林嘉睿， 程東源， 劉思仁， 任永杰

（1.天津大學(xué)精密測試技術(shù)及儀器國家重點實驗室，天津 300072；2.中國商飛上海飛機制造有限公司，上海 200436）

航空制造過程中需要對機身和機翼的主要構(gòu)件完成加工、鉚接、裝配等工序，該類作業(yè)任務(wù)往往具有大空間及高精度的特點，對作為制造裝備執(zhí)行體的工業(yè)機器人絕對定位誤差提出越來越高的要求[1–3]。在實際生產(chǎn)中，機器人長期處于連續(xù)高速運行狀態(tài)，關(guān)節(jié)磨損、連桿變形等幾何誤差因素以及電機發(fā)熱、自重、負載等非幾何因素作用使得機器人末端位置發(fā)生漂移，實際運行軌跡偏離設(shè)定值，且定位誤差是動態(tài)變化的，導(dǎo)致絕對定位精度顯著下降。因此，需要研究一種工業(yè)機器人絕對定位誤差的高效補償方法，在不影響作業(yè)節(jié)拍的前提下在線提升機器人的絕對定位精度。

已有的補償方法通常是在離線狀態(tài)下對機器人的運動學(xué)參數(shù)進行標定[4–6]，然而機器人誤差源繁多，這種方法只能一定程度上消除制造、裝配等因素造成的幾何參數(shù)誤差，不能改善因電機發(fā)熱，外界溫度變化、末端負載作用等非幾何參數(shù)因素造成的絕對定位誤差。文獻[7–11]提出在機器人末端增加視覺傳感器，基于距離約束和球約束關(guān)系建立優(yōu)化模型實現(xiàn)在線自標定，對測量工具要求簡單，可用于補償因非幾何參數(shù)因素導(dǎo)致的絕對定位誤差，但每次標定只在特定工作空間內(nèi)采集少量的位姿信息，無法對全空間內(nèi)的定位誤差實現(xiàn)有效補償。文獻[12–13]通過外部高精度測量設(shè)備對工業(yè)機器人的位姿進行實時測量，辨識實際運動學(xué)參數(shù)并反饋給機器人，但測量設(shè)備效率低，容易發(fā)生遮擋，同時不支持無法在控制器中修改運動學(xué)參數(shù)的機器人。文獻[14–17]通過事先設(shè)計好的固定空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，利用激光跟蹤儀建立機器人位置和對應(yīng)誤差矢量值之間的映射變換，對幾何及非幾何因素導(dǎo)致的絕對定位誤差均有一定補償效果，但該方法仍存在以下不足： （1）定位誤差在機器人作業(yè)過程中是動態(tài)變化的，且隨著機器人作業(yè)空間的變換，精度的維護需要對空間誤差庫進行實時更新，跟蹤儀無法短時間內(nèi)完成，補償實時性不強； （2）跟蹤儀等單站式測量設(shè)備無法高效實現(xiàn)全空間和全位姿的測量； （3）空間網(wǎng)格邊長即網(wǎng)格劃分疏密程度影響插值結(jié)果準確性和誤差庫建立效率，現(xiàn)有方法無法根據(jù)空間絕對定位誤差實際分布情況實時調(diào)整網(wǎng)格邊長。

針對以上問題，本研究利用工作空間測量定位系統(tǒng)wMPS （Workspace measurement positioning system）高精度、動態(tài)測量特點實現(xiàn)了空間誤差庫的快速建立并可隨著機器人工作空間及工作姿態(tài)的變化及時更新誤差庫，研究了基于反距離加權(quán)插值算法的工業(yè)機器人絕對定位誤差補償方法，提出了一種邊長可調(diào)的空間網(wǎng)格精細劃分方法，動態(tài)調(diào)整網(wǎng)絡(luò)劃分既保證了插值結(jié)果的精度也進一步提升了誤差庫建立效率。wMPS作為一種多基站多目標并行測量系統(tǒng)，單站測角精度可達2"，測量頻率可達30Hz，可以實現(xiàn)空間三維坐標的高效自動測量[18]，且可以根據(jù)現(xiàn)場情況靈活布局提升對機器人工作空間和位姿的覆蓋能力，克服一定的光路遮擋，具有較強的現(xiàn)場適應(yīng)性，在不影響作業(yè)節(jié)拍情況下，可以滿足機器人絕對定位誤差在線補償?shù)臏y量需求。

