許霄琰

(上海交通大學(xué)物理與天文學(xué)院,上海 200240)

理解強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系是一個(gè)長期的重要目標(biāo),該體系的魅力不僅在于其背后蘊(yùn)藏著深刻的物理,還在于其中涌現(xiàn)出的豐富物質(zhì)態(tài)在量子調(diào)控、量子計(jì)算等領(lǐng)域具有巨大的潛在應(yīng)用價(jià)值.同時(shí),理論上非微擾地理解強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系是極其困難的,一直充滿挑戰(zhàn).量子蒙特卡羅計(jì)算是一類非微擾計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)方法,有助于對強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系提供非微擾的理解,因而廣泛運(yùn)用于凝聚態(tài)和高能物理領(lǐng)域.然而,量子蒙特卡羅計(jì)算通常會(huì)受到負(fù)符號問題的困擾.本文將具體介紹一些無負(fù)符號關(guān)聯(lián)電子模型的設(shè)計(jì)思路,并討論我們近期提出的符號邊界理論.通過設(shè)計(jì)無負(fù)符號或者具有代數(shù)符號行為的強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子模型,可以幫助人們研究很多重要的量子多體問題,包括巡游磁性量子臨界行為、非常規(guī)超導(dǎo)和磁性序的競爭,以及莫爾(moiré)量子物質(zhì)中的關(guān)聯(lián)物相與相變等.

1 引言

強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系的研究可以追溯到80 多年前一些部分填充的過渡金屬氧化物絕緣體的發(fā)現(xiàn)[1].眾所周知,晶格中的電子運(yùn)動(dòng)受到周期性晶格勢場的作用,在近自由電子近似的框架下,電子能級形成以波矢標(biāo)記的能帶,同時(shí)由于泡利不相容原理,電子依能量從低往高填充能帶,占據(jù)費(fèi)米面以下的電子態(tài).這種近自由電子能帶理論的圖像幫助人們對固體材料進(jìn)行金屬、絕緣體和半導(dǎo)體的劃分.進(jìn)一步,朗道的費(fèi)米液體唯象理論建立了相互作用下的費(fèi)米液體與無相互作用費(fèi)米子體系的對應(yīng)關(guān)系,并論證了費(fèi)米面附近的準(zhǔn)粒子在低溫下的穩(wěn)定性,后來的微擾重整化群的計(jì)算[2?5],也進(jìn)一步論證了費(fèi)米面在短程庫侖排斥相互作用下的穩(wěn)定性.朗道的費(fèi)米液體理論給出了關(guān)于金屬很多性質(zhì)的預(yù)言,比如電阻與溫度的二次方關(guān)系,比熱與溫度的線性關(guān)系等.結(jié)合能帶理論和費(fèi)米液體理論,通常認(rèn)為低溫下金屬是較為穩(wěn)定的,注意這里暫不討論超導(dǎo)不穩(wěn)定性.因此,當(dāng)實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)一些能帶部分填充的過渡金屬氧化物不是金屬反而是絕緣體時(shí),能帶理論和費(fèi)米液體理論都遇到了困難.超越能帶理論和費(fèi)米液體理論實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn),使得早期人們就意識到了電子間強(qiáng)關(guān)聯(lián)相互作用可能導(dǎo)致的不可微擾性.從電子間庫侖相互作用出發(fā),可導(dǎo)出一些圖像簡潔、物理極為豐富的強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子有效模型,例如哈伯德模型和t-J模型.這些模型普遍被認(rèn)為可以用來描述過渡金屬氧化物中電子關(guān)聯(lián)驅(qū)動(dòng)的金屬-絕緣體轉(zhuǎn)變,以及摻雜的莫特絕緣體等[6?8].

20 世紀(jì)80 年代末以來,隨著銅基高溫超導(dǎo)材料的發(fā)現(xiàn)[9],對于強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子模型的研究逐漸深入,人們希望通過對這些強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子模型的研究揭示銅基高溫超導(dǎo)材料中豐富的物理性質(zhì)[6?8].銅基高溫超導(dǎo)材料具有非常豐富的相圖[10],在欠摻雜區(qū)存在所謂的贗能隙,并且存在多種序的交織競爭,電荷漲落、反鐵磁漲落和庫珀對漲落等交織在一起[11],讓問題變得復(fù)雜.而在最佳摻雜超導(dǎo)相以上,有所謂的奇異金屬行為,在奇異金屬中,電阻與溫度的關(guān)系偏離費(fèi)米液體理論所預(yù)言的二次方關(guān)系,表現(xiàn)出非費(fèi)米液體行為.除了過渡金屬氧化物,在鐵基超導(dǎo)、重費(fèi)米子和過渡金屬合金等材料磁序或電荷序相變的邊緣,人們也觀測到了比較普遍的費(fèi)米液體不穩(wěn)定性,并發(fā)現(xiàn)了奇異金屬行為[12].近年來,人們對莫爾(moiré)超晶格材料中可能存在的強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子行為也產(chǎn)生了極大的研究興趣[13?18].強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子中不僅蘊(yùn)藏著豐富的物理特性,其中涌現(xiàn)出的新奇物態(tài)更是具有巨大的潛在應(yīng)用價(jià)值.以具有量子阻挫的莫特絕緣體為例,其中可能存在具有長程糾纏的量子自旋液體態(tài),可支持具有非阿貝爾統(tǒng)計(jì)的任意子激發(fā)[19],具有用于量子計(jì)算的潛力.

