張人會，劉鋒，陳學(xué)炳，李仁年,2

(1. 蘭州理工大學(xué)能源與動力工程學(xué)院，甘肅 蘭州730050；2. 甘肅省流體機(jī)械及系統(tǒng)重點實驗室，甘肅 蘭州 730050)

離心泵廣泛應(yīng)用于石油、化工、電力、艦船以及航空航天等領(lǐng)域.由于離心泵流道幾何形狀與水力性能間的復(fù)雜的隱式關(guān)系，其揚(yáng)程、效率及功率等互相聯(lián)系，相互影響[1]，因此離心泵的優(yōu)化設(shè)計屬于多目標(biāo)優(yōu)化問題.目前常用的多目標(biāo)進(jìn)化算法主要有多目標(biāo)遺傳算法[2]、多目標(biāo)粒子群算法[3]、非支配排序遺傳算法[4]以及快速非支配解排序遺傳算法[5],在多目標(biāo)優(yōu)化中均利用支配關(guān)系對個體進(jìn)行排序，由不同的方法保持種群多樣性，以達(dá)到對Pareto前沿的有效逼近，同時具有較強(qiáng)的全局搜索能力，已經(jīng)被大量應(yīng)用于流體機(jī)械的優(yōu)化設(shè)計[6-8].在多目標(biāo)優(yōu)化過程中需要不斷地預(yù)估各樣本的目標(biāo)函數(shù)值，而在流體機(jī)械的多目標(biāo)優(yōu)化中如采用CFD方法計算樣本目標(biāo)函數(shù)，則計算量太大，因此多采用代理模型方法.多目標(biāo)優(yōu)化中常用的代理模型有RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型[9]、多項式響應(yīng)面代理模型、Kriging代理模型及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型等.朱國俊等[10]采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型與NSGA-Ⅱ算法對海流能水輪機(jī)葉片翼型進(jìn)行了優(yōu)化研究.王春林等[11]采用類似的算法分別對渣漿泵和高比轉(zhuǎn)速混流泵葉輪進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計.KHALFALLAH等[12]分別采用RBF代理模型與NSGA-Ⅱ算法對離心式壓縮機(jī)和螺旋軸流式油氣混輸泵葉輪進(jìn)行了優(yōu)化研究.ZHANG等[13]利用Kriging代理模型與NSGA-Ⅱ算法完成了對雙吸離心泵的葉輪優(yōu)化設(shè)計.

在傳統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計中，由于預(yù)測的子代樣本逐漸遠(yuǎn)離初始訓(xùn)練樣本集，因此代理模型的預(yù)測精度隨著Pareto前沿不斷向前推進(jìn)將逐漸降低.為提升代理模型對前沿解的預(yù)測精度，文中提出將在每次產(chǎn)生的Pareto前沿非支配排序中較優(yōu)的樣本添加到RBF樣本集中，并進(jìn)行RBF動態(tài)模型訓(xùn)練，從而達(dá)到提升多目標(biāo)優(yōu)化目的.

1 數(shù)值計算

1.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及NSGA-Ⅱ基本原理

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有3層前饋網(wǎng)絡(luò)，包括輸入層、隱含層和輸出層，通過各樣本的輸入及輸出參數(shù)擬合各隱含層系數(shù)，從而實現(xiàn)對輸入/輸出關(guān)系的構(gòu)建，其表達(dá)式為

(1)

式中：F(X)為輸出向量；X為輸入向量；ωp為輸出權(quán)矩陣；φ(‖X-Cp‖)為任一隱節(jié)點的激活函數(shù)，稱為基函數(shù)；Cp為隱含層節(jié)點中心；P為隱含層節(jié)點數(shù).

NSGA-Ⅱ算法具有計算簡便、優(yōu)化結(jié)果精度高等優(yōu)點，其基本思想：隨機(jī)產(chǎn)生規(guī)模為N的初始種群，在進(jìn)行快速非支配排序后通過遺傳算法的選擇、交叉、變異3個基本操作得到第一代子代種群；從第二代開始，將父代種群與子代種群合并，進(jìn)行快速非支配排序，同時對每個非支配層中的個體進(jìn)行擁擠度計算，根據(jù)非支配關(guān)系以及個體的擁擠度選取合適的個體組成新的父代種群；再次通過遺傳算法的基本操作產(chǎn)生新的子代種群；依此類推，直至收斂.

