王學(xué)平 ,何 鵬

(1.四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066;2.成都信息工程大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610225)

三角模和三角余模最初是由Schweizer和Sklar介紹的[1]。 為推廣三角模和三角余模, Yager和Rybalov定義并研究了[0，1]上一致模。 一致模在模糊邏輯、模糊系統(tǒng)模擬、專家系統(tǒng)及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等許多領(lǐng)域中都扮演著重要角色[2-4]。 因?yàn)閇0，1]是有界格的特例, 所以學(xué)者們自然地想嘗試在有界格上構(gòu)造和討論一致模[5-15]。例如，Kara?al和Mesiar率先討論了有界格上一致模[16],證明了任意包含最大元1和最小元0的有界格L上存在一致模, 并構(gòu)造了有界格上最大一致模和最小一致模。 此后, 國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者研究了有界格L上以e∈L{ 0，1}為單位元的一致模的構(gòu)造方法。 現(xiàn)有文獻(xiàn)中有界格上一致模的構(gòu)造方法主要分為兩大類, 一類是用子區(qū)間[0，e]上三角?；蜃訁^(qū)間[e， 1]上三角余模構(gòu)造有界格L上的一致模。 比如, ?ayl、 Kara?al和Mesiar分別用三角模和三角余模給出了有界格上一致模的兩個(gè)構(gòu)造方法, 由此得到了有界格上的最大和最小冪等一致模[11]。 此外, 他們還證明了任意非鏈有界格上存在既不是合取的(conjunctive)又不是析取的(disjunctive)冪等一致模。 之后,?ayl分別用子區(qū)間上的三角模和三角余模又給出了兩種新的構(gòu)造一致模的方法[6], 并舉例說(shuō)明其構(gòu)造法與已有構(gòu)造法不同。 Ouyang和Zhang結(jié)合三角?；蛉怯嗄＠瞄]包算子和內(nèi)部算子構(gòu)造了有界格上一致模[17], 推廣了文獻(xiàn)[11,16]中一些對(duì)應(yīng)結(jié)論。 最近, Ac和Mesiar也通過(guò)三角模和三角余模分別給出了兩個(gè)構(gòu)造有界格上一致模的方法, 并根據(jù)該方法得到有界格上冪等一致模[5]。

有界格上一致模的另一類構(gòu)造方法是同時(shí)用子區(qū)間[0,e]上三角模和[e,1]上三角余模構(gòu)造一致模。比如, ?ayl用三角模和三角余模給出了兩個(gè)構(gòu)造有界格上一致模的方法[8], 不過(guò), 其中的三角模和三角余模需滿足嚴(yán)格的邊界條件。 同年, Dan等在單位元滿足某些限制條件下用三角模和三角余模給出了兩個(gè)構(gòu)造有界格上一致模的新方法[13]。 之后, Xie和Li給出了兩個(gè)基于三角模和三角余模構(gòu)造有界格上一致模的方法[18], 證明了如果對(duì)三角模Te和三角余模Se加上同樣的限制, 則他們構(gòu)造的一致模分別是最大的和最小的。 而且, 在他們的構(gòu)造中不需要三角模和三角余模滿足邊界條件, 因此, 完全回答了?ayl在文獻(xiàn)[8]中提出的開(kāi)問(wèn)題。 最近, Zhao和Wu在給定三角模與三角余模的基礎(chǔ)上利用閉包算子和內(nèi)部算子給出了三個(gè)構(gòu)造有界格上一致模的方法[19], 他們的結(jié)論也回答了?ayl在文獻(xiàn)[8]中提出的開(kāi)問(wèn)題。 特別地, Ji用比三角模和三角余模更一般的子三角模和子三角余模構(gòu)造了有界格上一些一致模[20], 推廣了文獻(xiàn)[11-12,16]中一些已有構(gòu)造。

有界格上現(xiàn)有以e∈L{0,1}為單位元的一致模U的構(gòu)造方法都有一個(gè)共同特征, 即, 當(dāng)(x，y)∈(0,e)×Ie時(shí)U(x,y)∈Ie, 或(x,y)∈(e,1) ×Ie時(shí)U(x,y)∈Ie, 其中Ie是由L中所有與e不可比的元構(gòu)成的集合。 而在文獻(xiàn)[9]中, ?ayl利用[0,e]上的三角模Te和[e,1]上的三角余模Se構(gòu)造的一致模U在(x,y)∈(0,e)×Ie∪ (e,1)×Ie時(shí),U(x,y)?Ie。設(shè)A(e)= [0,e)×(e,1]∪(e,1]×[0,e),則?ayl的構(gòu)造具體如下。