盡管強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系已經(jīng)發(fā)現(xiàn)數(shù)十年并且較為普遍存在,但如何理解其中的物理依然是如今凝聚態(tài)物理研究的重要課題.微擾論的角度是一個(gè)非常好的出發(fā)點(diǎn),可惜很多強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子問題卻是不可微擾計(jì)算的(本文中后面提到的巡游磁性量子臨界問題就是一個(gè)非常好的例子),因而其中一條極其艱難的道路就是尋找強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子模型的嚴(yán)格解,無論是解析上還是數(shù)值上的嚴(yán)格解均具有重要意義.量子蒙特卡羅計(jì)算是一類標(biāo)準(zhǔn)的非微擾數(shù)值計(jì)算方法,廣泛運(yùn)用于凝聚態(tài)和高能物理中.給定一個(gè)體系w,在某個(gè)特定的表象下給出體系的配分函數(shù)這里給配分函數(shù)引入一個(gè)下標(biāo)w,用以標(biāo)記該配分函數(shù)是以wc標(biāo)記的權(quán)重對所有構(gòu)型c 的求和,這一標(biāo)記對于后面的討論會(huì)有幫助.對于一個(gè)量子問題,如果可以找到一個(gè)表象使得wc總是非負(fù)實(shí)數(shù),那么wc就可以被解釋成經(jīng)典概率,從而可以設(shè)計(jì)蒙特卡羅算法來做重要性抽樣計(jì)算;如果不考慮可能會(huì)出現(xiàn)的抽樣慢化等問題,通常這也就意味著找到了一個(gè)多項(xiàng)式復(fù)雜度的計(jì)算方法,并且通過增加樣本數(shù),大數(shù)定理可以保證觀測量的誤差是可控收斂的.但是,對于很多模型我們目前還不知道如何找到表象使得wc總是非負(fù)實(shí)數(shù),通常的做法就是引入一個(gè)具有同樣構(gòu)型空間的參考系統(tǒng)v,其配分函數(shù)為,它的所有構(gòu)型的權(quán)重vc都是非負(fù)實(shí)數(shù).依賴這個(gè)參考系統(tǒng)的抽樣,觀測量可寫成 〈O〉〈O〉v/〈sign〉v,〈O〉v是觀測量在該參考系統(tǒng)中的觀測值〈sign〉v是所謂的符號觀測值,它等于兩個(gè)系統(tǒng)配分函數(shù)的比值,,這里 ?f是原始系統(tǒng)和參考系統(tǒng)的自由能密度差,且通常 ?f≥0 (例如通常取vc|wc|,可證Zw≤Zv).可見這個(gè)符號觀測值通常與系統(tǒng)尺寸成指數(shù)關(guān)系衰減到零,使得觀測量誤差出現(xiàn)指數(shù)性的放大.為了取得可控的蒙特卡羅誤差,樣本數(shù)也需要指數(shù)性地增大,因此計(jì)算復(fù)雜度變?yōu)橹笖?shù)型,這就是所謂的負(fù)符號問題,以及人們對它的通常理解.人們曾經(jīng)證明如果可以有效解決非確定性多項(xiàng)式(non-deterministic polynomial,NP)問題,那么解決NP 問題的方案可以用來解決符號問題[20],這樣一來很多強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子問題就可以迎刃而解,然而這還未發(fā)生.但這一點(diǎn)并不表明負(fù)符號問題是一個(gè)NP 問題,并且事實(shí)上一些量子多體模型的負(fù)符號問題已經(jīng)被解決,感興趣的讀者可以參考文獻(xiàn)[21]中引用的諸多文獻(xiàn).

行列式量子蒙特卡羅方法是一類重要的量子蒙特卡羅算法,主要用于處理關(guān)聯(lián)電子體系,特別是定義在晶格上的強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子模型.行列式量子蒙特卡羅方法又稱BSS (Blankenbecler-Scalapino-Sugar)算法[22],可以直接用于計(jì)算費(fèi)米子-玻色子耦合格點(diǎn)模型,也可以用于處理費(fèi)米子多體相互作用模型,其中相互作用項(xiàng)可以通過HS (Hubbard-Stratonovich)變換轉(zhuǎn)換成費(fèi)米子與玻色子耦合的形式.行列式量子蒙特卡洛方法已經(jīng)廣泛運(yùn)用于強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系,比較具有代表性的有求解半滿二分晶格上的哈伯德模型[23?28]、Kane-Mele-哈伯德模型[29?31]、半滿近藤模型[32]、Holstein 模型[33,34]、t-V模型[35,36]和規(guī)范場與費(fèi)米子物質(zhì)場耦合模型[37?39]等,不一而足.近年來隨著對于去負(fù)符號的人工設(shè)計(jì)模型的探索[40?42],行列式量子蒙特卡羅也推動(dòng)了巡游磁性量子臨界行為的研究.

