周長(zhǎng)新， 聶卓赟， 程前， 何旺祥， 朱恩澤

(華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 福建 廈門 361021)

球桿系統(tǒng)是研究經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論常見的非線性系統(tǒng)平臺(tái).目前，學(xué)者已對(duì)球桿系統(tǒng)進(jìn)行了較多研究.文獻(xiàn)[1]采用基于線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)與擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO)的控制算法對(duì)球桿系統(tǒng)進(jìn)行研究.文獻(xiàn)[2-3]采用比例-積分-微分(PID)和自適應(yīng)遺傳算法相結(jié)合的自適應(yīng)遺傳PID方法，設(shè)計(jì)了球桿系統(tǒng)控制器. 自抗擾控制(ADRC)是一種采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器、微分跟蹤器和帶寬參數(shù)整定等技術(shù)抑制系統(tǒng)擾動(dòng)的方法.文獻(xiàn)[4-5]提出原始的非線性自抗擾控制，并完成了線性化.自抗擾控制器繼承了PID控制器的優(yōu)點(diǎn)，針對(duì)工業(yè)場(chǎng)景中的應(yīng)用，提出帶寬參數(shù)整定方法，將自抗擾控制器的設(shè)計(jì)從非線性函數(shù)參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)性選擇簡(jiǎn)化為帶寬選擇.

自適應(yīng)控制能夠自適應(yīng)系統(tǒng)的不確定性和外部干擾，從而具有良好的抗擾性能[6].文獻(xiàn)[7]提出一種自適應(yīng)控制器，以實(shí)現(xiàn)對(duì)外部干擾的漸近抑制.文獻(xiàn)[8]提出一種魯棒自適應(yīng)算法，以實(shí)現(xiàn)不確定非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)跟蹤.自適應(yīng)控制提供了一種提高抗擾性能的新方式，而自抗擾控制器的擾動(dòng)估計(jì)和自適應(yīng)調(diào)節(jié)是相容的，自抗擾控制器的擾動(dòng)估計(jì)是一種內(nèi)環(huán)控制器，而模型參考自適應(yīng)控制(MRAC)又可體現(xiàn)一種外環(huán)自適應(yīng)效果.通過ESO對(duì)狀態(tài)反饋的球桿系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行觀察，并估計(jì)“總擾動(dòng)”進(jìn)行補(bǔ)償，利用參考模型與自抗擾控制系統(tǒng)之間的狀態(tài)跟蹤誤差生成自適應(yīng)律，通過添加阻尼抑制系統(tǒng)的震蕩超調(diào)，減少對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從而提升系統(tǒng)的抗擾性能.由于自適應(yīng)律可作用于跟蹤誤差，當(dāng)跟蹤誤差較小時(shí)，自適應(yīng)抗擾控制系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)減小為線性自抗擾控制(LADRC)系統(tǒng).因此，阻尼自適應(yīng)抗擾控制可看作自抗擾控制的附加自適應(yīng).基于此，本文在自抗擾控制[9-13]的基礎(chǔ)上，提出一種阻尼自適應(yīng)抗擾控制.

1 球桿系統(tǒng)的建模與分析

球桿系統(tǒng)主要由底座、支撐桿、帶輪、電機(jī)、杠桿臂、小球和導(dǎo)軌等組成[14].球桿系統(tǒng)裝置示意圖，如圖1所示.圖1中：d為杠桿臂和帶輪的連接處與帶輪輪心的距離；θ為帶輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度，θ限制于一定范圍內(nèi)；α為導(dǎo)軌偏轉(zhuǎn)角度；L為杠桿臂連接點(diǎn)與導(dǎo)軌轉(zhuǎn)動(dòng)固定點(diǎn)的距離；Y為小球在導(dǎo)軌上的位移.