定理1(文獻(xiàn)[9]中定理7 ) 設(shè)e∈L{0,1}使對(duì)任意x∈Ie，y∈(e,1]有x

U1(x,y) =

(1)

定義的二元算子U1:L2→L是L上以e為單位元的一致模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y。

定理2(文獻(xiàn)[9]中定理10) 設(shè)e∈L{0,1}，使對(duì)任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y， 且對(duì)任意p，q∈Ie有p∧q∈Ie。若Te是[0，e]上的三角模,Se是[e，1]上的三角余模, 則對(duì)任意x，y∈L, 由

U2(x,y) =

(2)

定義的二元算子U2:L2→L是L上以e為單位元的一致模，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x∈Ie,y∈(e,1]有x

關(guān)于上面兩個(gè)定理, 有兩點(diǎn)值得注意:①定理1中, 條件“對(duì)任意p，q∈Ie有p∨q∈Ie”是充分但不必要的。 即, 對(duì)[e，1]上的很多三角余模Se,該條件可以去掉, 例如取Se=S∨。②定理2中, 條件“對(duì)任意p，q∈Ie有p∧q∈Ie”是充分但不必要的。 即，對(duì)[0，e]上的很多三角模Te, 該條件可以去掉, 例如取Te=T∧。 問(wèn)題是: 在什么條件下, 由式(1)和式(2)所定義的二元算子U1，U2分別是有界格L上的一致模? 本文將圍繞該問(wèn)題展開(kāi)討論并給出回答。

1 預(yù)備知識(shí)

為便于討論, 本節(jié)回顧一些關(guān)于格、三角模、三角余模和一致模的基本概念和結(jié)論, 更多相關(guān)內(nèi)容請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[6,8,11,16,18，21-23]。

設(shè)P為非空集合, 若≤是P上滿足自反性、反對(duì)稱性和傳遞性的二元關(guān)系, 則稱(P，≤)為偏序集。若偏序集(L，≤)中任意兩個(gè)元{x，y}在L中有最大下界x∧y(也稱為下確界)和最小上界x∨y(也稱為上確界),則稱(L，≤)為格。若格(L，≤)有最大元1和最小元0, 則稱該格為有界格, 記為(L，≤，0，1)。本文以下用L代替(L，≤，0，1)。設(shè)a，b∈L且a≤b，定義L的閉子區(qū)間[a，b]如下:[a，b]={x∈L:a≤x≤b}?？梢灶愃频囟xL的其他子區(qū)間:[a，b) = {x∈L:a≤x

{x∈L:a

定義1[21-22]1) 若有界格L上對(duì)每個(gè)變量單調(diào)不減有單位元1的二元算子T:L2→L滿足交換律與結(jié)合律, 則稱T為L(zhǎng)上三角模。

2) 若有界格L上對(duì)每個(gè)變量單調(diào)不減有單位元0的二元算子S:L2→L滿足交換律與結(jié)合律, 則稱S為L(zhǎng)上三角余模。

下面是有界格L上常見(jiàn)的兩對(duì)三角模和三角余模:

T∧(x，y)=x∧y,

S∨(x，y)=x∨y，

特別地, 若L=[0，1]，則T∧=TM;TW=TD;S∨=SM且SW=SD。

定義2[16]若有界格L上對(duì)每個(gè)變量單調(diào)不減有單位元e的二元算子U:L2→L滿足交換律與結(jié)合律,則稱U為L(zhǎng)上一致模。

顯然, 有界格上L的三角模和三角余模分別是L上的一致模。

定義3[11,18]設(shè)U是有界格L上以e∈{0,1}為單位元的一致模。若對(duì)任意x∈L有U(x，x)=x，則稱U是冪等的。

性質(zhì)1[16]設(shè)U是有界格L上以e∈{0,1}為單位元的一致模, 則

1)Te=U|[0，e]2: [0;e]2→[0，e]是[0，e]上的三角模;

