賈蒙蒙,胡東芳,許啟躍,葉樹亮

(中國計量大學(xué) 計量測試工程學(xué)院 工業(yè)與商貿(mào)計量技術(shù)研究所,浙江 杭州 310018)

步進電機是一種將電脈沖信號轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€位移或角位移的控制元件,在工業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)療器械、航空航天等方面具有廣泛的應(yīng)用。步進電機具有非線性、強耦合的特點,在開環(huán)位置控制下難以得到滿意的控制結(jié)果。因此,選擇一種合適的控制策略,可以有效提高步進電機的控制精度,實現(xiàn)電機的高效控制。林法正[1]介紹了基于數(shù)字信號處理器(digital signal processor, DSP)的永磁同步電機驅(qū)動系統(tǒng),利用最小二乘法和實時比例積分位置控制器,實現(xiàn)了電機的基礎(chǔ)控制。該方法不依賴于電機的參數(shù)模型,但由于電機控制中未使用微分項,控制效果不佳。Rubaai A等[2]提出了一個集成環(huán)境的快速原型的魯棒模糊比例積分微分(proportional integral differential,PID)控制器,該模型在處理非線性和外部干擾方面具有更好的控制性能,缺點是該方法不具有普適性。蘭建武等[3]將自適應(yīng)模糊推理算法運用在電機的旋轉(zhuǎn)控制中,優(yōu)化其控制參數(shù)和性能,提高了電機運行的平穩(wěn)性,但在使用過程中需要考慮并制定控制過程中的各參數(shù)模糊子集的隸屬度賦值表和各參數(shù)的模糊調(diào)整規(guī)則模型,使模糊規(guī)則的制定更加困難。

本文引入了粒子群算法優(yōu)化模糊PID(PSO-fuzzy PID)[4-5]控制算法對步進電機進行轉(zhuǎn)速控制,PSO-fuzzy PID控制算法在機器控制、車輛控制、鍋爐控制等方面具有突出應(yīng)用。該控制算法不僅可以實現(xiàn)對步進電機的高效控制,通過粒子群算法還可以實現(xiàn)對模糊控制器的在線迭代尋優(yōu),從而彌補了模糊規(guī)則難以制定的缺點。通過對模擬與實驗結(jié)果的分析研究表明,PSO-fuzzy PID的控制算法較之常規(guī)模糊PID和PID控制,解決了模糊規(guī)則難以制定的缺點并提高了系統(tǒng)控制的平穩(wěn)性、快速性。

1 步進電機數(shù)學(xué)模型的建立

建立步進電機控制系統(tǒng)首先要對步進電機進行數(shù)學(xué)建模[6]。對于兩相混合步進電機,以A相為代表,其單相繞組的等效電路圖如圖1[7]。其中,Ra表示A相繞組的電阻;La表示A相繞組的電感;ea(θ)表示該電機的反電動勢;Ua表示A相繞組的電壓。

圖1 兩相混合步進電機單相等效電路

兩相混合步進電機的電壓平衡方程和電磁轉(zhuǎn)矩分別為式(1)(2)[8]

(1)

(2)

其中,Ua、Ub、ia、ib分別為A、B兩相的繞組電壓與繞組電流,L0為兩相間的互感,Zr為轉(zhuǎn)子齒數(shù),Te為電磁轉(zhuǎn)矩,J為轉(zhuǎn)動慣量,D為粘性系數(shù),TL為負載轉(zhuǎn)矩。當兩相勵磁處于平衡位置時,即轉(zhuǎn)子穩(wěn)定在β/2時,平衡位置步進電機通電相的電壓方程式為:

(3)

其中,L為自感;M為互感;Kf為永磁體和相繞組的耦合系數(shù)。則步進電機的傳遞函數(shù)模型如下:

(4)

以單相勵磁為例,假設(shè)負載轉(zhuǎn)矩TL=0,可以得到步進電機的運動方程為

(5)

對式(5)作拉式變換處理,得到

(6)

