楊軍，朱宏偉，劉志棟

(1.蘭州空間技術(shù)物理研究所,蘭州 730000;2.真空技術(shù)與物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730000)

0 引言

基于射頻囚禁阱的離子微波鐘在體積、穩(wěn)定度、漂移率和可靠性等方面具有明顯優(yōu)勢(shì)，已成為量子精密測(cè)量技術(shù)領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)。星載汞離子微波鐘可具備氣泡型銣原子鐘的體積、主動(dòng)型氫原子鐘和磁選態(tài)銫原子鐘的性能，以其優(yōu)良性能和高可靠性，有望用于深空探測(cè)和下一代全球?qū)Ш蕉ㄎ幌到y(tǒng)[1-2]。

目前，國(guó)內(nèi)外有多家單位正在開展汞離子微波鐘的相關(guān)研究工作，相較而言，美國(guó)JPL(Jet Propulsion Laboratory)噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室[3-9]在汞離子微波鐘的研制方面處于國(guó)際領(lǐng)先水平。2019年JPL實(shí)驗(yàn)室首次在國(guó)際上將汞離子微波鐘發(fā)射到了太空，并開展了為期1年的深空原了鐘(DSAC)任務(wù)演示驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證其單向?qū)Ш降目刹僮餍院陀行?，?jīng)在軌數(shù)據(jù)分析表明：汞離子鐘的在軌頻率穩(wěn)定度為(3～5)×10-15/1 d，頻率漂移率為3.0(0.7)×10-16/1 d[9]。該汞離子鐘在物理設(shè)計(jì)上采用四極阱與十六極阱相串聯(lián)而成的兩級(jí)分區(qū)式離子阱結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定囚禁汞離子和抑制二階多普勒頻移的目的。其中，四極阱用于離子制備和熒光探測(cè)等，十六極阱用于離子儲(chǔ)存和微波作用，通過控制阱區(qū)間的電壓可實(shí)現(xiàn)離子在兩區(qū)間的穿梭運(yùn)動(dòng)。

關(guān)于這種設(shè)計(jì)的技術(shù)優(yōu)勢(shì)，JPL實(shí)驗(yàn)室[10]利用多極阱中離子數(shù)密度沿徑向分布的物理模型，通過分析四極阱和十二極阱中離子云分布對(duì)二階多普勒頻移大小的影響而得出。該模型對(duì)于研究線型離子阱中離子云的規(guī)律，設(shè)計(jì)和優(yōu)化用于離子鐘的高性能離子阱有重要作用，國(guó)內(nèi)中國(guó)科學(xué)院武漢物理與數(shù)學(xué)研究所[11]基于該模型開展了有關(guān)汞離子微波鐘的研究工作。同時(shí)，該模型的運(yùn)算量小，成本低，在基于多極阱的離子鐘的先期研發(fā)階段，可免去數(shù)值求解Mathieu動(dòng)力學(xué)方程，尤其3D建模仿真(可采用Simion、Comsol軟件等)帶來的復(fù)雜要求[12-13]。

綜上所述，盡管建立精確的多極阱中囚禁離子的動(dòng)力方程或仿真模型，研究離子行為和優(yōu)化阱機(jī)電參數(shù)更為直觀，但采用離子數(shù)密度模型設(shè)計(jì)離子阱的途徑，其性價(jià)比更高。本文在離子數(shù)密度分布模型基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深入研究了多極阱中的離子云與空間電荷效應(yīng)、二階多普勒頻移之間的關(guān)系。

1 多極阱中離子數(shù)密度的徑向分布模型

對(duì)于由2k個(gè)電極構(gòu)成的多極離子阱，囚禁質(zhì)量為m，帶電量為q的離子時(shí)，其阱內(nèi)的電勢(shì)場(chǎng)形式極為復(fù)雜，為簡(jiǎn)化引入贗電勢(shì)并等效為[10]

(1)