2)Se=U|[e，1]2: [e; 1]2→[e，1]是[e，1]上的三角余模。

性質(zhì)2[16]設(shè)U是有界格L上以e∈{0,1}為單位元的一致模, 則

1) 對(duì)任意的(x，y)∈A(e)，

有x∧y≤U(x，y)≤x∨y;

2) 對(duì)任意的(x，y)∈L×[0，e]，

有U(x，y)≤x;

3) 對(duì)任意的(x，y)∈[0，e]×L，

有U(x，y)≤y;

4) 對(duì)任意的(x，y)∈L×[e，1]，

有x≤U(x，y);

5) 對(duì)任意的(x，y)∈[e，1]×L，

有y≤U(x，y)。

2 ?ayl所構(gòu)造二元算子成一致模的新條件

以下設(shè)L是有界格且a，b∈L, 記號(hào)a‖b表示ab且ab, 而ab表示a≥b或a≤b,Ia={x∈L:x‖a}。

引理1設(shè)e∈L{0, 1}，使對(duì)任意x∈Ie,y∈(e,1]有x

引理2設(shè)e∈L{0, 1}使對(duì)任意x∈Ie，y∈(e，1]有xy, 對(duì)任意z∈(e，1]有Se(∧t ∈(e,1]t，z)=z。

證明設(shè)U1是L上以e為單位元的一致模且存在p,q∈Ie使p∨q?Ie, 則根據(jù)文獻(xiàn)[9]中定理7的證明易知,若x∈Ie,y∈[0,e), 則x>y。另一方面, 由引理1知∧t ∈(e,1]t=p∨q∈(e，1]。所以, 若存在元z∈(e，1]使Se(∧t ∈(e,1]t，z)≠z, 則U1(p,U1(q,z))=U1(p,z)=z≠Se(∧t ∈(e,1]t,z)=U1(p∨q,z)=U1(U1(p,q),z)。因此，U1不滿足結(jié)合律, 與U1是L上的一致模相矛盾。

反之, 由式(1)易知二元算子U1滿足交換律且e是它的單位元。下面證明U1滿足結(jié)合律且對(duì)每個(gè)變量單調(diào)不減。由U1是交換的知, 要證U1對(duì)每個(gè)變量單調(diào)不減, 僅需證對(duì)任意x，y，z∈L,x≤y蘊(yùn)含U1(x，z)≤U1(y，z)。又由于z=e時(shí),U1(x，z)=U1(x，e)=x≤y=U1(y，e)=U1(y，z),所以分以下4種情況驗(yàn)證x≤y蘊(yùn)含U1(x，z)≤U1(y，z):