1 工作空間測量定位系統(tǒng)

wMPS是一種典型的分布式測量系統(tǒng)[18]，在空間不同位置擺放多臺激光發(fā)射站，每臺發(fā)射站通過精密轉(zhuǎn)臺帶動兩扇形掃描光面進行高勻速旋轉(zhuǎn)，結(jié)合同步光信號構(gòu)建全周向光場，能夠覆蓋空間多個光電接收器，基于多站角度交會約束實時獲取接收器空間三維坐標信息。

圖1為wMPS坐標測量示意圖，發(fā)射站向測量空間發(fā)射兩束繞軸勻速旋轉(zhuǎn)并帶有一定傾角的掃描激光平面1和2，同時當平面轉(zhuǎn)到預(yù)定位置處基站發(fā)射光脈沖作為同步標記，當接收器收到發(fā)射站的掃描光平面信號或同步標記信號時進行光電信號轉(zhuǎn)換，通過同步光–掃描光的相位信息來計算基站所測量的角度值，如圖2所示。

圖1 wMPS測量示意圖Fig.1 Schematic diagram of wMPS

圖2 單站測角原理Fig.2 Principle of single station angle measurement

此時，在發(fā)射站坐標系下的平面方程系數(shù)變?yōu)樾D(zhuǎn)角度θ1、θ2的函數(shù)為

式中，a、b、c、d為發(fā)射站掃描光平面方程系數(shù)；m為發(fā)射站掃描光平面序號；n為發(fā)射站序號。

當系統(tǒng)基站完成姿態(tài)定向后，發(fā)射站坐標系到測量坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣RTXG及平移向量PTXG已知，記發(fā)射站兩掃描光平面到達待測接收器旋轉(zhuǎn)角度為θn1和θn2。

式中，n∈N；m=1，2；TXG為測量坐標系下的發(fā)射站結(jié)構(gòu)參數(shù)。

此時在測量坐標系下坐標PRXG（xRXG，yEXG，zRXG）T

當測量空間內(nèi)有n（n≥2）臺發(fā)射站時，可以列出2n個方程，對這些方程組成的超定方程組進行最小二乘求解即可得到接收器的坐標PRXG。其中，發(fā)射站的轉(zhuǎn)速和信號處理器的處理速度均會影響wMPS測量頻率。不同發(fā)射站的識別基于不同的轉(zhuǎn)速參數(shù)，接收器在一個測量周期內(nèi)收到同一發(fā)射站的同步光信號和兩個掃描光信號才能保證數(shù)據(jù)有效，目前發(fā)射站轉(zhuǎn)速可穩(wěn)定在1800～2500r/min區(qū)間，信號處理器處理光電信號頻率穩(wěn)定為30Hz，wMPS單點測量時間約為33ms，該動態(tài)性能為后續(xù)空間誤差庫的快速建立及更新打下了基礎(chǔ)。

2 機器人位置誤差插值補償

以六自由度工業(yè)機器人為例，其運動過程中的變量僅為各關(guān)節(jié)軸的轉(zhuǎn)角，隨著各軸旋轉(zhuǎn)角度的變化，其相應(yīng)位置的絕對定位誤差值也會隨之變化，且該變化趨勢在工作空間內(nèi)是連續(xù)的，并在一定范圍內(nèi)可視為線性變化[19]。通過確定絕對定位誤差顯著線性相關(guān)的空間距離，合理劃分空間網(wǎng)格并采集網(wǎng)格節(jié)點處絕對定位誤差值，則空間內(nèi)任意位置處的絕對定位誤差值便可通過線性插值得到。為進一步提升網(wǎng)格劃分效率和插值計算的準確性，在整個工作空間內(nèi)均勻隨機選取若干點，并計算空間內(nèi)任意兩點絕對定位誤差矢量值之間的相關(guān)性關(guān)系，依據(jù)滿足顯著線性相關(guān)的最大距離將空間粗劃分為若干區(qū)域，之后根據(jù)絕對定位誤差的變化趨勢，調(diào)整網(wǎng)格邊長進行各區(qū)域細劃分，完成空間誤差庫的建立。