本文將總結(jié)我們在去負(fù)符號關(guān)聯(lián)電子模型設(shè)計(jì)方面的思路,介紹我們提出的符號邊界理論,并列舉幾個(gè)典型的量子蒙特卡羅計(jì)算的具體實(shí)例,包括:1)研究巡游磁性量子臨界行為,觀測巡游磁性量子臨界點(diǎn)上的非費(fèi)米液體行為,并在非微擾的數(shù)值計(jì)算中發(fā)現(xiàn)巡游鐵磁量子臨界區(qū)中費(fèi)米子自能與頻率的冪律關(guān)系;2)研究有節(jié)點(diǎn)的d-波超導(dǎo)和反鐵磁序的競爭,以及可能產(chǎn)生的新的物質(zhì)相和相變;3)研究魔角雙層石墨烯相關(guān)有效模型中的豐富物質(zhì)態(tài).限于篇幅,這里無法具體介紹所有無負(fù)符號強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子問題量子蒙特卡羅計(jì)算方向的重要進(jìn)展,希望讀者可以借助文中引用的一些最新的綜述類參考文獻(xiàn)[40?43],獲得一個(gè)更為全面的認(rèn)識.同時(shí),本文的側(cè)重點(diǎn)主要分析負(fù)符號問題,因此,不會(huì)重點(diǎn)介紹具體的行列式量子蒙特卡羅算法,感興趣的讀者可以參考文獻(xiàn)[22,44,45];對于其中具體模型的計(jì)算結(jié)果僅做簡要介紹,感興趣的讀者請參考每個(gè)模型研究對應(yīng)的特定文獻(xiàn).

2 負(fù)符號問題與去負(fù)符號關(guān)聯(lián)電子模型的設(shè)計(jì)

2.1 行列式量子蒙特卡羅計(jì)算中的負(fù)符號問題

2.2 去負(fù)符號關(guān)聯(lián)電子模型的設(shè)計(jì)思路

這一無負(fù)符號問題的充分條件在設(shè)計(jì)人工去負(fù)符號問題關(guān)聯(lián)電子模型方面具有較為廣泛的指導(dǎo)意義.比如對于一個(gè)單軌道且考慮費(fèi)米子自旋的晶格模型,在HS 變換之后,粒子數(shù)守恒的費(fèi)米子雙線性算符記為c?hc,可以通過給定一個(gè)反幺正算符來約束費(fèi)米子雙線性算符的形式.比如給定反幺正算符Uiσ2K(U2?1 ,i為虛數(shù)單位,σi=1,2,3為泡利矩陣,K為復(fù)共軛操作),與該反幺正算符對易的費(fèi)米子雙線性算符在自旋空間具有通式h ～σ0+iσ1+iσ2+iσ3,這里省去了泡利矩陣前的實(shí)數(shù)系數(shù)和格點(diǎn)指標(biāo),σ0表示單位矩陣.符合該通式的模型就是沒有負(fù)符號問題的.2.1 節(jié)提到的吸引相互作用的哈伯德模型,其HS 變換后的費(fèi)米子雙線性項(xiàng)h ～σ0就符合以上通式,所以從這個(gè)角度看也是沒有負(fù)符號問題的.這種討論可以很容易推廣到更多軌道問題,比如對于一個(gè)兩軌道問題,可供選擇的反幺正且U2?1的算符有Uiσ02K,Uiσ12K和Uiσ23K,這里σijσi ?σj,額外引入的泡利矩陣用于表示軌道自由度.利用這一規(guī)則規(guī)避負(fù)符號問題的例子很多,比如在文獻(xiàn)[50]中,費(fèi)米子雙線性算符具有σ00+σ11+σ12+σ13的形式,與反幺正算符 iσ32K對易;在文獻(xiàn)[51]中,費(fèi)米子雙線性算符具有σ00+σ03的形式,與反幺正算符 iσ20K對易;在文獻(xiàn)[52]中,費(fèi)米子雙線性算符具有σ00+σ01+σ02的形式,與反幺正算符iσ21K對易.

同時(shí),還要補(bǔ)充一點(diǎn),對于二分晶格體系上具有粒子空穴對稱性的模型,有時(shí)可以通過部分粒子空穴變換來獲得無負(fù)符號的費(fèi)米子雙線性算符形式.例如對于二分晶格上半填充排斥相互作用的費(fèi)米子哈伯德模型,如果僅有不同子格間躍遷,那么可以重新定義費(fèi)米子產(chǎn)生和湮滅算符,例如定義新的上自旋湮滅算符新的下自旋湮滅算符新的產(chǎn)生算符由新的湮滅算符取厄密共軛得到,在該定義下躍遷部分的形式不變,相互作用部分從變?yōu)?當(dāng)HS 變換到新的“自旋”通道時(shí)費(fèi)米子雙線性算符在自旋空間具有σ0+iσ3的形式,與反幺正算符 iσ2K對易,因而沒有負(fù)符號問題.

自從2013 年以來,又發(fā)現(xiàn)了更多類型對稱保護(hù)的無負(fù)符號問題.首先是半滿的自旋極化的具有排斥相互作用的電子模型(t-V模型)的負(fù)符號問題被通過所謂的費(fèi)米口袋方法所解決[53].之后又發(fā)現(xiàn)了更多新的框架可解決t-V模型的負(fù)符號問題,包括連續(xù)時(shí)間蒙特卡羅[54]以及突破性地采用Majorana 表象[35]等,更有意思的是這些新的框架顯示了一定的可拓展性,可用于解決一些其他類型模型的負(fù)符號問題.這些發(fā)展也啟發(fā)了后續(xù)總結(jié)和發(fā)現(xiàn)分裂正交群[36]、Majorana 時(shí)間反演[55]、Majorana 反射正性[56]、半群[57]、贗幺正群[39]等一系列無負(fù)符號問題指導(dǎo)規(guī)則,限于篇幅我們不能一一介紹.