圖1 球桿系統(tǒng)裝置示意圖Fig.1 Schematic diagram of ball-beam system device

帶增量式碼盤的直流伺服電機(jī)可以測(cè)量電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)位置，導(dǎo)軌上的電阻傳感器可以實(shí)時(shí)測(cè)量小球的位置.為使小球在導(dǎo)軌上穩(wěn)定地運(yùn)行，電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)帶輪轉(zhuǎn)動(dòng)(角度為θ)，帶輪又帶動(dòng)支撐桿運(yùn)動(dòng)，使導(dǎo)軌發(fā)生偏轉(zhuǎn)(角度為α)，從而使小球在導(dǎo)軌上滾動(dòng).

球桿系統(tǒng)裝置參數(shù)，如表1所示.表1中：g為重力加速度；J為小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m為小球的質(zhì)量；R為小球的半徑.

表1 球桿系統(tǒng)裝置參數(shù)Tab.1 Parameters of ball-beam system device

在忽略一些部件的情況下，可通過經(jīng)典力學(xué)理論建立球桿系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，近似得到導(dǎo)軌偏轉(zhuǎn)角度α與帶輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ之間的關(guān)系，即

(1)

通過控制帶輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ，實(shí)現(xiàn)對(duì)小球的精確控制.球桿系統(tǒng)控制器的原理是通過控制直流伺服電機(jī)，調(diào)整帶輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ，從而對(duì)小球進(jìn)行精確控制.

對(duì)球桿系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，可得小球運(yùn)動(dòng)與自身重力加速度、半徑、質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、導(dǎo)軌偏轉(zhuǎn)角度及位移之間的關(guān)系，即

(2)

由于α的期望值在0附近，故在0附近對(duì)α進(jìn)行線性化，可得

(3)

將式(3)代入式(2)，可得

(4)

再將式(1)代入式(4)，可得

(5)

系統(tǒng)實(shí)際輸出量為小球在導(dǎo)軌上的位移Y，輸入量為帶輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ.由表1數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算可得球桿系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型，即

(6)

式(6)中：s為復(fù)頻域變量.

2 控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

阻尼自適應(yīng)抗擾控制結(jié)構(gòu)由參考模型、ESO和自適應(yīng)機(jī)構(gòu)等組成，ESO用于觀測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)和總擾動(dòng)[8].與LADRC不同，阻尼自適應(yīng)抗擾控制的前饋控制器和狀態(tài)反饋控制器可通過自適應(yīng)機(jī)制進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整.這種自適應(yīng)機(jī)制是由ESO狀態(tài)xo和參考狀態(tài)xr之間的跟蹤誤差er推導(dǎo)出來的.阻尼自適應(yīng)抗擾控制結(jié)構(gòu)，如圖2所示.圖2中：r為參考輸入；u0為自適應(yīng)機(jī)構(gòu)調(diào)整后的控制量；b0為輸入增益；u為系統(tǒng)輸入(控制量)，u=Uin；y為系統(tǒng)輸出.

圖2 阻尼自適應(yīng)抗擾控制結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of damping adaptive active disturbance rejection control

2.1 LADRC的設(shè)計(jì)

(7)

式(7)中：yp為測(cè)量輸出，yp=Uout；Γ(xp，1，xp，2)為系統(tǒng)的不確定部分；D為外部擾動(dòng).

f=(1.853-b0)u+Γ(xp，1，xp，2)+D，f被視為一種依賴于不確定性、控制輸入和外部擾動(dòng)的未知“總擾動(dòng)”.為了測(cè)量“總擾動(dòng)”，f被建模擴(kuò)展為狀態(tài)變量xp，3，可得系統(tǒng)的擴(kuò)張狀態(tài)模型，即

(8)

假設(shè)f可微分，h有界.為了觀測(cè)球桿系統(tǒng)的狀態(tài)和“總擾動(dòng)”，設(shè)計(jì)ESO，有

(9)

xp為系統(tǒng)狀態(tài)，觀測(cè)誤差eo=xp-xo=[eo，1eo，2eo，3]T，其動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為

(10)

式(10)中：Bε=[0 0 1]T.