情況1 若x∈[0，e)，

1.1y∈[0，e)，

1.1.1z∈[0，e)，

U1(x，z)=Te(x，z)≤Te(y，z)=U1(y，z)。

1.1.2z∈(e，1]，

U1(x，z)=x∧z≤y∧z=U1(y，z)。

1.1.3z∈Ie，

U1(x，z)=x∧z≤y∧z=U1(y，z)。

1.2y∈(e，1]，

1.2.1z∈[0，e)，

U1(x，z)=Te(x，z)≤x∧z≤y∧z=U1(y，z)。

1.2.2z∈(e，1]，

U1(x，z)=x∧z≤y∨z≤Se(y，z)=U1(y，z)。

1.2.3z∈Ie，

U1(x，z)=x∧z≤y∨z=U1(y，z)。

1.3y∈Ie，

1.3.1z∈[0，e)，

U1(x，z)=Te(x，z)≤x∧z≤y∧z=U1(y，z)。

1.3.2z∈(e，1]，

U1(x，z)=x∧z≤y∨z=U1(y，z)。

1.3.3z∈Ie，

U1(x，z)=x∧z≤y∨z=U1(y，z)。

1.4y=e，

1.4.1z∈[0，e)，

U1(x，z)=Te(x，z)≤z=U1(e，z)=U1(y，z)。

1.4.2z∈(e，1]，

U1(x，z)=x∧z≤z=U1(e，z)=U1(y，z)。

1.4.3z∈Ie，

U1(x，z)=x∧z≤z=U1(e，z)=U1(y，z)。

情況2 若x∈(e，1],則y∈(e，1]。

2.1z∈[0，e)，

U1(x，z)=x∧z≤y∧z=U1(y，z)。

2.2z∈(e，1]，

U1(x，z)=Se(x，z)≤Se(y，z)=U1(y，z)。

2.3z∈Ie，

U1(x，z)=x∨z≤y∨z=U1(y，z)。

情況3 若x∈Ie, 則y?[0，e]。否則，x≤y≤e, 與x∈Ie相矛盾。

3.1y∈(e，1]，

3.1.1z∈[0，e)，

U1(x，z)=x∧z≤y∧z=U1(y，z)。

3.1.2z∈(e，1]，

U1(x，z)=x∨z≤y∨z≤Se(y，z)=U1(y，z)。

3.1.3z∈Ie，

U1(x，z)=x∨z≤y∨z=U1(y，z)。

3.2y∈Ie，

3.2.1z∈[0，e)，

U1(x，z)=x∧z≤y∧z=U1(y，z)。

3.2.2z∈(e，1]，

U1(x，z)=x∨z≤y∨z=U1(y，z)。

3.2.3z∈Ie，

U1(x，z)=x∨z≤y∨z=U1(y，z)。

情況4 若x=e, 則y∈[e，1]。

4.1y=e，

U1(x，z)=U1(e，z)=U1(y，z)。

4.2y∈(e，1]，

4.2.1z∈[0，e)，

U1(x，z)=U1(e，z)=z=y∧z=U1(y，z)。

4.2.2z∈(e，1]，

U1(x，z)=U1(e，z)=z≤Se(y，z)=U1(y，z)。

4.2.3z∈Ie，

U1(x，z)=U1(e，z)=z≤y∨z=U1(y，z)。

下證U1滿足結(jié)合律, 即, 需證明對(duì)任意x，y，z∈L有U1(U1(x，y)，z)=U1(x，U1(y，z))。由于e∈{x，y，z}時(shí),U1(U1(x，y)，z)=U1(x，U1(y，z))，所以以下討論不考慮e∈{x,y,z}的情況。由引理1知， 若p，q∈Ie且p∨q?Ie, 則

(3)