2.1 空間絕對定位誤差相似度分析

在機器人工作空間內(nèi)進行隨機采樣，獲取采樣點絕對定位誤差信息，分析空間內(nèi)兩點距離值與對應(yīng)定位誤差差值之間的相關(guān)性關(guān)系，以ABB IRB6700–200/2.60型機器人為例，以機器人基坐標系作為參考坐標系，選取工作空間為1000mm×1000mm× 500mm，在機器人末端法蘭盤上放置wMPS光電接收靶球。首先采用文獻[20]的方法標定出機器人基坐標系與wMPS坐標系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，并標定出光電接收靶球球心相對于末端法蘭中心的位置偏移量。如圖3所示，在空間內(nèi)隨機選取243個姿態(tài)一定的采樣點，測量各采樣點處靶球中心坐標值，計算各點處的絕對定位誤差值。

圖3 工作空間采樣點示意圖Fig.3 Schematic diagram of sample points in workspace

計算兩采樣點間空間距離與對應(yīng)絕對定位誤差差值間的相關(guān)程度，并采用Pearson系數(shù)評價，其計算公式為式中，X為兩采樣點間的空間距離；Y為兩采樣點對應(yīng)絕對定位誤差差值；r為相關(guān)系數(shù)，r>0時，表示兩變量正相關(guān)，r<0時，表示兩變量負相關(guān)，|r|的大小反映了兩變量的線性相關(guān)高低，且已知當r≥0.70時，便可認為兩變量間為顯著線性正相關(guān)關(guān)系[18]。

圖4擬合結(jié)果計算得到采樣點間空間距離和對應(yīng)絕對定位誤差差值的Pearson相關(guān)系數(shù)值約為0.80，說明二者存在顯著線性正相關(guān)關(guān)系，在合理完成空間誤差庫建立后可以通過線性插值的方式利用誤差庫中信息預(yù)測空間內(nèi)任意目標點的絕對定位誤差矢量值。

圖4 采樣點間空間距離與對應(yīng)絕對定位誤差差值的相似度關(guān)系Fig.4 Similarity relationship between spatial distance between sampling points and difference of absolute positioning errors

為研究隨采樣空間范圍變化，采樣點間空間距離和對應(yīng)絕對定位誤差差值的Pearson系數(shù)變化趨勢，在原長方體空間的基礎(chǔ)上逐漸減小空間范圍，并選擇各空間范圍內(nèi)的采樣點依次按照式（5）的方式計算對應(yīng)Pearson系數(shù)值，結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知兩點X、Y、Z方向絕對定位誤差的差值與兩點空間距離值之間的Pearson系數(shù)值隨采樣空間的減小而增大，以試驗選取的采樣空間為例，當空間兩點距離≤400mm時，X、Y、Z3個方向?qū)?yīng)的定位誤差值均具有顯著線性正相關(guān)性，即可得出類比結(jié)論：在一定的空間距離內(nèi)，機器人X、Y、Z方向的絕對定位誤差具有顯著線性正相關(guān)性，在空間內(nèi)設(shè)計合理的采樣策略后，建立空間誤差庫，通過線性插值計算的方式可以實現(xiàn)定位誤差值的提前預(yù)測。

圖5 采樣空間對Pearson系數(shù)的影響趨勢圖Fig.5 Influence trend chart of sampling space on Pearson coefficient