2.3 符號邊界理論

盡管規(guī)避負(fù)符號問題的指導(dǎo)規(guī)則非常有用,但是還有很多重要模型的負(fù)符號問題沒有得到解決,極具代表性的有一般填充的排斥相互作用哈伯德模型、t-J模型等.因此,很有必要搞清楚負(fù)符號問題本身的特性,可惜人們在這方面的見解還很有限.

正如引言中的說明,人們通常認(rèn)為如果無法找到一個(gè)表象使得任意構(gòu)型的權(quán)重都是非負(fù)的,那么需要引入權(quán)重非負(fù)的參考系統(tǒng),在參考系統(tǒng)中符號測量平均值會(huì)隨著系統(tǒng)大小指數(shù)衰減為零.然而,我們近期的研究發(fā)現(xiàn)符號測量平均值的行為是很豐富的,在一些情況下呈指數(shù)衰減,而在另外一些情況下卻可以是多項(xiàng)式衰減[58].基于此,我們提出了符號邊界理論[21],認(rèn)為低溫下符號問題的表現(xiàn)與原始系統(tǒng)以及參考系統(tǒng)的基態(tài)能量和基態(tài)簡并度有關(guān),這建立了負(fù)符號問題與模型本身物理性質(zhì)的直接聯(lián)系,對于規(guī)避、減輕、甚至運(yùn)用負(fù)符號問題均具有重要意義.

以上關(guān)系意味著:1)如果EwEv,符號的測量值的邊界僅與兩個(gè)系統(tǒng)的基態(tài)簡并度比值有關(guān),而系統(tǒng)的基態(tài)簡并度通?？赡苤皇窍到y(tǒng)大小的多項(xiàng)式函數(shù);2)如果EwEv,符號測量值指數(shù)趨于零;3)通過對符號的有限尺度行為分析和參考系統(tǒng)的基態(tài)能量和基態(tài)簡并度的計(jì)算,可以反推系統(tǒng)的基態(tài)性質(zhì).

在第5 節(jié)中,結(jié)合(1)式和(2)式,構(gòu)造了兩類模型,其參考系統(tǒng)與目標(biāo)系統(tǒng)的基態(tài)能量相等,并且基態(tài)簡并度是系統(tǒng)尺寸的多項(xiàng)式函數(shù),因而具有代數(shù)符號邊界行為.需要指出,如何從一般意義上構(gòu)造與目標(biāo)系統(tǒng)具有相同基態(tài)能量的參考系統(tǒng)是極其困難的問題,也是后續(xù)研究努力的方向之一.

3 去負(fù)符號自旋-費(fèi)米子耦合模型

3.1 巡游磁性量子臨界行為

巡游磁性量子臨界現(xiàn)象通常發(fā)生在銅基和鐵基超導(dǎo)、重費(fèi)米子以及過渡金屬合金中磁性連續(xù)相變的邊緣,在巡游磁性量子臨界區(qū)里準(zhǔn)粒子權(quán)重隨著溫度降低趨于零,說明在這里面建立在準(zhǔn)粒子圖像上的費(fèi)米液體理論不再適用,表現(xiàn)出非費(fèi)米液體行為,又稱奇異金屬行為.解析上的工作可以追溯到著名的基于單圈圖計(jì)算的Hertz-Millis-Moriya理論框架[59?61],在這一框架下,無論動(dòng)力學(xué)臨界指數(shù)z2(對應(yīng)反鐵磁情況),還是z3 (對應(yīng)鐵磁或者向列序的情況),當(dāng)維度d≥ 2 時(shí),d+z總是大于等于上臨界維度4,因此它會(huì)預(yù)言平均場型的臨界指數(shù).雖然單圈圖計(jì)算對于費(fèi)米液體是可靠的,但對于非費(fèi)米液體卻還未有定論.對于巡游鐵磁量子臨界問題,二階微擾理論發(fā)現(xiàn)費(fèi)米子自能具有ω2/3的形式,數(shù)冪次也表明在任意階微擾都能重現(xiàn)費(fèi)米子自能的ω2/3形式[62],并且早期人們相信大N展開可以讓任意階的微擾收斂可控[63?65],似乎問題已經(jīng)解決.但是來自McMaster 大學(xué)的Lee[66]發(fā)現(xiàn)了前人遺漏的一類費(fèi)曼圖使得大N展開不再是收斂的,所以巡游鐵磁量子臨界問題仍然是未解謎題.后續(xù)的代表性工作還包括更多圈圖的計(jì)算,發(fā)現(xiàn)可能存在的對數(shù)修正[67].對于巡游反鐵磁量子臨界問題,微擾重整化群的計(jì)算[68,69]發(fā)現(xiàn)了反常維度的存在,且動(dòng)力學(xué)臨界指數(shù)顯示出偏離z2.這些解析工作極大推動(dòng)了我們對于巡游磁性量子臨界問題的理解.在數(shù)值上,一般填充的哈伯德模型等強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子模型在已知的量子蒙特卡羅計(jì)算框架下是有負(fù)符號問題的,因此直接通過求解這些關(guān)聯(lián)電子模型來獲得巡游磁性量子臨界問題的非微擾的數(shù)值理解目前還不可行.但這并不表明我們無法取得任何進(jìn)展,特別是如果我們主要只關(guān)心巡游磁性量子臨界區(qū)里的普適物理,那么可以忽略很多材料細(xì)節(jié),設(shè)計(jì)出一個(gè)有效模型,它描寫了巡游費(fèi)米子和磁性漲落的耦合,同時(shí)還可以設(shè)計(jì)成無負(fù)符號問題.有了這樣的無負(fù)符號問題的自旋-費(fèi)米子耦合模型,通過研究它們的相圖,找出量子臨界點(diǎn)的位置,就可以具體研究巡游量子臨界點(diǎn)上的普適性質(zhì).這一數(shù)值研究的路徑似乎是很完美的,2012年Berg 等[50]發(fā)表在科學(xué)雜志上的工作以及后續(xù)工作[70,71]首次進(jìn)行了這樣的嘗試.然而可惜的是在這些研究中巡游磁性量子臨界區(qū)被很大的超導(dǎo)區(qū)域掩蓋,從而難以研究臨界點(diǎn)本身的性質(zhì).可見,設(shè)計(jì)一個(gè)超導(dǎo)區(qū)域被極大壓制的巡游磁性量子模型是很有必要的.接下來將介紹我們圍繞這個(gè)方向進(jìn)行的探索[51].