當(dāng)阱中離子溫度為T，徑向總囚禁勢(shì)為φ(r)時(shí)，徑向離子數(shù)密度服從玻爾茲曼分布:

(2)

式(2)中,n(0)為阱中心軸線上的電荷密度，φ(r)=V*(r)+qφsc(r)為總囚禁電勢(shì)，φsc(r)為空間電荷勢(shì),且由泊松方程描述為

(3)

研究表明，徑向的離子數(shù)密度分布滿足二階微分方程[10]：

(4)

圖1 四極阱與十六極阱結(jié)構(gòu)圖示

2 模型數(shù)值求解算法與計(jì)算程序

2.1 微分方程數(shù)值分析算法

對(duì)于如下初值問題的二階微分方程

(5)

令y′=z后可化為一階微分方程組

(6)

二階微分方程可采用經(jīng)典龍格-庫(kù)塔法數(shù)值分析方法進(jìn)行求解，其形式為

(7)

式(7)中：

(8)

令y=n(r),x=r,z=y′，二階微分方程(4)將化為如下形式的一階微分方程:

2014年，青海水利工作將深入貫徹黨的十八大、十八屆三中全會(huì)和青海省十二次黨代會(huì)精神，緊緊圍繞加快水利改革發(fā)展主線和提高服務(wù)保障能力主題，努力實(shí)現(xiàn)全省水利發(fā)展“投資規(guī)模有增長(zhǎng)、發(fā)展速度有提升、管理水平有提高、體制機(jī)制有活力、行業(yè)建設(shè)有形象”五大目標(biāo)，為建設(shè)新青海、創(chuàng)造新生活提供水利保障。

(9)

即方程組(6)中所述f(x,y,z)表達(dá)式為

(10)

考慮參數(shù)取值后，如圖2所示，代入算法進(jìn)行迭代計(jì)算即可求出n(r)。

圖2 數(shù)值求解流程圖

2.2 參數(shù)取值與計(jì)算程序

取k等于2、4、6和8，用于分析和討論四極阱和多極阱中徑向的離子數(shù)密度分布及其對(duì)二階多普勒頻移的影響。為使得研究具有參考性并保證離子穩(wěn)定囚禁，主要離子囚禁參數(shù)取值如表1所示，同時(shí)引入絕熱近似限制[10]:η<0.3。根據(jù)該模型成立條件，可推得對(duì)應(yīng)Mathieu方程第一穩(wěn)定區(qū)參數(shù)限制為：an=0,qn<0.3。在此基礎(chǔ)上，給出了運(yùn)算初始值，采用Matlab軟件編程并運(yùn)行了數(shù)值計(jì)算程序。

表1 離子囚禁參數(shù)取值

3 結(jié)果與討論

3.1 離子囚禁參數(shù)對(duì)離子云的影響

根據(jù)表1參數(shù)取值，當(dāng)取四極阱和多極阱中囚禁相同的離子數(shù)NL時(shí)(根據(jù)計(jì)算對(duì)應(yīng)阱中心的離子數(shù)密度n(0)不同)，數(shù)值結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯?，隨著電極數(shù)目2k的增加，離子阱中的離子云致密度逐漸降低，其中四極阱中的汞離子分布最為集中，而位于多極阱中的汞離子分布較為均勻。經(jīng)分析，盡管兩種阱的阱區(qū)半徑相同，但造成這種現(xiàn)象的主要原因在于離子阱中的電勢(shì)分布不同所致。如圖示4所示，對(duì)比四極阱，多極阱內(nèi)的勢(shì)阱平緩且寬，并隨著電極數(shù)目增加，多極阱產(chǎn)生的贗電勢(shì)(圖4(a))、空間電荷勢(shì)(圖4(b))和總囚禁電勢(shì)(圖4(c))的勢(shì)阱深度逐漸變深，其寬度也逐漸變寬，結(jié)果離子云越來越分散，離子數(shù)密度不斷降低。