1.2 動態(tài)RBF優(yōu)化策略

在利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合離心泵流道幾何參數(shù)與其性能參數(shù)之間的關(guān)系時，通常需要較多的樣本進(jìn)行訓(xùn)練，獲得全局近似精度較高的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型往往需要更大量的樣本.

針對傳統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化方法中代理模型的預(yù)測精度隨前沿解向前推進(jìn)而逐漸降低的問題，提出了動態(tài)RBF代理模型優(yōu)化方法，其流程圖如圖1所示.

圖1 動態(tài)代理模型優(yōu)化流程圖

該優(yōu)化策略的主要思想是先利用初始樣本值構(gòu)建RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，將其作為NSGA-Ⅱ遺傳算法第一代父代的評價函數(shù)，從第二次迭代產(chǎn)生的父代個體中選取最優(yōu)的2個個體，將其添加到RBF訓(xùn)練樣本中，更新RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，提升其預(yù)測精度.然后利用更新后的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)繼續(xù)作為NSGA-Ⅱ新的評價函數(shù)，直至達(dá)到收斂條件.

1.3 計算模型

文中選取MH48-12.5型低比轉(zhuǎn)數(shù)離心泵為研究對象，其設(shè)計性能參數(shù)分別為流量Qd=12.5 m3/h，揚(yáng)程H=30.7 m，效率η=53%，轉(zhuǎn)速n=2 900 r/min；幾何參數(shù)分別為葉輪葉片包角θ=143°，進(jìn)口安放角βb1=30°，出口安放角βb2=17°，葉輪出口寬度b2=6 mm，葉輪外徑D2=165 mm.采用3次Bezier曲線對葉片型線進(jìn)行參數(shù)化控制，在葉輪軸面不變的條件下，由Bezier曲線控制多邊形的邊AB及CD的斜率分別控制葉型進(jìn)口安放角βb1及出口安放角βb2，由控制點D在其外徑圓上的移動以控制葉片包角，如圖2所示.

圖2 葉片型線參數(shù)化控制

選擇葉片進(jìn)口安放角βb1、葉片出口安放角βb2及葉片包角θ為優(yōu)化變量，優(yōu)化目標(biāo)為揚(yáng)程和水力效率.在初始設(shè)計的基礎(chǔ)上進(jìn)行葉型優(yōu)化分析，設(shè)計參數(shù)在原始設(shè)計的基礎(chǔ)上擾動，得到各優(yōu)化變量取值分別為24°≤βb1≤36°，10°≤βb2≤24°，122°≤θ≤164°.

訓(xùn)練樣本的設(shè)計采用拉丁超立方抽樣(LHS)，在控制參數(shù)的設(shè)計域內(nèi)抽取40個樣本點并進(jìn)行CFD數(shù)值計算.文中所選模型流體計算域包括進(jìn)口延伸段、葉輪、蝸殼和出口延伸段，樣本采用RNGk-ε湍流模型、SIMPLEC耦合算法進(jìn)行內(nèi)流場分析.邊界條件為速度進(jìn)口、壓力出口，壁面上滿足無滑移條件.

1.4 網(wǎng)格無關(guān)性驗證

為提高計算精度，對所有計算域采用六面體結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行劃分，計算域及葉輪部分網(wǎng)格如圖3所示.

圖3 計算域及單個葉輪流道網(wǎng)格

對網(wǎng)格進(jìn)行無關(guān)性驗證，如圖4所示.可以看出，在網(wǎng)格數(shù)N超過130萬后，揚(yáng)程及效率隨網(wǎng)格數(shù)變化不明顯，最終確定整個流體計算域網(wǎng)格總數(shù)為130萬.

圖4 網(wǎng)格無關(guān)性驗證

1.5 數(shù)值模擬方法正確性驗證

計算MH48-12.5型模型泵在0.6Qd，0.8Qd，1.0Qd，1.2Qd和1.4Qd等5個流量工況下的揚(yáng)程和效率，并對其進(jìn)行外特性試驗，將試驗結(jié)果與數(shù)值計算進(jìn)行對比，如圖5所示.

圖5 泵外特性數(shù)值模擬與試驗結(jié)果對比

由圖5可以看出，在不同工況下，數(shù)值計算所得結(jié)果與試驗結(jié)果變化趨勢基本一致，且揚(yáng)程誤差最大為5.9%，效率誤差最大為1.9%，滿足數(shù)值計算的要求，這表明文中所采用的數(shù)值計算方法是正確的.