期望傳遞函數(shù)模型選擇為

(11)

因此，LADRC控制器的控制量為

(12)

2.2 阻尼自適應(yīng)抗擾控制的設(shè)計(jì)

除了LADRC中的干擾估計(jì)和補(bǔ)償外，MRAC可以看作是實(shí)現(xiàn)自抗擾能力的另一種方法.這兩種方法具有一些相似性和互補(bǔ)性.在參考模型方面，參考模型表示控制方法中設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)的期望性能，LADRC通過極點(diǎn)配置實(shí)現(xiàn)參考模型，但是模型跟蹤誤差不能產(chǎn)生任何反饋校正；而MRAC可以應(yīng)用于帶有跟蹤誤差反饋的自抗擾控制中.在狀態(tài)反饋方面，MRAC常常需要訪問被控對(duì)象的狀態(tài)，以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，但由于系統(tǒng)的干擾和不確定性，其應(yīng)用具有較大的困難；而LADRC最重要的優(yōu)點(diǎn)之一是ESO可以提供良好的狀態(tài)估計(jì)和干擾補(bǔ)償.在干擾抑制方面，作為兩種不確定性和干擾衰減方法，LADRC的干擾估計(jì)和MRAC的自適應(yīng)調(diào)整可在基于ESO的狀態(tài)反饋控制方案中實(shí)現(xiàn)，從而極大地提高控制性能.

針對(duì)LADRC，MRAC系統(tǒng)中的震蕩超調(diào)問題，可在系統(tǒng)中添加減小系統(tǒng)震蕩超調(diào)的阻尼，阻尼系數(shù)ζ>1，這樣自適應(yīng)機(jī)構(gòu)的阻尼能力可以部分地抑制系統(tǒng)的震蕩超調(diào).

添加阻尼系數(shù)ζ后的期望傳遞函數(shù)模型為

(13)

因此，阻尼自適應(yīng)抗擾控制的期望控制量為

(14)

式(14)中：F*，K*分別為

(15)

基于以上分析，提出阻尼自適應(yīng)抗擾控制方案.由于實(shí)際的系統(tǒng)狀態(tài)xp是不可測(cè)的，故用xo替代.H(s)的階數(shù)為2，而圖2中的觀測(cè)器階數(shù)為3，因此，為H(s)設(shè)置一個(gè)額外的狀態(tài)變量，即xr，3=xo，3，以表示相同狀態(tài)空間中的跟蹤誤差.

參考模型在狀態(tài)空間中可表示為

(16)

er=xr-xo=[er，1er，2er，3]T，er為自適應(yīng)控制器的調(diào)節(jié)根據(jù)，進(jìn)而可得到阻尼自適應(yīng)抗擾控制器的控制量為

u=(Kr+Fxo)/b0，

(17)

其參數(shù)為

(18)

式(17)，(18)中：K，F(xiàn)分別為狀態(tài)反饋控制器和前饋控制器的參數(shù)；P為設(shè)計(jì)的正定矩陣，P=PT；ωA為帶寬參數(shù)，ωA>0，其與能量相關(guān)，決定了自適應(yīng)調(diào)節(jié)速度；ρ為

(19)

式(19)中：q為量化參數(shù)，q>0.

采用標(biāo)準(zhǔn)LADRC設(shè)計(jì)，有

(20)

由此可得

(21)

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 仿真分析

為了驗(yàn)證阻尼自適應(yīng)抗擾控制的效果，將阻尼自適應(yīng)抗擾控制與LADRC進(jìn)行比較.加入階躍響應(yīng)和階躍干擾信號(hào)，以驗(yàn)證阻尼自適應(yīng)抗擾控制的響應(yīng)性能和抗擾性能.當(dāng)q=0時(shí)，阻尼自適應(yīng)抗擾控制器自動(dòng)變?yōu)長(zhǎng)ADRC控制器.LADRC和阻尼自適應(yīng)抗擾控制設(shè)置相同的自抗擾控制參數(shù)，b0=1.853，ωc=0.75，ωo=8.25，ζ=1.3.阻尼自適應(yīng)抗擾控制中，q=0.002.