2.2 空間插值法原理

已知機器人末端絕對定位誤差矢量間的相似關(guān)系在笛卡爾空間的小范圍內(nèi)為顯著線性正相關(guān)，不存在突變，因此在局部選取均勻分布的空間點進行線性插值計算，其逼近程度較好且計算簡單、運算速度快。本研究采用的插值方法為反距離加權(quán)法。反距離加權(quán)法將兩點間距離的倒數(shù)作為權(quán)重，即距離相近的點影響的權(quán)值因子更大，距離越遠影響的權(quán)值因子越小，該方法對于連續(xù)緩慢變化數(shù)據(jù)插值效果好[21]。

根據(jù)機器人的運動軌跡選定待標定的工作空間，將該工作空間劃分為一系列連續(xù)的空間網(wǎng)格，將網(wǎng)格頂點作為采樣點，待標定空間內(nèi)任意目標點的絕對定位誤差矢量可以由包含其網(wǎng)格的8個節(jié)點處的絕對定位誤差矢量插值得到。

如圖6所示，完成空間網(wǎng)格劃分后，首先測量出包含待測點的網(wǎng)格頂點（P1，P2，P3，…，P8）處的絕對定位誤差值 ，以各頂點到待測點距離的倒數(shù)作為衡量各點權(quán)重的標準，將權(quán)值和絕對定位誤差值相乘后求和即可預(yù)測網(wǎng)格中任意待測點P的絕對定位誤差值。

圖6 反距離加權(quán)法示意圖Fig.6 Schematic diagram of inverse distance weighting method

式中，qi為網(wǎng)格頂點Pi對P的影響權(quán)值；di為網(wǎng)格頂點Pi與P之間的距離。

式中，E為P的絕對定位誤差矢量預(yù)測值；Ei為Pi的絕對定位誤差矢量測量值。

2.3 網(wǎng)格邊長設(shè)計

在進行空間網(wǎng)格插補時網(wǎng)格邊長對插值結(jié)果的準確性有明顯影響，邊長太大采樣點與預(yù)測點絕對定位誤差矢量相似度太小，會導(dǎo)致插值結(jié)果不準確，減小邊長可以提升插值結(jié)果的準確性，但會增加工作量，因此在實際補償前需要選取合理的網(wǎng)格步長和劃分策略。

在空間誤差庫建立過程中機器人需要多次重復(fù)啟動–停止過程以完成采樣，為盡可能縮短采樣時間，需要確定機器人每次停留的最短時間t以區(qū)分采樣點與路徑上一般點，即

式中，t為采樣時長，ms；T為wMPS單次測量耗時，ms；c為比例系數(shù)， 根據(jù)試驗實際結(jié)果選取，為正整數(shù)。

2.3.1 網(wǎng)格粗劃分

首先根據(jù)機器人運動軌跡確定工作空間范圍為Lx×Ly×Lz，在空間內(nèi)隨機均勻選取足夠多的采樣點測得其絕對定位誤差矢量以研究空間距離與絕對定位誤差差值之間的相似度關(guān)系，參照2.1節(jié)內(nèi)容，以Pearson系數(shù)等于0.70的空間距離值L作為粗劃分立方體網(wǎng)格對角線長度值從而計算網(wǎng)格邊長粗值a，見式（9），通過除以a向上取整的方式進一步得到工作空間X、Y、Z各方向的均分份數(shù)nx、ny和nz，見式（10），完成網(wǎng)格粗劃分，劃分后結(jié)果如圖7所示。

圖7 空間網(wǎng)格粗劃分示意圖Fig.7 Schematic diagram of spatial grid roughly divided

2.3.2 網(wǎng)格細劃分

將工作空間粗劃分為nx×ny×nz個網(wǎng)格區(qū)域后，選取各網(wǎng)格的中點位置作為起始點，利用wMPS系統(tǒng)測量效率高的優(yōu)勢，控制機器人在基坐標系下從起始點分別沿X、Y、Z方向做直線運動至且每間隔h做短暫停留t，各方向的最后一個采樣點為當前網(wǎng)格區(qū)域邊界，測量直線運動軌跡上各停留點的坐標值，進而得到各點對應(yīng)的絕對定位誤差矢量值，即