2 結(jié)果分析

2.1 Pareto前沿解

文中選取初始規(guī)模為100的種群，交叉概率和變異概率分別為0.9和0.1，經(jīng)過300次遺傳迭代進(jìn)行尋優(yōu)，使用初始40個抽樣樣本的CFD計算結(jié)果進(jìn)行RBF訓(xùn)練.圖6為動態(tài)與靜態(tài)代理模型下對MH48-12.5型離心泵NSGA-Ⅱ算法多目標(biāo)優(yōu)化得到的Pareto最優(yōu)前沿對比，其中設(shè)計A，C為動態(tài)代理模型優(yōu)化后所得的Pareto前沿，設(shè)計A揚(yáng)程最高，設(shè)計C水力效率最高；設(shè)計E，D為靜態(tài)代理模型優(yōu)化后所得的Pareto前沿，設(shè)計E揚(yáng)程最高，設(shè)計D水力效率最高；設(shè)計B代表原始模型.

圖6 動態(tài)、靜態(tài)代理模型下的優(yōu)化結(jié)果對比

由圖6可以看出：動態(tài)、靜態(tài)2種代理模型下都可以得到Pareto最優(yōu)前沿，且2個Pareto前沿都光滑且連續(xù)地分布在一條整體呈凸形的曲線上，表明在2種代理模型下，NSGA-Ⅱ算法在樣本空間內(nèi)都有很強(qiáng)的逼近Pareto解的能力；動態(tài)代理模型與NSGA-Ⅱ算法所得到的Pareto前沿中Pareto解都優(yōu)于靜態(tài)代理模型方法所獲得的Pareto解，靜態(tài)代理模型方法獲得Pareto前沿基本都被動態(tài)代理模型方法獲得的前沿所支配，基于動態(tài)代理模型結(jié)果優(yōu)于靜態(tài)代理模型，動態(tài)代理模型與靜態(tài)代理模型相比擁有更高的全局近似精度.

對比2種代理模型多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果，可以看出，靜態(tài)優(yōu)化策略水力效率最大值為78.79%，揚(yáng)程最大值為33.28 m，而動態(tài)優(yōu)化策略下的水力效率最大值為79.94%，揚(yáng)程最大值為33.48 m.動態(tài)代理模型下得到揚(yáng)程最大點比原始設(shè)計高2.98%，比靜態(tài)代理模型高0.60%.動態(tài)代理模型優(yōu)化得到的最高效率比原始設(shè)計的高5.28%，比靜態(tài)模型優(yōu)化得到的最高效率高1.46%.

根據(jù)優(yōu)化結(jié)束時的Pareto解集文件，可以得到設(shè)計 A，C，E和D的進(jìn)口安放角βb1，出口安放角βb2和葉輪葉片包角θ，如表1所示.

表1 優(yōu)化設(shè)計A，C，E，D和原始設(shè)計B的設(shè)計參數(shù)

2.2 優(yōu)化葉輪型線對比

根據(jù)上述4個設(shè)計對應(yīng)的葉輪幾何參數(shù)，由三次Bezier曲線型線控制方法可生成其對應(yīng)的葉片型線，將Pareto前沿上各點與原始設(shè)計B的葉輪型線進(jìn)行對比如圖7所示.

圖7 初始模型與優(yōu)化模型的葉輪型線對比

由圖7可以看出：水力效率最優(yōu)設(shè)計C，D與原始設(shè)計B相比，葉片進(jìn)口安放角βb1都有所增大，而葉片出口安放角βb2和葉片包角θ都有所減小；揚(yáng)程最優(yōu)設(shè)計A，E與B相比，葉片包角θ均減小，設(shè)計A進(jìn)口安放角增大，而設(shè)計E安放角略有減小.

2.3 優(yōu)化葉輪數(shù)值模擬結(jié)果對比

對設(shè)計A，C，D和E進(jìn)行CFD數(shù)值計算，并與原型泵B進(jìn)行對比，分析動態(tài)代理模型及靜態(tài)代理模型的預(yù)測誤差，結(jié)果如表2所示.表中εd，εs分別為動態(tài)代理模型及靜態(tài)代理模型的預(yù)測誤差.

表2 動態(tài)代理模型與靜態(tài)模型預(yù)測精度對比

由表2可以看出：靜態(tài)代理模型預(yù)測前沿解揚(yáng)程最大誤差為4.32%，水力效率最大誤差為2.20%；動態(tài)代理模型預(yù)測各點相應(yīng)揚(yáng)程最大誤差為0.88%，水力效率最大誤差為2.11%，動態(tài)代理模型的預(yù)測精度整體優(yōu)于靜態(tài)代理模型.

