(yīng)，Pc為屈曲載荷，δ為橫梁撓度，f(x)為最小化設(shè)計費用總成本。

為了保證實驗對比的公平性，與文獻[6]參數(shù)一致，選取種群規(guī)模為30，最大迭代次數(shù)為1 000，每個算法獨立運行30次，其中SCA、WOA、PSO算法、EO算法的數(shù)據(jù)來源于文獻[6]。表8是SAOA與其他算法求解焊接梁設(shè)計的實驗對比結(jié)果。

表8 不同算法求解焊接梁設(shè)計問題的對比結(jié)果Table 8 Comparison results of different algorithms for solving welded beam design problems

由表8可知，通過焊接梁設(shè)計問題的實例驗證，所提SAOA可以取得優(yōu)于其他算法的優(yōu)化結(jié)果，說明SAOA尋優(yōu)能力優(yōu)于其他算法，具有較好的求解精度，進一步驗證SAOA在實際應(yīng)用中的可行性和適用性。

5 結(jié)束語

為了改善AOA的性能，本文提出融合Sin混沌和分段權(quán)值的阿基米德優(yōu)化算法，首先采用Sin混沌反向?qū)W習策略初始化種群，提高了初始種群的質(zhì)量；其次引入的算術(shù)交叉算子，增強算法的全局尋優(yōu)性能；同時在算法中加入分段權(quán)值平衡算法全局探索和局部開發(fā)能力，降低算法陷入局部最優(yōu)的概率。通過8個基準測試函數(shù)和部分CEC2014測試函數(shù)仿真實驗以及基準測試函數(shù)Wilcoxon秩和檢驗結(jié)果證明提出的SAOA具有更好的尋優(yōu)性能和有效性。最后，將SAOA應(yīng)用到機械設(shè)計案例中，進一步驗證該算法的可行性和適用性。下一步研究內(nèi)容的重點內(nèi)容是將SAOA應(yīng)用到更加復雜的工程中，如多目標優(yōu)化、高維函數(shù)優(yōu)化問題等。