以下分3種情況驗(yàn)證U1滿足結(jié)合律：

情況1 若x∈[0,e)，

1.1y∈[0，e)，

1.1.1z∈[0，e)，

U1(U1(x，y)，z)=Te(Te(x，y)，z)=

Te(x，Te(y，z))=U1(x，U1(y，z))。

1.1.2z∈(e，1]，

U1(U1(x，y)，z)=U1(Te(x，y)，z)=

Te(x，y)=U1(x，y)=U1(x，U1(y，z))。

1.1.3z∈Ie，

U1(U1(x，y)，z)=U1(Te(x，y)，z)=

Te(x，y)=U1(x，y)=U1(x，U1(y，z))。

1.2y∈(e，1]，

1.2.1z∈[0，e)，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x，z)=Te(x，z)=

U1(x，U1(y，z))。

1.2.2z∈(e，1]，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x，z)=x=

U1(x，Se(y，z))=U1(x，U1(y，z))。

1.2.3z∈Ie，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x，z)=x=

U1(x，y∨z)=U1(x，U1(y，z))。

1.3y∈Ie，

1.3.1z∈[0,e)，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x，z)=Te(x，z)=

U1(x，U1(y，z))。

1.3.2z∈(e,1]，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x，z)=x=

U1(x，y∨z)=U1(x，U1(y，z))。

1.3.3z∈Ie，

無(wú)論y∨z∈Ie還是y∨z∈(e，1], 均有

U1(U1(x，y)，z)=U1(x，z)=x=U1(x，y∨z)=U1(x，U1(y，z))。

情況2 若x∈(e，1]，

2.1y∈[0，e)，

2.1.1z∈[0，e)，

U1(U1(x，y)，z)=U1(y，z)=Te(y，z)=

U1(x，Te(y，z))=U1(x，U1(y，z))。

2.1.2z∈(e，1]，

U1(U1(x，y)，z)=U1(y，z)=y=

U1(x，y)=U1(x，U1(y，z))。

2.1.3z∈Ie，

U1(U1(x，y)，z)=U1(y，z)=y=

U1(x，y)=U1(x，U1(y，z))。

2.2y∈(e，1]，

2.2.1z∈[0，e)，

U1(U1(x，y)，z)=U1(Se(x，y)，z)=z=

U1(x，z)=U1(x，U1(y，z))。

2.2.2z∈(e，1]，

U1(U1(x，y)，z)=Se(Se(x，y)，z)=

Se(x，Se(y，z))=U1(x，U1(y，z))。

2.2.3z∈Ie，

U1(U1(x，y)，z)=U1(Se(x，y)，z)=

Se(x，y)=U1(x，y)=U1(x，U1(y，z))。

2.3y∈Ie，

2.3.1z∈[0，e)，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=z=

U1(x，z)=U1(x，U1(y，z))。

2.3.2z∈(e，1]，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x，z)=Se(x，z)=

U1(x，U1(y，z))。

2.3.3z∈Ie，

由式(3)有y∨z=∧t∈(e,1]t，或者y∨z∈Ie。

2.3.3.1y∨z=∧t∈(e,1]t，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x，z)=x=

Se(x，y∨z)=U1(x，U1(y，z))。

2.3.3.2y∨z∈Ie，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x，z)=x=

U1(x，y∨z)=U1(x，U1(y，z))。

情況3 若x∈Ie，

3.1y∈[0，e)，

3.1.1z∈[0，e)，

U1(U1(x，y)，z)=U1(y，z)=Te(y，z)=

U1(x，Te(y，z))=U1(x;U1(y，z))。

3.1.2z∈(e，1]，

U1(U1(x，y)，z)=U1(y，z)=y=

U1(x，y)=U1(x，U1(y，z))。

3.1.3z∈Ie，

U1(U1(x，y)，z)=U1(y，z)=y=

U1(x，y)=U1(x，U1(y，z))。

3.2y∈(e，1]，

3.2.1z∈[0，e)，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=z=

U1(x，z)=U1(x，U1(y，z))。

3.2.2z∈(e，1]，

U1(U1(x，y)，z)=U1(y，z)=Se(y，z)=

U1(y，z)=U1(x，U1(y，z))。

3.2.3z∈Ie，

U1(U1(x，y)，z)=U1(y，z)=y=

U1(x，y)=U1(x，U1(y，z))。

3.3y∈Ie，

3.3.1z∈[0，e)，

無(wú)論x∨y∈Ie，還是x∨y∈(e，1],均有

U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=z=U1(x，z)=U1(x，U1(y，z))。

3.3.2z∈(e，1]，

由式(3)知x∨y=∧t∈(e,1]t，或者x∨y∈Ie。

3.3.2.1x∨y=∧t∈(e,1]t，

U1(U1(x，y)，z)=Se(x∨y，z)=z=

U1(x，z)=U1(x，U1(y，z))。

3.3.2.2x∨y∈Ie，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=z=

U1(x，z)=U1(x，U1(y，z))。

3.3.3z∈Ie，

無(wú)論x∨y∈Ie，還是x∨y∈(e，1],均有U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=x∨y∨z。

可類似證明U1(x，U1(y，z))=U1(x，y∨z)=x∨y∨z。

因此,U1(U1(x，y)，z)=x∨y∨z=U1(x，U1(y，z))。

綜上,U1是L上以e為單位元的一致模。

注1引理2中條件“對(duì)任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

a)x∈Ie，y∈Ie，z∈(e，1];

b)x∈(e，1]，y∈Ie，z∈Ie;

c)x∈Ie，y∈(e，1]，z∈(e，1];

d)x∈(e，1]，y∈(e，1]，z∈Ie;

e)x∈(e，1]，y∈Ie，z∈(e，1]。

例1設(shè)L1是圖1所示的有界格, 易見(jiàn)對(duì)任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y。n∈Ie，b∈(e，1]且b‖n。又設(shè)Se是表1所定義的[e，1]上滿足對(duì)任意z∈(e，1]有Se(∧t∈(e,1]t，z)=Se(b，z)=z的三角余模,Te=T∧是[0，e]的三角模。

圖1 有界格L1Fig.1 A bounded lattice L1

由式(1)易知L1上二元算子U1如表2所示, 因此

U1(U1(m，n)，a)=U1(a，a)=1，但U1(m，U1(n，a))=U1(m，a)=a;

U1(U1(a，m)，n)=U1(a，n)=a，但U1(a，U1(m，n))=U1(a，a)=1;

U1(U1(n，r)，k)=U1(a，k)=1，但U1(n，U1(r，k))=U1(n，k)=a;

U1(U1(r，k)，n)=U1(k，n)=a，但U1(r，U1(k，n))=U1(r，a)=1;

