鄭允利

(徐州生物工程職業(yè)技術學院 基礎部,江蘇 徐州 221006)

1 引言

韓振來在文獻[4]中研究了如下具有連續(xù)變量的中立型差分方程

△2(x(t)+c(t)x(t-τ))+
p(t)x(t-σ)=0,t≥t0>0

的振動性,其中c(t)、p(t)∈(c[t0,+∞),R+),并給出了該方程振動及差分算子振動的幾個充分條件.但對具有連續(xù)變量中立型多時滯差分方程的研究并不多見,而這類方程在實際問題中是常見的,因此,對其進行研究是很有必要的.文中將研究下面一類具有連續(xù)變量的二階多時滯中立型差分方程的振動性問題.

(1)

記σ=max{σ1,σ2,…,σm},某函數y(t)稱為方程(1)的解,如果y(t)∈[t0-μ,+∞],μ=max{τ,σ},當t≥t0時,y(t)滿足方程(1)；方程(1)的解稱為振動的,如果它既不最終為正,也不最終為負,否則,稱為非振動的；方程(1)稱為振動的,如果方程(1)的所有解都是振動的.

文中記z(t)=x(t)-p(t)x(t-τ).

2 基本引理

引理1 若p

證明 設x(t)為方程(1)的最終有界正解,從而z(t)有界.記r=max{τ,σ},則存在t1≥t0,當t≥t1-r時,有x(t)>0.

(2)

否則存在常數t3>t2,有△τz(t3)>0,因此,當i≥1時,有

△τz(t3+iτ)≥△τz(t3)

將上式兩邊對i從1到n求和,得

z(t3+(n+1)τ)≥n△τz(t3)

令n→+∞,有

這與{z(t)}有界矛盾,從而(2)成立.

若{z(t)}最終為負,不妨設存在充分大的t1>t0,使z(t1)<0,記z(t1)=-α,a是正常數,由式(2)得

-α=z(t1)≥z(t1+τ)≥z(t1+2τ)≥…

從而

x(t1+nτ)=z(t1+nτ)+
p(t)x(t1+(n-1)τ)≤-α+x(t1+
(n-1)τ)≤…≤-nα+x(t1)

當n→∞時,x(t1+nτ)→-∞,這與x(t)最終為正矛盾.從而最終有z(t)>0.

引理2 若下列條件成立

(A) 1≤p(t)≤p,

設{x(t)}為方程(1)的最終正解,則最終有

x(t)≥p(t)x(t-τ)≥x(t-τ)

由遞推可得,存在t2>t1及正常數M,使當t>t2時,有x(t)>M,故當t>t2+σ時,有

即

由式(2)得

從而

(3)

取充分大的t3>t2,令t=t3+jτ,j是自然數,由式(3)得

z(t3+jτ)-z(t3+(j-1)τ)+

對上式的j從1到n求和,得

z(t3+nτ)-z(t3)+

再由式(2),當n→+∞時,由上式可得

這與條件(B)矛盾.因此,引理2得證.

3 主要結果

定理1 若0

則方程(1)所有有界解振動.

證明 設{x(t)}為方程(1)的最終有界正解,由引理1得,存在充分大的t1>t0,使得當t>t1時,有z(t)>0,△τz(t)≤0,且z(t)≤x(t).從而, 當t>t1時,有

(4)

(5)

由式(2)和式(5),得

即

z(t-τ)-z(t)≤-

從而當t>t2+jτ時,有

對上式的j從1到k求和,得

(6)

由式(2)得

(7)

由式(6)和式(7),得

于是,有

z(t-(k+1)τ)

即

這與(C)矛盾.當x(t)為最終負解時,同理可證.

定理2 設條件(A)和(B)成立,則方程(1)所有有界解振動.

[1]熊萬民,王志成.具有連續(xù)變量的中立型差分方程的振動性[J].湖南大學學報,2001,28(1):8-12.

[2]周勇.具有連續(xù)變量的變系數差分方程的振動性[J].經濟數學,1996,13(1):86-89.

[3]黃梅.具有變系數的二階中立型差分方程的有界振動[J].數學理論與應用,2005,25(4):35-37.

[4]韓振來,孫書榮,騰厚山.一類具有連續(xù)變量的二階中立型差分方程的振動準則[J].工程數學學報,2005,31(2):237-239.