在介紹反幺正對稱性保護(hù)無負(fù)符號問題中,提到費(fèi)米子雙線性算符具有σ00+σ03的形式是沒有負(fù)符號問題的,這一形式可用于設(shè)計(jì)費(fèi)米子與伊辛自旋耦合格點(diǎn)模型.這是一個(gè)兩軌道簡并的模型,并且對于每個(gè)自旋均具有一個(gè)軌道空間的U(2) 對稱性,即體系的對稱性為U(2)×U(2)×Z2,這里的Z2是伊辛對稱性.并且發(fā)現(xiàn),其中最易于發(fā)生配對的通道是兩分量的軌道單態(tài)-自旋三重態(tài),由于在我們的模型中自旋僅有U(1) 對稱性,軌道單態(tài)-自旋三重態(tài)在有限溫是可以存在的,但在很低的溫度下都沒有發(fā)現(xiàn)超導(dǎo)轉(zhuǎn)變,表明這個(gè)模型非常適合用來研究量子臨界點(diǎn)的性質(zhì).具體的晶格模型為HHf+Hb+Hc,其中Hf是費(fèi)米子項(xiàng),描寫了晶格上費(fèi)米子的躍遷,費(fèi)米面的大小由化學(xué)勢μ來調(diào)控,

Hb是橫場伊辛項(xiàng),伊辛量子漲落由橫場和伊辛自旋相互作用的比值h/J來調(diào)控,

Hc是耦合項(xiàng),伊辛自旋漲落和費(fèi)米子的耦合由ξ來調(diào)控,

這里,費(fèi)米子算符ci是四分量的(兩自旋和兩軌道),i是格點(diǎn)指標(biāo);是單格點(diǎn)密度算符;X,Y,Z表示自旋算符的3 個(gè)分量.根據(jù)J的正負(fù)可以研究反鐵磁或鐵磁的情況.h/J可以調(diào)控伊辛自旋的磁有序到無序的相變,通過耦合項(xiàng),費(fèi)米子也會(huì)發(fā)生磁有序到無序的相變.計(jì)算發(fā)現(xiàn),耦合項(xiàng)會(huì)驅(qū)動(dòng)磁性相變偏離普通的伊辛相變,實(shí)現(xiàn)巡游磁性量子臨界點(diǎn).

3.2 反鐵磁自旋-費(fèi)米子模型中的非費(fèi)米液體行為

首先考慮J >0,即反鐵磁的情況,并且選擇類似銅基超導(dǎo)材料的費(fèi)米面.費(fèi)米面上被Q(±π,±π)聯(lián)系的熱點(diǎn)附近的物理是我們關(guān)注的,為了更有效地抓住這部分的物理,我們提出了動(dòng)量選擇的超大尺寸(EMUS)量子蒙特卡羅方法[72].圖1(a)是巡游反鐵磁量子臨界模型示意圖[73],其中λ1,2是上下層(軌道)指標(biāo),費(fèi)米子僅在層(軌道)內(nèi)躍遷,中間層為橫場伊辛自旋模型,與上下層(軌道)通過自旋相互作用耦合.圖1(b)所示為EMUS動(dòng)量空間網(wǎng)絡(luò),其中K和K'都是熱點(diǎn),通過(±π,±π)聯(lián)系起來,在EMUS 的框架下,只關(guān)注熱點(diǎn)附近的費(fèi)米子,從而大大減少了參與計(jì)算的費(fèi)米子自由度.圖1(c)是巡游反鐵磁量子臨界模型的相圖,DQMC 表示利用常規(guī)行列式量子蒙特卡羅方法計(jì)算的結(jié)果,EQMC 表示利用EMUS 計(jì)算的結(jié)果,發(fā)現(xiàn)雖然EMUS 給出相變點(diǎn)的位置不同,但具有和DQMC 結(jié)果類似的臨界行為.此外,熱點(diǎn)附近的準(zhǔn)粒子權(quán)重隨著溫度趨于零,表現(xiàn)出非費(fèi)米液體行為,并且通過對自旋關(guān)聯(lián)的標(biāo)度分析發(fā)現(xiàn)可能存在反常維度的修正[73].

圖1 巡游反鐵磁量子臨界晶格模型和計(jì)算結(jié)果[73] (a) 巡游反鐵磁量子臨界模型示意圖;(b) EMUS 動(dòng)量空間網(wǎng)格;(c) 巡游反鐵磁量子臨界模型的相圖Fig.1.Itinerant antiferromagnetic quantum critical lattice model and results[73]:(a) Schematic diagram of itinerant antiferromagnetic quantum critical lattice model;(b) momentum mesh for EMUS;(c) phase diagram of itinerant antiferromagnetic quantum critical lattice model.