式中，k根據(jù)機器人實際運行節(jié)拍取值范圍為[5%，10%]。

以圖8所示方式完成測量后，按照到中心點距離由大到小的順序，將距離相同的采樣點分組進行反距離加權(quán)插值計算，得到中心點絕對定位誤差矢量預(yù)測值Ein，計算與wMPS直接測量獲取的中心點絕對定位誤差矢量真實值Emn的偏差en，若en滿足式（12）則繼續(xù)計算en+1并判斷兩偏差值是否滿足式（13），若滿足則選取第n次距離值l作為細劃分網(wǎng)格的對角線長度值，如圖9所示。

圖8 細劃分網(wǎng)格邊長確定方法示意圖Fig.8 Schematic diagram of method for determining side length of mesh subdivision

圖9 細劃分網(wǎng)格對角線長度l確認示意圖Fig.9 Schematic diagram of confirming diagonal length l of mesh subdivision

式中，n為第n組采樣點數(shù)據(jù)（按到中心點距離從大到小順序分組排列）；c1為定位誤差插值預(yù)測值與真實值偏差的閾值；c2為en和en+1差值的閾值。

以在該網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)滿足式（12）和（13）的最大距離值l作為細劃分網(wǎng)格的對角線長度值，區(qū)域大小為Lix×Liy×Liz，內(nèi)部進行細劃分時X、Y、Z方向均分份數(shù)nix、niy、niz的計算同式（9）和（10）。同理在其余粗劃分區(qū)域完成網(wǎng)格細劃分，建立空間誤差庫，最終的空間網(wǎng)格劃分示意圖如圖10所示。

圖10 空間網(wǎng)格劃分示意圖Fig.10 Schematic diagram of spatial grid division

3 試驗驗證與分析

為驗證面向航空制造所研究方法的可行性及補償后工業(yè)機器人的絕對定位精度，以ABB公司生產(chǎn)的IRB6700–200/2.60型機器人為研究對象，其重復(fù)定位精度Er= 0.10mm，網(wǎng)格節(jié)點絕對定位誤差值測量采用wMPS，誤差補償效果驗證采用Leica AT403型激光跟蹤儀，測量精度為15μm+6μm/m。

以基坐標系作為參考坐標系，空間范圍為：X方向1200～2200mm，Y方向– 500 ～500mm，Z方向1700 ～ 2200 mm，補償過程中wMPS測量頻率為30Hz。為在所采集坐標信息中挑選出采樣點坐標值，機器人需頻繁啟停以標記采樣點，為盡可能縮短采樣時間，需要確定機器人在采樣點處停留的最短時間，具體操作步驟如圖11所示。

圖11 節(jié)點最優(yōu)停留時間選取流程圖Fig.11 Flowchart for selecting the best pause time at nodes

試驗結(jié)果顯示，當前參數(shù)設(shè)置下當機器人在采樣點處的停留時間約為100ms時可以將采樣點坐標值與路徑點坐標值進行明顯區(qū)分。

為驗證所提出誤差補償方法在實際生產(chǎn)中的補償效果，特設(shè)置對比試驗，比較機器人末端法蘭在空載和安裝約20kg藍光形貌測量傳感器后絕對定位誤差的補償效果，試驗流程如圖12所示。

圖12 機器人空載與20kg負載下絕對定位誤差補償對比試驗流程圖Fig.12 Experimental flowchart of comparison of absolute positioning error compensation by no–load and 20kg load

所搭建的試驗驗證平臺如圖13所示。

圖13 試驗驗證平臺Fig.13 Experimental setup

按照2.3節(jié)所介紹方法，參數(shù)設(shè)置為k=10%，c1=0.15mm，c2= 0.02mm，完成空間網(wǎng)格劃分，得到的網(wǎng)格劃分結(jié)果如表1所示。

表1 空載和增加20kg負載后空間網(wǎng)格劃分結(jié)果統(tǒng)計表Table 1 Statistical table of meshing results of no–load and 20kg load