式(6)中,θ0(s)為步進電機的理論轉(zhuǎn)動角度,θi(s)為步進電機的偏差轉(zhuǎn)動角度,Kp為步進電機阻尼系數(shù),ωn為步進電機固有角頻率。兩相勵磁時在平衡位置擾動微小,在s=0時,振蕩值應(yīng)恢復(fù)在平衡位置θi上,G(s)=1,兩相勵磁情況下的傳遞函數(shù)表示為

(7)

式(7)中,Lp=L-M,Kp為步進電機的阻尼系數(shù),ωnp為步進電機固有角頻率。本文研究的步進電機參數(shù)如表1。

表1 步進電機參數(shù)

由步進電機的參數(shù)計算得到步進電機兩相勵磁傳遞函數(shù)為

(8)

2 粒子群算法優(yōu)化的模糊PID

2.1 粒子群算法

粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)[9-10]是通過模擬生物捕食的迭代優(yōu)化算法。當其初始化后,每個隨機粒子為了得到最優(yōu)目標解,會根據(jù)自身的歷史最優(yōu)情況和整個種群的歷史最優(yōu)情況來調(diào)整自己的行為模式,即速度更新策略。在經(jīng)過多次迭代之后,尋找到目標函數(shù)的最優(yōu)解。在每一次迭代[11]過程中,每個粒子的情況都會被評估,因此,速度更新策略[12]對粒子群算法的結(jié)果十分重要。粒子群算法的速度更新策略如圖2。

圖2 粒子速度更新示意圖

2.2 適應(yīng)度函數(shù)

PSO優(yōu)化包括設(shè)計優(yōu)化目標,即適應(yīng)度函數(shù),然后對要搜索的參數(shù)進行編碼。PSO算法運行直到滿足停止條件。最佳粒子位置給出了優(yōu)化的參數(shù)。時間乘以誤差絕對值積分(integrated time and absolute error,ITAE)[13-14]通常是一種評價工程實用性和選擇性的指標,因其具有快速、平穩(wěn)、超調(diào)量小等特點,因而被廣泛應(yīng)用于實際工程問題中,其表達式為[15]

(9)

式(9)中,tk是當前仿真的時間;e(t)為給定力矩與實際力矩之間的差值,k為加權(quán)系數(shù),E(t)∈e(t),為e(t)中的任意值。

2.3 迭代尋優(yōu)

粒子群算法最重要的步驟便是迭代尋優(yōu)過程,在迭代尋優(yōu)過程中,每個單獨的粒子都具有以下特性[16]:n為初始粒子個數(shù),xi為粒子當前位置;yi為當前搜索范圍內(nèi)的最佳位置;vi為粒子的速度;ybest為群體最優(yōu)位置,通過不斷迭代尋找目標的最優(yōu)解。

式子(10)及(11)描述了粒子的當前最優(yōu)值和群體最優(yōu)值的選取,假設(shè)粒子群中粒子數(shù)為n,i∈n:

(10)

ybest(t)=min{f(y),f(ybest(t))},y∈{y0(t),y1(t),…,yn(t)}。

(11)

在粒子的迭代過程中,其速度和位置更新步驟為:

vi,j(t+1)=ωvi,j(t)+2r1(t)[yi,j(t)-xi,j(t)]+
2r2(t)[ybest(t)-xi,j(t)],

(12)

xi(t+1)=xi(t)+vi(t+1)。

(13)

其中,r1,r2為[0,1]之間的隨機數(shù),ω為慣性因子,慣性因子是根據(jù)以下方程決定的:

(14)

其中,λ為當前迭代次數(shù),λmax為最大迭代次數(shù)。

2.4 粒子群算法優(yōu)化的模糊PID

本文提出了一種基于粒子群算法優(yōu)化的模糊PID控制器(PSO-fuzzy PID),結(jié)構(gòu)框圖如圖3。

圖3 PSO-fuzzy PID結(jié)構(gòu)框圖

由圖3可得,輸入步進電機目標轉(zhuǎn)速后,PID控制器輸出控制信號至步進電機,得到實際轉(zhuǎn)速,計算得到轉(zhuǎn)速誤差e與誤差變化率ec,改進的粒子群算法對模糊PID的隸屬度和規(guī)則庫進行優(yōu)化,經(jīng)由模糊PID控制器輸出增益變化ΔKp、ΔKi、ΔKd,增益變化與PID控制器結(jié)合運算得到輸出控制信號,完成對步進電機的轉(zhuǎn)速控制。