3.3 鐵磁自旋-費(fèi)米子模型中的非費(fèi)米液體行為

在巡游反鐵磁問題中,費(fèi)米面上僅有有限個(gè)熱點(diǎn),而在巡游鐵磁中整個(gè)費(fèi)米面都是熱點(diǎn),這是二者的根本區(qū)別.在巡游鐵磁模型的計(jì)算中,發(fā)現(xiàn)整個(gè)費(fèi)米面上的準(zhǔn)粒子權(quán)重都隨溫度趨于零,表現(xiàn)出非費(fèi)米液體行為.通過對自旋關(guān)聯(lián)的標(biāo)度分析發(fā)現(xiàn),自旋磁化率具有類似Hertz-Millis 的形式,并且可能存在反常維度[51].進(jìn)一步的數(shù)據(jù)分析表明,費(fèi)米子的自能和頻率的關(guān)系可以很好地被修正的Eliashberg 理論所描述[74],有限溫費(fèi)米子的自能可以分成兩部分.其中一部分來自于熱漲落的貢獻(xiàn),在低頻下具有類似 1/ωn的行為,如圖2(b)所示;另一部分來自于量子貢獻(xiàn),在低頻極限下逼近費(fèi)米子自能和頻率的2/3 冪律行為,如圖2(c)所示.

圖2 巡游鐵磁量子臨界晶格模型計(jì)算結(jié)果[74] (a) 巡游鐵磁量子臨界晶格模型示意圖;(b) 巡游鐵磁量子臨界點(diǎn)上費(fèi)米子自能虛部和頻率的關(guān)系;(c) 扣除熱漲落的貢獻(xiàn)之后,費(fèi)米子自能虛部與頻率的關(guān)系Fig.2.Results of itinerant ferromagnetic quantum critical lattice model[74]:(a) Schematic phase diagram of itinerant ferromagnetic quantum critical lattice model;(b) the relation between imaginary part of fermionic self-energy at itinerant ferromagnetic quantum critical point and Matsubara frequency;(c) after deducting the thermal effect,the relation between the imaginary part of the fermionic self-energy at itinerant ferromagnetic quantum critical point and Matsubara frequency.

4 非常規(guī)超導(dǎo)無負(fù)符號問題模型

在強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系中非常規(guī)超導(dǎo)的出現(xiàn)通常伴隨著和磁序的交織競爭,因此非微擾地理解非常規(guī)超導(dǎo)和磁序間可能存在的相變是非常重要的.非常規(guī)超導(dǎo)可以通過摻雜莫特絕緣體來實(shí)現(xiàn),比如銅基中有節(jié)點(diǎn)的d-波超導(dǎo).從數(shù)值計(jì)算的角度來說,這是非常具有挑戰(zhàn)性的.同時(shí)考慮關(guān)聯(lián)和摻雜通常會(huì)帶來負(fù)符號問題,因此數(shù)值上還不能非微擾地研究有節(jié)點(diǎn)的超導(dǎo)和反鐵磁序的競爭.但是需要注意的是有節(jié)點(diǎn)的d-波超導(dǎo)和反鐵磁的實(shí)現(xiàn)并不一定需要摻雜,因此可能存在半滿的無負(fù)符號問題的關(guān)聯(lián)電子模型可以實(shí)現(xiàn)它們的競爭.從實(shí)驗(yàn)上來說,人們的確發(fā)現(xiàn)一些材料在壓力調(diào)控下可以實(shí)現(xiàn)反鐵磁莫特絕緣體到非常規(guī)超導(dǎo)的轉(zhuǎn)變[75?80].

通過考慮幾種特殊情況可以獲得以上模型相圖的初步認(rèn)識.當(dāng)U/t ?1 且K/J ?1,體系處于反鐵磁態(tài);當(dāng)U/t ?1 且K/J ?1,體系處于d-波超導(dǎo)態(tài).平均場的計(jì)算也表明了這一點(diǎn),如圖3(b)所示,除了反鐵磁態(tài)(AFM)和d-波超導(dǎo)態(tài)(dSC),還存在一個(gè)有能隙的d-波超導(dǎo)和反鐵磁共存態(tài)(dSCg+AFM).

圖3 d-波超導(dǎo)和反鐵磁競爭晶格模型[81] (a) 模型示意圖(黑色圓點(diǎn)表示費(fèi)米子格點(diǎn),上面定義了一個(gè)僅有最近鄰躍遷的哈伯德模型;菱形點(diǎn)上定義了量子轉(zhuǎn)子模型,紅色和藍(lán)色表示轉(zhuǎn)子與費(fèi)米子橫向和縱向庫珀對算符的耦合具有相反的相位);(b) V/t=0.5 時(shí),模型的平均場相圖Fig.3.Lattice model with competition of d-wave superconductivity and antiferromagnetic[81]:(a) Schematic diagram of the lattice model (The black dots denote fermion sites,onside is a Hubbard model with only nearest neighbor hopping.A quantum rotor model is defined on diamond points,where red and blue colors denote opposite phase of the coupling between the rotors and the cooper pairing operator along horizontal direction and the vertical direction);(b) the mean-field phase diagram of the model at V/t=0.5.