圖3 四極阱與多極阱中的離子數(shù)密度分布

圖4 四極阱與多極阱中的電勢(shì)分布

另外，從圖4中發(fā)現(xiàn)四極阱和十六極阱具有相同的勢(shì)阱深度，由于離子數(shù)密度和阱寬均不同，意味著后者具備囚禁更多離子數(shù)的能力。為此，取四極阱和多極阱在其阱中心的離子數(shù)密度相同，計(jì)算了相應(yīng)的勢(shì)阱深度和囚禁離子的數(shù)目，見圖5所示。從圖5可知，電極數(shù)目2k從4增加到16時(shí)，離子阱囚禁的相對(duì)離子數(shù)依次為1、1.57、1.98和2.28，而對(duì)應(yīng)相對(duì)總勢(shì)阱深度分別為1、0.43、0.62和0.98，這說明多極阱的勢(shì)阱深度雖然沒有四極阱的勢(shì)阱深度深，但其具有囚禁更多離子的能力。例如，在上述參數(shù)設(shè)置中，十六極阱的勢(shì)阱深度約等于四極阱的勢(shì)阱深度，為0.98倍，但其囚禁離子的數(shù)目卻是四極阱囚禁離子數(shù)目的2.28倍。

圖5 四極阱與多極阱囚禁的離子數(shù)

從圖4(b)和圖4(c)中發(fā)現(xiàn)，空間電荷勢(shì)對(duì)勢(shì)阱的結(jié)構(gòu)起到了一定的調(diào)制作用，而研究表明空間電荷勢(shì)的大小與阱中囚禁離子的數(shù)目密切相關(guān)[5-6]。為了分析清楚離子數(shù)目對(duì)空間電荷勢(shì)和離子云形態(tài)的影響機(jī)制，進(jìn)一步在圖3參數(shù)取值的基礎(chǔ)上(即仍保持四極阱和多極阱中囚禁的離子數(shù)目相同)，只是將離子數(shù)擴(kuò)大100倍，結(jié)果發(fā)現(xiàn)離子云形態(tài)發(fā)生了明顯變化，主要現(xiàn)象如圖6所示?？梢钥闯觯x子數(shù)密度分布與所示圖3中囚禁較少離子數(shù)的情況不同:①盡管離子數(shù)增加導(dǎo)致離子云分布區(qū)域發(fā)生了變化，但四極阱中離子數(shù)密度分布曲線形態(tài)未發(fā)生變化，離子數(shù)密度最大的位置仍舊在離子阱中心位置；②囚禁離子數(shù)較多時(shí)，四極阱和多極阱中離子分布較為分散，這是由于當(dāng)離子數(shù)增加時(shí)，離子間的庫(kù)侖相互作用增強(qiáng)，即空間電荷效應(yīng)明顯，使離子向阱邊緣匯聚所致；③多極阱中，其阱中心的離子數(shù)密度反而降低，靠近阱邊緣區(qū)域的離子數(shù)密度增大，且表現(xiàn)出了離子數(shù)密度大于阱中心離子數(shù)密度的情況。對(duì)于產(chǎn)生第三種情形的原因，從圖7(c)中可見，由于空間電荷效應(yīng)，離子阱總囚禁電勢(shì)底部發(fā)生了明顯變化，沿著徑向從阱中心到阱邊緣，總囚禁電勢(shì)分布呈現(xiàn)出先減后增的變化趨勢(shì)，即在原有平緩勢(shì)阱底部形成了一個(gè)小勢(shì)阱(這與低離子密度時(shí)圖4(c)中的情形不同)，結(jié)果離子大量匯聚在此處。圖8給出了離子數(shù)密度峰值與總囚禁電勢(shì)谷值之間的關(guān)系，其中離子數(shù)密度峰值對(duì)應(yīng)圖6，總囚禁電勢(shì)谷值對(duì)應(yīng)圖7(c)，可以看出離子云峰值出現(xiàn)的位置恰好與總電勢(shì)谷值出現(xiàn)的位置相對(duì)應(yīng)。