其中,設(shè)置粒子個數(shù)30個,學(xué)習(xí)因子c1=c2=2,維度151,速度最大值為1完成對粒子群算法參數(shù)設(shè)計的初始化。

粒子群算法的優(yōu)化分為兩個部分:一是隸屬度函數(shù),二是模糊控制規(guī)則庫。最優(yōu)隸屬度函數(shù)的迭代尋優(yōu),以單個粒子為例,設(shè)置隸屬度函數(shù)的底寬為尋優(yōu)目標,當初始化完成且粒子完成一次飛行后,更新粒子的速度與位置,將當前得到的隸屬度函數(shù)用于模糊控制器中。經(jīng)過不斷的飛行迭代可以得到動態(tài)隸屬度函數(shù)并對步進電機進行控制,獲得該次迭代所得到的控制指標,例如超調(diào)量、轉(zhuǎn)速誤差、誤差變化率、調(diào)節(jié)時間等,計算并返回適應(yīng)值得到并更新局部最優(yōu)值和全局最優(yōu)值,完成一次迭代。循環(huán)以上步驟直到循環(huán)結(jié)束得到最優(yōu)隸屬度函數(shù)。

對于模糊控制的控制規(guī)則,將模糊控制規(guī)則表的成員函數(shù){NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB}對應(yīng)十進制索引值數(shù)字{1,2,3,4,5,6,7}。反應(yīng)過程中模糊PID的輸出為增益變化ΔKp、ΔKi、ΔKd,其對應(yīng)十進制的編碼長度為3×7×7=147。反應(yīng)開始的第一個粒子使用專家經(jīng)驗所列寫的規(guī)則表進行初始化,降低尋優(yōu)難度,初始化該粒子速度值,并隨機生成其余粒子的速度與位置,沿用隸屬度函數(shù),將新生成的模糊控制規(guī)則與隸屬度函數(shù)相結(jié)合生成模糊PID控制,輸出增益變化ΔKp、ΔKi、ΔKd,計算PID參數(shù)并返回,輸出轉(zhuǎn)速完成轉(zhuǎn)速控制。

根據(jù)上文建立的基于兩相步進電機的傳遞函數(shù)作為被控對象,將式(7)作為被控對象,進行初步的仿真驗證。基于粒子群算法優(yōu)化的模糊PID控制器仿真模型如圖4。

圖4 基于粒子群優(yōu)化模糊PID的兩相步進電機控制器仿真模型

3 仿真結(jié)果

為測試粒子群算法優(yōu)化的模糊PID算法的性能,使用MATLAB/Simulink對兩相步進電機進行建模,其中,PSO-fuzzy PID的模糊控制器隸屬度函數(shù)及規(guī)則庫經(jīng)過粒子群算法在線迭代優(yōu)化后粒子群算法的適應(yīng)值如圖5。

圖5 粒子群算法適應(yīng)值Figure 5 Particle swarm optimization algorithm fitness

由圖5可知,當?shù)螖?shù)達到20次左右時,粒子群算法適應(yīng)值趨于穩(wěn)定,參數(shù)收斂,PSO算法的優(yōu)化過程中經(jīng)歷了8次迭代最后得到最優(yōu)解。此時最優(yōu)個體為優(yōu)化后得到的模糊控制規(guī)則如表2—表4,隸屬度函數(shù)如圖6。

表2 粒子群算法優(yōu)化后ΔKp規(guī)則庫

表3 粒子群算法優(yōu)化后ΔKi規(guī)則庫

續(xù)表3

表4 粒子群算法優(yōu)化后ΔKd規(guī)則庫

圖6 粒子群算法優(yōu)化后的隸屬度函數(shù)