由于該模型沒有負(fù)符號問題,進(jìn)一步進(jìn)行量子蒙特卡羅計(jì)算,確認(rèn)了dSCg+AFM 態(tài)的存在,更有意思的是發(fā)現(xiàn)dSCg+AFM 態(tài)到反鐵磁態(tài)的相變屬于3 維XY相變,d-波超導(dǎo)態(tài)到dSCg+AFM態(tài)的相變可以被Heisenberg-Gross-Neveu 理論所描述.

5 量子莫爾材料關(guān)聯(lián)電子模型

通過晶格失配或者轉(zhuǎn)角產(chǎn)生莫爾勢場對電子態(tài)的調(diào)控是近幾年的熱點(diǎn)問題[13,14].目前得到熱點(diǎn)關(guān)注的石墨烯和過渡金屬二硫化物莫爾體系的莫爾勢場的周期通常都在幾十個(gè)晶格常數(shù)的量級,由于能帶折疊和雜化,費(fèi)米面附近出現(xiàn)窄帶,電子動(dòng)能受到壓制,相互作用的效果顯現(xiàn)出來.比如在轉(zhuǎn)角雙層石墨烯中,當(dāng)轉(zhuǎn)角在所謂的魔角(約為1.1°)附近時(shí),庫侖相互作用大概為25 meV 左右,而根據(jù)能帶計(jì)算費(fèi)米面附近的能帶帶寬在10 meV以下,可見體系可能處在一個(gè)中間到強(qiáng)關(guān)聯(lián)的區(qū)域[82].魔角雙層石墨烯的另一個(gè)顯著特征是由于電子態(tài)的拓?fù)湫再|(zhì)而缺乏一個(gè)盡可能對稱且簡潔的緊束縛的描述[83?85].在魔角雙層石墨烯的早期研究中主要考慮關(guān)聯(lián)效應(yīng),發(fā)現(xiàn)定義在蜂窩晶格上的團(tuán)簇電荷關(guān)聯(lián)模型可能是一個(gè)出發(fā)點(diǎn)[85,86],更進(jìn)一步的理論分析發(fā)現(xiàn)在團(tuán)簇電荷相互作用的基礎(chǔ)上,還需要考慮修正[82],這一修正顯著改變了基態(tài)的相圖,可能用于理解半滿的魔角石墨烯的基態(tài).除了實(shí)空間模型,另一條互補(bǔ)的路徑是考慮動(dòng)量空間的模型[87,88,21].基于Bistritzer-MacDonald 模型[89],僅考慮費(fèi)米面附近的四條窄帶(谷自由度(又稱為軌道自由度)和子格自由度)以及自旋自由度,并考慮相互作用在這四條窄帶上的投影,這樣構(gòu)造的模型在粒子空穴對稱近似和半滿情況下也是沒有負(fù)符號問題的.

5.1 團(tuán)簇電荷關(guān)聯(lián)模型

接下來介紹團(tuán)簇電荷關(guān)聯(lián)模型[85,86,90,91].團(tuán)簇電荷關(guān)聯(lián)模型的建立與魔角雙層石墨烯的瓦尼爾函數(shù)形狀有關(guān).如果將瓦尼爾函數(shù)的中心放在一個(gè)三角格子上,那么布洛赫波函數(shù)在K點(diǎn)和Γ點(diǎn)應(yīng)該具有同樣的對稱變換性質(zhì),而計(jì)算表明K點(diǎn)和Γ點(diǎn)上布洛赫波函數(shù)屬于不同的表示,恰好可以將瓦尼爾函數(shù)的中心放在一個(gè)蜂窩格子上,盡管粒子數(shù)密度的中心是在蜂窩格子的對偶格子(三角格子)上[83?85].這種瓦尼爾函數(shù)具有指尖陀螺的形狀,使得在位、近鄰、次近鄰和次次近鄰相互作用都很重要.團(tuán)簇電荷關(guān)聯(lián)模型可以將這些相互作用都囊括其中.具體來說我們考慮的團(tuán)簇電荷關(guān)聯(lián)模型是定義在一個(gè)蜂窩晶格上.把每個(gè)最小六角單元(用P 標(biāo)記)上各格點(diǎn)電荷之和定義為團(tuán)簇電荷;團(tuán)簇電荷相互作用項(xiàng)為HU分別考慮了單谷和雙谷模型,分別對應(yīng)只考慮一個(gè)谷自由度和兩個(gè)谷自由度的情況.ρi是電子數(shù)密度算符,對于單軌道模型,定義;對于雙軌道模型,定義文獻(xiàn)[86]中,我們考慮電子動(dòng)能部分簡單被最近鄰躍遷描述,研究此時(shí)該模型本身可以實(shí)現(xiàn)什么樣的基態(tài).對于半填充的情況,如果定義,那么在HS 變換之后,費(fèi)米子雙線性算符在自旋空間具有形式σ0+iσ3,與反幺正算符Uiσ2K對易,且U2?1,所以是沒有負(fù)符號問題的.通過量子蒙特卡羅計(jì)算,發(fā)現(xiàn)對于單谷模型,增大相互作用體系實(shí)現(xiàn)從狄拉克半金屬態(tài)(SM)到具有Kekulé圖案的柱狀價(jià)鍵固體態(tài)(cVBS)轉(zhuǎn)變,進(jìn)一步增大相互作用體系進(jìn)入反鐵磁絕緣體態(tài)(AFMI) (如圖4(a)和圖4(b)所示);對于雙谷模型增大相互作用體系從SM 到塊狀價(jià)鍵固體態(tài)(pVBS),進(jìn)一步增大相互作用體系進(jìn)入cVBS 態(tài)(如圖4(c)和圖4(d)所示).