圖6 四極阱與多極阱中的離子數(shù)密度分布

圖7 四極阱與多極阱中的電勢(shì)分布

圖8 離子數(shù)密度峰值與總囚禁電勢(shì)谷值的位置對(duì)應(yīng)關(guān)系

3.2 離子云對(duì)二階多普勒頻移的影響

對(duì)于汞離子微波鐘，二階多普勒效應(yīng)是影響準(zhǔn)確性的重要因素，由熱運(yùn)動(dòng)和微運(yùn)動(dòng)等引起，在絕熱近似條件下為

(11)

式(11)中，熱運(yùn)動(dòng)引起的二階多普勒項(xiàng)為

(12)

微運(yùn)動(dòng)引起的二階多普勒項(xiàng)為

(13)

(14)

即總的二階多普勒頻移為[10]

(15)

圖9 電極數(shù)對(duì)二階多普勒頻移的影響

圖10 電極數(shù)對(duì)離子云形態(tài)參量的影響

圖11 離子數(shù)對(duì)二階多普勒頻移的影響

4 結(jié)語(yǔ)

在離子穩(wěn)定囚禁條件下，基于線型多極阱中離子數(shù)密度沿徑向分布的物理模型，研究了離子云的演變規(guī)律，比對(duì)了四極阱和多極阱囚禁汞離子的電勢(shì)分布、空間電荷效應(yīng)、離子微運(yùn)動(dòng)行為和二階多普勒頻移的異同。主要結(jié)論如下：

①四極阱中，勢(shì)阱既深又窄，且阱中心囚禁電勢(shì)最小，離子數(shù)密度沿著徑向呈現(xiàn)出中心密而邊緣疏的鐘形曲線分布，離子分布在阱中較小區(qū)域內(nèi)，空間電荷效應(yīng)明顯，離子微運(yùn)動(dòng)引起的二階多普勒頻移較大。

②對(duì)于多極阱，隨著阱電極數(shù)目的增加，阱區(qū)內(nèi)產(chǎn)生的有效勢(shì)阱的深度增加，同時(shí)阱底部變寬，為離子在阱內(nèi)分散囚禁，由阱中心至阱電極邊緣，離子數(shù)分布較為均勻，從而降低空間電荷效應(yīng)的影響創(chuàng)造了有利條件。此外，當(dāng)阱中離子數(shù)密度較高時(shí)，空間電荷效應(yīng)增強(qiáng)，離子空間電荷勢(shì)的引入會(huì)改變多極阱勢(shì)阱底部平坦的結(jié)構(gòu)，總勢(shì)阱底部沿著徑向由阱中心至阱邊緣出現(xiàn)了小勢(shì)阱，兩邊高，中間低，導(dǎo)致離子數(shù)密度分布成兩邊疏中間密的分布形態(tài)。這種與四極阱的情況完全不同。

③根據(jù)文中算例，當(dāng)四極阱和十六極阱勢(shì)阱深度相同時(shí)，由于十六極阱的勢(shì)阱較寬，可囚禁的汞離子數(shù)目較四極阱多，且離子分散分布，彼此庫(kù)侖相互作用小，空間電荷效應(yīng)導(dǎo)致的離子微運(yùn)動(dòng)較小，從而引起的二階多普勒頻移小于四極阱中離子微運(yùn)動(dòng)引起的二階多普勒頻移。

④無論是四極阱還是多極阱，當(dāng)離子數(shù)目增加時(shí)，離子間的相互作用會(huì)增強(qiáng)，離子云在阱區(qū)徑向分布更廣，空間電荷效應(yīng)明顯導(dǎo)致二階多普勒頻移增大。若遇此情形，可考慮通過適當(dāng)降低離子溫度調(diào)節(jié)軸向電壓等，減小熱運(yùn)動(dòng)引起的二階多普勒頻移，使其接近或小于微運(yùn)動(dòng)引起的二階多普勒頻移的方法，從而降低二階多普勒頻移。