U1(U1(b，n)，k)=U1(a，k)=1，但U1(b，U1(n，k))=U1(b，a)=a。

因此,U1不滿足結(jié)合律。從而U1不是一致模。

表1 [e，1]上的三角余模SeTab.1 The t-conorm Seon [e，1]

表2 L1上的二元算子U1Tab.2 The binary operator U1on L1

注2引理2中條件“對(duì)任意z∈(e，1]有Se(∧t ∈(e,1]t，z)=z”是U1在以下情況滿足結(jié)合律的充要條件：

i)x∈Ie，y∈Ie，z∈(e，1]且x∨y?Ie;

ii)x∈(e，1]，y∈Ie，z∈Ie且y∨z?Ie。

首先看情況i), 假設(shè)條件“對(duì)任意z∈(e，1]，有Se(∧t ∈(e,1]t，z)=z”不是必要的, 即, 當(dāng)Se(∧t ∈(e,1]t，z)≠z且i)成立時(shí),U1滿足結(jié)合律。由引理1得∧t ∈(e,1]t=x∨y,因此，U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=Se(x∨y，z)≠z=U1(x，z)=U1(x，U1(y，z)), 矛盾。類似可證條件“對(duì)任意z∈(e，1]有Se(∧t ∈(e,1]t，z)=z”也是U1在情況ii)滿足結(jié)合律的必要條件。

下例說(shuō)明條件“對(duì)任意z∈(e，1]有Se(∧t ∈(e,1]t，z)=z”是U1分別在情況i)和ii)滿足結(jié)合律的充分條件。

例2設(shè)L2為圖2所示有界格, 易見(jiàn)對(duì)任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y,對(duì)任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

圖2 有界格L2Fig.2 A bounded lattice L2

表3 [e，1]上的三角余模SeTab.3 The t-conorm Seon [e，1]

表4 L2上的二元算子U1Tab.4 The binary operator U1on L2

由式(1)易知L2上二元算子U1如表4所示, 因此

U1(U1(m，n)，a)=U1(b，a)=1，但U1(m，U1(n，a))=U1(m，a)=a;

U1(U1(a，m)，n)=U1(a，n)=a，但U1(a，U1(m，n))=U1(a，b) = 1。

所以,U1不滿足結(jié)合律。從而U1不是一致模。

例3再次考慮圖2中有界格L2。設(shè)Te=T∧為[0，e]上三角模,Se為[e，1]上由表5定義的三角余模。 顯然, 對(duì)任意z∈(e，1],Se(∧t ∈(e,1]t，z)=Se(b，z)=z。則由引理2可得L2上一致模U1如表6所示。

表5 [e，1]上的三角余模SeTab.5 The t-conorm Seon [e，1]

表6 L2上的一致模U1Tab.6 The uninorm U1on L2

由定理1和引理2可知如下定理成立。

定理3設(shè)e∈L{0，1}使對(duì)任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

1) 對(duì)任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y;

2) 對(duì)任意p，q∈Ie有p∨q∈Ie。否則, 對(duì)任意z∈(e，1]有Se(∧t ∈(e,1]t，z)=z。

由定理3可得下面推論。

推論1設(shè)e∈L{0，1}使對(duì)任意x∈Ie，y∈(e，1]有xy。

為解釋定理3中條件“對(duì)任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

定理4(文獻(xiàn)[9]中定理6) 設(shè)Te是[0，e]上的三角模, 則對(duì)任意x，y∈L，由

U3(x，y)=

定義的二元算子U3:L2→L是L上以e為單位元的一致模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y。

由注1和例1可知, 定理1中條件“對(duì)任意x∈Ie，y∈(e，1]有xy, 則U3是L上的一致模。所以條件“對(duì)任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

定理5設(shè)e∈L{0，1}使對(duì)任意x∈Ie，y∈(e，1]有x‖y,Te是[0，e]上的三角模,Se是[e，1]上的三角余模,則式(1)定義的二元算子U1是L上以e為單位元的一致模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y。

證明若U1是L上以e為單位元的一致模, 則類似引理2的證明, 可證對(duì)任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y。