系統(tǒng)的輸入信號(hào)為階躍信號(hào)，其值為0.25 m，設(shè)置系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間為30 s.當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行至15 s時(shí)，加入階躍擾動(dòng)，擾動(dòng)值為0.2 m.球桿系統(tǒng)的仿真響應(yīng)曲線和控制量曲線，如圖3所示.由圖3可知：阻尼自適應(yīng)抗擾控制比LADRC的抗擾性能更佳，且震蕩超調(diào)更小.

(a) 響應(yīng)曲線 (b) 控制量曲線圖3 球桿系統(tǒng)的仿真響應(yīng)曲線和控制量曲線Fig.3 Simulation response curves and control quantity curves of ball-beam system

3.2 實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證阻尼自適應(yīng)抗擾控制的實(shí)驗(yàn)性能，進(jìn)行球桿系統(tǒng)控制實(shí)驗(yàn).球桿系統(tǒng)(廣東省深圳市固高科技有限公司)，如圖4所示.該阻尼自適應(yīng)抗擾控制器在MATLAB/SIMULINK 2015b平臺(tái)中實(shí)現(xiàn)，搭建系統(tǒng)的采樣率為100 Hz.實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了球桿系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性.然后，引入階躍干擾信號(hào)驗(yàn)證阻尼自適應(yīng)抗擾控制的抗擾性能.

圖4 球桿系統(tǒng)Fig.4 Ball-beam system

球桿系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)響應(yīng)曲線和控制量曲線，如圖5 所示.由圖5可知:相較于LADRC，阻尼自適應(yīng)抗擾控制能在更短的時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，且震蕩超調(diào)更??；小球可以很好地跟蹤位置設(shè)定值(r=0.25 m)；在與仿真實(shí)驗(yàn)相同參數(shù)的情況下，驗(yàn)證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性.

(a) 響應(yīng)曲線 (b) 控制量曲線圖5 球桿系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)響應(yīng)曲線和控制量曲線Fig.5 Experimental response curves and contorl quantity curves of ball-beam system

球桿系統(tǒng)控制器參數(shù)的自適應(yīng)曲線，如圖6所示.圖6中：F1～F3，K均為控制器參數(shù).由圖6可以知道：當(dāng)擾動(dòng)出現(xiàn)時(shí)，小球離開設(shè)定位置后能夠快速地回到設(shè)置位置，阻尼自適應(yīng)抗擾控制的球桿系統(tǒng)具有較好的抗擾性能.

(a) F1 (b) F2

(c) F3 (d) K圖6 球桿系統(tǒng)控制器參數(shù)的自適應(yīng)曲線Fig.6 Adaptive curves of ball-beam system controller parameters

由于LADRC的增益是固定的，因此，在不同的運(yùn)行條件下只能依靠ESO保持良好的抗擾性能，當(dāng)擾動(dòng)發(fā)生時(shí)，由于阻尼自適應(yīng)抗擾控制的參數(shù)調(diào)整，參數(shù)隨之發(fā)生變化.通過這種方式，小球的位置稍微向前移動(dòng)后，能夠快速地回到設(shè)置位置.相較于LADRC，阻尼自適應(yīng)抗擾控制的抗擾性能更佳.

4 結(jié)束語

球桿系統(tǒng)的阻尼自適應(yīng)抗擾控制可以減小系統(tǒng)的震蕩超調(diào)，提升系統(tǒng)的抗擾性能.針對(duì)自適應(yīng)抗擾控制中不穩(wěn)定非線性系統(tǒng)的震蕩問題，通過增加阻尼的方式進(jìn)行抑制，阻尼自適應(yīng)抗擾控制可看作自抗擾控制系統(tǒng)的附加阻尼自適應(yīng).當(dāng)狀態(tài)跟蹤誤差較小時(shí)，阻尼自適應(yīng)抗擾控制自動(dòng)減小為L(zhǎng)ADRC.增加阻尼可以在LADRC的基礎(chǔ)上提升系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抗擾性能.仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了阻尼自適應(yīng)抗擾控制的優(yōu)越性和有效性.