利用Simulink模塊進行仿真,以單位階躍信號作為輸入信號,分別在三種控制方法下進行系統(tǒng)仿真,輸入PID參數(shù)P=0.072 4;I=0.688;D=3.454,三種控制方法均使用此PID參數(shù),仿真結(jié)果如圖7。分析圖7中的仿真曲線可得,PSO-fuzzy PID在三種控制方法的比較下,控制效果最為理想,滿足系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。

圖7 基于PID、模糊PID、粒子群算法優(yōu)化模糊PID仿真曲線圖

4 步進電機轉(zhuǎn)速控制實驗

針對兩相步進的轉(zhuǎn)速控制要求,選用STM32作為主控芯片,建立一種基于STM32的粒子群算法優(yōu)化模糊PID的步進電機轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)。系統(tǒng)包括主控模塊、驅(qū)動模塊、啟動模塊、電源模塊、光耦隔離、通訊模塊及上位機監(jiān)控模塊,系統(tǒng)框圖如圖8。

圖8 步進電機轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)框圖

該控制系統(tǒng)以STM32作為主控芯片,啟動模塊完成對步進電機的啟動,電源模塊為步進電機與主控板其余模塊提供電壓,光耦隔離模塊可以防止外部電流倒灌,增強驅(qū)動能力,驅(qū)動模塊連接步進電機驅(qū)動器,實現(xiàn)對步進電機的細分控制。編碼器為轉(zhuǎn)速反饋元件,將檢測到的實際脈沖個數(shù)反饋給主控模塊,主控模塊根據(jù)檢測到的脈沖個數(shù)與目標脈沖個數(shù)的數(shù)量相比,計算e與ec,將模擬所得控制表存放在軟件內(nèi),軟件根據(jù)e與ec的實時更新,進行查表后可以得到實時輸出控制信號。STM32根據(jù)算法產(chǎn)生的控制信號輸出脈沖個數(shù),完成對轉(zhuǎn)速的控制,具體的軟件流程如圖9。

圖9 粒子群優(yōu)化模糊PID軟件控制流程圖Figure 9 Flow chart of PSO-fuzzy PID software control

通過硬軟件設(shè)計以及上位機監(jiān)控模塊,可以對步進電機的轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù)進行實時的讀取與保存。輸入目標轉(zhuǎn)速為10 rad/s,得到在PID算法、模糊PID算法和PSO-fuzzy PID控制下的步進電機轉(zhuǎn)速控制效果如圖10。

圖10 電機轉(zhuǎn)速實驗圖Figure 10 Motor speed experiment diagram

由圖10可以看出,在控制目標為10 rad/s的情況下,步進電機在粒子群優(yōu)化的模糊PID算法的控制下,達到穩(wěn)定速度的響應(yīng)時間最短,超調(diào)量最小,在速度達到穩(wěn)定狀態(tài)后不產(chǎn)生振蕩現(xiàn)象?？梢宰C明PSO-fuzzy PID可以實現(xiàn)對兩相步進電機速度的高效控制,是一種優(yōu)異的控制算法。

5 結(jié) 語

本文針對兩相步進電機的非線性控制,提出了一種基于粒子群算法優(yōu)化的模糊PID控制器(PSO-fuzzy PID)。采用改進的粒子群算法在線迭代計算模糊PID控制器的隸屬度函數(shù)和控制規(guī)則,直到得到最優(yōu)解。利用兩相步進電機的數(shù)學(xué)模型在Simulink仿真環(huán)境下,建立了電機的轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng),同時設(shè)計并搭建了基于STM32的兩相步進電機軟硬件控制平臺,測試了PSO-fuzzy PID的超調(diào)量、穩(wěn)定時間、適應(yīng)度函數(shù)等性能,結(jié)果表明,PSO-fuzzy PID的控制性能明顯優(yōu)于其他控制器,該算法有望應(yīng)用于對步進電機的轉(zhuǎn)速控制精度要求高的場合。