在空載和20kg負載兩種情況下通過網(wǎng)格劃分后分別建立wMPS空間誤差庫，在工作空間內(nèi)均勻隨機選取150個補償點完成絕對定位誤差補償，以激光跟蹤儀為測量基準，補償前后的絕對定位誤差值如圖14所示。

由圖14數(shù)據(jù)分析可知，空載情況下補償點處絕對定位誤差的平均值和最大值由補償前的0.79mm和1.09mm減少至補償后的0.16mm和0.25mm，分別減少了80%和77%，當在末端法蘭增加20kg負載后，平均值和最大值由補償前的1.36mm和2.09mm減少至補償后的0.19mm和0.27mm，分別減少了86%和87%，增加負載后的誤差補償效果與空載時相當，證明了所提出方法的實際可行性。

圖14 不同負載下絕對定位誤差補償結(jié)果比較Fig.14 Comparison of absolute positioning error compensation by different load

為進一步說明采用wMPS建立空間誤差庫進行機器人絕對定位誤差補償耗時短的優(yōu)勢，基于圖12的流程，比較了采用wMPS和激光跟蹤儀完成空間網(wǎng)格化的效率和對應(yīng)誤差庫補償?shù)男ЧＲ约す飧檭x為測量基準，兩種方法耗時對比如表2所示，補償前后的絕對定位誤差如圖15所示。

由圖15的數(shù)據(jù)計算可知，使用wMPS和激光跟蹤儀建立空間誤差庫完成誤差補償后，對應(yīng)絕對定位誤差的平均值分別為0.16mm和0.14mm，二者補償效果相當。表2數(shù)據(jù)顯示使用wMPS補償流程總耗時3.6min，僅為使用跟蹤儀自動測量耗時的28%，體現(xiàn)出wMPS測量高效性。且粗劃分網(wǎng)格過程在第1次建立誤差庫時完成即可，后續(xù)只需構(gòu)建精細化網(wǎng)格便可完成對誤差庫的更新，相比于跟蹤儀在構(gòu)建精細化網(wǎng)格的低效率，wMPS總耗時能夠再縮減50%以上。綜上所述，本文所研究方法可以實現(xiàn)機器人絕對定位誤差的高效高精度補償。

圖15 使用wMPS和激光跟蹤儀完成絕對定位誤差補償?shù)男Ч麑Ρ菷ig.15 Effect comparison of absolute positioning error compensation using wMPS and laser tracker

表2 網(wǎng)格建立效率對比表Table 2 Measurement efficiency comparison table min

4 結(jié)論

本文針對機器人在工作空間相鄰位置處絕對定位誤差矢量顯著線性正相關(guān)的特點，利用工作空間測量定位系統(tǒng)wMPS高精度動態(tài)測量的優(yōu)勢，設(shè)計了一種基于空間誤差庫的機器人絕對定位誤差補償方法，通過對工作空間的網(wǎng)格精細化劃分和快速測量，建立并更新空間誤差庫，在不影響作業(yè)節(jié)拍情況下實現(xiàn)空間任意點的絕對定位誤差矢量預(yù)測及補償。

（1）利用工作空間測量定位系統(tǒng)wMPS測量效率高、覆蓋廣的優(yōu)勢實現(xiàn)了空間誤差庫的快速建立及實時更新，為動態(tài)變化的機器人定位誤差高精度補償提供了可能。

（2）綜合考慮插值精度和效率需求，提出了一種空間網(wǎng)格精細化設(shè)計方法，能夠確定不同區(qū)域定位誤差矢量顯著線性相關(guān)的最大空間距離，并設(shè)計最優(yōu)網(wǎng)格劃分策略，從而提高了誤差庫建立效率。

（3）后續(xù)可基于wMPS多目標并行測量特點，設(shè)計一種全向靶標解決機器人在運動過程中由于姿態(tài)變化導(dǎo)致的光信號遮擋問題，實現(xiàn)工作空間內(nèi)全位姿實時測量。