5.2 修正的團(tuán)簇電荷關(guān)聯(lián)模型

Kang 和Vafek[82]進(jìn)一步指出在團(tuán)簇電荷相互作用之外,還有修正項(xiàng),這一修正項(xiàng)來源于近鄰?fù)吣釥柡瘮?shù)的交疊.修正后的相互作用部分具有形式是定義在最小六角單元上的躍遷,其中隱含了對自旋指標(biāo)的求和,λ標(biāo)記了谷自由度,. 這里的θλ可以通過對瓦尼爾函數(shù)的U(1)變換吸收掉.定義,考慮半填充,那么HS 變換后的費(fèi)米子雙線性算符在自旋/谷/子格空間具有 iσ300+iσ332sinθ+iσ001cosθ的形式,與反幺正算符Uiσ203K對易,且U2?1,所以是沒有負(fù)符號問題的.在這基礎(chǔ)上加上子格間的動(dòng)能躍遷項(xiàng)(具有σ001的形式),同時(shí)取θπ/2 時(shí),則與反幺正算符Uiσ210K對易,且U2?1,所以也是沒有負(fù)符號問題的.修正項(xiàng)極大改變了團(tuán)簇電荷的基態(tài)相圖(如圖4(e)和圖4(f)所示),在很弱的相互作用下基態(tài)是量子谷霍爾態(tài)(QVH),增大相互作用體系相繼進(jìn)入谷間相干態(tài)(IVC),cVBS,以及最終再次進(jìn)入IVC.這豐富的相圖可能幫助我們理解魔角雙層石墨烯半填充時(shí)的基態(tài).

圖4 團(tuán)簇電荷關(guān)聯(lián)模 型示 意圖(a),(c),(e)和相圖(b),(d),(f)[92] (a),(b) 單 谷(軌道)模型;(c),(d) 雙谷(軌道)模型;(e),(f) 修正后的雙谷(軌道)模型Fig.4.Schematic diagram (a),(c),(e) and phase diagram (b),(d),(f) of cluster charge correlation model[92]:(a),(b) Single-valley(orbital) model;(c),(d) two-valley (orbital) model;(e),(f) modified two-valley (orbital) model.

要進(jìn)一步指出對于修正的團(tuán)簇電荷關(guān)聯(lián)模型的強(qiáng)耦合極限,即僅考慮相互作用部分,對于非半填充是有負(fù)符號問題的,但其1/4 填充時(shí)的符號測量值具有代數(shù)標(biāo)度行為[58].這一代數(shù)標(biāo)度行為可以由我們提出的符號邊界理論加以理解.

5.3 動(dòng)量空間關(guān)聯(lián)模型

6 結(jié)語

本文總結(jié)了部分去負(fù)符號關(guān)聯(lián)電子模型的設(shè)計(jì)思路,其中基于反幺正對稱性的無負(fù)符號條件具有廣泛的運(yùn)用場景,包括設(shè)計(jì)巡游磁性量子臨界模型和非常規(guī)超導(dǎo)與磁性序競爭模型等.總結(jié)了最近提出的符號邊界理論,它為負(fù)符號問題提供了新的認(rèn)識,將負(fù)符號問題與模型的物理性質(zhì)直接聯(lián)系起來,指出符號觀測值的尺寸依賴是很豐富的,除了已知的指數(shù)衰減行為,還可以表現(xiàn)出代數(shù)衰減行為,為進(jìn)一步規(guī)避、減輕、甚至運(yùn)用負(fù)符號問題提供了新的方向.通過列舉具體的具有代數(shù)符號行為的模型,說明符號邊界理論是可以用于莫爾量子物質(zhì)等關(guān)聯(lián)電子模型的計(jì)算.

通過去負(fù)符號的量子蒙特卡羅計(jì)算,可以從非微擾數(shù)值的角度加深對于強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系的理解.通過設(shè)計(jì)無負(fù)符號巡游磁性量子臨界模型,觀察到了巡游磁性量子臨界點(diǎn)上的非費(fèi)米液體行為,并發(fā)現(xiàn)了巡游鐵磁量子臨界區(qū)中費(fèi)米子自能與頻率的冪律關(guān)系.通過設(shè)計(jì)無負(fù)符號的關(guān)聯(lián)電子模型研究了具有節(jié)點(diǎn)的d-波超導(dǎo)到反鐵磁的相變,并發(fā)現(xiàn)了其相變普適類.借助符號邊界理論,還研究了量子莫爾材料關(guān)聯(lián)電子模型中的豐富物態(tài),可能幫助理解量子莫爾材料中發(fā)現(xiàn)的新奇物態(tài).

我們進(jìn)一步展望,通過調(diào)節(jié)原始系統(tǒng)和參考系統(tǒng)的基態(tài)能量差,符號邊界理論可能用于減弱很多模型中存在的負(fù)符號問題.

特別感謝張栩、潘高培、孟子楊在符號邊界理論工作中的合作和討論.感謝孟子楊、Patrick Lee、K.T.Law、Tarun Grover、孫鍇、戚揚(yáng)、Fakher Assaad、劉子宏、陳闖、廖元達(dá)、潘高培、張栩、Yoni Schattner、Erez Berg、康健、張龍、許岑珂、Avraham Klein、Andrey Chubukov 等老師和同學(xué)的有益合作和討論.