動態(tài)代理模型揚(yáng)程最高設(shè)計A的揚(yáng)程比原始設(shè)計B高2.86%，比靜態(tài)代理模型下的揚(yáng)程最高設(shè)計E高1.03%；動態(tài)代理模型下得到水力效率最高設(shè)計C比原始設(shè)計B高4.36%，比靜態(tài)模型方法效率最高設(shè)計D高1.32%.這與圖6 Pareto前沿中趨勢一致，進(jìn)一步驗證了動態(tài)代理模型多目標(biāo)優(yōu)化方法的可行性.根據(jù)圖6所有的樣本及Pareto前沿的分布，葉片型線變化對揚(yáng)程的影響相對較小，約在1 m 的范圍內(nèi)擾動，但效率變化從75.2%到79.2%，提升約4%，因此葉片型線的擾動對離心泵效率的影響顯著高于對揚(yáng)程影響.

從優(yōu)化結(jié)果看，相比原始設(shè)計B，設(shè)計A，C，D，E的葉片包角均減小，且揚(yáng)程及效率均高于原始設(shè)計B.效率最高設(shè)計C與D相比，型線的變化主要體現(xiàn)在進(jìn)口安放角增大，且均大于原始設(shè)計B，因此原始設(shè)計B進(jìn)口安放角偏小；高揚(yáng)程設(shè)計A與E的包角均較小，但設(shè)計A的進(jìn)口角大于設(shè)計E的，因此設(shè)計A的效率高于設(shè)計E.

圖8為2種優(yōu)化模型下的效率最優(yōu)設(shè)計C，D和揚(yáng)程最優(yōu)設(shè)計A，E與原始設(shè)計B的外特性曲線對比.

圖8 2種優(yōu)化模型下效率和揚(yáng)程最優(yōu)設(shè)計與原始模型外特性曲線對比

由圖8a可以看出，效率最優(yōu)設(shè)計C，D的曲線整體優(yōu)于原始設(shè)計B，且設(shè)計C從小流量到大流量點各工況效率均高于設(shè)計D，設(shè)計C從小流量到設(shè)計流量的揚(yáng)程均高于設(shè)計D.

由圖8b可以看出，揚(yáng)程最優(yōu)設(shè)計A，E的曲線整體優(yōu)于原始設(shè)計B，且設(shè)計A從小流量到大流量各工況點的揚(yáng)程均高于設(shè)計E，設(shè)計A從小流量到設(shè)計流量各工況點的效率均高于設(shè)計E.

整體上，動態(tài)代理模型多目標(biāo)優(yōu)化方法得到的最優(yōu)設(shè)計A，C分別優(yōu)于靜態(tài)代理模型方法得到的最優(yōu)設(shè)計E，D.

3 結(jié) 論

1) 提出了一種基于動態(tài)RBF代理模型的離心泵葉輪多目標(biāo)優(yōu)化方法，優(yōu)化算例結(jié)果表明提出的動態(tài)代理模型對Pareto前沿解的預(yù)測精度整體高于靜態(tài)代理模型，基于動態(tài)代理模型的多目標(biāo)優(yōu)化方法可以獲得比靜態(tài)代理模型更優(yōu)的Pareto前沿解.

2) 對MH48-12.5型離心泵進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，動態(tài)代理模型下得到泵的揚(yáng)程最大點比原始設(shè)計高2.86%，比靜態(tài)模型高1.03%.動態(tài)代理模型下得到泵水力效率最高點比原始設(shè)計效率高4.36%，比靜態(tài)模型高1.32%.動態(tài)代理模型多目標(biāo)優(yōu)化方法得到的揚(yáng)程最優(yōu)設(shè)計及效率最優(yōu)設(shè)計的特性曲線整體上優(yōu)于靜態(tài)代理模型.

3) 由算例優(yōu)化結(jié)果分析可知，原始設(shè)計葉片包角偏大，進(jìn)口安放角偏小，葉片型線擾動對效率影響的顯著性高于對揚(yáng)程的影響.

4) 隨著Pareto前沿逐漸向前推進(jìn)，靜態(tài)代理模型對其預(yù)測精度逐漸下降，提出的動態(tài)代理能夠提高對其在前沿附近解的預(yù)測精度，從而能夠提升其對前沿逼近的穩(wěn)定性.