以下假設(shè)對(duì)任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y, 接下來(lái)證明U1是L上以e為單位元的一致模。類似于引理2的證明, 可證U1關(guān)于每個(gè)變量單調(diào)不減。又由式(1)易知U1滿足交換律且e是它的單位元。因此, 只需驗(yàn)證U1滿足結(jié)合律。即, 證明對(duì)任意x，y，z∈L有U1(U1(x，y)，z)=U1(x;U1(y，z))。根據(jù)引理2中結(jié)合律的證明,只需在如下6種情況驗(yàn)證U1滿足結(jié)合律即可:

情況1 設(shè)x∈Ie，y∈Ie且z∈(e，1]，

1.1 若x∨y=1, 則

U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=

U1(1，z)=Se(1，z)=1=

x∨1=U1(x，1)=

U1(x，y∨z)=

U1(x，U1(y，z))。

1.2 若x∨y∈Ie, 則

U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=

x∨y∨z=1=x∨1=

U1(x，1)=U1(x，y∨z)=

U1(x，U1(y，z))。

情況2 設(shè)x∈Ie，y∈(e，1]且z∈Ie, 則

U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=

U1(1，z)=1∨z=1=x∨1=

U1(x，1)=U1(x，y∨z)=

U1(x，U1(y，z))。

情況3 設(shè)x∈(e，1]，y∈Ie且z∈Ie, 則由情況1知

U1(U1(x，y)，z)=U1(z,U1(x，y))=

U1(z,U1(y，x))=U1(U1(z，y)，x)=

U1(x,U1(z，y))=U1(x,U1(y，z))。

情況4 設(shè)x∈Ie，y∈(e，1]且z∈(e，1], 則

U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=

U1(1，z)=Se(1，z)=1=

x∨Se(y，z)=U1(x，Se(y，z))=

U1(x,U1(y，z))。

情況5 設(shè)x∈(e，1]，y∈Ie且z∈(e，1], 則

U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=

U1(1，z) =Se(1，z) = 1=

Se(x，1)=Se(x，y∨z)=

U1(x，y∨z)=U1(x,U1(y，z))。

情況6 設(shè)x∈(e，1]，y∈(e，1]且z∈Ie, 則由情況4知

U1(U1(x，y)，z)=U1(z,U1(x，y))=

U1(z,U1(y，x))=

U1(U1(z，y)，x)=

U1(x,U1(z，y))=

U1(x,U1(y，z))。

綜上,U1是L上以e為單位元的一致模。

注3由例1可知, 定理5中條件“對(duì)任意x∈Ie，y∈(e，1)有x‖y”是U1為L(zhǎng)上一致模的充分條件。若在定理5中取Se=S∨， 則二元算子U1等同于定理4中的U3。所以, 條件“對(duì)任意x∈Ie，y∈(e，1)有x‖y”不是U1為L(zhǎng)上一致模的必要條件。

例4設(shè)L3為圖3所示的有界格, [0，e]上的三角模為T(mén)e=T∧, [e，1]上的三角余模為Se=SW, 則由定理5知表7所示的二元算子U1是L3上以e為單位元的一致模。

圖3 有界格L3Fig.3 A bounded lattice L3

表7 L3上的一致模U1Tab.7 The uninorm U1on L3

引理3設(shè)e∈L{0，1}使對(duì)任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y。若p，q∈Ie且p∧qIe, 則∨t ∈[0,e)t=p∧q。

證明類似于引理1的證明。

引理4設(shè)e∈L{0，1}，使對(duì)任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y,Te是[0，e]上的三角模,Se是[e，1]上的三角余模。如果存在兩個(gè)元p，q∈Ie使p∧q?Ie, 則式(2)定義的二元算子U2是L上以e為單位元的一致模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

證明類似于引理2的證明。

類似于注1和注2, 有如下兩個(gè)結(jié)論成立。

注4引理4中, 條件“對(duì)任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y”是U2在如下情況滿足結(jié)合律的充分條件:

1)x∈Ie，y∈Ie，z∈[0，e)；

2)x∈[0，e)，y∈Ie，z∈Ie；

3)x∈Ie，y∈[0，e)，z∈[0，e)；

4)x∈[0，e)，y∈[0，e)，z∈Ie；

5)x∈[0，e)，y∈Ie，z∈[0，e)。

注5引理4中, 條件“對(duì)任意z∈[0，e)有Te(∨t ∈[0,e)t，z)=z”是U2在如下情況滿足結(jié)合律的充要條件:

1)x∈Ie，y∈Ie，z∈[0，e)且x∧y?Ie；

2)x∈[0，e)，y∈Ie，z∈Ie且y∧z?Ie。

由定理2和引理4易知下面定理成立。

定理6設(shè)e∈L{0，1}使對(duì)任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y,Te是[0，e]上的三角模,Se是[e，1]上的三角余模,則式(2)定義的二元算子U2是L上以e為單位元的一致模當(dāng)且僅當(dāng)如下兩個(gè)條件成立：

1) 對(duì)任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

2) 對(duì)任意p，q∈Ie有p∧q∈Ie。否則, 對(duì)任意z∈[0，e)有Te(∨t ∈[0,e)t，z)=z。

由定理6知下面推論成立。

推論2設(shè)e∈L{0，1}使得對(duì)任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y,Se是[e，1]上的三角余模,Te是[0，e]上滿足對(duì)任意z∈[0，e)有Te(∨t ∈[0,e)t，z)=z的三角模, 則式(2)定義的二元算子U2是L上以e為單位元的一致模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

為解釋定理6中條件“對(duì)任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y”不是式(2)定義的U2為L(zhǎng)上一致模的必要條件,需引入下面定理。

定理7(文獻(xiàn)[9]中定理9) 設(shè)Se是[e，1]上的三角余模, 則對(duì)任意x，y∈L, 由

U4(x，y)=

定義的二元算子U4:L2→L是L上以e為單位元的一致模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

根據(jù)注4和定理7, 定理6中條件“對(duì)任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y”是式(2)定義的U2為L(zhǎng)上一致模的充分但不必要的條件。進(jìn)一步, 有下面定理。

定理8設(shè)e∈L{0，1}使對(duì)任意x∈Ie，y∈(0，e)有x‖y,Te是[0，e]上的三角模,Se是[e，1]上的三角余模,則式(2)定義的二元算子U2是L上以e為單位元的一致模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

證明類似于定理5的證明。

類似于注3, 定理8中條件“對(duì)任意x∈Ie，y∈(e，1)有x‖y”是U2為L(zhǎng)上一致模的充分但不必要的條件。

3 結(jié)語(yǔ)

圖4 有界格L4Fig.4 A bounded lattice L4

表8 [e，1]上的三角余模SeTab.8 The t-conorm Seon [e，1]

表9 L4上的二元算子U1Tab.9 The binary operator U1on L4

易驗(yàn)證, 對(duì)任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y, 對(duì)任意p，q∈Ie有p∨q∈Ie且對(duì)任意z∈(e，1]有Se(∧t∈(e,1]t，z)=z。然而由式(1)易見(jiàn)二元算子U1如表9所示。因?yàn)閁1(U1(n，b)，a)=U1(a，a)=1≠a=U1(n，a)=U1(n，U1(b，a))，所以U1不是一致模。

同時(shí), 分別在對(duì)任意x∈Ie,y∈[0，e)有x>y和對(duì)任意x∈Ie,y∈(0，e)有x‖y兩種情況下, 給出了式(2)定義的二元算子U2是有界格L上一致模的兩個(gè)充要條件(見(jiàn)定理6和定理8)。因?yàn)閷?duì)任意x∈Ie，y∈[0，e)有xy, 所以從完整性的角度, 自然要問(wèn), 如果存在兩個(gè)元(x，y)，(u，v) ∈Ie×(0，e)使x>y且u‖v, 那么由式(2)定義的U2為L(zhǎng)上一致模的充要條件是什么? 一般說(shuō)來(lái), 此時(shí)式(2)定義的U2不再是L上的一致模。例如, 考慮圖5表示的有界格L5, 在[e，1]上取三角余模Se=S∨, 在[0，e]上取表10定義的三角模Te。

圖5 有界格L5Fig.5 A bounded lattice L5

表10 [0，e]上的三角模TeTab.10 The t-norm Teon [0，e]

容易驗(yàn)證, 對(duì)任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

表11 L5上的二元算子U2Tab.11 The binary operator U2on L5

最后剩下的問(wèn)題是: 當(dāng)存在兩個(gè)元(x，y)，(u，v)∈Ie×(e，1)使xy且u‖v)時(shí), 問(wèn)式(1) 所定義的U1(或式(2)所定義的U2)是有界格L上一致模的充要條件是什么？這是一個(gè)有趣且富有挑戰(zhàn)性的工作, 把它留給讀者去研究。